Bài giảng chương 5: Phương trình vi phân - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của bài giảng "Phương trình vi phân" của ThS. Hồ Thị Bạch Phương nhằm giúp các em sinh viện biết cách giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs); Hiểu được tầm qua trọng của phương pháp số giải ODEs; Đánh giá độ tin cậy của các phương pháp đó. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 5: Phương trình vi phân - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 5: Phương trình vi phân ThS. Hồ Thị Bạch Phương IUH - 2022
Mục tiêu của chương  Giải phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations ODEs).  Sự quan trọng của phương pháp số giải ODEs.  Đánh giá độ tin cậy của các phương pháp. Đạo hàm Đạo hàm ( vi phân) Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt y v là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập biến độc lập 2
Phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình đạo hàm riêng 2 d v u u2 2  6tv  1  2 0 dt 2 y 2 x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm 1 hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần của của các hàm ẩn số. các hàm ẩn số. 3
Phương trình vi phân (Ordinary differential equation ODE) Phương trình vi phân (ODEs) gồm một hoặc nhiều đạo hàm của các hàm ẩn với 1 biến độc lập. Ví dụ: dv(t)  v(t)  e t x(t): Hàm ẩn dt d 2 x(t) dx(t) 2 5  2x(t)  cos(t) dt dt t: Biến độc lập 4
Bậc của 1 phương trình vi phân Bậc của 1 phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất. Ví dụ: dx(t)  x(t)  e t Bậc 1 ODE dt d 2 x(t) dx(t) 2 5  2x(t)  cos(t) Bậc 2 ODE dt dt d 2 x(t) dx(t) 2   2x (t)  1 4 Bậc 2 ODE dt dt 5
ODE tuyến tính Một phương trình vi phân ODE là tuyến tính nếu hàm và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa 1. Không có tích của hàm và/hoặc đạo hàm của nó. Ví dụ: dx(t) ODE tuyến tính  x(t)  e t dt d 2 x(t) dx(t) ODE phi tuyến  5  2t 2 x(t)  cos(t) dt 2 dt 3  d x(t)  dx(t) 2  2    x(t)  1 ODE phi tuyến  dt  dt 6
ODE phi tuyến Một phương trình ODE là phi tuyến nếu Nếu hàm và đạo hàm của nó xuất hiện lớn hơn 1. Có tích giữa hàm và/hoặc đạo hàm của nó. Ví dụ: dx(t)  cos(x(t))  1 dt d 2 x(t) dx(t) 2  5 x(t)  2 dt dt 2 d x(t) dx(t) 2   x(t)  1 dt dt 7
Giải phương trình vi phân bằng pp số x(t)  cos(2t) Tất cả các hàm với x(t) = cos(2t) + c Là nghiệm của pt vi phân là nghiệm của pt vi phân trên với c 2 là hằng số. d x(t) 2  4x(t)  0 dt Để có thể giải pt vi phân bậc n chúng ta cần n điều kiện. d 2 x (t )  4 x ( t )  0 ODE bậc 2 dt 2 x (0)  a 2 điều kiện cần để giải. x (0)  b 8
Điều kiện phụ (Auxiliary Conditions) Điều kiện phụ Điều kiện ban đầu Điều kiện biên  Tất cả điều kiện là ở 1  Các điều kiện thì không ở 1 điểm của biến độc lập. điểm của biến độc lập. 9
Bài toán giá trị biên và giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu Bài toán giá trị biên  Các điều kiện thì không ở 1 • Tất cả điều kiện là ở điểm của biến độc lập 1 điểm của biến độc  Giải bài toán này khó hơn bài lập. toán giá trị ban đầu. x  2 x  x  e 2t x  2 x  x  e 2t x(0)  1, x (0)  2.5 x(0)  1, x(2)  1.5 Giống Khác 10 nhau nhau
Phân loại pt vi phân ODEs Các pt vi phân có thể được phân loại theo các cách khác nhau:  Bậc : ODE bậc 1; ODE bậc 2; ODE bậc n .  Tuyến tính: ODE tuyến tính; ODE phi tuyến.  Điều kiện phụ: Các bài toán giá trị ban đầu; Các bài toán giá trị biên Phương pháp giải tích để giải ODEs thì có sẵn cho ODEs tuyến tính và các loại đặc biệt cho ODEs phi tuyến. Phương pháp số  PP số được dùng để đạt 1 đồ họa hoặc 1 bảng của hàm.  Hầu hết pp số dùng để giải các pt vi phân dựa trên trực tiếp hoặc gián tiếp dựa trên khai triển chuỗi Taylor. 11
Phân loại phương pháp PP số cho giải ODE PP bước đơn (Single-Step PP nhiều bước (Multiple-Step Methods) Methods) Ước tính nghiệm ở 1 bước Ước tính nghiệm ở 1 bước cụ cụ thể dựa trên các thông thể dựa trên các thông tin tin của bước trước. của nhiều hơn 1 bước trước. 12
Phương pháp chuỗi Taylor Bài toán để được giải quyết với pt vi phân bậc 1: dy( x)  f ( x, y ), y( x0 )  y0 dx y ( x0  h), y ( x0  2h), y ( x0  3h), .... y2 Cho độ dài bước bằng nhau h = xn – xn-1 PP chuỗi Taylor bậc 1 được biết như pp Euler. y1 Sai số bởi dùng chuỗi Taylor là bậc O(h2). y0 x0 h x1 x2 x 13 h
PP chuỗi Taylor bậc 1 (PP Euler) dy y(x 0  h)  y(x 0 )  h  O(h 2 ) dx x  x 0 , y  y0 Chú ý: Chia thành n khoảng bằng nhau trên trục x x n  x 0  n * h, y n  y(x n ), dy  f (x i , yi ) dx x  xi , y  yi Phương pháp Euler yi1  yi  h f (x i , yi ) 14
Phương pháp Euler Bài toán: Cho trước pt vi phân: y'(x)  f (x, y) Với điều kiện ban đầu: y0  y(x 0 ) Tính yi  y(x 0  ih) cho i  1,2,... Phương pháp Euler y0  y(x 0 ) yi1  yi  h f (x i , yi ) cho i  1,2,... 15
Nội suy của pp Euler. y2 y1 y0 x0 x1 x2 x 16
Nội suy của pp Euler. Độ dốc =f(x0,y0) y1 y1=y0+hf(x0,y0) hf(x0,y0) y0 x0 x1 x2 x h 17
Nội suy của pp Euler. y2 y2=y1+hf(x1,y1) Độ dốc =f(x1,y1) hf(x1,y1) Độ dốc=f(x0,y0) y1 y1=y0+hf(x0,y0) hf(x0,y0) y0 x0 x1 x2 x h h 18
Nếu độ dài bước KHÔNG bằng nhau lúc đó thay hi = xi – xi-1 Lúc đó chúng ta giải xấp xỉ pt vi phân theo PP Euler như sau: y1  y0  f (x 0 , y 0 ) *  x1  x 0  y 2  y1  f (x1 , y1 ) *  x 2  x1  yi1  yi  f (x i , yi ) *  x i1  x i  19
Ví dụ 1: Dùng pp Euler để giải pt vi phân ODE: dy  1  x2 , y(1)  4 dx Đk ban Tính y(1.01), y(1.02) và y(1.03). đầu f ( x, y)  1  x , 2 x0  1, y0  4 , h  0.01 Giải: PP Euler yi1  yi  h f (x i , yi ) B1: y1  y0  h f (x 0 , y 0 )  4  0.01(1  (1) 2 )  3.98   B2 : y 2  y1  h f (x1, y1 )  3.98  0.01 1  1.01  3.9598 2   B3: y3  y 2  h f (x 2 , y 2 )  3.9598  0.01 1  1.02   3.9394 2 20