zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 3 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

147
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 3 cung cấp cho người học những kiến thức về chuỗi hàm số. Bài này trình bày những nội dung chính sau: Chuỗi hàm số hội tụ, chuỗi hàm số hội tụ đều, tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 3 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 3 § 4. Chuỗi hàm số • Đặt vấn đề. 1. Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số {un ( x )} xác định trên X , ta định nghĩa chuỗi hàm số ∞ u1 ( x ) + u2 ( x ) + ≡ ∑ un ( x ) (1) n =1 ∞ ∞ ∑ un ( x ) hội tụ tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ un ( x0 ) hội tụ n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ un ( x ) phân kì tại x0 ⇔ chuỗi số ∑ un ( x0 ) phân kì n =1 n =1 Tập các điểm hội tụ của (1) gọi là tập hội tụ của nó. Tổng của chuỗi hàm số là hàm số xác định trong tập hội tụ của nó. Ví dụ 1. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∞ ∞ ∞ ∞ cos nx 1 xn a) ∑x n −1 b) ∑ n2 + x 2 c) ∑ nx ( x > 1) d) ∑ n! () n =1 n =1 n =1 n =1 sin ( 2n 2 + 4 ) x ∞ ∞ π π e) ∑ ( 3n + 1)2 () f) ∑ ( −1)n −1 e − n cos x (− 2 + k 2π < x < 2 + k 2π ) n =1 n =1 ∞ n +1 ( −1) 1 g) ∑ n 5 n ( x − 3 )n ( x −3 > 5 ) n =1 Hướng dẫn. ∞ a) ∑ x n −1 n =1 ∞ +) Xét chuỗi số ∑ x0n −1 (2) n =1 +) (2) hội tụ với x0 < 1 +) Tại x0 = 1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x < 1 ∞ cos nx b) ∑ n2 + x 2 n =1 ∞ cos nx0 cos nx0 1 +) Xét chuỗi số ∑ n2 + x02 (2) +) n 2 + x02 ≤ n2 ⇒ (2) hội tụ với mọi x0 n =1 +) Tập hội tụ
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 2. Tìm tập hội tụ của các chuỗi hàm số sau ∞ ( −1)n −1 x 2n + 3 ∞ n3  4x − 3  n 3  a) 1) ∑ 2n ( ) ( −3 ≤ x < 3 ) b) 1) 2 ∑  x   (  ; 1 ) 5  3 2n + 3 n =1 ( n + 1) 2 n =1 ∞ 1 ∞ ( −1)n  1 − x n 2) ∑ n + 1 ( x + 1) n ( x > 0 ∨ x ≤ −2 ) 2) 2   1 ∑ + x   ( [0 ; + ∞ ) ) n =1 n =2 n − 1 ∞ 1 ( x 2 − x + 1)n ∑ 3 n + 1 ( x + 2 )n ∞ 3) n =1 ( x > 1 ∨ x ≤ −3 ) c) ∑ ( n + 1) n+2 (0 ≤ x ≤ 1) n =0 2. Chuỗi hàm số hội tụ đều ∞ Định nghĩa. ∑ un ( x ) hội tụ đều đến S ( x ) trên tập X ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý n =1 ∃ n0 ( ε ) ∈ : ∀ n > n0 ( ε ) , ta có Sn ( x ) − S ( x ) < ε , ∀ x ∈ X . Ý nghĩa hình học. Với n đủ lớn, Sn ( x ) thuộc dải ( S ( x ) − ε ; S ( x ) + ε ) . ∞ Tiêu chuẩn Cauchy. ∑ un ( x ) hội tụ đều trên tập X ⊂ ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý n =1 ∃ n0 ( ε ) ∈ : ∀ p > q > n0 ( ε ) , ta có Sp ( x ) − Sq ( x ) < ε , ∀ x ∈ X . ∞ Tiêu chuẩn Weierstrass. Nếu có un ( x ) ≤ an , ∀n ∈ , ∀ x ∈ X và ∑ an h ội t ụ n =1 ∞ ⇒ ∑ un ( x ) hội tụ tuyệt đối và đều trên X . n =1 ∞ ( −1)n −1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∑ x 2 + n2 n =1 n −1 ∞ ( −1) 1 1 +) x 2 + n2 n ≤ 2 ,∀x n 2 +) h ội t ụ∑ n =1 +) Chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối và đều trên Ví dụ 4. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ∞ ∞ sin nx xn a) ∑ n2 + x 2 , x∈ (HTĐ) b) ∑ 2n n 3 n , x ∈ [ −2 ; 2] (HTĐ) n =1 n =1 ∞ ∞ cos nx x 2n ∑ ∑ ( −1) n −1 c) , x∈ (HTĐ) d) , x ∈ ( −1; 1) (HTĐ) n =1 3n n =1 n ∞ ∞ n nx x e) ∑ 1 + n5 x 2 , x ∈ (HTĐ) f) ∑ n! , x >0 (HTKĐ) n =1 n =1 Hướng dẫn.
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n ∞ x 1 1 b) +) 2n n 3 n ≤ n 4/3 , x ≤2 +) ∑ n4 / 3 h ội t ụ n =1 +) Chuỗi đã cho hội tụ đều và hội tụ tuyệt đối trên [ −2 ; 2] . Ví dụ 5. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm 1  1  ∞ n  ∞ n  xdx xdx a) 1)  ∑∫  sin nx, x ∈ (HTĐ) 2  2) ∑∫   2  cos nx, x ∈ (HTĐ)  n =1 0 1 + x  n =1 0 1 + x  ∞ n n + 1 2x + 1 b) 1) ∑ n   x + 2  , x ∈ [ −1; 1] (HTĐ)  n =1 3 ∞ n2 n  n +1  2x + 1 2) ∑   n + 2   x+2   , x ∈ [ −1; 1] (HTĐ) n =1 ∞ c) Chứng minh rằng chuỗi hàm ∑ x2e−nx hội tụ đều với x ≥ 0 n =1 ∞ ( −1)n d) 1) Chứng minh rằng chuỗi ∑ x 2 + n + 1 hội tụ đều trên n =0 ∞ ( −1)n 2) Chứng minh rằng chuỗi ∑ x 2 + n + 2 hội tụ đều trên n =0 3. Tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều ∞ Định lí 1. Chuỗi ∑ un ( x ) hội tụ đều về S ( x ) trên X , un ( x ) liên tục trên X , với n =1 ∀n ∈ ⇒ S ( x ) liên tục trên X . ∞ Định lí 2. ∑ un ( x ) hội tụ đều đến S ( x ) trên [a ; b] , un ( x ) liên tục trên [a ; b] , ∀n n =1 b b ∞ b  ∞  ∫ ∫∑ ⇒ S ( x ) dx =  un ( x )  dx =   ∑ ∫ un ( x ) dx a a  n =1  n =1 a ∞ Định lí 3. ∑ un ( x ) = S ( x ) trên ( a ; b ) , các hàm un ( x ) khả vi liên tục trên ( a ; b ) , n =1 ∞ ∑ un′ ( x ) hội tụ đều trên ( a ; b ) ⇒ S ( x ) khả vi trên ( a ; b ) và có n =1  ∞ ′ ∞  ∑ S ′ ( x ) =  un ( x )  =  ∑ un′ ( x )  n =1  n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 6. Xét tính khả vi của các hàm sau ∞ ( −1)n x ∞ x ∞ n2 a) f ( x ) = ∑ n+x ; b) f ( x ) = arctan 2 n ∑ (f ′(x) = ∑ n4 + x2 , x ∈) n =1 n =1 n =1 Hướng dẫn. a) +) x ≠ −n là chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz ∞ n +) un′ ( x ) = ( n + x )2 liên tục ∀ x ≠ −n, ∑ un′ hội tụ đều theo Dirichlet n =1 ∞ n +) f ′ ( x ) = ∑ ( −1)n ( n + x )2 , x ≠ −n n =1 Ví dụ 7 a) Tìm miền hội tụ và tính tổng ∞ 3n + 2 n ( x − 1) 1 x 1 2x − 3 π  1) ∑ ( −1) 3 n + 1 ((0 ; 2], S = ( x − 1)  ln 3 2 + 3 arctan 3 + 6 3  ) n =0  x − 3x + 3 ∞ 3n + 2 n ( x + 1) 1 x+2 1 2x + 1 π  2) ∑ ( −1) 3 n + 1 (( −2 ; 0) , S = ( x + 1)  ln 3 2 + 3 arctan 3 + 6 3  ) n =0  x + x +1 b) Tìm miền hội tụ và tính tổng ∞ ( −1)n −1 ∞ x2 − 1 ∑ ( x + 1)n ; ∑ ( −1) n −1 n 1) 2) ( n + 1)( x − 1) ((0 ; 2) , S = ) n =1 n n =1 x2 Hướng dẫn. b1) Hội tụ với x + 1 < 1 và tại x + 1 = 1 ⇒ miền hội tụ [ −2 ; 0] ∞ ∞ tn 1 +) Đặt t = −( x + 1) ⇒ s = − n ∑ ⇒ s′ ( t ) = − t n −1 = − 1− t ∑ n =1 n =1 t t +) ∫ s′ ( u ) du = ln u − 1 0 ⇒ s ( t ) − s ( 0 ) = ln t − 1 0 +) s ( 0 ) = 0 ⇒ s ( x ) = ln ( x + 2 ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.