Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2

Chia sẻ: Tran Dao Tran Dao | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

483
lượt xem 109
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2 có nội dung trình bày phương trình vi phân cấp 2 - trường hợp giảm cấp, phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng, phương trình vi phân cấp 2 hệ số hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK ------------------------------------------------------------------------------------- TOAÙN 4 CHUOÃI VAØ PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN • BAØI 5: PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 • TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (5/2006)
NOÄI DUNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2. TRÖÔØNG HÔÏP GIAÛM CAÁP 2 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ HAÈNG 3 – PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 HEÄ SOÁ HAØM
GIAÛM CAÁP PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CAÁP 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phöông trình vi phaân caáp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0  y ' ' = f ( x , y , y ') BT Coâsi: PT chuaån hoaù + ÑK   y ( x0 ) = y0 , y ' ( x0 ) = y1 ñaàu Giaûm caáp cô baûn: Phöông trình F(x, y’, y’’) = 0 Nguyeân taéc: Ñaët u(x) = ñaïo haøm caáp thaáp nhaát cuûa y ' , y 'y) = 0 ⇒ u ( x ) = y ' ( x ) ⇒ u ' ( x ) = y" ( x ) : F ( x, u , u ') = 0 F ( x, aån ' y' VD: Giaûi phöông trình vi phaân caáp y ' ' = + x cos x x 2: Ñaùp soá: y = C1 x + C2 + sin x − x cos x 2 Nghieäm toång quaùt PT vi phaân caáp 2 chöùa 2 haèng soá Nghieäm
PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN TUYEÁN TÍNH CAÁP 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Heä soá haøm, k0 thuaàn nhaát (veá phaûi): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ví xy ' '+ y ' sin x − e 2 x y = cos x + x sin x (1) duï: Tuyeán PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 tính Ví duï: Töông öùng xy ' '+ y ' sin x − e 2 x y = 0 ( 2) (linear): (1): y,y’,y’’ – PT thuaàn nhaát töông öùng: y’’ + py’ + qy = baäc 1 Ví duï: Töông öùng y ' '+3 y '−4 y = 0 0 ( 4) (3): Heä soá haèng, k0 thuaàn nhaát (coù veá phaûi): y’’ + py’ + qy = f(x) Ví y ' '+3 y '−4 y = cos x + x sin x ( 3)
GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH C2 THUAÀN NHAÁT HEÄ SOÁ HAÈNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- k1x k2 x PTVPC2 thuaàn ∆ > 0: k ≠ k ∈ R 2 nghieäm sôû , e 1 cô e 2 nhaát heä soá ⇒y tq .tn =Ce 1 k1 x +C e 2 k2 x haèng y’’ + py’ + qy = 0 ∆ = 0: k1 = k2 ∈ R 2 nghieäm sôûkx , xe kx cô e PTrình ñaëc tröng ⇒ ytq.tn = C1e kx + C2 xe kx k2 + pk + q = 0 2 nghieäm sôû cô (thöïc) Phaûi tìm ñuû 2 ∆ < 0: N0 eαx cos βx, eαx sin βx ⇒ nghieäm phöông phöùc ∆ < 0 ⇒ ∆ = m 2i 2 trình ñaëc tröng y = eαx [ C1 cos βx + C2 sin βx ] ⇒ k1, 2 = α ± iβ
SÔ ÑOÀ GIAÛI PTVP TUYEÁN TÍNH THUAÀN NHAÁT CAÁP n ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PTVP t/tính thuaàn nhaát L[y] = 0 PT ñaëc tröng (ñaïi soá) aån k n ytq = ∑ Ci yi ( x ) n haøm cô sôû y1 → Tìm ñuû n ng. k1 → kn i =1 yn y’’ – 5y’ + 6y = 0 ⇒ k2 – 5k + 6 = 0: N0 2, 3 ⇒ ytq = C1e3x + C2e2x y’’ – 4y’ + 4y = 0 ⇒ k2 – 4k + 4 = 0: 2 (keùp) ⇒ ytq = C1e2x + C2xe2x y’’ – 2y’ + 5y = 0 ⇒ k2 – 2k + 5 = 0 ⇒ k1,2 = 1 ± 2i: α =1, β = 2 ⇒ Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x) y’’’ –y = 0 ⇒ k3 – 1 = 0 ⇒ 1 Nghieäm k = 1 ⇒ N0 CS ex, xex … ?
NGHIEÄM (HAØM) CÔ SÔÛ TÖÔNG ÖÙNG N0 PT ÑAËC TRÖNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ k1 ∈ R: Nghieäm ñôn 1 nghieäm sôû k1x cô e ⇒ ytq.tn = C1e k1x +  PTÑT kn+p1kn-1 + … pn = 0 → Tìm k ∈ R: boäi caáp r NCS : e kx , xe kx  x r −1e kx n nghieäm thöïc r ⇒ y = C1e kx + C2 xe kx +  – phöùc. α ± iβ: 2 NCS eαx cos βx, eαx sin βx Nghieäm boäi phöùc lieân y = eαx ( C1 cos x + C2 sin x ) +  caáp r ↔ r hôïp, ñôn nghieäm ñôn 2r NCS : eαx cos βx, xeαx cos βx  α ± iβ: truøng nhau boäi caáp y = eαx [ C1 cos βx + C2 x cos βx + ] → 2r n0 ñôn r
PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH KHOÂNG THUAÀN NHAÁT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Giaûi ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 baèng caùch chæ ra 1 nghieäm rieâng yr keát hôïp vôùi nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát Nghieäm rieâng yr = 1 ⇒ ytq = C1ex + C2e2x + 1 PTVP tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát caáp n (heä soá tuyø0yù): ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) +  + an −1 ( x ) y '+ an ( x ) y = f ( x ) a ( x) y ( E) ⇒ PTVP tuyeán tính thuaàn nhaát caáp n töông öùng:( x ) y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) +  + an −1 ( x ) y '+ an ( x ) y = 0 a0 ( E0 ) Nghieäm toång quaùt (E) = Toång quaùt (E0)+ Nghieäm ngthuaàn = y (E)quaùt.Khoâ nhaát ytoång rieâng toång quaùt.Thua àn + y rieâng.Kho thuaàn nhaát âng nhaát
TÌM NGHIEÄM RIEÂNG VÔÙI VEÁ PHAÛI ÑAËC BIEÄT ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Veá phaûi: eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sin βx], Pn, Qm – ña thöùc 1/ Veá phaûi chöùa ña thöùc ⇒ yr chöùa ña thöùc (heä soá chöa xaùc ñònh) baäc cao nhaát. Haèng soá → Ña thöùc baäc 0 phaûi chöùa eαx ⇒ yr chöùa 2/ Veá eαxVeá phaûi chöùa löôïng giaùc ⇒ y chöùa 2 haøm: sin 3/ r βx, cos βx (duø veá phaûi chæ coù 1 loaïi haøm!) 4/ α + iβ (veá phaûi) ≡ nghieäm boäi caáp r cuûa phöông trình ñaëc tröng ⇒ Nhaân theâm xr vaøo yr caàn tìm. Khoâng coù haøm muõ ⇔ α = 0; Khoâng coù löôïng giaùc ⇔β =0 Toùm laïi: Ba cuøng – Cuøng daïng, cuøng baäc, truøng
BA TRÖÔØNG HÔÏP HAY GAËP ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y’’+py’+qy=eαx[Pn(x)cosβx+Qm(x)sinβx],  = max( n, m )  NÑT: nghieäm ñaëc VP: ña thöùc VP: Veá phaûi: Löôïng tröng; H: ña thöùc baäc muõ giaùc Veá phaûi ( x ) :P  = e P( x ) αx Pn ( x ) cos βx + Qm ( x ) sin βx ⇒ α + iβ = 0 ⇒β =0 α = 0 ⇒ α + iβ = i β Ng.rieâng Ng. rieâng yr: Nghieäm rieâng yr coù H ( x) yr: e αx H ( x ) daïng: βx + H ( x ) sin βx  R( x ) cos  r  r αx  r  x H ( x ) ( *)  x e H ( x ) ( *)  x [ R cos βx + H sin βx ] ( *) (*) khi 0 ≡ (*) khi α ≡ Baäc R = Baäc H. (*) NÑT caáp NÑT caáp khi iβ ≡ NÑT boäi
NGUYEÂN LYÙ CHOÀNG CHAÁT (SGK, trang 150) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nghieäm toång quaùt ytq phöông trình vi phaân tuyeán tính coù veá phaûi: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) bieåu dieãn  Nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y qua: 0 = Nghieäm rieâng y cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f (x) r.1 1  Nghieäm rieâng yr.2 cuûa pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) thöùc choàng chaát: ytq = ytq.0 + yr.1 + Coâng yr.2 YÙ nghóa: Taùch phöông trình coù veá phaûi daïng toång phöùc taïp thaønh toång caùc phöông trình coù veá phaûi ñôn giaûn
VEÁ PHAÛI TOÅNG QUAÙT → BIEÁN THIEÂN HAÈNG SOÁ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Veá phaûi: y’’ + py’ + qy = f(x) ⇒ Tìm yr töø ytq.tn: Bieán thieân haèng soá C1 = C1(x), C2 = C2(x) VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx PTVP tuyeán tính k0 thuaàn nhaát y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghieäm toång quaùt thuaàn nhaát ytq.tn = C1y1(x) + Tìm2(x). C2y nghieäm rieâng phöông trình khoâng thuaàn nhaát: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x) ⇒ Ng. rieâng yr = C1(x)y1 + C2(x)y2 y1 + C2 ' ( x ) y2 = 0 C1 ' ( x ) Dx Dy  ⇒ C1 ' ( x ) = , C2 ' ( x ) = ⇒ C1  C1 ' ( x ) y1 '+C2 ' ( x ) y2 ' = f ( x ) D D
PTVP TUYEÁN TÍNH C2 HEÄ SOÁ HAØM (THAM KHAÛO) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PTVPC2 thuaàn Tìm nghieäm ñaëc bieät y1: Ñoaùn nhaát: y’’ + daïng (xα , ña thöùc) hoaëc ñöôïc gôïi p(x)y’+q(x)y = 0 yù PTVPC2TT toång N0 cô sôû thöù nhì: y2(x) = C(x)y1(x) − ∫ p ( x ) dx quaùt heä soá haøm e C'( x) = 2 ⇒ ytq.tn = C1 y1 + C2 y2 y’’ + p(x)y’ + q(x)y = y1 f(x) Nghieäm Ng. rieâng pt k0 tn: C1 ' y1 + C2 ' y2 = 0 tq y = Bieán thieân haèng soá  C1 ' y1 '+C2 ' y2 ' = f ( x ) C1y1 + C2y2 C1 = C1(x), C2 = C2(x)
PHÖÔNG TRÌNH EULER - COÂSI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ PT heä soá haøm: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x) ⇒ Deã tìm nghieäm cô sôû thuaàn nhaát hoaëc ñöa veà heä Daáu hieäu: Heä soá xk cuûa ñaïo haøm caáp k ↔ y(k) (0 ≤ soá haèng k ≤ n) Thuaàn nhaát ax2y’’ + bxy’ + cy = 0 ⇒ 2 nghieäm cô sôû y = xm 2 nghieäm thöïc phaân bieät m1 ≠ ytq = C1 x m1 + C2 x m2 m2 am 2 + ( b − a ) m Nghieäm keùp m ytq = C1 x m + C2 x m ln x +c = 0 ∈ℜ Phöùc: m1,2 = α ± iβ y = xα [ C cos( β ln x ) + C sin ( β ln x ) ] tq 1 2
PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0 anxny(n) + … + a0y = 0 m ∈ R: ñôn ⇒ NCS y =xm y = xm m ∈R: boäi r ⇒ xm,xmlnx PTÑT theo m: g(m) = 0 → … n nghieäm (thöïc, phöùc)  y = xα cos( β ln x ) α ± iβ →  → n nghieäm (haøm) cô  y = xα sin ( β ln x ) sôû PTrình Euler: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + … a0y = f(x). Ñoåi bieán x = et ⇒ y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = … VD: Giaûi phöông trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)
BAØI TOAÙN BIEÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  y ' ' = f ( x, y, y ' ), a ≤ x ≤ b Baøi toaùn bieân: Tìm y = y(x)   y (a ) = α , y ( b ) = β thoaû  y" = f ( x, y, y ') , x ≥ a Phaân bieät vôùi baøi toaùn Coâsi   y ( a ) = α1 , y ' ( a ) = α 2 caáp 2:  y"+ y = 0, 0 ≤ x ≤ b  y"− y = 0, 0 ≤ x ≤ b VD:  VD:   y ( 0 ) = 0, y ( b ) = B  y ( 0 ) = 0, y ( b ) = B sin b ≠ 0 ⇔ b ≠ kπ : 1 nghieäm y (b) = B ⇒ C2 sin b = B ⇒ sin b = 0, B ≠ 0 : voâ  sin b = 0, B = 0 : nghieäm soá  voâ nghieäm Baøi toaùn bieân caáp 2, nghieäm cô sôû sin, cos → Voâ soá