zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chia sẻ: Tài Phạm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

77
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục" được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Hoàng Anh Khoa" cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và liên tục, định nghĩa hàm số, hàm số ngược; các hàm số sơ cấp cơ bản; định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.1.1. Định nghĩa Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi là hàm số. x được gọi là biến độc lập y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x X được gọi là tập xác định của hàm f. Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x). Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số g:YX y  x = g(y) gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T  D 1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác 5) Các hàm lượng giác ngược   a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.  2 2 Ký hiệu là y = arcsin x. Vậy hàm    arcsin: [  1;1]    ;   2 2 x  y  arcsinx trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin. 1
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin là hàm arccos: [  1;1]   0;   x  y  arccosx trong đó cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang là hàm    arctan: R    ;   2 2 x  y  arctan x trong đó tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang là hàm arccot: R   0;  x  y  arccotx trong đó coty = x  3    1  2 Ví dụ: arcsin      ; arctan1  ; arccos      2  3 4  2 3 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn. Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ. Ký hiệu f : X  Y, x  y  f (x) Hay f :X  Y x  y  f (x) Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi là một dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n). Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ... Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un). Dãy con 2
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1 Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a hay hội tụ về a) nếu  > 0, n0  N sao cho n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a. n  Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn) Cho dãy số (an)n . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an > M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = +  hay an + . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an < – M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = –  hay an – . Chú ý:  limC = C (C là hằng số) 1  lim  = 0 (với  > 0) n  limqn = 0 (với |q| < 1) 1  limun =  thì lim  0 un 1.2.2. Tính chất của dãy hội tụ Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Định lí 3 Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn a lim a n iii) Nếu limbn  0 thì lim n  b n lim b n iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L 1.3. Giới hạn của hàm số 1.3.1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n , xn  x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết . 3
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Một số giới hạn cần nhớ  lim C  C lim x  x 0 lim arctan x   xx0 xx 0 x  2 sinx e 1 x ln(1  x) lim 1 ; lim 1; lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x Tính chất Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 (nếu có) là duy nhất. Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 và lim f (x)  L , lim g(x)  L' thì L  L'. xx0 xx 0 Định lí 3: (nguyên lý kẹp) Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 và lim h(x)  lim g(x)  L thì lim f (x)  L xx 0 x x0 xx 0 Định lí 4: Giả sử lim f (x)  a ; lim g(x)  b . Khi đó: xx 0 xx 0 i) lim  f (x)  g(x)   a  b xx0 ii) lim  f (x).g(x)  a.b xx 0 f (x) a iii) Nếu b  0 thì lim  x  x 0 g(x) b 1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn a) Vô cùng bé Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu lim f (x)  0 . xx 0 Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x  x0, khi đó: f (x) – Nếu lim  0 thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là x  x 0 g(x) VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x)) f (x) – Nếu lim  1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và x  x 0 g(x) ký hiệu là f(x) ~ g(x). f (x) – Nếu lim  A  R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0 x  x 0 g(x) 0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định   . 0 i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0. f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim  lim . x  x 0 g(x) x  x 0 G(x) 4
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Vô cùng lớn Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng lơn (VCL) khi x  x0 nếu lim | f (x) |  . xx 0 Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x  x0, khi đó: f (x) – Nếu lim   thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là xx 0 g(x) VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) >> g(x) f (x) – Nếu lim  1 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký x x 0 g(x) hiệu là f(x) ~ g(x).  Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định   .  i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0. f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim  lim . x  x 0 g(x) x  x 0 G(x) Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0. 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Định nghĩa f liên tục tại x0  lim f (x)  f (x 0 ) xx0 f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b) f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và lim f (x)  f (a); lim f (x)  f (b) x a x b 1.4.2 Tính chất Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó. Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]. 5
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài tập chương 1 1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết (n  1) n  3 u1  0 a) lim b)  n 3  3n 2  10 u n 1  2  u n 1.2. Tính các giới hạn: x2  3 x6 sinx  t anx a) A = lim b) B = lim x 2 x2 x 0 x3 1.3. Xét tính liên tục các của hàm số: 1  cosx  x 2 ,x  0  1  x.sin , x  0 a) f (x)   b) f (x)   x  1 ,x  0 0 ,x  0  2 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.