zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

119
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 4 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa. Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa về chuỗi lũy thừa, các tính chất của chuỗi lũy thừa và cách khai triển thành chuỗi luỹ thừa. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 4 § 5 Chuỗi luỹ thừa • Định nghĩa • Các tính chất • Khai triển thành chuỗi luỹ thừa • Đặt vấn đề 1. Định nghĩa. a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n + (1) ∞ Ký hiệu là ∑ an x n , ở đó an là các số thực, x là biến số. n =0 ∞ Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ (phân kỳ) tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ an x0n hội tụ (phân kỳ), n =0 ∞ ∞ chuỗi ∑ an x n hội tụ trên khoảng ( a ; b ) ⇔ chuỗi số ∑ an x0n hội tụ, x0 tuỳ ý ∈ (a; b ) . n =0 n =0 ∞ Ví dụ 1. ∑ xn = 1+ x + x2 + n =0 ∞ 1 Đã biết hội tụ khi x < 1, có ∑ xn = 1− x n =0 Phân kỳ khi x ≥ 1 ∞ Định lí 1 (Abel). ∑ an x n hội tụ tại x0 ≠ 0 ⇒ hội tụ tuyệt đối tại x : x < x0 n =0 ∞ Chứng minh. +) ∑ an x0n hội tụ ⇒ nlim →∞ an x0n = 0 ⇒ an x0n ≤ M, ∀ n ≥ N0 n =1 n n  x  x +) an x0n = an x0n x  ≤ M  0 x0 ∞ n ∞ x x +) x0 x0 n =0 an +1 Định lý 2. Nếu lim = ρ (hoặc lim n an = ρ) thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ n →∞ an n →∞ 1 ∞ ρ , 0
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nhận xét. • Quy ước viết R = 0 ở khẳng định 2), R = +∞ ở khẳng định 3), từ đó có thể ∞ phát biểu gọn định lý này như sau: Mọi chuỗi luỹ thừa ∑ an x n đều có một bán kính hội n =0 tụ R với 0 ≤ R ≤ +∞ , khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với x < R và phân kỳ với x > R . an 1 • Cách tìm bán kính hội tụ R : R = lim hoặc R = lim n →∞ an +1 n →∞ n a n ∞ xn Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi ∑ n2 n =1 2 an 1 1  n + 1 = 2: 2 =  an +1 n ( n + 1)  n  an lim =1 n →∞ an +1 R = 1, chuỗi hội tụ với x < 1, phân kỳ với x > 1. ∞ x2 1 1 Tại x = 1 có n 2 = n 2 , mặt khác ∑ n2 hội tụ, do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại x = 1. n =1 Khoảng hội tụ là [ −1; 1] . ∞ n+2 Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ∑ 3n xn n =0 an n+2 n+3 n+2 = : =3 an +1 3n 3n +1 n+3 an lim =3 n →∞ an +1 R = 3 , chuỗi hội tụ khi x < 3 , phân kỳ khi x > 3 . ∞ ∞ Tại x = 3 có ∑ an x n = ∑ ( n + 2) phân kỳ. n =0 n =0 ∞ ∞ ∑ an x n = ∑ ( −1) n Tại x = −3 có ( n + 2) phân kỳ n =0 n =0 Khoảng hội tụ: ( −3 ; 3 ) . ∞ xn Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa n +1 ∑ n =0  an  1 1 n+2  = : =  an +1  n + 1 n + 2 n + 1  a  lim  n  = 1 n →∞  an +1 
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn R = 1, chuỗi hội tụ với x < 1, phân kỳ với x > 1 ∞ 1 Khi x = 1 có ∑ n + 1 phân kỳ n =1 ∞ ( −1)n Khi x = −1 có ∑ n +1 là chuỗi đan dấu hội tụ n =1 Khoảng hội tụ là [ −1; 1) . ∞ x 2n ∑ n Ví dụ 4. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa: ( −1) . n =0 ( 2n ) ! Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0 : a2n+1 = 0 n ∞ Đặt y = x có chuỗi luỹ thừa: ∑ 2 ( −1) n y n =0 ( 2 n ) ! n n +1 an ( −1) : ( −1) ( 2 ( n + 1) ) ! = 2n + 1 2n + 2 Có = = ( )( ) an +1 ( 2n ) ! ( 2 ( n + 1) ) ! ( 2n ) ! an lim =∞ n →∞ an +1 Khoảng hội tụ: ( −∞, ∞ ) Ví dụ 5. Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 2 ∞ ( n + 1)5 2n ∞ ∞ ( x + 2 )n a) ∑ 2n + 1 x ( −1 < x < 1 ) b) ∑ xn! (x ∈) c) ∑ nn ( −3 ≤ x ≤ −1 ) n =1 n =1 n =1 ∞ 2 ∞ 2n ( n !) ( x − 3) d) ∑ ( 2n ) ! x n ( −4 < x < 4 ) e) ∑ ( n + 1) ln ( n + 1) ( 2 < x < 4 ) n =1 n =1 2 ∞ n  1 ( x − 1)n (1 − 1 < x < 1 + 1 ) f) ∑ 1 +   n e e n =1 ∞ ∞ 2n + 3 g) ∑ n! x n! ( −1 < x < 1 ) h) ∑ ( −1)n +1 2 3n + 4n + 1 x 2n −1 ( x ≤ 1) n =1 n =0 ∞ 2n + 3 ∑ ( −1) n +1 i) 2 x 2n ( x ≤ 1 ) n =0 3n + 4n + 5 ∞ n n +1 3  1 1  k) ∑ ( −1) 2 n +1 ( x + 1)2n (  −1 −  3 ; − 1+ 3  ) n =1 ∞ ( x − 1)2n l) ∑ ( n + 1) ln ( n + 1) (0 < x < 2 ) n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n2  1 ( x + 2 ) n ( −2 − 1 < x < −2 + 1 ) m) ∑1 +   n e e n =1 ∞ ( x − 3 )4n n) ∑ ( n + 2 ) ln ( n + 1) (2 < x < 4) n =1 ∞ ( x − 4 )2 n o) ∑ ( n + 1) ln ( n + 2 ) (3 < x < 5 ) n =1 Nhận xét ∞ ∑ an ( x − a ) n (1) được gọi là chuỗi luỹ thừa tại x = a , n =0 ∞ Đặt z = x – a có ∑ an zn (2), tìm bán kính hội tụ R c ủa chuỗi (2), thì có tập hội tụ n =0 của chuỗi (1), c ụ thể hội tụ với: –R < x – a < R hay a – R < x < a + R và phân k ỳ với x < a – R, hoặc x > a + R; để nhận được khoảng hội tụ ta c ần xét tại x = a – R và x = a + R. 2. Các tính chất của chuỗi luỹ thừa ∞ a) Chuỗi luỹ thừa ∑ an x n hội tụ đều trên mọi đoạn [a ; b] nằm trong khoảng hội tụ của nó. n =0 ∞ b) ∑ an x n = S ( x ) , x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) liên tục trên khoảng ( −R ; R ) . n =0 ∞ c) ∑ an x n = S ( x ) , x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) khả tích trên mọi đoạn [a ; b ] ⊂ ( −R ; R ) và có n =0 b  ∞  ∞ b  ∫ ∑ ∑ ∫ an x n dx  n  an x  dx =     a  n =0  n =0  a  ∞ d) ∑ an x n = S ( x ) , x < R ≠ 0 ⇒ S ( x ) khả vi trên khoảng ( −R ; R ) và có: n =0 d   ∞ ∞ d   ∑ dx  n = 0 n an x  =  ∑ ( an x n )  n = 0 dx  ∞  ∞ Nhận xét. Thực chất từ a) ta có: lim  x → x0  n an x  =  ∑ ∑ lim an x n ( )  n =0  n = 0 x → x0 Ví dụ 1. Tìm biểu thức chuỗi luỹ thừa của ln (1 + x ) Miền xác định: x < 1. 1 f ′( x ) = , ở đó đặt f(x) = ln(1 + x) 1+ x
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ∞ 1 1 f ′( x ) = = x + 1 1 − (− x ) n =0 ∑ ( − x )n = ( −1)n x n ∑ n =0 x x  ∞  ∫ ∫∑ n f ′ ( t ) dt =  ( −1) t n  dt   0 0  n =0  ∞ x ∞ x n +1 ∑∫ ( −1)n t n  dt = ∑ n f ( x ) − f (0) =   ( −1) n =0 0 n =0 n +1 ∞ xn x2 x3 x 4 ∑ ( −1) n +1 Do f ( 0 ) = 0 nên có ln (1 + x ) = =x− + − + , x
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 Ví dụ 4. Biểu diễn chuỗi luỹ thừa của hàm (1 − x )2 d  1  d   ∞ ∞ ∞ 1 (1 − x ) 2 =   =  n x  = dx  1 − x  dx  n = 0  n =1 ∑ nx n −1 = ( ∑ n + 1) x n , ∑ x 1) n =1 2n − 1 2 1− x n =1 ( x − 1)2 ∞ 2n − 1 c) ∑ 2n (3 ) n =1 ∞ ( x − 1)3n + 2 1 x 1 2x − 3 π  ∑ n d) ( −1) ( ( x − 1)  ln 2 + arctan +  , 0 < x ≤ 2) n =0 3 n + 1  3 x − 3x + 3 3 3 6 3  ∞ 3n + 2 n ( x + 1) 1 x+2 1 2x + 1 π  e) ∑ ( −1 ) 3 n + 1 ( ( x + 1)  ln 3 2 + 3 arctan 3 + 6 3  , −2 < x < 0 ) n =0  x + x +1  ∞ n − 1 ( −1) f) ∑ n ( x + 1)n (ln x + 2 , −2 < x < 0 ) n =1 ∞ x2 − 1 ∑ ( −1) n −1 n g) ( n + 1) ( x − 1) ( , 0 < x < 2) n =1 x2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ( −1)n 1 1 π  h) ∑ ( 3 n + 1) 23n + 2 ( 2   3 ln3 + 6 3 )  n =0 ∞ ∞ n +1 n +1 9 k1) ∑ 2n (4) k2) ∑ 3n ( ) 4 n =0 n =0 ∞ 1 ( −1)n +1 ∞ 3 k3) ∑ ( n + 1) 2 n +1 (ln 2 ) k4) ( ∑ n + 1) 3 n +1 ( ln 4 ) n =0 n =0 Hng dn. ∞ x x 1 1 ∑ ( −1) ∫ ∫ 1 + t 2 dt n 2n a) +) R = 1 +) S′ ( x ) = x = +) S′ ( t ) dt = n =0 1+ x2 0 0 +) S ( x ) − S ( 0 ) = arctan x ⇒ S ( x ) = arctan x ∞ c) +) Xét chuỗi S ( x ) = 1 ( 2n − 1) x 2n − 2 có S  1  = A ∑ 2 n =1  2 d  ∞ 2n −1  1 d  x  1 1 + x 2  1  +) R = 1 +) S ( x ) =  dx  n =1 x ∑ =   = .  2 dx  1 − x 2  2 ( 2) 2 +) S   2 =3   1− x 3. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa ∞ (n) f ( x0 ) Định nghĩa. ∑ n! ( x − x0 )n được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f ( x ) tại lân cận n =0 đi ểm x 0 . ∞ f ( n ) (0) n Nếu x0 = 0 ta có ∑ n ! x được gọi là chuỗi MacLaurin của hàm số f ( x ) . n =0 ∞ f ( n ) (0) n Định nghĩa. Nếu n ∑! x = f ( x ) ta bảo hàm số f ( x ) được khai triển thành chuỗi n =0 Taylor Định lí 3. f ( x ) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của x0 , lim Rn ( x ) = 0 , n →∞ ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 )n +1 , ξ ở giữa x0 và x (n + 1)! ∞ f ( n ) ( x0 ) ⇒ f (x) = ∑ n! ( x − x0 )n n =0 Định lí 4. f ( x ) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận nào đó của điểm x0 ; f ( n ) (ξ) ≤ M , ∀ ξ thuộc lân cận của x0 nói trên ∞ f ( n ) ( x0 ) ⇒ f (x) = ∑ n! ( x − x0 )n . n =0
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chú ý. • Có hàm khả vi vô hạn không được khai triển thành chuỗi Taylor, ví dụ  −1  2 f ( x ) = e x , x≠0  x =0 0, ⇒ f ( ) (0) = 0 , n tự nhiên bất kỳ n Thật vậy có ngay 1 − x2 1 f ( x ) − f (0) e −0 t 1 f ′ ( x ) = lim = lim = lim x = lim 2 = lim = 0. x →0 x −0 x →0 x x →0 1 t →∞ t t →∞ 2t et e ex Từ đó có đạo hàm mọi cấp tại x = 0 cũng bằng 0. Chuỗi Taylor của hàm f(x) là 0 + 0 + 0 + 0 + .... Chuỗi này hội tụ, chúng hội tụ về 0 Nên f(x) nói trên không được khai triển thành chuỗi Taylor f ( n +1) (ξ) n +1 • Số dư Rn ( x ) = x nhận được do sử dụng định lý Rolle ( n + 1) ! HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.