intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: _nguyễn Tấn Khoa _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
100
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát; ma trận của ánh xạ tuyến tính; thuật toán tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chi tiết hơn nội dung kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

  1. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính §1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa Cho X , Y là 2 kgvt trên . Ánh xạ T : X Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: 1) T ( x ) T (x ), x X, ; 2) T (x y) T (x ) T (y ), x, y X.
  2. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ▪ Chú ý • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT), ký hiệu T (x ) còn được viết là Tx . • Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với: T (x y ) Tx Ty, x, y X , . • T( X ) Y . Trong đó X , Y lần lượt là vector không của X và Y .
  3. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 2 VD 1. Cho ánh xạ T : được định nghĩa: T (x1; x 2 ; x 3 ) (x1 x2 x 3 ; 2x 1 3x 2 ). 3 Trong , xét x (x1; x 2 ; x 3 ), y (y1; y2 ; y 3 ). Với tùy ý, ta có: T (x y ) T (x1 y1; x 2 y2 ; x 3 y3 ) (x 1 y1 x2 y2 x3 y3 ; 2x 1 2 y1 3x 2 3 y2 ) (x 1 x2 x 3 ; 2x 1 3x 2 ) (y1 y2 y 3 ; 2y1 3y2 ) Tx Ty. 3 2 Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ vào .
  4. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 2. Cho ánh xạ f : xác định như sau: f (x ; y ) (x y; 2 3y ). Xét u (1; 2), v (0; 1) ta có: f (u v ) f (1; 1) (1 1; 2 3.1) (0; 5) f (u ) f (v ) ( 1; 8) (1; 1) (0; 7) f (u v) f (u) f (v). 2 2 Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ vào .
  5. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng: • Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy : T (x ; y ) (x ; 0), T (x ; y ) (0; y ). • Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : T (x ; y ) (x ; y ), T (x ; y ) ( x ; y ). • Phép quay 1 góc quanh gốc tọa độ O : T (x ; y ) (x cos y sin ; x sin y cos ). y M• a sin b cos b •M a cos b sin O a x
  6. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ▪ Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính T : X Y . • Tập {x X : Tx Y } được gọi là nhân của T . Ký hiệu là KerT . Vậy KerT {x X : Tx Y }. • Tập T (X ) {Tx : x X } được gọi là ảnh của T . Ký hiệu là RangeT hoặc ImT . Vậy ImT {Tx : x X }.
  7. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ▪ Tính chất Cho ánh xạ tuyến tính T : X Y , khi đó: • KerT là không gian con của X ; • ImT là không gian con của Y ; • Nếu S là tập sinh của X thì T (S ) là tập sinh của ImT ; • T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT { X }. ▪ Định lý Cho ánh xạ tuyến tính T : X Y , khi đó: dim(KerT ) dim(ImT ) dim X .
  8. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ➢ Chú ý • Khi n m , ta gọi f : n n là phép biến đổi tuyến tính (viết tắt là PBĐTT).
  9. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) Định nghĩa n m Cho ánh xạ tuyến tính f : và hai cơ sở của n , m lần lượt là: B1 {u1, u2, , un } và B2 {v1, v2, , vm }. Ma trận A M m,n ( ): f (u1 ) f (u2 ) ... f (un ) B2 B2 B2 được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 . B2 Ký hiệu là: [ f ] hoặc viết đơn giản là A . B1
  10. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Cụ thể là, nếu: f (u1 ) a11v1 a21v2 a 31v 3 ... am 1vm f (u2 ) a12v1 a22v2 a 32v 3 ... am 2vm ........................................................... f (un ) a1nv1 a2nv2 a 3nv 3 ... amnvm a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n B2 thì [ f ] B1 a 31 a 32 ... a 3n . am 1 am 2 ... amn
  11. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính ▪ Trường hợp đặc biệt n n Cho PBĐTT f : và cơ sở B {u1, , un }. Ma trận vuông A cấp n : f (u1 ) f (u2 ) ... f (un ) B B B được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B . Ký hiệu là: [ f ]B hoặc [ f ] hoặc viết đơn giản là A . Chú ý n m Nếu A là ma trận của AXTT f : trong cặp n cơ sở chính tắc En , Em thì f (x ) Ax, x .
  12. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 6. Cho AXTT f : 4 3 xác định như sau: f (x ; y; z ; t ) (3x y z; x 2y t; y 3z 2t ). E3 4 Tìm ma trận A [ f ]E ? Kiểm tra f (v ) Av, v ? 4 Giải. Ta có: f (e1 ) f (1; 0; 0; 0) (3; 1; 0) f (e2 ) f (0; 1; 0; 0) (1; 2; 1) . f (e3 ) f (0; 0; 1; 0) ( 1; 0; 3) f (e4 ) f (0; 0; 0; 1) (0; 1; 2)
  13. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 1 1 0 E3 Vậy A [f ] E4 1 2 0 1 . 0 1 3 2 x y z t 4 • Sinh viên tự kiểm tra f (v ) Av, v .
  14. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 3 VD 7. Cho AXTT f : xác định như sau: f (x ; y ) (3x ; x 2y; 5y ). E3 Tìm ma trận [ f ] ? E2 3 0 3 0 A. 1 2; B. 1 2; 0 5 1 5 3 1 0 3 1 1 C. ; D. . 0 2 5 0 2 5
  15. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 3 VD 8. Cho PBĐTT f : xác định như sau: f (x ; y; z ) (3x y z ; x 2y; y 3z ). Tìm ma trận [ f ]E ? 3 3 1 1 3 1 1 A. 1 2 0 ; B. 1 2 1 ; 1 1 3 1 0 3 3 1 1 3 1 0 C. 1 2 0 ; D. 1 2 1 . 0 1 3 1 0 3
  16. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 9. Cho PBĐTT f : có biểu thức: f (x ; y ) (2x y; 3y ). Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và cơ sở B {u1 (1; 2), u2 ( 1; 3)} ? Giải. Ta có: f (e1 ) f (1; 0) (2; 0) . f (e2 ) f (0; 1) ( 1; 3) Gọi [ f (e1 )]B (a; b), [ f (e2 )]B (c; d ) ta được: (2; 0) a(1; 2) b( 1; 3) ( 1; 3) c(1; 2) d( 1; 3)
  17. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 6 4 a ,b , c 0, d 1. 5 5 6 B 0 Vậy f 5 . E 4 1 5
  18. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 10. Cho PBĐTT f : có ma trận của f đối với cơ sở F {u1 (1; 0), u2 (1; 1)} là 1 2 A . Hãy tìm biểu thức của f ? 3 4 Giải. Gọi biểu thức của f là: f (x ; y ) (ax by; cx dy ). f (u1 ) f (1; 0) (a; c), Ta có: f (u2 ) f (1; 1) (a b; c d ).
  19. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Do [ f (u1 )]F [ f (u2 )]F A nên: (a; c) 1(1; 0) 3(1; 1) (a b; c d ) 2(1; 0) 4(1; 1) a 4, b 2, c 3, d 1. Vậy f (x ; y ) (4x 2y; 3x y).
  20. ➢ Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 11. Cho PBĐTT f : . Biết rằng: f (1; 2) ( 4; 3) và f (3; 4) ( 6; 7). Hãy tìm [ f ]E ? Giải. Gọi biểu thức của f là: f (x ; y ) (ax by; cx dy ). f (1; 2) (a 2b; c 2d ) Ta có: f (3; 4) (3a 4b; 3c 4d ) (a 2b; c 2d ) ( 4; 3) (3a 4b; 3c 4d ) ( 6; 7)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2