Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 11 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
lượt xem 9
download
Bài giảng bài 11 cung cấp cho người học những kiến thức về phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi và một số nội dung cơ bản về hệ phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 11 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
- PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 11 §3. Phương trình vi phân cấp hai (TT) 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi c) Phương trình Euler x 2 y ′′ + axy ′ + by = 0, a, b ∈ Cách giải. • Đặt x = et ⇒ t = ln x dy dy dt 1 dy dy • y′ = = . = ⇒ xy ′ = dx dt dx x dt dt d d 1 dy 1 dy 1 d dy dt • y ′′ = y′ = . = − 2 + . . dx dx x dt x dt x dt dt dx 1 dy 1 d 2y 1 d 2 y dy 2 2 y ′′ = d y − dy = − 2 + 2 = − ⇒ x x dt x dt 2 x 2 dt 2 dt dt 2 dt d 2 y dy dy d 2y dy • Thay vào có − + a + by = 0 ⇔ + ( a − 1) + by = 0 là phương trình dt 2 dt dt dt 2 dt vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân a) x 2 y ′′ + 2 xy ′ − 6 y = 0 (1) b) x 2 y ′′ − 9 xy ′ + 21y = 0 c) x 2 y ′′ + xy ′ + y = x y′ y 2 d) x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2y + x − 2 x 3 = 0 e) y ′′ − + 2 = x x x Giải a) • x = et ⇒ t = ln x 1 dy 1 d 2 y dy dy 2 2 y ′′ = d y − dy • y′ = . , y ′′ = 2 2 − ⇒ xy ′ = , x x dt x dt dt dt dt 2 dt d 2 y dy dy d 2 y dy • Thay vào ta có − + 2 − 6 y = 0 ⇔ + − 6y = 0 (2) dt 2 dt dt dt 2 dt • Phương trình đặc trưng r 2 + r − 6 = 0 ⇔ r = 2, r = −3 • (2) có nghiệm tổng quát y = c1e 2t + c2e −3t c2 • (1) có nghiệm tổng quát y = c1e 2 ln x + c2e −3 ln x = c1x 2 + x3 Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân x 2 y ′′ − 2 xy ′ + 2y = 3 x 2, x > 0 bằng cách đặt x = et 3 2 2 ( y = (C1 + C2 ln x )x 2 + x ln x ) 2
- PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn §4. Hệ phương trình vi phân • Đặt vấn đề − Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen nhau − Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn như : 1°/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài f (t ) bên phải khối lượng m2 . Ta kí hiệu x (t ) là hàm vị trí (sang phải) của khối lượng m1 từ trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và cân bằng với f (t ) = 0 ) và y (t ) là vị trí của khối lượng m2 từ trạng thái tĩnh của nó. Hình 1. Hệ khối lượng và m x " = −k1x + k 2 ( y − x ) − Có mô hình toán là 1 lò xo trong Ví dụ 1 m2 y " = −k2 ( y − x ) + f (t ) 2°/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau như trong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong 100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa y (t ) pounds muối trong 200 gallon nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữ nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút Hình 2. Hai thùng nước ′ 3 1 biển trong Ví dụ 2 x = − 10 x + 20 y − Có mô hình toán là y ′ = 3 x − 3 y 10 20 3°/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đó I1 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L và I2 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở R2 . Dòng điện chạy qua điện trở R1 là I = I1 − I2 theo hướng đã chỉ. dI1 dt + 25I1 − 25I2 = 50 Hình 3. Mạng điện − Có mô hình toán là trong Ví dụ 3 2 dI1 − 3 dI2 − 5I = 0 dt dt 2 1. Đại cương − Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng y1′ = f1( x, y1, y 2, … , y n ) y ′ = f ( x, y , y , … , y ) 2 2 1 2 n (1) y n′ = fn ( x, y1, y 2, … , y n )
- PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∂fi − Định lí 1. Giả sử các hàm fi ( x, y1, y 2, … , y n ) và các đạo hàm riêng ( x, y1, y 2, … , y n ) ∂y j liên tục trên D ⊂ n +1 . Cho ( x0 , y10 , y 20 , … , y n0 ) ∈ D , khi đó ∃ Uε ( x0 ) để (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn các điều kiện y i ( x0 ) = y i0 , i = 1, n Định nghĩa. Ta bảo ( y1, … , y n ) , ở đó y i = ϕi ( x, c1, c2, … , cn ) là nghiệm tổng quát của hệ (1) ⇔ • thoả mãn hệ (1) ∀ c1, c2, … , cn • ∀ ( x0 , y10, y 20 , … , y n0 ) thoả mãn định lí 1 ⇒ ∃ ci = ci0 sao cho các hàm số y i = ϕi ( x, c10 , c20, … , cn0 ) thoả mãn điều kiện y i x = x0 = y i0, i = 1, n Nghiệm riêng của (1) nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho ci , i = 1, n các giá trị xác định 2. Cách giải • Phương trình vi phân cấp n : y ( n ) = f ( x, y , y ′, … , y ( n −1) ) luôn đưa về hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt y = y1 , có y1′ = y 2 y′ = y 2 3 y′ = y n −1 n y n′ = f ( x, y1, y 2, … , y n ) Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc luôn đưa về phương trình cấp cao bằng cách khử những hàm số chưa biết từ các phương trình của hệ, được gọi là phương pháp khử y2 y ′ = y ′ = 5 y + 4z y′ = y + z z y′ = z Ví dụ 1. a) b) c) d) z′ = 4 y + 5 z z′ = y + z + x z′ = y z′ = y 2 y′ = z y = C1 cos x + C2 sin x e) ( ) z′ = − y z = C2 cos x − C1 sin x y = e − x (C1 cos x + C2 sin x ) y ′ = y + 5z f) ( 1 −x ) z′ = − ( y + 3 z ) z = e [ (C2 − 2C1) cos x − (C1 + 2C2 ) sin x ] 5 y ′ = −3 y − z y = (C1 − C2 − C1x )e −2 x g) ( ) z′ = y − z z = (C1x + C2 )e −2 x Giải a) • Từ phương trình thứ nhất ⇒ y ′′ = 5 y ′ + 4z′ • Thay z′ = 4 y + 5z vào phương trình 1 có y ′′ = 5 y ′ + 16 y + 20z
- PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 • Từ phương trình 1 ⇒ z = ( y ′ − 5 y ) , thay vào ta có y ′′ − 10 y ′ + 9 = 0 4 • Nghiệm tổng quát y = c1e x + c2e9 x • y ′ = c1e x + 9c2e9 x , thay vào phương trình đầu có z = −c1e x + c2e9 x 1 2C1 c) +) zz′′ = 2z′2 +) z = − +) y = C1x + C2 (C1x + C2 )2 3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số dy1 dx = a11y1 + a12 y 2 + … + a1n y n dy 2 = a y + a y + … + a y 21 1 22 2 2n n a) Định nghĩa dx (1) dy n = a y + a y + … + a y dx n1 1 n2 2 nn n ở đó aij ∈ dy1 dx = a11y1 + a12 y 2 b) Cách giải. Để đơn giản ta xét hệ (2) dy 2 = a21y1 + a22 y 2 dx a11 − λ a12 • Giải phương trình đặc trưng = 0 (3) a21 a22 − λ • Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệt λ1, λ2 ⇒ (2) có nghiệm tổng quát là ( y1, y 2 ) ở đó y1 = c1y11 + c2 y12 ; y 2 = c1y 21 + c2 y 22 ở đó y11 = p11eλ1x , y 21 = p21eλ1x , y12 = p12e λ2 x , y 22 = p22e λ2 x , ( p1k , p2k ) là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λk , k = 1, 2 y ′ = y + 2z y ′ = y − 5z y′ = y − z Ví dụ 1. Giải các hệ sau a) b) c) z′ = 4 y + 3 z z′ = 2 y − z z′ = y + 3 z Giải a) Cách 1. Phương pháp khử: y′′ − 4y′ − 5y = 0 1 y = C1e−x + C2e5x • y ′′ = y ′ + 2z′ với z′ = 4y + 3z và z = (y′ − y ) ⇔ 1 ⇔ 2 z = ( y′ − y ) z = −C1e−x + 2C2e5x 2 Cách 2. Phương pháp toán tử L1x + L2 y = f1(t ) Hệ , ở đó Li là các toán tử tuyến tính L3 x + L4 y = f2 (t ) L1 L2 f1(t ) L2 L1 L2 L1 f1(t ) x = ; y = L3 L4 f2 (t ) L4 L3 L4 L3 f2 (t )
- PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn (D − 1)y − 2z = 0 d • ,D ≡ 4 y + (3 − D )z = 0 dx D − 1 −2 • Ta có = (D − 1)(3 − D ) + 8 = −D 2 + 4D + 5 4 3−D − y ′′ + 4 y ′ + 5 y = 0 • Hệ ⇔ − z′′ + 4z′ + 5z = 0 • Phương trình đặc trưng −k 2 + 4k + 5 = 0 ⇔ k1 = −1, k 2 = 5 • Ta có y = c1e − x + c2e5 x ; z = c3e − x + c4e5 x • Thay y , z vào phương trình 1 ta có 0 = − y ′ + y + 2z = c1e − x − c2.5e5 x + c1e − x + c2e5 x + 2(c3e − x + c4e5 x ) = (2c1 + 2c3 )e − x + ( −4c2 + 2c4 )e −5 x , ∀ x 2c1 + 2c3 = 0 c3 = −c1 ⇒ ⇔ −4c2 + 2c4 = 0 c4 = 2c2 • Nghiệm tổng quát ( y , z ) , ở đó y = c1e − x + c2e5 x ; z = −c1e − x + 2c2e5 x 1− λ 2 Cách 3. • = 0 ⇔ λ 2 − 4λ − 5 = 0 ⇔ λ1 = 5, λ2 = −1 4 3−λ (1 − 5)p11 + 2 p21 = 0 • λ1 = 5 : ⇔ 4 p11 − 2 p21 = 0 4 p11 + (3 − 5)p21 = 0 Chọn p11 = 1, p21 = 2 ( 1 − ( −1) ) p12 + 2 p22 = 0 • λ2 = −1: ⇔ 2 p12 + 2 p22 = 0 4 p12 − ( 3 − ( −1) ) p22 = 0 Chọn p12 = 1, p22 = −1 • Hệ nghiệm cơ bản là y1 = e5 x ; z1 = 2e5 x ; y 2 = e − x ; z2 = −e − x • Nghiệm tổng quát: ( y ; z ) , ở đó y = c1e5 x + c2e − x ; z = 2c1e5 x − c2e − x Ví dụ 2 dx dt = 2 x + y 1 x = C1et + C2e5t x = −C1et + C2e5t a) ( hoặc 3 ) dy = 3 x + 4 y y = −C1et + 3C2e5t y = C1e + C2e t 5 t dt dx dt = x − 3 y x = et (C1 cos 3t + C2 sin 3t ) y = et (C1 cos 3t + C2 sin 3t ) b) ( hoặc ) dy = 3x + y y = e t (C1 sin 3t − C2 cos 3t ) x = e t (C1 sin 3 t − C2 cos 3t ) dt Chú ý. Phương pháp toán tử giải được hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài giảng Toán 4: Chuỗi và phương trình vi phân - Bài 5: Phương trình vi phân cấp 2
16 p | 482 | 109
-
Bài giảng Ứng dụng của phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân - TS. Lê Xuân Đại
13 p | 329 | 51
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 3 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
5 p | 146 | 21
-
Bài giảng Toán cao cấp A5 - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1
4 p | 240 | 18
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
10 p | 147 | 17
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 2 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
5 p | 184 | 16
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 7 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
10 p | 196 | 13
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 6 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
10 p | 122 | 12
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
6 p | 108 | 10
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
5 p | 111 | 10
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
8 p | 120 | 9
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 12 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
6 p | 115 | 8
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 8 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
6 p | 100 | 8
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 10 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
5 p | 91 | 7
-
Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 13 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo
6 p | 127 | 7
-
Bài giảng Giải tích 3 - Bài 8: Phương trình vi phân cấp I
17 p | 23 | 3
-
Bài giảng Giải tích 3 - Bài 9: Phương trình vi phân cấp II
19 p | 12 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn