Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 - Võ Duy Minh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 Chuỗi, cung cấp cho người học những kiến thức như: Chuỗi số và Chuỗi hàm. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 - Võ Duy Minh

Chương IV: Chuỗi • Chuỗi số • Chuỗi hàm 51
Chuỗi số •Định nghĩa: +∞ u1 + u2 + … u n + … = ∑ un n =1 được gọi là một chuỗi số +∞ ký hiệu: ∑ u n=1 n +∞ 1 1 1 1 •Ví dụ: 1 + + + … + … = ∑ 2 3 n n =1 n 52
•Định nghĩa tổng của chuỗi n S n = u1 + u2 + … un = ∑ uk n =1 Nếu lim S n = S thì chuỗi đgl hội n →+∞ n→+∞ tụ và có tổng là S Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ và không có tổng 53
Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ +∞ Nếu u1 + u2 + … u n + … = ∑ n u n =1 hội tụ thì lim u n = 0 Tương n →+∞ đương Nếu lim u n ≠ 0 thì chuỗi cho phân kỳ n →+∞ +∞ n +1 Ví dụ ∑ phân kỳ n =1 2 n − 3 n +1 1 Vì lim = ≠0 n →+∞ 2n − 3 2 54
Ví dụ +∞ +∞ 1 1 1 1 a) ∑ n =1 un = ∑ n =1 n(n + 1) = + 1.2 2.3 + ... + n(n + 1) + ... 1 1 1 Vì = − n(n + 1) n n + 1 nên n 1 1 1 1 1 Sn = ∑ = + + ... + = 1− k =1 k(k + 1) 1.2 2.3 n(n + 1) n +1  1  S = lim Sn = lim 1 −  = 1 n →+∞ n →+∞  n + 1 Vậy chuỗi cho hội tụ và có tổng là 1 55
Ví dụ +∞ b) ∑ aq n =1 n −1 vôù i a ≠ 0 ( chuỗi số nhân) Chuỗi trên hội tụ nếu q
Chuỗi số dương và các tiêu chuẩn hội tụ +∞ • Định nghĩa: ∑đgl u n =1 n chuỗi số dương nếu mọi số hạng của chuỗi đều dương +∞ +∞ Cho ∑u n=1 n và ∑ n v là hai chuỗi số dương n=1 Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho un ≤ v n +∞ +∞ Nếu ∑ vn hội tụ thì ∑u n=1 n hội tụ n=1 +∞ +∞ Nếu ∑phân u kỳ thì n=1 n ∑ vn kỳ phân n=1 57
Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau +∞ 1 1 1 1 n ∑ n =1 3 n3 n Hội tụ 3 n3n ≤ n =  3 3 +∞ 1 1 1 ∑ n =1 3 n Phân kỳ n ≤3 n 58
Tiêu chuẩn so sánh 2 un k = lim n →+ ∞ v n +∞ +∞ Nếu k và =0 ∑hộiv tụ thì n =1 n ∑hộiu tụ n n =1 +∞ +∞ Nếu k và =∞ ∑pkỳ v thì n ∑ pkỳ un n =1 n =1 Nếu k thì > 0hai chuỗi cho có cùng tính chất 59
Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau 2n +∞ 2n 3n 2 1 2 ∑ n =1 3n − 1 2 Phân kỳ vì lim n →+∞ 1 − = 3 +∞ 1 n ∑ n =1 n Phân kỳ 2n +∞ 2n ∑ n =1 (n + 1).3 n Hội tụ vì lim n →+∞ (n + 1)3n 1 =2 3 n +∞ 1 ∑ n =1 3 n Hội tụ 60
Tiêu chuẩn Cauchy +∞ ∑ un n =1 k = lim n →+ ∞ n un +∞ Nếu 0 ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ n =1 n +∞ Nếu kthì >1 ∑ pkỳ un n =1 Nếu k thì = 1chưa thể kết luận được gì 61
Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau +∞  n  n +∞ 1 ∑  2n + 1  Hội tụ n =1   ∑ n =1 n n Hội tụ n +∞  3n  1 ∑ +∞  2n + 1  n =1   Pkỳ ∑ n = 2 (ln n) n Hội tụ 62
Tiêu chuẩn dAlembert +∞ u n +1 ∑u n k = lim n →+ ∞ u n =1 n +∞ Nếu 0 ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ n =1 n +∞ Nếu kthì >1 ∑ pkỳ un n =1 Nếu k thì = 1chưa thể kết luận được gì 63
Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau n +∞ 1 +∞ 2 ∑ n =1 n! Hội tụ ∑ n =1 n Pkỳ +∞ n 1 ∑ +∞ n =1 n + 1 Pkỳ ∑ n =1 n(n + 1) Hội tụ 64
Tiêu chuẩn Tích phân +∞ ∑u n =1 n u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … và f(x) giảm: f (1) = u1 ; f (2) = u2 ;… f (n) = un ;… +∞ +∞ Nếu ∫ f(x)dx hội tụ thì ∑ hội u tụ n 1 n =1 +∞ Nếu +∞ ∫ f(x)dx pkỳ thì ∑pkỳ u n =1 n 1 65
Ví dụ : Xét sự hội tụ của các chuỗi sau dx  ht khi α > 1 +∞ ∫1 x α =   pk khi α ≤ 1 +∞ 1 +∞ 1 ∑ n =1 n ∑ n =1 n Pkỳ +∞ 1 ∑ n =1 n 2 Htụ 66
Chuỗi đan dấu +∞ Chuỗi u1 + u2 + … u n + … = ∑u n =1 n đgl chuỗi đan dấu nếu các số hạng dương và âm của chuỗi xen kẻ nhau Ví dụ +∞ n +1 n +1 (−1) 1 1 1 (−1) ∑ n =1 n = 1 − + − + ... + 2 3 4 n + ... là chuỗi đan dấu 67
Tiêu chuẩn hội tụ Leibnitz cho chuỗi đan dấu +∞ ∑ (-1) n=1 n+1 u n = u1 - u 2 +u 3 - u4 + ... (u n > 0, ∀n) Nếu {un }giảm ( un+1 < uvàn ) un =chuỗi lim thì 0 n →+∞ đan dấu trên hội tụ Ví dụ +∞ (−1) n +1 1 1 1 (−1) n +1 ∑ n =1 n = 1 − + − + ... + 2 3 4 n + ...  1 1 hội tụ vì un =  giảm và lim = 0 n →+∞ n  n 68
Chuỗi lũy thừa +∞ ∑a x n=0 n n 2 n = a0 + a1 x + a2 x + ...+ an x + ... đgl chuỗi lũy thừa +∞ n 2 3 n Ví dụ ∑ x x x x = 1 + x + + + ... + + ... n =0 n 2 3 n 1 là chuỗi đan dấu với an = n 69
Kết quả của định lý Abel +∞ ∑a x n=0 n n 2 = a0 + a1 x + a2 x + ...+ an x + ... n Nếu x0 là điểm hội tụ của chuỗi thì mọi ( ) điểm thuộc − x0 ; x0đều là điểm hội tụ Nếu x0 là điểm phkỳ của chuỗi thì mọi điểm thuộc ( −∞; − x ) , ( x 0 0 ; +∞ ) đều là điểm phân kỳ của chuỗi 70