ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LIÊN VƯƠNG LÂM
Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản
Quảng Ngãi - 2013
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN
LIÊN VƯƠNG LÂM
Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản
Quảng Ngãi- 2013
Mục lục
Mở đầu v
1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1
1.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Các định nghĩa và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Bài toán Cauchy và ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Phương trình chuyển về biến số phân ly được . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Phương pháp Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3 Phương pháp thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Phương trình vi phân Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
i
ii
1.8 Phương trình vi phân Dacbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Phương trình vi phân Ricati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM 28
2.1 Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm dạng đặc biệt . . . . 28
2.1.1 Phương trình dạng dy
dx
✏
fi
♣
x, y
q
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Phương trình dạng F
♣
x, y
✶
q ✏
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Phương trình không chứa biến số độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Phương trình Lagrange và phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 36
3.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n............ 38
3.3 Tích phân trung gian- tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất. . . . 40
3.4.2 Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp nvà cấp
♣
n
✁
1
q
.......... 42
3.5 Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.1 Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm của nó đến
cấp k. .................................... 44
3.5.2 Phương trình không chứa biến số độc lập. . . . . . . . . . . . . . . . 45
iii
4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n48
4.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n..... 49
4.3 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n............... 53
4.3.1 Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP nDẠNG ĐẶC BIỆT 59
5.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1.1 Phương trình đặc trưng có nnghiệm thực khác nhau . . . . . . . . . . 60
5.1.2 Phương trình đặc trưng có nnghiệm khác nhau và có nghiệm phức . . 61
5.1.3 Phương trình đặc trưng có nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.4 Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . 62
5.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai y
✷
p
♣
x
q
y
✶
q
♣
x
q
y
✏
0. . . . . . 67
5.2.1 Đưa phương trình về dạng không chứa đạo hàm cấp một. . . . . . . 67
5.2.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai tự liên hợp . . . . . . . . 68
5.3 Sự giao động của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . 70
6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 75
6.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.1 Hệ phương trình- nghiệm của hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . 75
6.1.2 Ý nghĩa cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 Mối quan hệ giữa phương trình vi phân cấp nvà hệ nphương trình vi phân
cấpmột ....................................... 78
6.2.1 Chuyển PTVP cấp nvề hệ nphương trình vi phân cấp một . . . . . 78
6.2.2 Chuyển hệ nphương trình vi phân cấp một về PTVP cấp n...... 78
6.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 81