zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 2 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

186
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 2 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi tìm hiểu về chuỗi số với số hạng có dấu bất kì. Các nội dung chính trong bài giảng này gồm có: Chuỗi với số hạng có dấu bất kì, tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 2 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn HAPPY NEW YEAR 2011 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì • Chuỗi với số hạng có dấu bất kì • Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối • Chuỗi đan dấu 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ∞ ∞ ∞ Định nghĩa: ∑ an được gọi là hội tụ tuyệt đối ⇔ ∑ an hội tụ. Chuỗi ∑ an được gọi n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ là bán hội tụ ⇔ ∑ an phân kì và ∑ an hội tụ. n =1 n =1 ∞ ∞ Định lý. ∑ an hội tụ ⇒ ∑ an hội tụ. n =1 n =1 Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau ∞ n2 + n ∞ n a) ∑ ( −1) 2 2 n ; b) ∑ sin n2 n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ ( ) n sin n c) sin π ( 2 + 3 ) (HTTĐ) d) ∑ n 3 (HTTĐ) n =1 n =1 Hng dn. ∞ n2 + n ∞ a) ∑ ( −1) 2 2 n n b) ∑ sin n2 n =1 n =1 ∞ n +) sinn 2 ∈ +) Xét ∑ 2n +) Không có lim sin n 2 = 0 n =1 n →∞ an +1 1 Thật vậy, phản chứng có lim sin n 2 = 0 +) lim =
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nhận xét. ∞ ∞ 1 ° / Nế u ∑ an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy ⇒ ∑ an phân kì n =1 n =1 ∞ ∞ 2° / ∑ an phân kì ⇒ ∑ an phân kì (đúng hay sai?) n =1 n =1 3. Chuỗi đan dấu ∞ ∑ ( −1) n −1 Định nghĩa. an , an > 0 được gọi là chuỗi đan dấu n =1 ∞ ∑ ( −1) n Chú ý. an , an > 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu. n =1 Định lí Leibnitz ∞ ∞ ∑ ( −1)n −1 an hội tụ và có ∑ ( −1) n −1 Dãy {an } giảm, an > 0 , lim an = 0 ⇒ an ≤ a1 n →∞ n =1 n =1 Chứng minh: +) n = 2m : • Có S2m = ( a1 − a2 ) + ( a3 − a4 ) + + ( a2m −1 − a2m ) ⇒ {S2m } tăng • S2m = a1 − ( a2 − a3 ) − ( a4 − a5 ) − − ( a2m − 2 − a2m −1 ) − a2m < a1 • Từ đó ∃ lim S2m = S và có S ≤ a1 m →∞ +) n = 2m + 1: • S2m +1 = S2m + a2m +1 • Do lim a2m +1 = 0 ⇒ lim S2m +1 = S . m →∞ m →∞ Định lí được chứng minh. Ví dụ 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau ∞ ( −1)n −1 ∞ ( ) a) ∑ (Bán HT) e) ( −1)n −1 3.5.7… 2n + 1 (HTTĐ) ∑ 2n − 1 n =1 2.5.8… ( 3n − 1) n =1 ∞ n −1 ∞ ( −1) ( ) b) ∑ (Bán HT) f) ∑ ( −1)n −1 1.4.7… 3n − 2 (PK) n =1 n n =1 7.9.11… ( 2n + 5 ) ∞ ( −1)n +1 ∞ 1 ∑ ( 2n − 1)3 ∑ ( −1) n −1 c) (HTTĐ) g) tan (HTTĐ) n =1 n =1 n n ∞ n −1 ∞ n2 ( −1) n d) ∑ 6 n − 5 (PK) h) ∑ ( −1) n +1 2 n! (PK) n =1 n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ∞ n n −1 ln n i) ∑ ( −1)n 2 2n + 1 (PK) m) ∑ ( −1) n (Bán HT) n =1 n =1 ∞ n ∞ ( n + 1) sin ( 2n β ) k) ∑ ( −1)n  n + 1  (PK) o) ∑ , β ∈ (HTTĐ) n =1 n + 2 n =1 3 7 n + 2n + 3 3 ∞ ∞ ( −1)n l) ∑ ( −1)n −1 ln2 n + 1 (HTTĐ) p) ∑ (Bán HT) n =1 n n =1 n − ln n Hng dn. ∞ ( −1)n −1 ( −1)n −1 n ∞ b) +) ∑ n là chuỗi đan dấu d) +) ∑ 6 n − 5 là chuỗi đan dấu n =1 n =1  1  1 n 1 ∞ n +)   n  giảm và có lim n →∞ n =0 +) lim n →∞ 6n − 5 = ⇒ 6 ∑ 6n − 5 phân kì n =1 +) Hội tụ theo Leibnitz n −1 n ∞ +) ∃ lim ( −1) 1 +) ∑ n phân kì ⇒ bán hội tụ ∞ n →∞ 6n − 5 n ∑ ( −1) n =1 n +) phân kì. n =1 6n − 5 4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ a) ∑ an = S ⇒ chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số hạng n =1 và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S ∞ ∞ b) Cho ∑ an = S , ∑ an phân kì ⇒ có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để n =1 n =1 chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì. ∞ ∞ Định nghĩa. Cho ∑ an , ∑ bn , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n =1 n =1  ∞  ∞  ∞ n  ∑  an  bn  =   ∑ ∑ c n , ở đó c n = ak bn +1− k ∑  n =1  n =1  n =1 k =1 ∞ ∞  ∞  ∞  c) ∑ an = S1, ∑  ∑  ∑ bn = S2 ⇒  an   bn  = S1 S2  n =1 n =1  n =1   n =1  ∞ ∞ 1 1 Ví dụ 3.a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau: n n và ∑ ∑ 2n −1 . n =1 n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  n ∞ 1 n+2−k  ∑∑ k −1 b) Xét sự hội tụ của chuỗi số  ( −1) tan .ln2   k k n + 1 − k  n =1  k =1  Hng dn. ∞ 1 a) +) ∑n n hội tụ tuyệt đối n =1 ∞ 1 +) ∑ 2n −1 hội tụ tuyệt đối n =1  ∞ 1  ∞ 1  +)   ∑ n n .  2 ∑  h ội t ụ n −1   n =1   n =1  HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.