zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

148
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 1 trình bày về lý thuyết chuỗi. Trong bài 1 này các bạn sẽ tập trung tìm hiểu về chuỗi số với những nội dung cơ bản như: Đại cương về chuỗi số, chuỗi số dương. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI § 1. Đại cương về chuỗi số • Định nghĩa • Các tính chất cơ bản • Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 1 1 1 1 Đặt vấn đề: 1 + + + + + n + = 2 2 4 8 2 • Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chuỗi số: Định nghĩa: Với mỗi số tự nhiên n, cho tương ứng với một số thực an, ta có dãy số kí hiệu là {an } . Định nghĩa: ∞ Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 + a2 + a3 + là chuỗi số, ký hiệu là ∑ an , n =1 an là số hạng tổng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn = S thì ta bảo chuỗi hội tụ, n →∞ ∞ có tổng S và viết: ∑ an = S . n =1 ∞ Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta bảo chuỗi ∑ an phân kỳ. n =1 ∞ Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính ∑ qn n =0 n +1 1− q Sn = 1 + q + q 2 + + q n = , q
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  1  lim Sn = lim  1 − =1 n →∞ n →∞  n + 1  ∞ 1 ∑ n ( n + 1) = 1 n =1 ∞ 1 1 1 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ ∑ n (Chuỗi điều hoà) Sn = 1 + + + + 2 3 n n =1 Lấy n > 2m +1 có 1 1 1  1  1 1  1 1  1 1  Sn > 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  + +  m + + m +1  2 3 2  2 3 4 5 8 2 +1 2  1 1 1 1 1 > + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1) 2 4 8 2 2 Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞ n →∞ Chuỗi đã cho phân kỳ ∞ 1 Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương: ∑ n2 n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + + ++ = 1+ + ++ < 1+ + + + 22 32 n2 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 ( n − 1) n 1 1  1 1   1 1   1 1 1 = 1+  −  +  −  +  −  + +  −  =2−
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n ∑ n + 1 phân kỳ n =1 ∞ ∑ ( −1) n Ví dụ 6. = 1 + ( −1) + 1 + ( −1) + n =1 n 1 n ch½n Có lim ( −1) =  n →∞  −1 n lÎ. n Không tồn tại lim ( −1) n→∞ ∞ ∑ ( −1) n phân kỳ. n =1 3 5 2n + 1 Ví dụ 7. Tìm tổng (nếu có) của chuỗi số sau + ++ 2 + (ĐS: 1) 4 36 2( ) n n +1 ∞ n  n − 1 Ví dụ 8. ∑   n + 1   (PK) n =1 Tính chất. Giả sử lim an = a, lim bn = b n →∞ n →∞ • lim (α an + β bn ) = α a + β b n →∞ • lim ( an bn ) = a.b n →∞ an a • lim = , b ≠ 0. n →∞ bn b §2. Chuỗi số dương • Định nghĩa • Các tiêu chuẩn hội tụ • Các định lí so sánh ∞ 1. Định nghĩa: ∑ an , an > 0 n =1 ∞ Nhận xét. ∑ an hội tụ khi và chỉ khi S n bị chặn. n =1 Trong bài này ta gi thit ch xét các chui s dng 2. Các định lí so sánh. Định lí 1. Cho hai chuỗi số dương, an ≤ bn , n tuỳ ý hoặc từ một lúc nào đó trở đi ∞ ∞ ∑ bn h ội t ụ ⇒ ∑ an h ội t ụ n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn phân kỳ n =1 n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Chng minh. a1 + a2 + + an < b1 + b2 + + bn 0 < Sn ≤ Tn Rút ra các khẳng định. ∞ ∞ 1 Ví dụ 1. ∑ 3n + 1 1 Ví dụ 2. ∑ ln n n =1 n =2 Chuỗi dương Chuỗi dương ln n < n 3 n + 1 > 3n 1 1 1 1 0< < < n ln n 3n + 1 3n ∞ 1 ∞ 1 ∑ 3n = 1 h ội t ụ ∑ n phân kỳ 1 n =2 n =1 1− ∞ 3 1 ⇒ Chuỗi đã cho hội tụ ∑ ln n phân kỳ n =2 ∞ ∞ 3n 2 + 2n + 1 ( n + 1) sin ( 2n β ) Ví dụ 3. a) ∑ 2n ( 3 n + 2 ) , (HT) b) ∑ 7 n + 2n + 3 3 , β ∈ ; (HTTĐ) n =1 n =1 ∞ ∞ a Định lí 2. Cho hai chuỗi số dương, lim n = k ≠ 0 ⇒ n →∞ bn ∑ an và ∑ bn cùng hội tụ n =1 n =1 hoặc cùng phân kì. ∞ ∞ Nhận xét. Đối với các chuỗi số dương ∑ an và ∑ bn : n =1 n =1 ∞ ∞ an 1°/ Nếu lim n →∞ bn = 0 và ∑ bn h ội t ụ ⇒ ∑ an hội tụ n =1 n =1 ∞ ∞ a 2/° Nếu lim n = ∞ và n →∞ bn ∑ bn phân kì ⇒ ∑ an phân kì n =1 n =1 ∞ n+2 Ví dụ 4. ∑ 2n3 − 3 n =1 Chuỗi dương 2 2 1+ 1+ n+2 n n = 1 . n 3 = 3 . 2 2n − 3 2n 1 − 3 2n 1 − 3 3 2n 2n 3 n +2 1  lim  : 2  =1 n →∞  2n 3 2n 
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 1 ∑ 2n2 h ội t ụ n =1 ∞ n+2 ∑ 2n3 − 3 hội tụ n =1 ∞ 1 Ví dụ 5. ∑ np , p>0 n =1 ∞ ∞ 1 1 1 1 Khi 0 < p ≤ 1 có 0 < n ≤ n ⇒ p ≥ , do n n p ∑ n phân kỳ nên ∑ np phân kỳ. n =1 n =1 Khi p > 1, n tuỳ ý, chọn m sao cho n < 2m , có  1 1   1 1   1 1  Sn ≤ S m = 1+  p + p  +  p ++ p  ++  p ++ p 2 −1 2  4  3 7  2  m −1 ( ) ( ) 2m − 1   2 4 2 m −1 1 1 1 ≤ 1+ p + p ++ p = 1+ p −1 + 2 + + m −1 2 4 ( 2m − 1 ) 2 ( 2 p −1 ) ( 2 p −1 ) 1 − am 1 1 = < , 0 < a = p −1 < 1 1− a 1− a 2 ∞ 1 Dãy Sn bị chặn trên ⇒ ∑ np h ội t ụ. n =1 KL: Chuỗi hội tụ với p > 1 và phân kì với 0 < p ≤ 1. ∞ 1 Ví dụ 6. ∑ n3 + 3 n =1 Chuỗi dương 1 1 1 an = = ; bn = 3 / 2 n3 + 3 n3 / 2 1 + 3 n 3 n a lim n = 1 n →∞ bn ∞ ∑ bn h ội t ụ n =1 ∞ 1 ∑ n +33 h ội t ụ n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 7 ∞ ∞ a1) ∑ ln (1 + n + 2 − n − 1) (PK) a2) ∑ sin ( n + 1 − n − 1) (PK) n =2 n =2 b1) ∞ ∑ n sin2 2 π (PK); b2) ∑ ∞ 1 2 ( 1 n ) −1 (HT) n =1 n n =1 n ∞ ∞ n + cos n n + sin n c1) ∑ n +15 (HT) c2) ∑ n +13 (PK) n =1 n =1 ∑ n (e ) ∞ ∞ 1 d1) ∑( n + 2 − n − 1) (PK) d3) n −1 (PK) n =2 n =2 ∞ n +1 d3) ∑ sin 3 n7 + 2n3 + 3 (HT) n =1 e) Xét sự hội tụ ∞ ln n 1 1) ∑ 4 n5 (HT) 2) ∑ 1 (PK) n =1 arcsin + ln n n ∞   π 3) ∑ n ln 1 + arctan2 2 n3  (HT) n =1  3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert a lim n +1 = l n →∞ an ∞ Khi l < 1 ⇒ ∑ an hội tụ n =1 ∞ Khi l > 1 ⇒ ∑ an phân kỳ. n =1 Chứng minh an +1 a • l < 1: Từ lim = l , chọn ε > 0 đủ bé để l + ε < 1 ⇒ n +1 < l + ε, ∀ n ≥ n0. n →∞ an an a a an +1 n −n • Mặt khác có an = n . n −1 0 .an0 ≤ ( l + ε ) 0 an0 → 0, n → ∞ an −1 an − 2 an0 Do đó lim an = l n →∞
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn an +1 a • l > 1: Từ lim = l , chọn ε đủ bé để l − ε > 1 ⇒ n +1 > l − ε > 1 ⇒ an + 1 > an n →∞ an an ⇒ phân kì Nhận xét. Khi l = 1 không có kết luận gì ∞ 1 Ví dụ 1. ∑ n! n =1 1 an = >0 n! a 1 1 n! 1 lim n +1 = lim : = lim = lim = 0 0 n! an +1 3n + 1 3 n 3 = : = an ( n + 1) ! n ! n + 1 a lim n +1 = 0 < 1 n →∞ an Chuỗi đã cho hội tụ 1 1.3 1.3.5 1.3.5 ( 2n − 1) Ví dụ 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi + + ++ 2 2.5 2.5.8 2.5.8 ( 3n − 1) 1.3.5 ( 2n − 1) an = >0 2.5.8 ( 3n − 1) an +1 1.3.5 ( 2n − 1)( 2n + 1) 1.3.5 ( 2n − 1) 2n + 1 = : = an 2.5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) 2.5.8 ( 3n − 1) 3n + 2 an +1 2 lim =
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 2 7n ( n !) a3) ∑ n 2n (HT) n =1 ∞ ∞ 32n +1 22n +1 b1) ∑ n ( ) (PK) b2) ∑ n ( ) (HT) n =1 4 ln n + 1 n =1 5 ln n + 1 ∞ ∞ ( 2n + 1) !! ( 2n ) !! b3) ∑ n n (HT) b4) ∑ n n (HT) n =1 n =1 ∞ 3n 2 + 2n + 1 c1) ∑ 2n ( 3 n + 2 ) (HT) n =1 ∞ ∞ n !3n n !π n d1) ∑ nn (PK) d2) ∑ nn (PK) n =1 n =1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an = l n →∞ ∞ Nếu l < 1 ⇒ ∑ an h ội t ụ n =1 ∞ Nếu l > 1 ∑ an phân kỳ n =1 Nhận xét. Nếu l = 1, không có kết luận gì ∞ n  2n − 1  Ví dụ 5. ∑  3n + 2  n =1    2n − 1  an =  >0  3 n + 2  na = 2n − 1 n 3n + 2 2 lim n an = < 1 n →∞ 3 Chuỗi đã cho hội tụ ∞ n2  n + 1 Ví dụ 6. Xét sự hội tụ, phân kì   n   ∑ (PK) n =1 Ví dụ 7. 2n −ln n 3n −ln n ∞  3n 2 + n + 1  ∞  2n 2 + n + 1  a1) ∑   4 n 2 + cos n   (HT) a2) ∑   3 n 2 + sin n   (HT) n =1 n =1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 2 n n 5n a3) ∑ n( n2 (HT) n =1 2 n + 1) ∞ n ( n + 4) ∞ n( n + 4) n +2 n +3 b1) ∑  n + 3   (HT) b2) ∑   n + 2   (PK) n =1 n =1 ∞ 2 n n 5n c) ∑ n( n2 (HT) n =1 3 n + 1) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa: ∞ b ∫ f ( x ) dx = blim →+∞ ∫ f ( x ) dx a a ∞ k và ∑ an = klim →∞ ∑ an n =1 n =1 n n Hình 14.4 ∫ f ( x ) dx ≤ a1 + a2 + + an ≤ a1 + ∫ f ( x ) dx , x lim →+∞ f (x) = 0 1 1 Nếu f(x) là hàm dương giảm với mọi x ≥ 1, f(n) = an, khi đó ∞ ∞ ∑ an và ∫ f ( x ) dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. n =1 1 ∞ 1 Ví dụ 8. ∑ n ln n n =2 1 f (x) = dương, giảm với x ≥ 2 và có lim f ( x ) = 0 x ln x x →+∞ ∞ b d ( ln x ) b ∫ f ( x ) dx = lim b →∞ ∫ ln x = lim ln ( ln x ) = lim ( ln ( ln b ) − ln ( ln 2 ) ) = ∞ b →∞ 2 n →∞ 2 2 +∞ ∫ f ( x ) dx phân kỳ 1 ∞ 1 ∑ n ln n phân kỳ n =2 ∞ 1 Tổng quát có thể xét ∑ n (ln n )p hội tụ chỉ khi p > 1. n =2
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 1 1 Ví dụ 9. Chứng minh rằng: 1 − + − + = ln 2 2 3 4 1 1 1 1 1  1 1  1 1 1  S2n = 1 − + − ++ − = 1 + + +  −  + + + 2 3 4 2n − 1 2n  3 2n − 1   2 4 2n   1 1 1  1 1 1   1 1 1   1 1 1 = 1 + + + +  − 2 + + +  = 1 + + + +  − 1 + + + +   2 3 2n  2 4 2n   2 3 2n   2 3 n  1 1  = [ln2n + γ + o(1)] − [ln n + γ + o(1)], víi γ = lim  1 + + + − ln n  n →∞  2 n  = ln2 + o(1) → ln 2 khi n → ∞ Mặt khác ta có 1 S2n +1 = S2n + 2n + 1 lim S2n +1 = lim S2n = ln2 n →∞ ∞ ( −1)n +1 = ln2 ∑ n n =1 1 1 1 1 1 3 Ví dụ 10. Tương tự nhận được 1 + − + + − + = ln 2. 3 2 5 7 4 2 Ví dụ 11. Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số sau 1 ∞ ln ∞ ln (1 + n ) ∞ ln n a) ∑ n 2 (HT); b) ∑ 2 (HT) c) ∑2 (HT) n =1 ( n + 2 ) n =1 ( n + 3 ) n = 2 3n Happy new year 2011 !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.