
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
92
TÍNH HÚT MŨ CỦA NGHIỆM
CHO LỚP BÀI TOÁN GIẢ PARABOLIC CÓ TRỄ
Lê Thị Minh Hải
Trường Đại học Thủy lợi, email: lethiminhhai@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Cho d
( 1d) là miền bị chặn với
biên trơn, xét bài toán giả parabolic với đạo
hàm bậc phân như sau:
(I)
( ) ( , ( ( ))),
trong , 0, (1)
0, trên , 0, (2)
(, ) (, ), , [ ,0], (3)
tuuuftutht
t
ut
usx sx u s q
trong đó 2
([ ,0]; ( ))Cq L
là hàm cho
trước, t
là ký hiệu của đạo hàm phân thứ
bậc (0,1)
theo nghĩa Riemann-Liouville.
Trong bài toán này, hàm ()hC
là hàm trễ.
Các phương trình giả Parabolic dùng để
mô hình hoá nhiều quá trình trong vật lý, ví
dụ như quá trình chuyển động của chất lỏng
trong đá, hoặc dùng để mô tả sự lan truyền
một chiều của sóng dài, phân tán phi tuyến
(xem [4]). Lớp phương trình này được nhóm
tác giả T.W. Ting và R.E. Showalter được
đưa ra từ những năm 70 (xem [4], [5]) và
được quan tâm nghiên cứu nhiều ngay sau đó.
Trong thời gian gần đây, lớp phương trình
giả parabolic với đạo hàm bậc phân tiếp tục
thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều
nhóm tác giả cả trong nước lẫn ngoài nước.
Với bài toán giá trị ban đầu không có trễ, ta
chú ý rằng thành phần đạo hàm bậc phân
giúp mô tả chính xác hơn các quá trình vật lý.
Sự tồn tại, ổn định và bùng nổ của nghiệm
trong thời gian hữu hạn đã được nghiên cứu
với rất nhiều công bố đối với lớp bài toán
này. Ngoài ra, kết quả về sự tồn tại nghiệm
toàn cục và tính ổn định tiệm cận, tính ổn
định yếu với lớp bài toán (I) mới được nghiên
cứu gần đây trong [1].
Tuy nhiên, theo hiểu biết của tác giả, các
kết quả cho bài toán (I) về tính ổn định, ổn
định mũ trong thời gian hữu hạn chưa được
quan tâm nghiên cứu. Do đó, trong bài báo
này, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính ổn định,
ổn định mũ của nghiệm bài toán (I) trong thời
gian hữu hạn.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để chứng minh tính hút hữu hạn, chúng tôi
sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp
với bất đẳng thức dạng Halanay.
Trước hết, chúng tôi trình bày công thức
nghiệm và một số kiến thức cần dùng. Các
kiến thức được sử dụng ở mục này có thể
xem trong tài liệu [1].
Định nghĩa 1. Với
2
[,0], ()qCL
cho trước, hàm 2
([ , ]; ( ))uC qTL
là một
nghiệm của bài toán (I) trên khoảng [,]qT
nếu () ()us s
với
,0
s
q và:
0
() () (0)
(),( (), [0,]
()
t
ut S t
tfuRhdtT
trong đó,
22 22
(): ( ) ( ); (): ( ) ( )St L L Rt L L
là các toán tử giải xác định bởi công thức:
1
() (, ) ,
nnn
n
St t
1
.
1
() (, )
1nnn
nn
Rt rt
Các định nghĩa của ,
nn
, ,
s
r
và các
tính chất sau của toán tử ()St
và ()Rt
có
thể xem trong [1].

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
93
Bổ đề 1.
Với 0
{()}
t
St
và 0
{()}
t
Rt
là các họ toán tử
giải thức xác định như trên. Ta có các tính
chất sau:
(a) Với mỗi 2()vL và 0T,
2
( ) ([0, ]; ( ))SvC TL
và ()S
là khả vi trên
(0, ). Ngoài ra,
1
'2
() (, ) , [0, ],
( ) , ( ), 0.
Stv st v t T
v
Stv vL t
t
‖‖ ‖‖
‖‖
‖‖
(b) Với 2(), 0vL T
và 2
([0, ]; ( ))gC T L
.
Khi đó, 2
() ([0, ]; ( ))RvC TL
và
*([0,];)CRg T
, với mọi (0,1)
. Hơn nữa,
1
1
1
() (, ) , (0, )
1
Rtv rt v t T
‖‖ ‖‖ ,
1
0
1
1
(*)() ( ,) () ,
1
t
Rgt rt g d
‖‖ ‖‖
[0, ]tT,
1
2
111/2 2
11 1
0
(*)()
(,)() ,[0,].
t
Rgt
rt g d t T
‖‖
‖‖
Với 2
([ ,0]; ( ))Cq L
cho trước, đặt:
22
([0, ]; ( )) { ([0, ]; ( )) : ( ,0) ( ,0)}.CTL xCTL x
Với 2
([0, ]; ( ))xC TL
, ta định nghĩa
2
[ ] ([ , ]; ( ))xChTL
như sau:
() khi [0, ],
[]() () khi [ ,0].
x
ttT
xt ttq
Do đó, ta có:
( ) khi ( ) 0, ,
[]() () khi () ,0.
x
tht tht T
xt tht tht q
Cho 22
: ([0, ]; ( )) ([0, ]; ( ))CTL CTL
là toán tử được định nghĩa như sau:
0
()(,) ()(0) ( ) (, () .
t
h
ut St Rt f u d
Toán tử được gọi là toán tử nghiệm. Ta
thấy rằng là toán tử liên tục. Hơn nữa,
[]u
là nghiệm nhẹ của bài toán (I) nếu và
chỉ nếu u là điểm bất động của ánh xạ
. Sử
dụng các định lý điểm bất động, các kết quả
về sự tồn tại nghiệm của bài toán (I) đã được
chứng minh.
3. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TRONG
THỜI GIAN HỮU HẠN
Cho tới nay, các khái niệm về tính ổn định
trong thời gian hữu hạn của nghiệm khá đa
dạng và nhiều khái niệm được sử dụng rộng
rãi. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng
khái niệm nghiệm hút và tính hút mũ của
nghiệm trong thời gian hữu hạn. Khái niệm
này đã được nhiều nhà nghiên cứu sử dụng
trong lí thuyết định tính phương trình đạo
hàm riêng phân thứ.
Định nghĩa 2.
Gọi ()
là tập nghiệm của (I) với điều
kiện ban đầu
. Với ()u
là một nghiệm
của (I), ta định nghĩa:
(i) u được gọi là nghiệm hút trên đoạn
0,T nếu tồn tại 0
thoả mãn:
TTh h
vu
‖‖‖‖
với mọi ()\{}B
và ()v
,B
là hình
cầu có bán kính
.
(ii) u được gọi là hút mũ trên đoạn [0,T] nếu
0()()
1
sup sup sup 1.lim TTh
Bv
uv
‖‖
trong đó h
‖‖ là chuẩn sup trong 2
([ ,0]; ( ))Ch L
.
Để chứng minh tính hút theo thời gian hữu
hạn của nghiệm, ta sử dụng bất đẳng thức
kiểu Halanay sau đây:
Bổ đề 2. Cho :[ , )w
là hàm
liên tục thỏa mãn:
0
0[(),]
() (,)
(,)[sup()()],0,(4)
() (), [ ,0], (5)
zs ss
ww
sk vz sds
ws s s
trong đó 0k
, ([ ,0]; )C
và
1()
loc
L
là hàm không giảm. Khi đó, với
mọi 0
:
00[,0]
() ( ,)() sup ().[]
s
k
wwssds s
k
Định lý 1. Với 22
:[0, ] ( ) ( )fTL L
là
hàm liên tục thoả mãn:
(, ) (, ) ( ) h
f
tv f tu r v u
‖‖‖‖

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
94
với mọi [0, ]tT, 2
,()uv L, ,uvr
‖‖‖‖ .
Nếu
x
là nghiệm ứng với điều kiện ban đầu
, thì
x
là nghiệm hút trên đoạn
0,T với
mọi 2()L
.
Chứng minh.
Gọi ˆ
u là nghiệm tương ứng với điều kiện
ban đầu
. Ta có:
0
ˆ
() () ()( )
ˆ
( )[ ( , ( ( ))) ( , ( ( )))] .
t
ut ut S t
t s fsus hs fsus hs dsR
Từ đó thu được
1
1
01
ˆ
() () (, )
(,)
1
ˆ
( , ( ( ))) ( , ( ( )))
t
ut ut s t
rt s
f
sus hs f sus hs ds
‖‖‖‖
‖‖
1
1
01
(, )
(,) ˆ
() () () .
1
t
st
rt s rususds
‖‖
‖‖
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu
được:
1
11
ˆ
() () (, ( )(1 ) )
(0, ].,
ut ut s t r
tT
‖‖ ‖‖
‖‖
Các bổ đề sau đây dùng để chứng minh
tính hút mũ của nghiệm phương trình (1).
Chứng minh các bổ đề này có trong [3].
Bổ đề 3. Với u là nghiệm của (I). Nếu:
()
0
sup sup 1,lim
h
TT
vh
vu
‖‖
‖‖
‖‖
thì u là hút mũ trên [0, ]T.
Bổ đề 4. Nếu (, ) ( )
f
tv r v
‖‖‖‖ với
[0, ]tT, và 2(),vL v r ‖‖ . Khi đó:
()
0
sup sup 0, [0, ].lim
hv
vtT
‖‖ ‖‖
Định lý sau chứng minh tính hút mũ của
nghiệm bài toán trên [0, ]T.
Định lý 2. Với (, ) ( )
f
tv r v
‖‖‖‖ với
[0, ]tT
, với vr
‖‖ . Khi đó, nghiệm tầm
thường của bài toán (I) là hút mũ trên
0,T,
với điều kiện:
11
(1 ) ( ).r
Chứng minh.
Giả sử ()u
, ta có
1
101
(,)
() (, ) (, )
1
t
s
rt s
ut s t f su ds
‖‖ ‖‖ ‖ ‖
11
0
1
()
(, ) ( , ) ( ) .
1
t
r
s
trtsusds
‖‖ ‖ ‖
Từ đó ta có:
1
11
() (, ( )(1 ) ) (0, ]., ut s t r t T
‖‖ ‖‖
Vậy:
1
11
() (, ( )(1 ) ) 1.
ut st r
‖‖
‖‖
Ta thu được điều cần chứng minh.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] D. Lan and T. V. Tuan, Long time behavior
of solutions for time-fractional pseudo-
parabolic equations involving time-varying
delays and superlinear nonlinearities. J.
Pseudo-Differ. Oper. Appl. 14 (2023), no.4,
Paper No. 74, 27 pp.
[2] V. Padron, Effect of aggregation on
population recovery modeled by a forward--
backward pseudoparabolic equation, Trans.
Am. Math. Soc. 356 (2004), 2739--2756.
[3] V. N. Phong, D. Lan, Finite-time attractivity
of solutions for a class of fractional
differential inclusions with finite delay, J.
Pseudo-Differ. Oper. Appl. 12 (2021), 1--18.
[4] R.E. Showalter and T.W. Ting, Pseudoparabolic
partial differential equations, SIAM J. Math.
Anal. 1 (1970), 1--26.
[5] T.W. Ting, Parabolic and pseudo-parabolic
partial differential equations, J. Math. Soc.
Japan 21 (1969), 440--453.