Bài giảng Phương trình vi phân - ĐH Phạm Văn Đồng

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG<br /> <br /> BÀI GIẢNG<br /> PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN<br /> <br /> LIÊN VƯƠNG LÂM<br /> <br /> Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản<br /> Quảng Ngãi - 2013<br /> <br /> ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG<br /> <br /> BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH<br /> VI PHÂN<br /> <br /> LIÊN VƯƠNG LÂM<br /> <br /> Tổ Toán- Lý- Khoa Cơ Bản<br /> Quảng Ngãi- 2013<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> Mở đầu<br /> <br /> v<br /> <br /> 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Các định nghĩa và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1.1.2<br /> <br /> Định nghĩa phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.1.3<br /> <br /> Bài toán Cauchy và ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Các loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.3.1<br /> <br /> Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.3.2<br /> <br /> Nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 7<br /> <br /> 1.3.3<br /> <br /> Nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.4.1<br /> <br /> Phương trình biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.4.2<br /> <br /> Phương trình chuyển về biến số phân ly được . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br /> <br /> 1.6<br /> <br /> Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br /> <br /> 1.7<br /> <br /> 1.6.1<br /> <br /> Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br /> <br /> 1.6.2<br /> <br /> Phương pháp Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br /> <br /> 1.6.3<br /> <br /> Phương pháp thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br /> <br /> Phương trình vi phân Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br /> <br /> i<br /> <br /> ii<br /> 1.8<br /> <br /> Phương trình vi phân Dacbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br /> <br /> 1.9<br /> <br /> Phương trình vi phân Ricati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br /> <br /> 1.10 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br /> 1.11 Thừa số tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br /> 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CHƯA GIẢI RA ĐẠO HÀM<br /> 2.1<br /> <br /> Các phương trình vi phân cấp một chưa giải ra đạo hàm dạng đặc biệt . . . . 28<br /> 2.1.1<br /> 2.1.2<br /> 2.1.3<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> 28<br /> <br />  fi px, yq<br /> Phương trình dạng F px, y 1 q  0<br /> <br /> Phương trình dạng<br /> <br /> dy<br /> dx<br /> <br /> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br /> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br /> <br /> Phương trình không chứa biến số độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br /> <br /> Phương trình Lagrange và phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br /> 2.2.1<br /> <br /> Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br /> <br /> 2.2.2<br /> <br /> Phương trình Clero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br /> <br /> 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO<br /> <br /> 36<br /> <br /> 3.1<br /> <br /> Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br /> <br /> 3.2<br /> <br /> Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br /> 3.2.1<br /> <br /> Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br /> <br /> 3.2.2<br /> <br /> Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . 38<br /> <br /> 3.3<br /> <br /> Tích phân trung gian- tích phân đầu<br /> <br /> 3.4<br /> <br /> Phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương . . . . . . . . . . . 40<br /> <br /> 3.5<br /> <br /> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br /> <br /> 3.4.1<br /> <br /> Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất. . . . 40<br /> <br /> 3.4.2<br /> <br /> Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp pn
1q. . . . . . . . . . 42<br /> <br /> Phương trình vi phân cấp cao hạ cấp được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br /> 3.5.1<br /> <br /> Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm của nó đến<br /> cấp k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br /> <br /> 3.5.2<br /> <br /> Phương trình không chứa biến số độc lập. . . . . . . . . . . . . . . . 45<br /> <br /> iii<br /> 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP n<br /> <br /> 48<br /> <br /> 4.1<br /> <br /> Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br /> <br /> 4.2<br /> <br /> Lý thuyết tổng quát về phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n<br /> <br /> 4.3<br /> <br /> Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n<br /> <br /> . . . . . 49<br /> <br /> . . . . . . . . . . . . . . . 53<br /> <br /> 4.3.1<br /> <br /> Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br /> <br /> 4.3.2<br /> <br /> Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br /> <br /> 5 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP n DẠNG ĐẶC BIỆT<br /> 5.1<br /> <br /> 5.2<br /> <br /> Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . 59<br /> 5.1.1<br /> <br /> Phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác nhau . . . . . . . . . . 60<br /> <br /> 5.1.2<br /> <br /> Phương trình đặc trưng có n nghiệm khác nhau và có nghiệm phức . . 61<br /> <br /> 5.1.3<br /> <br /> Phương trình đặc trưng có nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br /> <br /> 5.1.4<br /> <br /> Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . 62<br /> <br /> Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai y 2<br /> 5.2.1<br /> 5.2.2<br /> <br /> 5.3<br /> <br /> ppxqy 1<br /> <br /> q pxqy<br /> <br />  0. .<br /> <br /> Đưa phương trình về dạng không chứa đạo hàm cấp một.<br /> <br /> . . . . 67<br /> <br /> . . . . . . 67<br /> <br /> Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai tự liên hợp . . . . . . . . 68<br /> <br /> Sự giao động của nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai<br /> <br /> . . . . . . . . . . 70<br /> <br /> 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN<br /> 6.1<br /> <br /> 6.2<br /> <br /> 59<br /> <br /> 75<br /> <br /> Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br /> 6.1.1<br /> <br /> Hệ phương trình- nghiệm của hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . 75<br /> <br /> 6.1.2<br /> <br /> Ý nghĩa cơ học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br /> <br /> Mối quan hệ giữa phương trình vi phân cấp n và hệ n phương trình vi phân<br /> cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br /> 6.2.1<br /> <br /> Chuyển PTVP cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một . . . . . 78<br /> <br /> 6.2.2<br /> <br /> Chuyển hệ n phương trình vi phân cấp một về PTVP cấp n . . . . . . 78<br /> <br /> 6.3<br /> <br /> Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br /> <br /> 6.4<br /> <br /> Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br /> <br /> 6.5<br /> <br /> Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br /> <br />