intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phạm Thành Chung

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
28
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phương trình Lagrange loại 2" được biên soạn với các nội dung chính sau: Thiết lập chương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm; Thí dụ áp dụng; Các tích phân đầu của chuyển động. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 4.5 - Phạm Thành Chung

  1. §5. Phương trình Lagrange loại 2 Nội dung 1 Các khái niệm cơ bản 2 Nguyên lý công ảo 3 Nguyên lý d’Alembert 4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 5 Phương trình Lagrange loại 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu của chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 68 / 91
  2. §5. Phương trình Lagrange loại 2 Giới thiệu sơ lược Phương trình Lagrange loại 2 là PTVPCĐ của hệ hôlônôm gồm các chất điểm và các vật rắn. Số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Giới thiệu cách thiết lập phương trình Lagrange loại 2 cho hệ n chất điểm Trong trường hợp hệ các vật rắn chịu các liên kết hôlônôm, kết quả vẫn có dạng như trường hợp hệ chất điểm. Một vài thí dụ áp dụng Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91
  3. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Nội dung 1 Các khái niệm cơ bản 2 Nguyên lý công ảo 3 Nguyên lý d’Alembert 4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 5 Phương trình Lagrange loại 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu của chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 69 / 91
  4. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Một vài công thức động học cần thiết Vị trí của mỗi chất điểm thuộc hệ ~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qm , t), qi = qi (t) (i = 1, ..., m) (46) m d~rk X ∂~rk ∂~rk ∂~vk ∂~rk ⇒ = ~vk = q˙ i + ⇒ = (47) dt ∂qi ∂t ∂ q˙ j ∂qj i=1 ∂~ rk ∂~ rk Do ~vk = ~vk (q1 , ..., qm , q˙ 1 , ..., q˙ m , t) và ∂qj = ∂qj (q1 , ..., qn , t) nên ta có m ∂~ vk P ∂ 2~ rk ∂ 2~rk ∂qj = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂qj ∂t i=1   P m d ∂~ rk ∂ 2~rk ∂ 2~ rk dt ∂qj = ∂qi ∂qj q˙ i + ∂qj ∂t i=1 So sánh hai công thức ta rút ra hệ thức     d ∂~rk ∂ d~rk ∂~vk = = (48) dt ∂qj ∂qj dt ∂qj Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 70 / 91
  5. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thiết lập phương trình Lagrange loại hai Xét hệ hôlônôm gồm n chất điểm và có f bậc tự do. Như thế cơ hệ xác định bởi f toạ độ suy rộng đủ: q1 , q2 , ..., qf . Nguyên lý d’Alembert - Lagrange đối với hệ n chất điểm có dạng Xn   F~ka − mk ~ak .δ~rk = 0 (49) k=1 f P ∂~ rk Từ ~rk = ~rk (q1 , q2 , ..., qm , t) suy ra δ~rk = ∂qi δqi . Thế vào (49) ta được i=1 f n f n ! ! X X ∂~rk X X d 2~rk ∂~rk F~ka . δqi − mk 2 . δqi = 0 (50) ∂qi dt ∂qi i=1 k=1 i=1 k=1 Theo định nghĩa lực suy rộng ta có n X ∂~rk Qi = F~ka . (51) ∂qi k=1 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 71 / 91
  6. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Bây giờ ta biến đổi biểu thức n n d 2~rk ∂~rk   X d X ˙ ∂~rk X ˙ d ∂~rk Ki = mk 2 . = mk~rk − mk~rk . (52) dt ∂qi dt ∂qi dt ∂qi k=1 k=1 Chú ý đến (47) và (48), biểu thức (52) có dạng n n d X ∂~vk X ∂~vk Ki = mk ~vk − mk ~vk (53) dt ∂ q˙ i ∂qi k=1 k=1 n 1 mk ~vk2 có dạng P Các đạo hàm riêng theo q˙ i và qi của động năng T = 2 k=1 n n ∂T X ∂~vk ∂T X ∂~vk = mk ~vk , = mk ~vk (54) ∂ q˙ i ∂ q˙ i ∂qi ∂qi k=1 k=1 Do đó, biểu thức (53) có dạng   d ∂T ∂T Ki = − (55) dt ∂ q˙ i ∂qi Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 72 / 91
  7. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thế (51) và (55) vào phương trình (50) ta được f     X d ∂T ∂T − − Qi δqi = 0 (56) dt ∂ q˙ i ∂qi i=1 Các biến phân δqi (i = 1, ..., f ) là độc lập nhau, nên ta có   d ∂T ∂T − = Qi , (i = 1, ..., f ) (57) dt ∂ q˙ i ∂qi Trong đó Qi là các lực suy rộng. Các phương trình vi phân (57) được gọi là phương trình Lagrange loại 2, mô tả chuyển động của các hệ hôlônôm. Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 73 / 91
  8. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.1 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Nếu ta phân các lực tác dụng lên cơ hệ thành các lực có thế và các lực không có thế thì lực suy rộng Qi được tính theo công thức ∂Π Qi = − + Qi∗ (58) ∂qi Trong đó Qi∗ là lực suy rộng ứng với các lực không thế. Trong trường hợp lực tác dụng lên cơ hệ đều là các lực có thế thì Qi∗ = 0. Khi đó phương trình Lagrange loại hai có dạng   d ∂T ∂T ∂Π − =− , (i = 1, ..., f ) (59) dt ∂ q˙ i ∂qi ∂qi Nếu ta đưa vào hệ thức L = T (q1 , ..., qf , q˙ 1 , ..., q˙ f , t) − Π(q1 , ..., qf ) thì phương trình (59) có dạng   d ∂L ∂L − = 0, (i = 1, ..., f ) (60) dt ∂ q˙ i ∂qi Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 74 / 91
  9. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Nội dung 1 Các khái niệm cơ bản 2 Nguyên lý công ảo 3 Nguyên lý d’Alembert 4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange 5 Phương trình Lagrange loại 2 Thiết lập phương trình Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm Thí dụ áp dụng Các tích phân đầu của chuyển động Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 74 / 91
  10. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một con lắc toán học khối lượng m2 , dài m1 c F(t) l được nối vào con trượt A khối lượng A m1 . Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con l trượt A có thể trượt không ma sát trên B nền nhẵn. Hãy thiết lập phương trình vi m2 phân chuyển động của hệ. Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 75 / 91
  11. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một con lắc toán học khối lượng m2 , dài m1 c F(t) l được nối vào con trượt A khối lượng A m1 . Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con l trượt A có thể trượt không ma sát trên B nền nhẵn. Hãy thiết lập phương trình vi m2 phân chuyển động của hệ. Lời giải: Hệ khảo sát gồm (?) chuyển động ra sao (?) Các tọa độ suy rộng: (?) Các lực hoạt động (lực sinh công): (?) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 76 / 91
  12. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một con lắc toán học khối lượng m2 , dài l được nối vào con trượt A khối lượng m1 c F(t) m1 . Con trượt được nối vào tường bằng A lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên l nền nhẵn. Hãy thiết lập phương trình vi B phân chuyển động của hệ. m2 Lời giải: Hệ khảo sát gồm con trượt A chuyển động tịnh tiến và chất điểm B chuyển động tròn tương đối đối với A. Các tọa độ suy rộng: (?) Các lực hoạt động: (?) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 77 / 91
  13. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Một con lắc toán học khối lượng m2 , dài xA O l được nối vào con trượt A khối lượng x m1 . Con trượt được nối vào tường bằng A lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên l ij nền nhẵn. Hãy thiết lập phương trình vi B phân chuyển động của hệ. y m2 Lời giải: Hệ khảo sát gồm con trượt A chuyển động tịnh tiến và chất điểm B chuyển động tròn tương đối đối với A. Các tọa độ suy rộng: q1 = xA , q2 = ϕ (trong đó, xA = 0, ϕ = 0 khi cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh, lò xo chưa biến dạng). Các lực hoạt động: (?) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 78 / 91
  14. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng xA Một con lắc toán học khối lượng m2 , dài O m1 l được nối vào con trượt A khối lượng c F(t) x A m1 . Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên ij l B nền nhẵn. Hãy thiết lập phương trình vi m2 phân chuyển động của hệ. y m2 g Lời giải: Hệ khảo sát gồm con trượt A chuyển động tịnh tiến và chất điểm B chuyển động tròn tương đối đối với A. Các tọa độ suy rộng: q1 = xA , q2 = ϕ (trong đó, xA = 0, ϕ = 0 khi cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh, lò xo chưa biến dạng). Các lực hoạt động: lực F (t), trọng lực m2 g và lực đàn hồi của lò xo. Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 79 / 91
  15. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng ... Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. xA O m1 Lời giải: (tiếp theo) c F(t) x A Động năng của hệ ij l 1 1 B T = m1 v12 + m2 v22 2 2 m2 y m2 g Vận tốc của con trượt A là v1 = x˙A . Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 80 / 91
  16. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng xA O m1 c F(t) x A ij l B m2 y m2 g Vận tốc của chất điểm B được xác định theo một số cách, chẳng hạn tính theo các tọa độ xB = xA + l sin ϕ, yB = l cos ϕ ⇒ v22 = x˙B2 + y˙B2 = x˙A2 + l2 ϕ˙ 2 + 2lx˙A ϕ˙ cos ϕ 1 1 ⇒ T = (m1 + m2 )x˙A2 + m2 l2 ϕ˙ 2 + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ (61) 2 2 Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 81 / 91
  17. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng xA O m1 c F(t) x A ij l B m2 y m2 g Thế năng của hệ và lực suy rộng 1 Π = cxA2 − m2 g l cos ϕ (62) 2 Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA 6= 0, δϕ 6= 0, ta có tổng công ảo δA∗ = F (t)δxA ⇒ Qx∗A = F (t), Qϕ∗ = 0 (63) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 82 / 91
  18. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại 2     d ∂T ∂T ∂Π d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , − = Qϕ∗ − dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ ∂ϕ Trong đó động năng T = 12 (m1 + m2 )x˙A2 + 12 m2 l2 ϕ˙ 2 + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ, thế năng Π = 21 cxA2 − m2 g l cos ϕ và lực suy rộng Qx∗ = F (t), Qϕ∗ = 0 ∂T ∂Π ∂T = 0, = cxA , = (m1 + m2 )x˙A + m2 lϕ˙ cos ϕ ∂xA ∂xA ∂ x˙A   d ∂T = (m1 + m2 )¨ xA + m2 lϕ¨ cos ϕ − m2 lϕ˙ 2 sin ϕ dt ∂ x˙A Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 83 / 91
  19. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại 2     d ∂T ∂T ∂Π d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , − = Qϕ∗ − dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ ∂ϕ Trong đó động năng T = 12 (m1 + m2 )x˙A2 + 12 m2 l2 ϕ˙ 2 + m2 lx˙A ϕ˙ cos ϕ, thế năng Π = 21 cxA2 − m2 g l cos ϕ và lực suy rộng Qx∗ = F (t), Qϕ∗ = 0 ∂T ∂Π ∂T = −m2 lx˙A ϕ˙ sin ϕ, = m2 g l sin ϕ, = m2 l2 ϕ˙ + m2 lx˙A cos ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ϕ˙   d ∂T = m2 l2 ϕ¨ + m2 l¨ xA cos ϕ − m2 lx˙A ϕ˙ sin ϕ dt ∂ ϕ˙ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 84 / 91
  20. §5. Phương trình Lagrange loại 2 5.2 Thí dụ áp dụng Thí dụ áp dụng Phương trình Lagrange loại 2     d ∂T ∂T ∂Π d ∂T ∂T ∂Π − = Qx∗ − , − = Qϕ∗ − (64) dt ∂ x˙A ∂xA ∂xA dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ ∂ϕ ∂T ∂Π ∂T = 0, = cxA , = (m1 + m2 )x˙A + m2 lϕ˙ cos ϕ ∂xA ∂xA ∂ x˙A   d ∂T = (m1 + m2 )¨ xA + m2 lϕ¨ cos ϕ − m2 lϕ˙ 2 sin ϕ dt ∂ x˙A Thế các biểu thức tính được vào phương trình Lagrange loại 2 (64) ta được một trong hai phương trình vi phân chuyển động của hệ xA + m2 lϕ¨ cos ϕ − m2 lϕ˙ 2 sin ϕ + cxA = F (t) (m1 + m2 )¨ Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 85 / 91
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2