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f:X−→ Y
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f={U⊂Y, f−1(U)
♠ð tr♦♥❣
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❚❤➟t ✈➟②✿
•Ø = f−1(Ø)
♠ð tr♦♥❣
X
✈➟②
Ø∈
❯
f
•f−1(Y) = X−
♠ð
⇒Y∈
❯
f
✳
•U1, U2∈
❯
f, f−1(U1∩U2) = f−1(U1)∩f−1(U2)
✲♠ð
⇒U1∩U2∈
❯
f
✳
• {Ui, i ∈I} ⊂
❯
f⇒f−1(Ui)
♠ð
∀i∈I
✱
f−1S
i∈I
Ui=S
i∈I
f−1(Ui)
❧➔
♠ð✱ s✉② r❛
S
i∈I
Ui∈
❯
f
✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä
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❧➔ tæ♣æ tr➯♥
Y
✳
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳
•
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ t❤ü❝
RPn={
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✶ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛
Rn+1.}
❳➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
p:Rn+1\{0} −→ RPn, p(x) = [x] = αx, α ∈R
✱ ❧➔ t♦➔♥ →♥❤✱
♥➯♥ t❛ ❝â
RPn
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✈î✐ tæ♣æ t❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐ →♥❤ ①↕
p
✳
•
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ①↕ ↔♥❤ ♣❤ù❝
RPn={
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✶ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛
Cn+1.}
✳
❚÷ì♥❣ tü✱ ①➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
q:Cn+1\{0} −→ CPn, q(x) = [x] = {αx, α ∈R}
❧➔
t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ t❛ ❝ô♥❣ ❝â
CPn
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ ✈î✐ tæ♣æ t❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐
q
✳
•
❈❤♦
X
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ
∼
❧➔ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥
X
✱ ✤➦t
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X ∼
❧➔ t➟♣ t❤÷ì♥❣ ❣ç♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛
x∈X
✱ ❦❤✐ ✤â
Y
❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✈î✐ tæ♣æ t❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
p:X−→ Y
✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳
❈❤♦
X, Z
❧➔ ❤❛✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✱
Y
❧➔ t➟♣ ❤ñ♣✱
f:X−→ Y
❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉✱ ❣✐↔ sû r➡♥❣
Y
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✈î✐ tæ♣æ t❤÷ì♥❣ ✤è✐ ✈î✐
f
❦❤✐ ✤â
→♥❤ ①↕
g:Y−→ Z
❧✐➯♥ tö❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
g◦f:X−→ Z
❧✐➯♥ tö❝✳

