zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

110
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 5 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi tiếp tục trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa và chuỗi FOURIER . Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản, tìm hiểu về chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier; điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 5 § 5. Chuỗi luỹ thừa (TT) • Khai triển một số hàm sơ cấp • Ứng dụng 4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản 4.1. Một số khai triển 1°°/ f ( x ) = e x • f ( n ) (0) = 1 • f ( n ) ( x ) = e x < e A = M, ∀ x ∈ ( − A ; A ) , A > 0 ∞ ∞ xn xn •e =x ∑ n ! , ∀ x ∈ ( −A ; A), A > 0 ⇒ e x = n ! ∑ , ∀x ∈ n =0 n =0 2° f ( x ) = cos x π ( −1)k , n = 2k  π • f ( n ) (0) = cos n = • f ( n ) ( x ) = cos  x + n  ≤ 1, ∀ x ∈ 2 0, n = 2k + 1  2 x2 x4 n x 2n • cos x = 1 − + − + ( −1) + , x ∈ 2! 4! (2n )! 3° f ( x ) = sin x x3 x5 x 2n −1 • sin x = x − + − + ( −1)n −1 + , x ∈ 3! 5! (2n − 1)! 4° f ( x ) = (1 + x )α , α ∈ α α(α − 1) 2 α(α − 1) (α − n + 1) n • f (x) = 1+ x + x + + x + , − 1 < x < 1 1! 2! n! 5° f ( x ) = ln(1 + x ) x2 x3 n −1 x n • ln(1 + x ) = x − + − + ( −1) + , − 1 < x < 1 2 3 n 6° f ( x ) = arctan x x3 x5 x 2n −1 • arctan x = x − + − + ( −1)n −1 + , x ∈ , − 1 ≤ x ≤ 1 3 5 2n − 1 Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Maclaurin a) f ( x ) = a x , 0 < a ≠ 1 ∞ lnn a n x • a =e x ln a •e x ln a = ∑ n ! x , x ∈ n =0 b) f ( x ) = ln(2 + x )  x  x x • ln ( 2 + x ) = ln2  1 +  = ln2 + ln  1 +  , −1 < < 1  2  2 2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n  x ∞ (x) ∞ ( −1)n −1 x n • ln  1 +  =  2  n =1 ∑ ( −1)n −1 2 n = ∑ n.2n n =1 ∞ xn ∑ ( −1) n −1 • ln ( 2 + x ) = ln 2 + ,−2< x < 2 n =1 n.2n ∞ 2n −1 2n 1 2 x c) sin2 x ( − ∑ 2 n =0 (2n )! , x∈) x 2n +1 ∞ 1+ x d) f ( x ) = ln 1− x (2 ∑ 2n + 1 , − 1 < x < 1) n =0 x −t 2 ∞ ( −1)n x 2n +1 e) f ( x ) = e ∫ dt ( ∑ n ! ( 2n + 1) , x ∈ ) 0 n =0 ∞ n ∞ 2n n −1 x f) f ( x ) = ln(1 + x + x + x ) 2 3 ∑ ( ( −1) + ( −1)n −1 x , − 1 ≤ x ≤ 1) ∑ n =1 n n =1 n n ∞ (x 2) nπ g) f ( x ) = e sin xx ( ∑ n! sin , x ∈ ) 4 n =0 x 2n ∞ h) f ( x ) = cosh x ( ∑ ( 2n ) ! , x ∈ ) n =0 x x 2n +1 ∞ sin t i) f ( x ) = ∫ t dt ( ∑ ( −1)n ( 2n + 1)! ( 2n + 1) , x ∈ ) 0 n =0 x dt x5 1.3.5… ( 2n − 1) 4n +1 k) f ( x ) = ∫ 1− t 4 (x + 2.5 ++ n !2n ( 4n + 1) x + , x < 1) 0 l) Viết rõ các hệ số đến x 6 : f ( x ) = e x sin x m) Viết rõ các hệ số đến x 6 : f ( x ) = e x cos x Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận điểm tương ứng a) f ( x ) = ln x, x = 1 ∞ ( x − 1)n ∑ ( −1) n • ln x = ln (1 + x − 1) • ln (1 + x − 1) = n =1 n 1 b) f ( x ) = , x=4 x 2 + 3x + 2 1 1 • f (x) = − x +1 x + 2 ( ) n  1 1  • f n ( x ) = ( −1) n !  −  ( x + 1) n +1 ( x + 2 )n +1 
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn •f (n ) ( 4 ) = ( −1)n n ! ( 5−n −1 − 6− n −1 ) ∞ ∑ ( −1) ( 5−n −1 − 6−n −1 ) ( x − 4 )n n • f (x) = n =0 x x c) f ( x ) = , theo chuỗi luỹ thừa của 1+ x 1+ x 2 3 n x 1  x  1.3  x  1.3… ( 2n − 3 )  x  (f (x) = +   +   + +   +) 1+ x 2  1+ x  2.4  1 + x  2.4… ( 2n − 2 )  1 + x  x  π d) f ( x ) = cos , theo chuỗi luỹ thừa của  x −  2  2  2 n −1  ( 2 1− ( x − 2π − ) ( x − 2π − − ) x − 2π (+  ) ) 2   1!2 2!2 2 (n − 1)!2 n −1    π ∞ ( 3n + π )2n −1 ∑ n e) f ( x ) = sin3 x , theo chuỗi luỹ thừa của  x +  ( ( −1) )  3 n =1 ( 2n − 1) ! 1 f) f ( x ) = theo luỹ thừa của ( x − 3 ) x2 − 3x + 2 1 g) f ( x ) = 2 theo luỹ thừa của ( x − 2 ) x + 3x + 2 4.2. Ứng dụng của chuỗi luỹ thừa 1°/ Tính gần đúng Ví dụ 3. Áp dụng chuỗi luỹ thừa, tính gần đúng a) sin18° với độ chính xác 10−5 ( −1)n −1 2n −1 ∞ • sin x = ∑ ( 2n − 1) ! x n =1 ∞ ( −1)n −1 π2n −1 ∑ π • sin18° = sin = 10 n =1 ( 2n − 1) ! 102n −1 π2n +1 • Rn < 2 n +1 ≤ 10−5 ( 2n + 1)!10 • n≥3 1 2 b) ∫ e − x dx với độ chính xác 10−3 0 ∞ ∞ 2n xn − x2 x ∑ ∑ x n •e = •e = ( −1) n =0 n! n =0 n!
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 ∞ 2n +1 ∞ x 1 ∑ ∑ ( −1) n n •I= ( −1) = n =0 n ! ( 2n + 1) n =0 n ! ( 2n + 1) 0 1 • Rn ≤ ≤ 10−3 ⇒ n ≥ 4 ( n + 1) ! ( 2n + 3 ) c) Tính gần đúng số e với độ chính xác 0,00001 ( 2,71828 ) 1 2 d) Tính gần đúng ∫ e − x dx với độ chính xác 0,0001 (0,747 ) 0 ∞ dx e) ∫ 1+ x3 với độ chính xác 10−3 (0,118 ) 0 2°/ Tính giới hạn. x3 x5 x7 sin x − x + − + Ví dụ 4. lim 3! 5! 7! x →0 x9 x3 x5 x7 x9 • sin x = x − + − + + o ( x9 ) 3! 5! 7! 9! x9 + o ( x9 ) 1 • A = lim 9! 9 = x →0 x 9! § 6 Chuỗi FOURIER • Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier • Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier • Đặt vấn đề 1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác Định nghĩa. Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có dạng ∞ a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx ), an , bn ∈ (1.1) n =1 Nhận xét. ∞ ∞ 1°/ Nếu ∑ an , ∑ bn hội tụ ⇒ chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối trên n =1 n =1 ∞ ∞ 2°/ Tuy nhiên, ∑ an , ∑ bn hội tụ không phải là điều kiện cần để chuỗi (1.1) hội tụ. n =1 n =1 b) Chuỗi Fourier
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Bổ đề. Với ∀ p, k ∈ , ta có π π 1°/ ∫ sin kxdx = 0 2°/ ∫ cos kx dx = 0, k ≠ 0 −π −π π π 0, k ≠ p 3°/ ∫ cos kx sin px dx = 0 4°/ ∫ cos kx cos px dx =  π, k = p ≠ 0 −π −π π 0, k ≠ p 5°/ ∫ sin kx sin px dx =  π, k = p ≠ 0 −π • Giả sử f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2π và có ∞ a f (x) = 0 + 2 n =1 ∑ (an cos nx + bn sin nx ) (1.2) Sử dụng bổ đề trên và tính toán ta có π π 1 1 a0 = π ∫ f ( x )dx ; an = π ∫ f ( x )cos nx dx, n = 1, 2, … −π −π π 1 bn = π ∫ f ( x )sin nx dx, n = 1, 2, … (1.3) −π ∞ a Định nghĩa. Chuỗi lượng giác 0 + 2 n =1 ∑ (an cos nx + bn sin nx ) với các hệ số a0 , an , bn xác định trong (1.3) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f ( x ) . 2. Điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier Định nghĩa. Chuỗi Fourier của hàm f ( x ) hội tụ về hàm f ( x ) thì ta bảo hàm f ( x ) được khai triển thành chuỗi Fourier. Định lí Dirichlet. Cho f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2π , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên [ −π ; π] ⇒ chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn [ −π ; π] và có S( x ) = f ( x ) , tại điểm liên tục của f ( x ) . f (c + 0) + f (c − 0) Còn tại điểm gián đoạn x = c có S(c ) = . 2 Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2π , xác định như sau 1, 0 ≤ x ≤ π a) f ( x ) =  −1, − π ≤ x < 0 π 1 1( +) a0 = π ∫ f ( x ) dx = π π − π) = 0 −π
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn π 0 π 1 1 ( − cos nx ) dx + 1 cos nx dx = 0 +) an = π ∫ f ( x ) cos nxdx = π ∫ π ∫ −π −π 0 π 0 π 1 1 ( − sin nx ) dx + 1 sin nxdx +) bn = π ∫ f ( x ) sin nxdx = π ∫ π ∫ −π −π 0 2 ( 2  ( )n  nπ = 1 − cos nπ ) = 1 − −1  nπ nπ 4 1 1  +) f ( x ) =  sin x + sin3 x + sin5 x +  π 3 5  ∞  x, 0 ≤ x ≤ π 4 cos ( 2m + 1) x ∑ π b) f ( x ) =  (f (x) = − 2 )  − x, − π ≤ x < 0 2 π m = 0 ( 2m + 1) c) f ( x ) = x 2, − π < x < π π 1 2π2 +) a0 = π ∫ x 2dx = 3 −π π 1 ∫x 2 +) bn = sin nx dx = 0 π −π π 1 4 4 ∫ x 2 cos nx dx = n +) an = 2 cos nπ = ( −1) π −π n n2 π2  cos x cos 2 x cos 3 x cos 4 x  ( f x =) − 4 − + − +  3  1 4 9 16  1, − π ≤ x < 0 d) f ( x ) =  0, 0≤x

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.