zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Báo xấu

386
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung cơ bản của chương 5 Phương trình vi phân nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: các khái niệm cơ bản, bài toán Cauchy, phương trình vi phân cấp 1, phương trình đẳng cấp, phương trình vi phân tuyến tính, phương trình vi phân cấp 2, ứng dụng trong kinh tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Nguyễn Phương

Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
1 Các khái ni m cơ b n Các đ nh nghĩa Bài toán Cauchy 2 Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân v i bi n s phân li Phương trình đ ng c p Phương trình vi phân tuy n tính Phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t Phương trình vi phân tuy n tính 3 Phương trình vi phân c p hai Phương trình vi phân c p hai có th h c p Phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng 4 ng d ng trong kinh t Tìm hàm c u khi bi t h s co dãn c u
Các khái ni m cơ b n Các đ nh nghĩa Đ nh nghĩa - Phương trình vi phân là phương trình g m bi n đ c l p x, hàm s ph i tìm y(x) và đ o hàm các c p c a y(x). Phương trình vi phân có d ng t ng quát F(x, y, y , ..., y(n) ) = 0 (1) hay y(n) = f(x, y, y , ..., y(n−1) . - C p c a phương trình vi phân là c p cao nh t c a đ o hàm có trong phương trình. - Nghi m c a phương trình vi phân là hàm th a mãn phương trình đó. - Nghi m t ng quát c a phương trình vi phân (1) là nghi m có d ng y = y(x, c1 , c2 , ..., cn ), trong đó c1 , c2 , ..., cn là các h ng s tùy ý. Khi các giá tr c1 , c2 , ..., cn là nh ng giá tr c th thì ta đư c m t nghi m riêng c a phương trình vi phân (1). 3
Các khái ni m cơ b n Các đ nh nghĩa Ví d Cho các phương trình vi phân a) y = 2x là phương trình vi phân c p 1. b) y + 3xy − y = 3x là phương trình vi phân c p 2. Ví d Cho các phương trình vi phân y = x(∗). 2 Xét hàm s y = x + C, ta có: y − x = 0. 2 2 suy ra y = x + C là nghi m t ng quát c a (∗). 2 2 Th x = 2, y = 1 vào y = x + C, ta đư c: C = −1 2 2 ⇒ y = x − 1 là nghi m riêng c a (*) ng v i đi u ki n ban đ u y(2) = 1. 2 4
Các khái ni m cơ b n Bài toán Cauchy Đ nh nghĩa Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghi m c a phương trình vi phân th a mãn đi u ki n ban đ u cho trư c. D ng t ng quát c a bài toán Cauchy  y(n) = f(x, y, y , . . . , y(n−1) ;  (2)  y(x ) = y ; y (x ) = y ; . . . ; y(n) (x ) = y ).   0 0 0 1 0 n−1 v i x0 , y0 , y1 , . . . , yn−1 là các giá tr cho trư c. Đ nh lý (Đ nh lý v t n t i và duy nh t nghi m) Cho phương trình vi phân v i đi u ki n ban đ u (2). N u hàm f(x, y, y , . . . , y(n−1) ) xác đ nh, liên t c và có các đ o hàm riêng liên t c trong lân c n đi m M(x0 , y0 , ..., yn−1 ) thì t n t i duy nh t nghi m y(x) c a phương trình vi phân v i đi u ki n ban đ u (2).
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân v i bi n s phân li D ng 1: f(x)dx + g(y)dy = 0. V i d ng này ta l y tích phân hai v ta đư c f(x)dx + g(y)dy = C, v i C là h ng s . Ví d Gi i phương trình vi phân lnx 2y dx + 2 dy = 0. x y −1 Gi i Tích phân hai v ta đư c: ln x 2y dx + dy = C. x y2 − 1 ln2 (x) hay + ln(y2 − 1) = C 2
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân v i bi n s phân li D ng 2: f1 (x)g2 (y)dx + f2 (x)g1 (y)dy = 0. V i d ng này ta làm như sau: i) N u f2 (x), g2 (y) = 0, ta th xem v i các giá tr làm cho f2 (x), g2 (y) = 0 có th a phương trình vi phân trên không. ii) N u f2 (x), g2 (y) 0, ta chia hai v cho f2 (x).g2 (y) ta đư c D ng 1. 7
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân v i bi n s phân li Ví d Gi i phương trình x2 (y + 1)dx + (x3 − 1)(y − 1)dy = 0. Gi i +) V i (x3 − 1).(y + 1) = 0; V i x=1 thì dx = 0. Thay vào phương trình ta đư c 0 = 0. V y x = 1 là m t nghi m phương trình. V i y = −1 thì dy = 0. Thay vào phương trình ta đư c 0 = 0. V y y = −1 là m t nghi m phương trình. +) V i (x3 − 1).(y + 1) 0, ta chia hai v phương trình cho (x3 − 1)(y + 1) ta đư c x2 y−1 3−1 dx + dy = 0. x y+1 L y tích phân hai v x2 y−1 1 dx + dy = c hay ln|x3 − 1| + y − 2ln|y + 1| = c. x3 − 1 y+1 3
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân v i bi n s phân li Ví d Gi i phương trình xdy + (y + 1)dx = 0, v i đi u ki n y(1) = 0. Gi i V ix 0, y −1, chia c hai v phương trình cho x(y + 1), ta đư c: dy dx + = 0. y+1 x Tích phân hai v dy dx + = c hay ln|y + 1| + ln|x| = C y+1 x Suy ra x(y + 1) = C hay y = C − 1. x Vì y(1) = C − 1 = 0 nên C = 1. 1 V y nghi m c n tìm là y = − 1. x 9
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình đ ng c p Đ nh nghĩa Hàm M(x, y) g i là thu n nh t b c r n u M(tx, ty) = tr M(x, y), t > 0. Đ nh nghĩa Phương trình vi phân d ng P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, v i P(x, y), Q(x, y) là các hàm thu n nh t cùng b c, đư c g i là phương trình vi phân đ ng c p. Đ i v i phương trình d ng này ta đưa v d ng y y =g x y sau đó đ t u = ta đư c phương trình bi n s phân li. x 10
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình đ ng c p Ví d Gi i phương trình (x − y)dx + xdy = 0. Gi i: Ta có P(x, y) = x − y, Q(x, y) = x là các hàm thu n nh t b c m t, do đó phương trình trên là đ ng c p. +) N u x=0 thay vào phương trình ta đư c 0=0, nên x=0 là m t nghi m. +) N u x 0, chia hai v phương trình cho x ta đư c y 1− dx + dy = 0. x y Đ t u = , suy ra y = ux, dy = udx + xdu và ta đư c x dx (1 − u)dx + udx + xdu = 0 hay + du = 0. x Tích phân hai v ta đư c dx + du = c hay ln|x| + u = c. x V y ta đư c y ln|x| + = c.
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân tuy n tính Phương trình vi phân tuy n tính thu n nh t: y + p(x)y = 0 Nghi m t ng quát c a phương trình là y = Ce− p(x)dx . Ví d Gi i phương trình y cos2 x + y = 0. Gi i: Bi n đ i phương trình v d ng phương trình thu n nh t: y y + =0 cos2 x dx Nghi m t ng quát là y = C.e− cos2 x = C.e−tgx .
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân tuy n tính Phương trình vi phân tuy n tính: y + p(x)y = q(x). (3) Đ i v i d ng này ta gi i như sau: Bư c 1. Gi i phương trình thu n nh t y + p(x)y = 0, tìm đư c nghi m y = Ce− p(x)dx . Bư c 2. Xét y = C(x)e− p(x)dx , tìm C(x) b ng cách th y và y’ vào (3), ta tìm đư c nghi m c a (3) là y= q(x)e p(x)dx + C e− p(x)dx . Lưu ý: Ta có th tìm nghi m c a (3) theo công th c y = A(x) [B(x) + C], v i q(x) v i A(x) = e− p(x)dx ; B(x) = q(x)e p(x)dx = A(x) dx 13
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân tuy n tính Ví d y Gi i phương trình y + = x. x Gi i y 1 Phương trình y + = 0 có nghi m là y = C.e− x dx = Ce−lnx = C . x x C(x) xC (x) − C(x) Xét y = x , khi đó y = . Thay vào phương trình ta đư c x2 C (x) C(x) C(x) − 2 + 2 = x hay C (x) = x2 , x x x 3 và ta đư c C(x) = x + C. 3 x3 x2 x. 1 C V y nghi m t ng quát là y = 3 +C x = 3 +
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân tuy n tính Ví d Gi i phương trình vi phân y cos2 x + y = tan x, v i y(0) = 0. Gi i Trư c h t ta đưa phương trình v d ng y tan x y + = , cos2 x cos2 x y Phương trình thu n nh t y + = 0 có nghi m dx cos2 x y = C.e− cos2 x = C.e− tan x . 1 Xét y = C(x)e− tan x , khi đó y = C (x).e− tan x − C(x).e− tan x và ta thay cos2 x vào phương trình trên ta đư c C(x) − tan x C(x)e− tan x tan x C (x)e− tan x − .e + = , cos2 x cos2 x cos2 x 15
Phương trình vi phân c p 1 Phương trình vi phân tuy n tính tan xetanx suy ra C (x) = hay cos2 x tan xetan x C(x) = dx + C = (tan x − 1)etan x + C. cos2 x V y nghi m t ng quát là y = (tan x − 1)etan x + C e− tan x hay y = tan x − 1 + Ce− tan x . Ta có y(0) = tan 0 − 1 + Ce−tan0 = −1 + C = 0, do đó C=1. V y nghi m riêng là y = tan x − 1 + e− tan x . 16
Phương trình vi phân c p hai Phương trình vi phân c p hai có th h c p a) Phương trình khuy t y và y : y = f(x) D ng này ta l y tích phân hai l n ta đư c nghi m. b) Phương trình y = f(x, y ) (khuy t y) và y = f(y, y ) (khuy t x), D ng này ta đ c z = y ta đưa đư c v phương trình vi phân c p 1. Ví d Gi i phương trình y = x2 . Gi i x3 y = x2 ⇒ y = x2 dx = + C1 3 x3 x4 ⇒y= + C1 dx ⇒ y = + C1 x + C2 3 12
Phương trình vi phân c p hai Phương trình vi phân c p hai có th h c p Ví d Gi i phương trình y .y = (y )2 . Gi i Đ t z = y , khi đó y = (y ) = zx = zy .yx = zy .z dy Phương trình đã cho tr thành y.zy .z = z2 ⇐⇒ dz =z y . L y tích phân ta đư c dz dy = ⇐⇒ lnz = lny + C ⇐⇒ z = cy. z y dy Ta có y = cy, suy ra = cdx hay lny = cx + C. y Vây nghi m t ng quát c a phương trình đã cho là y = c1 ec2 x .
Phương trình vi phân c p hai Phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng Đ nh nghĩa Phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng có d ng y + py + qy = f(x), (4) v i p, q là các h ng s th c. Hơn n a, i) N u f(x) = 0 thì (3.1) đư c g i là phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng thu n nh t. ii) N u f(x) 0 thì (3.1) đư c g i là phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng không thu n nh t. 19
Phương trình vi phân c p hai Phương trình vi phân tuy n tính c p hai h s h ng Cách gi i PTVP thu n nh t Gi i phương trình vi phân thu n nh t: y + py + qy = 0. Xét phương trình đ c trưng k2 + pk + q = 0 (5) Ta có các trư ng h p sau: i) N u (5) có hai nghi m ph n bi t k1 , k2 , thì nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t là y(x) = C1 ek1 x + C2 ek2 x . ii) N u (5) có nghi m kép k = k1 = k2 , thì nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t là y(x) = C1 ekx + C2 xekx . iii) N u (5) có nghi m ph c α ± iβ, thì nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t là y(x) = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx). 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.