PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 6
§ 6 Chui Fourier (TT)
• Khai trin hàm chn, l • Khai trin hàm tuàn hoàn chu kì bt kì
3. Khai trin hàm chn, l
3.1. Nu
( )
f x
là hàm s chn
( )cos
f x kx
là hàm ch
n,
( )sin
f x kx
là hàm l
0
2( )cos ; 0,
k k
a f x kx dx b k
π
= = ∀ ∈
π
Ví d 1.
, 0
( )
, 0
x x
f x x x
π − ≤ ≤ π
=
π + − π ≤ <
tu
n hoàn v
i chu kì
2
π
, khai tri
n hàm
( )
f x
thành
chu
i Fourier.
+)
(
)
(
)
f x f x
− =
+)
0,
k
b k
= ∀ ∈
+)
( )
( )
0
0 0
2 2
a f x dx x dx
π π
π
π π
= = −
2
0
2
2
x
x
π
π π
π
= − =
+)
( )
0
2cos
k
a f x kx dx
π
π
=
( )
0
2cos
x kx dx
π
π
π
= −
0
0
2 2 sin
sin
kx
kx xd
k k
π
π
π
= −
00
2 sin sinx kx kx
dx
k k
π
π
π
= − −
2
0
2 cos
.
kx
k
π
π
−
=
( )
2
21 cos
k
k
π
π
= −
( )
(
)
2
2
1 1
k
k
π
= − −
+)
( ) ( )
( )
2
1
2
1 1 cos
2
k
k
f x kx
k
π
π
∞
=
= + − −
( )
( )
2
0
4
cos 2 1
22 1
n
n x
n
π
π
∞
=
= + +
+
Ví d 2.
Khai tri
n thành chu
i Fourier theo các hàm s
cosin c
a các hàm s
sau
a) ( ) 1 , 0f x x x
= − ≤ ≤ π
(
( )
( )
2
1
cos 2 1
12 4 2 1
n
n x
n
π π
∞
=
−
− +
−
)
c) ( ) ( ), 0f x x x x
= π − < < π
(
( )
( )
1
1 2 cos 4 1 cos 4 3
2 4 1 4 3
n
n x n x
n n
π
∞
=
+ +
+ −
+ +
)
b)
1, 0
2
( )
0, 2
x
f x
x
π
≤ ≤
=π
< ≤ π
(
2
2
1
cos 2
6
n
nx
n
π
∞
=
−
)
3.2. Nu hàm
( )
f x
là hàm s l
( )cos
f x kx
là hàm s
l
còn
( )sin
f x kx
là hàm ch
n
0
2
0; ( )sin ,
k k
a b f x kx dx k
π
= = ∀ ∈
π
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Ví d 3.
Cho hàm s
( ) ,f x x x
= − π ≤ ≤ π
, tu
n hoàn v
i chu kì
2
π
, khai tri
n hàm
( )
f x
thành chu
i Fourier
+) Hàm
(
)
f x
l
+) 0,
k
a k
∗
= ∀ ∈
+)
( )
0
2sin
k
b f x kx dx
π
π
=
0
2sin
x kx dx
π
π
=
0
2 cos
kx
xd k
π
π
−
=
00
2 cos cosx kx kx
dx
k k
π
π
π
= − +
2
0
2 cos sink kx
k k
π
π π
π
= − +
( )
1
21
k
k
+
= −
+)
( ) ( )
1
1
2
1 sin
k
k
f x kx
k
∞+
=
= −
Ví d 4.
Khai tri
n thành chu
i Fourier theo các hàm s
sin c
a các hàm s
sau
a) ( ) , 0f x x x
= π − < < π
(
1
sin
2
n
nx
n
∞
=
)
c) ( ) ( ), 0f x x x x
= π − < < π
(
2
1
4 1 sin sin
4
n
n
nx
n
π
π
∞
=
)
b)
1, 0
2
( )
0, 2
x
f x
x
π
< ≤
=
π
< ≤ π
(
( )
( )
3
1
8 sin 2 1
2 1
n
n x
n
π
∞
=
−
−
)
3.3 Nu
( )
f x
tun hoàn vi chu kì
2
l
,
ơ
n
i
u t
ng khúc và b
ch
n trên
o
n
[
]
;
l l
−.
i bi
n '
x x
l
π
=
( ) ' ( ')
l
f x f x F x
= ≡
π
tu
n hoàn v
i chu kì
2
π
S
d
ng khai tri
n Fourier cho hàm này có
0
( ) cos cos ,
2
n n
a
f x a n x b n x
l l
π π
= + +
ó
0
1
( )
l
l
a f x dx
l
−
=
, 1( )cos ,
l
n
l
x
a f x n dx n
l l
−
π
= ∀ ∈
;
1( )sin ,
l
n
l
x
b f x n dx n
l l
−
π
= ∀ ∈
Ví d 5.
Khai tri
n hàm tu
n hoàn v
i chu kì
2
,
2
( ) , 1 1
f x x x
= − ≤ ≤
thành chu
i Fourier
+)
(
)
f x
ch
n
+)
0, 1, 2,
k
b k
= =
+)
11
3
2
0
1
1
2
3 3
x
a x dx
−
−
= = =
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
+)
1 1
2 2
1 0
cos 2 cos
n
a x n x dx x n x dx
π π
−
= =
1
2
0
sin
2
n x
x d n
π
=
1
1
2
00
sin
2 . sin .2
x n x
n x xdx
n n
π
π
= −
1 1
1
0
0 0
4 cos 4 cos cos
.
n x n x n x
xd x dx
n n n n n
π π π
= = −
( )
1
2 2
0
4 cos sin 4
1
n
n n x
n n n n
π π
= − = −
+)
( ) ( )
2
1
1 4
1 cos
3
n
n
f x n x
n
π
∞
=
= + −
Ví d 6.
Khai tri
n thành chu
i Fourier hàm s
a)
0, 3 0
( )
, 0 3
3
x
f x xx
− ≤ ≤
=
< ≤
v
i chu kì
2 6
l
=
(
( )
( ) ( )
2
1
1 1 2 2 1 1
cos sin
4 3 3
2 1
n
n
n x n x
n
n
π π
ππ
∞
=
− −
− +
−
)
b)
0, 2 0
( )
, 0 2
2
x
f x xx
− ≤ ≤
=
< ≤
vi chu kì
2 4
l
=
(
( )
( ) ( )
2
1 1 2 2 1 1
cos sin
4 2 2
2 1
n
n x n x
n
n
π π
ππ
− −
− +
−
)
3.4. Nu
( )
f x
ơn iu tng khúc và b chn trên
[
]
;
a b
, mun khai trin
( )
f x
thành
chui Fourier, ta xây dng hàm s
( )
g x
tun hoàn vi chu kì
( )
b a
≥ −
sao cho
[
]
( ) ( ), ;
g x f x x a b
= ∀ ∈ .
Khai trin hàm
( )
g x
thành chui Fourier thì tng ca chui bng
( )
f x
ti
[
]
;
x a b
∀ ∈
(tr ra có chng là các im gián on ca
( )
f x
). Vì hàm
( )
g x
không duy nht nên có
nhiu chui Fourier biu din hàm s
( )
f x
, nói riêng nu hàm s
( )
g x
chn thì chui
Fourier ca nó ch gm nhng hàm s cosin, còn nu hàm s
( )
g x
l thi chui Fourier
ca nó ch gm nhng hàm s sin.
Ví d 7. Khai trin hàm s
( ) , 0 2
2
x
f x x
= < <
thành chui Fourier theo các hàm s
cosin và thành chui Fourier theo các hàm s sin.
a) +) Xét hàm
( )
, 2 2
2
x
g x x
= − ≤ ≤
, tun hoàn chu kì 4
+)
(
)
(
)
, 0 2
g x f x x
≡ < <
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
+) Khai trin Fourier hàm
(
)
g x
có
(
)
g x
chn, do ó
0, 1, 2,
k
b k
= =
2 2 2
2
0
0
2 0
1
2
2 2
x
a x dx xdx
−
= = = =
2 2
2 0
1cos cos
2 2 2
k
k x k x
a x dx x dx
π π
−
= =
2
0
2sin
2
k x
xd k
π
π
=
2
2
00
2 2
sin sin
2 2
k x k x
x dx
k k
π π
π π
= −
2 2
0
2cos 2
k x
k
π
π
=
( )
(
)
2 2
4
1 1
k
k
π
= − −
+)
( ) ( )
( )
2 2
1
4
1 1 1 cos
2
k
k
k x
g x k
π
π
∞
=
= + − −
( )
( )
22
0
8 2 1
1 cos , 2
2
2 1
n
n x x
n
π
π
∞
=
+
= − ≤
+
+)
( )
( )
( )
2
0
8 1 2 1
1 cos , 0 2
2
2 1
n
n x
f x x
n
π
π
∞
=
+
= − < <
+
b)
( ) ( )
1
1
4 1
sin , 0 2
2
k
k
k x
f x x
k
π
π
+
∞
=
−
= < <
CHNG II. PHNG TRÌNH VI PHÂN
§1. M U
• t vn
• Các quy lut trong v tr u ư"c vit theo ngôn ng Toán h#c
• Môn i s gi$i rt nhiu bài toán t%nh
• Tuy nhiên, hu ht các hin tư"ng t nhiên áng quan tâm li liên quan ti s bin
i và thư&ng ư"c mô t$ bi các phương trình có liên quan n s thay i v lư"ng, ó
là phương trình vi phân.
1. Khái nim cơ bn
•
••
• Phương trình vi phân là phương trình có dng
( )
( , , , , , ) 0
n
F x y y y y
′ ′′
=
(1)
trong ó
x
là bin s 'c lp,
( )
y y x
=
là hàm s ph$i tìm,
( )
, , ,
n
y y y
′ ′′
là các o
hàm ca nó.
• Cp ca phương trình vi phân. Là cp cao nht ca o hàm ca
y
có mt trong
phương trình (1).
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
• Phương trình vi phân tuyn tính. Là phương trình vi phân (1) khi
F
là bc nht i
vi
( )
, , , ,
n
y y y y
′ ′′
. Dng tng quát ca phương trình vi phân tuyn tính cp
n
là
( ) ( 1)
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
y a x y a x y a x y b x
−−
′
+ + + + =
trong
ó
1
( ), , ( )
n
a x a x
là nh
ng hàm s
cho tr
ư
c.
•
Nghim ca phương trình vi phân
(1) là hàm s
tho
$
mãn (1)
•
Gii phương trình vi phân
(1) là tìm t
t c
$
các nghi
m c
a nó.
Ví d 1.
Gi
$
i ph
ươ
ng trình vi phân sau
a)
cos
y x
′
=
b)
ln
y x
′
=
c)
5
x
y x e
′= d)
4
sin
y x x
′=
2. Mt s ng dng
a) Sinh trưng t nhiên và thoái hoá
• S
t
ng dân s
:
( )
dP
x
dt
β δ
= − , β là t
l
sinh, δ là t
l
ch
t
b) Lãi lu tin
dA
rA
dt
=,
A
là l
ư"
ng
ô la trong qu
(
ti
t ki
m t
i th
&
i
i
m
t
, tính theo
n
m,
r
là t
l
lãi lu
(
ti
n tính theo n
m.
c) S phân rã phóng x!
dN
kN
dt
= −
,
k
ph
thu
'
c vào t
ng lo
i
ng v
phóng x
d) Gii c
dA
A
dt
λ
= − ,
λ
là h
ng s
gi
$
i
'
c c
a thu
c
e) Phương trình t"ng trưng t nhiên dx
kx
dt
=
Ví d 2.
Theo s
li
u t
i
www.census.gov
vào gi
a n
m
1999 s
dân toàn th
gi
i
t
t
i 6 t
ng
ư&
i và
ang t
ng thêm kho
$
ng 212 ngàn ng
ư&
i m
i ngày. Gi
$
s
là m
)
c t
ng
dân s
t
nhiên ti
p t
c v
i t
*
l
này, h
+
i r
ng:
(a)
T
*
l
t
ng k hàng n
m là bao nhiêu?
(b)
Vào gi
a th
k
21, dân s
toàn th
gi
i s
,
là bao nhiêu?
(c)
H
+
i sau bao lâu s
dân toàn th
gi
i s
,
t
ng g
p 10 l
n–ngh
%
a là
t t
i 60 t
mà các nhà nhân kh
-
u h
#
c tin là m
)
c t
i
a mà hành tinh c
a chúng ta có th
cung c
p
y
l
ươ
ng th
c?
(a)
Ta tính dân s
theo t
và th
&
i gian theo n
m. L
y
t
= 0
)
ng v
i gi
a n
m 1999, nên
P
0
= 6. S
ki
n
P
t
ng lên 212 ngàn hay là 0,000212 t
ng
ư&
i trong m
'
t ngày t
i
t
= 0 có
ngh
%
a là
P’
(0) = (0,000212)(365,25) ≈ 0,07743 t
m
'
t n
m.
T
ph
ươ
ng trình t
ng dân s
t
nhiên
P’ = kP
v
i
t
= 0, ta nh
n
ư"
c
'(0) 0, 07743
0, 0129,
(0) 6
P
kP
= ≈ ≈
Nh
ư
v
y, s
dân th
gi
i
ang t
ng theo t
l
kho
$
ng 1,29% m
'
t n
m vào n
m 1999.
V
i giá tr
k
này, ta có hàm cho s
dân th
gi
i là
P
(
t
) = 6
e
0,0129t
.
(b)
V
i
t
= 51 ta có d
báo
P
(51) = 6
e
(0,0129)(51)
≈ 11,58 (t
)
s
,
là s
dân c
a th
gi
i vào gi
a n
m 2050 (nh
ư
th
k
t
n
m 1999 m
i qua m
'
t n
a
th
k
, dân s
th
gi
i
ã t
ng g
n g
p
ôi).
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
