intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 7 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
196
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 7 cung cấp cho người học những kiến thức về phương trình vi phân cấp một như: Phương trình vi phân phân li biến số, phương trình thuần nhất (đẳng cấp), phương trình tuyến tính, phương trình Bernoulli, phương trình vi phân toàn phần,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 7 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

  1. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 7 §2. Phương trình vi phân cấp một (TT) 3. Phương trình vi phân phân li biến số a) Định nghĩa. f(y) dy = g(x) dx b) Cách giải. ∫ f ( y ) dy = ∫ g ( x ) dx F ( y ) = ∫ g ( x ) dx dy Ví dụ 1. 1°/ 2 x = 1 − y2 dx dy dx dy dx +) 1 − y2 = 2 x , |y| < 1, x > 0 +) ∫ 1 − y2 = ∫ 2 x +) sin−1y = x + C +) y = sin ( x + C ) +) y = ± 1 là nghiệm 2°/ y' = 1 + x + y + xy dy +) y' = (1 + x)(1 + y) +) = (1 + x ) (1 + y ) dx dy x2 +) = ( 1 + x ) dx , y ≠ −1, ln 1 + y = x + +C 1+ y 2 +) y = −1 là nghiệm kì dị 3°/ ( xy 2 + x ) dx + ( y − x 2 y ) dy = 0 (1 + y 2 = C (1 − x 2 ) ) 4°/ tan x sin2 y dx + cos2 x cot y dy = 0 ( cot 2 y = tan2 x + C ) Cx 5°/ y − xy ′ − a ( 1 + x 2 y ) = 0 (y = a + ) 1 + ax 6°/ x + xy + y ′ ( y + xy ) = 0 ( x + y = ln ( C( x + 1) ) ( y + 1) ) 7°/ y ′ = ( x + y )2 ( arctan ( x + y ) = x + C ) 8°/ (2 x − y )dx + (4 x − 2y + 3)dy = 0 ( 5 x + 10 y + C = 3 ln ( 10 x − 5 y + 6 ) ) 9° / y ′ = 4 x + 2y − 1 ( 4 x + 2y − 1 − 2 ln ( 4 x − 2y + 1 + 2 ) = x + C ) c) Một số ứng dụng 1°/ Sinh trưởng tự nhiên và thoái hoá dP • Sự tăng dân số: = ( β − δ ) x , β là tỉ lệ sinh, δ là tỉ lệ chết dt dA 2°/ Lãi luỹ tiến = rA dt A là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t, tính theo năm r là tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm. dN 3°/ Sự phân rã phóng xạ = −kN , k phụ thuộc vào từng loại đồng vị phóng xạ dt
  2. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn dA 4°/ Giải độc = −λ A , λ là hằng số giải độc của thuốc dt dx 5°/ Phương trình tăng trưởng tự nhiên = kx dt dT 6°/ Quá trình nguội đi và nóng lên = k ( A − T ) , k là hằng số dương, A là nhiệt độ dt của môi trường Ví dụ 2. Một miếng thịt 4-lb có nhiệt độ ban đầu là 500 F, được cho vào một cái lò 3750 F vào lúc 5 giờ chiều. Sau 75 phút người ta thấy nhiệt độ miếng thịt là 1250 F. Hỏi tới khi nào miếng thịt đạt nhiệt độ 1500 F (vừa chín tới)? dT • = k (375 − T ) , T (0) = 50 , T (75) = 125 dt dT • ∫ 375 − T ∫ = kdt ⇒ 375 − T = Be − kt • Thay T(0) = 50, T(75) = 125 ⇒ B = 325, k ≈ 0,0035 • t ≈ 105 phút tức vào lúc khoảng 6h45’. dy 7°/ Quy luật Torricelli A ( y ) = −a 2gy , ở đó v là thể tích nước trong thùng, A(y) là dt diện tích tiết diện thẳng nằm ngang của bình ở độ cao y so với đáy, 2gy là tốc độ nước thoát ra khỏi lỗ hổng Ví dụ 3. Một cái bát dạng bán cầu có bán kính miệng bát là 4ft được chứa đầy nước vào thời điểm t = 0. Vào thời điểm này, người ta mở một lỗ tròn đường kính 1 inch ở đáy bát. Hỏi sau bao lâu sẽ không còn nước trong bát? • A(y) = πr2 = π(8y − y2), 2 2 dy  1  • π(8y − y ) = −π   2.32y ; dt  24  3 5 16 2 1 • y2 − y2 = − t + C. 3 5 72 448 • y(0) = 4 ⇒ C = . 15 Tháo nước từ một bát bán cầu • t ≈ 2150 (s ); tức là khoảng 35 phút 50 giây. x +y x −y 9 x Ví dụ 4. y ′ + sin = sin , y (π ) = π ( C = 2, ln tan = 2 − 2 sin ) 2 2 4 2 4. Phương trình thuần nhất (đẳng cấp) a) Đặt vấn đề • Nhiều ứng dụng dẫn đến các phương trình vi phân không phân li • Chẳng hạn, một máy bay xuất phát từ điểm (a ; 0) đặt ở đúng phía Đông của nơi nó đến, là một sân bay đặt tại gốc tọa độ (0 ; 0). Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi v0 liên quan đến gió, mà thổi theo đúng hướng Nam với vận tốc không đổi w. Như đã thể hiện trong Hình vẽ, ta giả thiết rằng phi công luôn giữ hướng bay về phía gốc tọa độ.
  3. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Máy bay hng v gc Đường bay y = f(x) của máy bay thỏa mãn phương trình vi phân dy = 1 dx v 0 x ( v0y − w x 2 + y 2 ) dy y b) Định nghĩa. =F  (1) dx x c) Cách giải y dy dv • Đặt v = ⇒ =v +x x dx dx dv • Biến đổi (1) thành phương trình phân ly: x = F (v ) − v . dx Ví dụ 1 dy 4 x 2 + 3 y 2 1°/ Giải phương trình: = dx 2 xy dy  x  3 y  y 1 x dy dv • = 2  +   •v= ⇒ = , y = vx ⇒ =v +x dx  y  2 x  x v y dx dx dv 2 3 dv 2 v v 2 + 4 • v+x = + v • x = + = ; dx v 2 dx v 2 2v 2v 1 • ∫ 2 v +4 dv = x∫dx ⇒ ln(v 2 + 4) = ln x + ln C. y2 • v + 4 = C x ⇒ 2 + 4 = C x ⇒ y 2 + 4 x 2 = kx 3 . 2 x 2°/ Giải: xy y' = x + y3 2 3 x2 y +) y = 0 không là nghiệm +) y ≠ 0; y ′ = + y2 x y 1 +) u = ⇒ y = xu ⇒ y' = u + xu' +) u + xu′ = u + x u2 +) u3 = 3 ln |x| + C ⇒ y3 = x3 (3 ln |x| + C) 3°/ (x + 2y)dx − x dy = 0 ( x + y = Cx 2 ) x 2 y 4°/ (x − y)y dx = x dy (x = Ce ) 5° / 2 x 3 y ′ = y ( 2 x 2 − y 2 ) ( x = ± y ln Cx )
  4. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x+y 6°/ xy ′ − y = ( x + y ) ln ( y = − x ln ln Cx ) x x 2 2 2 − 7°/ (3y + 3xy + x )dx = (x + 2xy)dy ((x + y )2 = 3 Cx e x + y ) 1 − 3 x − 3y 8°/ y ′ = ( (3 x + y + 2 ln x + y − 1 = 0 ) 1+ x + y 9°/ (2 x − y + 4)dx + ( x − 2y + 5)dy = 0 ( ( x + y − 1)3 = C( x − y + 3) ) 2 10°/ y ′ = y 2 − 2 ( 1 − xy = Cx 3 (2 + xy ), xy = −2 ) x y Ví dụ 2. 1°/ xy ′ − y = y (ln y − ln x ) , y(1) = e ( x = ln ) x x y 2°/ ( x 2 − y 2 )dy = 2 xydx ( y = 0, x ′ = − , đẳng cấp) 2y 2 x 3°/ y 2dx = ( xy − x 2 )dy ( ey / x = Cy , y = 0, x = 0 ) 4°/ ( x − y )ydx = x 2dy ( y = x ( ln Cx )−1 , y = 0, x = 0 ) 5°/ xy ′ − y = x 2 + y 2 , y (1) = 0 ( y + x 2 + y 2 = Cx 2, C = 1) 5. Phương trình tuyến tính a) Đặt vấn đề • Phương trình đại số tuyến tính cấp một ax = b luôn giải được • Liệu có thể xây dựng được cách giải đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một hay không? dy b) Định nghĩa. + p(x) y = q(x) hoặc x ′ + p( y )x = q( y ) (1) dx c) Phương pháp giải • Tính thừa số tích phân ρ ( x ) = e ∫ p( x )dx , • Nhân hai vế của phương trình vi phân với ρ(x), • Đưa vế trái của phương trình được xét về dạng đạo hàm của một tích: Dx ( ρ ( x )y ( x ) ) = ρ ( x )q( x ). • Tích phân phương trình này ∫ ρ ( x )y ( x ) = ρ ( x )q( x )dx + C, rồi giải theo y để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. dy 11 Ví dụ 1. 1°/ Giải bài toán giá trị ban đầu − y = e − x / 3, y (0) = −1. dx 8 , thừa số tích phân là ρ ( x ) = e ∫ 11 − x / 3 ( −1)dx • Có p(x) = –1 và q(x) = e = e− x . 8 dy 11 • Nhân cả hai vế của phương trình đã cho với e–x được e − x − e − x y = e −4 x / 3 dx 8
  5. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn d −x 11 • (e y ) = e −4 x / 3 dx 8 11 −4 x / 3 33 • e− x y =∫ 8 e dx = − e −4 x / 3 + C, 32 33 − x / 3 • y ( x ) = Ce x − e . 32 • Thay x = 0 và y = –1 vào ta có C = 1/32, nghiệm riêng cần tìm là 1 x 33 − x / 3 1 x y(x) = e − e = (e − 33e − x / 3 ). 32 32 32 −3x 2°/ Giải phương trình y' + 3y = 2x.e +) ρ = e ∫ 3dx +) p = 3, q = 2x.e−3x = e3x d +) e3x (y' + 3y) = 2x +) ( y .e3 x ) = 2x dx +) y.e3x = x2 + C ⇒ y = (x2 + C)e−3x dy 3°/ Giải: ( x + y .e y ) =1 dx +) ρ = e ∫ = e − y dx − dy +) − x = y .e y dy d ( −y ) +) e−y(x' − x) = y +) xe =y dx 1 2 1  +) xe − y = y + C ⇒ x =  y 2 + C  ey 2 2  4°/ y ′(2 x + 1) = 4 x + 2y ( y = (2 x + 1)(C + ln 2 x + 1 + 1) 5°/ y = x ( y ′ − x cos x ) ( y = x (C + sin x ) ) 6°/ ( x + y 2 )dy = y dx ( x = y 2 + Cy ) 1 7°/ y 2dx − (2 xy + 3)dy = 0 ( x = Cy 2 − ) y 8°/ (1 + y 2 )dx = ( ) 1 + y 2 sin y − xy dy ( x 1 + y 2 + cos y = C ) 9°/ (2 x + y )dy = y dx + 4 ln y dy ( x = 2 ln y − y + 1 + Cy 2 ) ĐỊNH LÝ 1. Phương trình tuyến tính cấp một Nếu hàm p(x) và q(x) liên tục trên một khoảng mở I chứa điểm x0, thì bài toán giá trị ban đầu dy + p(x)y = q(x), y(x0) = y0 (2) dx có nghiệm duy nhất y(x) trên I, cho bởi công thức − p( x )dx  ∫ p( x )dx ) dx + C  y(x) = e ∫  ( ∫ q ( x )e  (3)   với một giá trị C thích hợp.
  6. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chú ý: • Định lý 1 cho ta biết mọi nghiệm của phương trình (1) đều nằm trong nghiệm tổng quát cho bởi (3). Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp một không có các nghiệm kì dị. • Giá trị thích hợp của hằng số C–cần để giải bài toán giá trị ban đầu với phương trình (2) – có thể chọn “một cách tự động” bằng cách viết x  t  − ∫ p( t ) dt ∫ p(u ) du  x  y ( x ) = e x0  ∫  y 0 + e x0 .q(t ) dt    x0  Các cận x0 và x nêu trên đặt vào các tích phân bất định trong (3) đảm bảo trước cho ρ(x0) = 1 và vì thế y(x0) = y0. Ví dụ 2. Giả sử hồ Erie có thể tích 480 km3 và vận tốc của dòng chảy vào (từ hồ Huron) và của dòng chảy ra (vào hồ Ontario) đều là 350 km3/năm. Giả sử tại thời điểm t = 0 (năm), nồng độ ô nhiễm của hồ Erie – mà nguyên nhân là ô nhiễm công nghiệp và nay đã được giảm bớt – bằng 5 lần so với hồ Huron. Nếu dòng chảy ra đã được hoà tan hoàn toàn với nước hồ, thì sau bao lâu nồng độ ô nhiễm của hồ Erie sẽ gấp 2 lần hồ Huron? dx r • Phương trình vi phân cấp 1: = rc − x dt V dx • Ta viết lại nó theo dạng tuyến tính cấp 1: + px = q dt với hệ số hằng p = r / V , q = rc và nhân tử tích phân ρ = e pt . • x(t ) = cV + 4cVe −rt / V . • Để xác định khi nào x(t)=2cV, ta cần giải phương trình: V 480 cV + 4cVe − rt / V = 2cV ; t = ln 4 = ln 4 ≈ 1,901 (năm). r 350 Ví dụ 3. Một bình dung tích 120 gallon (gal) lúc đầu chứa 90 lb (pao-khoảng 450g) muối hoà tan trong 90 gal nước. Nước mặn có nồng độ muối 2 lb/gal chảy vào bình với vận tốc 4 gal/phút và dung dịch đã được trộn đều sẽ chảy ra khỏi bình với vận tốc 3 gal/phút. Hỏi có bao nhiêu muối trong bình khi bình đầy? dx 3 • Phương trình vi phân : + x =8 dt 90 + t • Bình sẽ đầy sau 30 phút, và khi t = 30 ta có lượng muối trong bình là : 904 x (30) = 2(90 + 30) − ≈ 202 (lb). 1203 Ví dụ 4. 1 a) 1°/ (2 xy + 3)dy − y 2dx = 0, y (0) = 1 (x = y2 − ) y y2 2°/ 2ydx + ( y 2 − 6 x )dy = 0, y (1) = 1 (x = (1 + y ) ) 2 b) 1°/ ydx − ( x + y 2 sin y )dy = 0 ( x = (C − cos y )y , y = 0 )
  7. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2°/ (1 + y 2 )dx − (arctan y − x )dy = 0 ( x = arctan y − 1 + Ce − arctan y ) y π  c) 1°/ y ′ − = x cos x, y   = π ( y = x + x sin x ) x 2 e x 2°/ y ′ − y = , y (1) = e ( y = (1 + ln x )e x ) x ex y ex + C 3°/ y ′ = − (y = ) x +1 x +1 x +1 y x 4°/ y ′ = 1 + (y = ( x + ln x + C ) ) x ( x + 1) x +1 y2 d) 1°/ 2ydx − (6x − y 2 )dy = 0, y (1) = 1 ( x = (1 + y ) ) 2 1  2°/ ( y + 2)dx + ( y − x + 2)dy = 0, y (1) = 1 ( x =  − ln y + 2  ( y + 2) ) 3  ex − e + 1 e) 1°/ xy ′ + y − ex = 0, y (1) = 1 (y = ) x y x 2°/ xy ′ − − x = 0, y (1) = 0 (y = ( x − 1 + ln x ) ) x +1 x +1 6. Phương trình Bernoulli dy a) Định nghĩa. + p( x )y = q( x )y α , α ≠ 0, α ≠ 1 hoặc x ′ + p( y )x = q( y )xα , α ≠ 0 (2) dx b) Cách giải • Với y ≠ 0, đặt v = y 1−α • Biến đổi phương trình (2) thành phương trình tuyến tính: dv + (1 − α )p( x )v = (1 − α )q( x ). dx dy 3 2x Ví dụ 1. 1°/ − y= dx 2 x y • Là phương trình Bernoulli với p(x) = −3/(2x), q(x) = 2x, α = −1 và 1 − α = 2 3 2 ⇒ yy ′ − y = 2x 2x dv 3 • Đặt: v = y 2 ta thu được phương trình tuyến tính: − v = 4x dx x +) Nhân tử tích phân ρ = e ∫ ( −3 / x )dx = x −3. 4 4 4 +) Dx ( x −3v ) = 2 ⇒ x −3v = − + C ⇒ x −3 y 2 = − + C x x x • y 2 = −4 x 2 + Cx 3. 2°/ y ′ + 2y = y 2e x ( y (e x + Ce2 x ) = 1; y = 0 ) 3°/ xy2y′ = x2 + y3 (y3 = Cx3 − 3x2)
  8. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ y ′ = y 4 cos x + y tan x ( y −3 = C cos3 x − 3 sin x cos2 x; y = 0 ) 5°/ ( x + 1)( y ′ + y 2 ) = − y ( y ( x + 1)(ln x + 1 + C ) = 1, y = 0 ) 6°/ 3 x dy = 4(1 + x sin x − 3 y 3 sin x ) dx ( y 3 (3 + cecos x ) = x, x = 0, y = 0 ) 1 2 Ví dụ 2 1°/ y ′ + 2 xy = 2 x 3 y 3 ( y −2 = (Ce2 x + 2 x 2 + 1), y = 0 ) 2 y 2°/ y ′ + + y2 = 0 ( y −1 = (1 + x )(ln 1 + x + C ), y = 0 ) x +1 3°/ xy y ′ = x 3 cos x + y 3 2 (y = 3 x ( x sin x + cos x + C ) −1 4°/ ( x + 1)( y ′ + y 2 ) = − y ( y = 0, y = ( x + 1) ( ln x + 1 + C )  ) 7. Phương trình vi phân toàn phần a) Định nghĩa. Phương trình P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1) được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu các hàm P(x, y) và Q(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một trên miền đơn liên D và có ∂P ∂Q = (2) ∂y ∂x Ví dụ 1. 1°/ Giải phương trình vi phân (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0 • P(x, y) = (6xy – y3) ; Q(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2) ∂P ∂Q • = 6x – 3y2 = ⇒ Phương trình vi phân toàn phần ∂y ∂x ∂F • ∂x ∫ = P ( x, y ) ⇒ F(x, y) = (6 xy − y 3 )dx = 3x2y – xy3 + g(y). ∂F ∂F • = Q ( x, y ) ⇒ = 3x2 – 3xy2 + g'(y) = 4y + 3x2 – 3xy2, ∂y ∂y • g'(y) = 4y ⇒ g(y) = 2y2 + C1, • F(x, y) = 3x2y – xy3 + 2y2 + C1. • Tích phân tổng quát 3x2y – xy3 + 2y2 = C 2°/ (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy = 0 ∫ ( 2x + 3y ) dx = x 2 +) P = 2x + 3y; Q = 3x + 2y ⇒ Qx = Py = 3 +) F = + 3xy + g(y) +) Fy(y) = 3x + 2y ⇒ 3x + g'(y) = 3x + 2y ⇒ g(y) = y2 +) x2 + 3xy + y2 = C  y2  2y 3°/  4 − 2  dx + dy = 0 ( (4 x 2 + y 2 ) = Cx )  x  x 4°/ e − y dx + (1 − xe − y )dy = 0 ( y + xe − y = C ) y 5°/ dx + ( y 3 + ln x )dy = 0 ( 4 y ln x + y 4 = C ) x 2x y 2 − 3x2 6°/ 3 dx + 4 dy = 0 ( x 2 − y 2 = Cy 2 ) y y
  9. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn x dy − y dx y 7°/ x dx + y dy = 2 2 ( x 2 + y 2 − 2 arctan = C ) x +y x 8°/ 2 x cos2 y dx + (2y − x 2 sin 2y )dy = 0 ( x 2 cos2 y + y 2 = C )  x  ( x 2 + 1) cos y 9°/  + 2  dx + dy = 0 ( x 2 + 1 = 2(C − 2 x ) sin y )  sin y  cos 2y − 1 b) Thừa số tích phân Phương trình vi phân P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 với Qx′ ≠ Py′ có thể đưa về phương trình vi phân toàn phần khi tìm được µ( x ) ≠ 0 (hoặc µ( y ) ≠ 0 ) sao cho phương trình ∂ ∂ µ Pdx + µQdy = 0 có ( µQ ) = ( µ P ) . Khi đó hàm µ ( x ) ( µ ( y )) được gọi là thừa số ∂x ∂y tích phân, và được tính như sau. Qx′ − Py′ • Nếu = ϕ ( x ) ⇒ µ ( x ) = e − ∫ ϕ ( x )dx Q Qx′ − Py′ • Nếu = ψ ( y ) ⇒ µ ( y ) = e ∫ ψ ( y )dy P Ví dụ 2. 1°/ ( x + y 2 )dx − 2 xydy = 0 (1) 2 Qx′ − Py′ +) µ ( x ) = e ∫ x = 2 −4 y 2 − dx 1 +) = = ϕ −2 xy x x +) x = 0 là nghiệm x + y2 2y +) x ≠ 0 : (1) ⇔ dx − dy = 0 là phương trình vi phân toàn phần x2 x x y 1 −2t y2 +) ∫ t dt + ∫ x dt = C +) ln x − x = C là tích phân tổng quát 1 0 1 y 2°/ ( x 2 − y )dx + x dy = 0 (µ = , x + = C, x = 0 ) x2 x 1 3°/ 2 x tan y dx + ( x 2 − 2 sin y )dy = 0 ( µ = cos y , x 2 sin y + cos 2y = C ) 2 4°/ (e2 x − y 2 )dx + y dy = 0 ( µ = e −2 x , y 2 = (C − 2 x )e2 x ) 1 x 5°/ (1 + 3 x 2 sin y )dx − x cot y dy = 0 (µ = , x3 + = C) sin y sin y Ví dụ 3. a) 1°/ e x (2 + 2 x − y 2 )dx − 2e x ydy = 0 ( 2 xe x − e x y 2 = C ) 1 2°/ (2 xy + x 2 y 3 )dx + ( x 2 + x 3 y 2 )dy = 0 ( x 2y + x 3 y 3 = C ) 3 3°/ Tìm h( x ) để phương trình sau là toàn phần và giải h( x ) [ ( y + cos y )dx + (1 − sin y )dy ] = 0 ( h = K1e x , e x ( y + cos y ) = C )
  10. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 4°/ Tìm h( y ) để phương trình sau là toàn phần và giải h( y ) [ (1 − sin x )dx + (cos x + x )dy ] = 0 ( h = K1e y , e y ( x + cos x ) = C ) b) 1°/ Tìm h( x ) để phương trình sau là toàn phần và giải h( x ) [ ( y + ln x )dx − xdy ] = 0 C 1 1 y (h = , − ln x − − = C) x2 x x x 2°/ Tìm h( y ) để phương trình sau là toàn phần và giải h( y ) [ y (1 + xy ) dx − xdy ] = 0 C x x2 (h = , + = C) y2 y 2 2x y 2 − 3x2 x2 1 c) 1°/ dx + dy = 0 ( − = C) y3 y4 y3 y y y4 2°/ dx + ( y 3 + ln x )dy = 0 ( + y ln x = C ) x 4  y y4 3°/  sin x +  dx + ( y 3 + ln x )dy = 0 ( − cos x + + y ln x = C )  x 4  y2   y y2 4°/  sin x − 2  dx +  cos y + 2  dy = 0 ( − cos x + sin y + = C)  x   x x d) 1°/ Tìm h( y ) để phương trình sau là toàn phần và giải h(y ) [ (1 − sin x) dx + (cos x + x)dy ] = 0 ( h = Ce y , e y ( x + cos x ) = C ) 2°/ Tìm h( x ) để phương trình sau là toàn phần và giải h( x ) [ ( y + cos y )dx + (1 − sin y )dy ] = 0 ( h = Ce x , e x ( y + cos y ) = C HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2