PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 4
§ 5 Chui lu tha
• nh ngha • Các tính cht • Khai trin thành chui lu tha
•
••
• t vn 
1. nh ngha.
2
0 1 2
n
n
a a x a x a x
+ + + + +
(1)
Ký hiu là
0
n
n
n
a x
∞
=
, ó
n
a
là các s thc,
là bin s.
Ta bo chui lu tha hi t (phân k) ti
0
x
⇔
chui s
0
0
n
n
n
a x
∞
=
hi t (phân k),
chui
0
n
n
n
a x
∞
=
hi t trên khong
(
)
;
a b
⇔
chu
i s
0
0
n
n
n
a x
∞
=
h
i t
,
0
x
tu
ý
( ; )
a b
∈
.
Ví d 1.
2
0
1
n
n
x x x
∞
=
= + + +
ã bi
t h
i t
khi
1
x
<
, có
0
1
1
n
n
x
x
∞
=
=
−
Phân k
khi
1
x
≥
nh lí 1 (Abel).
0
n
n
n
a x
∞
=
h
i t
t
i
0
0
x
≠
h
i t
tuy
t

i t
i
0
:
x x x
<
Chng minh.
+)
0
1
n
n
n
a x
∞
=
h
i t
0
lim 0
n
n
n
a x
→∞
=
0 0
,
n
n
a x M n N
≤ ∀ ≥
+)
0 0
0 0
n n
n n
n n
x x
a x a x M
x x
= ≤
+)
0
1
x
x
<
0
1
n
n
x
M
x
∞
=
h
i t
(

nh lí so sánh 1)
0
n
n
n
a x
∞
=
h
i t
tuy
t

i
Nhn xét.
T

nh lí Abel suy ra: N
u
0
n
n
n
a x
∞
=
phân k
t
i
0
x
phân k
t
i
0
:
x x x
>
nh lý 2.
N
u
1
lim
n
nn
a
a
+
→∞
= ρ
(ho
c
lim
nn
n
a
→∞
= ρ
) thì bán kính h
i t
R
c
a chu
i lu
th
a
1
n
n
n
a x
∞
=
ư
c xác

nh b
i
1, 0
0,
, 0
R
< ρ < ∞
ρ
=
ρ = +∞
∞ ρ =
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Nhn xét.
• Quy
ư
c vi
t
0
R
=
kh
ng

nh 2),
R
= +∞
kh
ng

nh 3), t
ó có th
phát bi
u g
n

nh lý này nh
ư
sau:
Mi chui lu tha
0
n
n
n
a x
∞
=
u có mt bán kính hi
t
R
vi
0
R
≤ ≤ +∞
, khi ó chui hi t tuyt i vi
x R
<
và phân k vi
x R
>
.
• Cách tìm bán kính h
i t
R
:
1
lim
n
nn
a
Ra
→∞
+
= ho
c
1
lim
nn
n
R
a
→∞
=
Ví d 1.
Tìm kho
ng h
i t
c
a chu
i
2
1
n
n
x
n
∞
=
( )
2
2 2
1
1 1 1
:
1
n
n
an
a n
nn
+
+
= =
+
1
lim 1
n
nn
a
a
→∞ +
=
1
R
=
, chui hi t vi
1
x
<
, phân k vi
1
x
>
.
Ti
1
x
=
có
2
2 2
1
x
n n
=
, mt khác
2
1
1
n
n
∞
=
hi t, do ó chui lu tha hi t ti
1
x
=
.
Khong hi t là
[
]
1; 1
−
.
Ví d 2. Tìm khong hi t ca chui lu tha
0
2
3
n
n
n
n
x
∞
=
+
1
1
2 3 2
: 3
3
3 3
n
n n
n
an n n
a n
+
+
+ + +
= =
+
1
lim 3
n
nn
a
a
→∞ +
=
3
R
=
, chui hi t khi
3
x
<
, phân k khi
3
x
>
.
Ti
3
x
=
có
( )
0 0
2
n
n
n n
a x n
∞ ∞
= =
= +
phân k.
Ti
3
x
= −
có
( ) ( )
0 0
1 2
n
n
n
n n
a x n
∞ ∞
= =
= − +
phân k
Khong hi t:
(
)
3 ; 3
−
.
Ví d 3. Tìm khong hi t ca chui lu tha
0
1
n
n
x
n
∞
=
+
1
1 1 2
:
1 2 1
n
n
an
a n n n
+
+
= =
+ + +
1
lim 1
n
nn
a
a
→∞ +
=
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
1
R
=
, chui hi t vi
1
x
<
, phân k vi
1
x
>
Khi
1
x
=
có
1
1
1
nn
∞
=
+
phân k
Khi
1
x
= −
có
( )
1
1
1
n
nn
∞
=
−
+
là chui an du hi t
Khong hi t là
[ 1; 1)
−
.
Ví d 4. Tìm khong hi t ca chui lu tha:
( ) ( )
2
0
1
2 !
n
n
n
x
n
∞
=
−
.
Không th dùng ngay công thc vì mt na các h s ca chui bng
0
:
a
2n+1
= 0
t
y = x
2
có chui lu tha:
( )
( )
0
1
2 !
n
n
n
y
n
∞
=
−
Có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
1
1
2 1 !
1 1
: 2 1 2 2
2 ! 2 !
2 1 !
n n
n
n
n
an n
a n n
n
+
+
+
− −
= = = + +
+
1
lim
n
nn
a
a
→∞ +
= ∞
Kho
ng h
i t
:
(
)
,
−∞ ∞
Ví d 5.
Tìm mi
n h
i t
c
a chu
i lu
th
a
a)
( )
5
2
1
1
2 1
n
n
n
x
n
∞
=
+
+
(
1 1
x
− < <
) b)
!
1
n
n
x
∞
=
(
x
∈
) c)
( )
∞
=
+
2
1
2
n
n
n
x
n (
3 1
x
− ≤ ≤ −
)
d)
( )
( )
2
1
!
2 !
n
n
n
x
n
∞
=
(
4 4
x
− < <
) e)
( )
( ) ( )
2
1
3
1 ln 1
n
n
x
n n
∞
=
−
+ +
(
2 4
x
< <
)
f)
( )
2
1
1
1 1
n
n
n
x
n
∞
=
+ −
(
1 1
1 1x
e e
− < < +
)
g)
!
1
!
n
n
n x
∞
=
(
1 1
x
− < <
) h)
( )
1
2 1
2
0
2 3
13 4 1
n
n
n
nx
n n
∞+
−
=
+
−+ +
(
1
x
≤
)
i)
( )
1
2
2
0
2 3
13 4 5
n
n
n
n
x
n n
∞+
=
+
−+ +
(
1
x
≤
)
k)
( ) ( )
∞+
=
− +
+
1 2
2
1
3
1 1
1
n
n n
n
x
n (
1 1
1 ; 1
3 3
− − − +
)
l)
( )
( ) ( )
∞
=
−
+ +
2
1
1
1 ln 1
n
n
x
n n
(
0 2
x
< <
)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
m)
( )
∞
=
+ +
2
1
1
1 2
n
n
x
n
(
1 1
2 2
x
e e
− − < < − +
)
n)
( )
( ) ( )
∞
=
−
+ +
4
1
3
2 ln 1
n
n
x
n n
(
2 4
x
< <
)
o)
( )
( ) ( )
∞
=
−
+ +
2
1
4
1 ln 2
n
n
x
n n
(
3 5
x
< <
)
Nhn xét
( )
0
n
n
n
a x a
∞
=
−
(1)
ư
c g
i là chu
i lu
th
a t
i
x a
=
,
t
z = x – a
có
0
n
n
n
a z
∞
=
(2), tìm bán kính h
i t
R
c
a chu
i (2), thì có t
p h
i t
c
a chu
i (1), c
th
h
i t
v
i: –
R
<
x – a < R
hay
a – R < x < a + R
và phân k
v
i
x < a – R
, ho
c
x > a + R
;

nh
n
ư
c kho
ng h
i t
ta c
n xét t
i
x = a – R
và
x
= a + R
.
2. Các tính cht ca chui lu tha
a)
Chu
i lu
th
a
0
n
n
n
a x
∞
=
h
i t

u trên m
i
o
n
[
]
;
a b
n
m trong kho
ng h
i t
c
a nó.
b)
( )
0
, 0
n
n
n
a x S x x R
∞
=
= < ≠
(
)
S x
liên t
c trên kho
ng
(
)
;
R R
−
.
c)
( )
0
, 0
n
n
n
a x S x x R
∞
=
= < ≠
(
)
S x
kh
tích trên m
i
o
n
[
]
(
)
; ;
a b R R
⊂ −
và có
0 0
b b
n n
n n
n n
a a
a x dx a x dx
∞ ∞
= =
=
d)
( )
0
, 0
n
n
n
a x S x x R
∞
=
= < ≠
(
)
S x
kh
vi trên kho
ng
(
)
;
R R
−
và có:
( )
0 0
n n
n n
n n
d d
a x a x
dx dx
∞ ∞
= =
=
Nhn xét.
Th
c ch
t t
a) ta có:
( )
0 0
0 0
lim lim
n n
n n
x x x x
n n
a x a x
∞ ∞
→ →
= =
=
Ví d 1.
Tìm bi
u th
c chu
i lu
th
a c
a
(
)
ln 1
x
+
Mi
n xác

nh:
1
x
<
.
1
( )
1
f x
x
′=
+
,
ó

t f(x) = ln(1 + x)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
( ) ( )
0 0
1 1
( ) 1
1 1 ( )
n n
n
n n
f x x x
x x
∞ ∞
= =
′= = − = −
+ − −
( )
( )
0
0 0
1
x x
nn
n
f t dt t dt
∞
=
′= −
( )
( ) ( )
∞ ∞
+
= =
− = − = −
+
1
0 0
0
( ) 0 1 1
1
xn
n n
n
n n
x
f x f t dt n
Do
(
)
=
0 0
f nên có
( ) ( )
2 3 4
1
1
ln 1 1 , 1
2 3 4
n
n
n
x x x x
x x x
n
∞+
=
+ = − = − + − + <
Ví d 2.
Tìm bi
u di
!
n chu
i lu
th
a c
a hàm
1
tan
x
−

t
1
( ) tan , ( )
2 2
f x x f x
−
π π
= − < <
( ) ( )
( )
2
2 2
220 0
1
( ) 1
1 1
1 . , 1
11
nnn
n n
f x x
x x x
xx
∞ ∞
= =
′=+
= = − = − <
+− −
( ) ( )
∞
=
′= = −
+
2
2
0
0 0 0
1
1
x x x
nn
n
dt
f t dt t dt
t
( ) ( )
∞ ∞
+
= =
= − = −
+
2 1
2
0 0
0
1 1
2 1
xn
n n
n
n n
x
t dt n
( )
2 1
1 1
0
tan tan 0 1
2 1
n
n
n
x
xn
∞
+
− −
=
− = −
+
= − + − + <
3 5 7
, 1
3 5 7
x x x
x x
1
tan
x
−
3 5 7
, 1
3 5 7
x x x
x x
= − + − + <
Ví d 3. Tính t"ng
1
n
n
x
n
∞
=
Có
R
= 1, chui hi t vi |
x
| < 1
t
1
( )
n
n
x
f x
n
∞
=
=
có
11
1 1
1
( ) 1
nn
n n
x
f x n x
n x
∞ ∞
−−
= =
′= = =
−
′
= <
−
0 0
( ) 1
1
x x
dt
f t dt x
t
(
)
(
)
− = − − <
( ) 0 ln 1 , 1
f x f x x
(
)
( ) ln 1 , 1
f x x x
= − − <