Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
07. NH TH C NIU-TƠN – P4<br />
Th y ng Vi t Hùng [ VH]<br />
<br />
L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên T h p]<br />
Ví d 1: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x<br />
1 3 C 20n +1 + C 2 n +1 + C 22n +1 + C 2 n +1 + ... + C 2nn +1 = 1024<br />
<br />
21<br />
<br />
2 trong khai tri n nh th c Niu-tơn x 2 − x <br />
<br />
3n<br />
<br />
; x ≠ 0 bi t<br />
<br />
+) Ta có khai tri n : (1 + x )<br />
Vì C<br />
k 2 n +1<br />
<br />
2 n +1<br />
<br />
L i gi i: 0 1 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + ... + C2 n +1 x 2 n +1<br />
<br />
0 1 2 2 n +1 0 1 2 n Cho x = 1 ư c: 22 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ...C2 n +1<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
=C<br />
<br />
2 n +1− k 2 n +1<br />
<br />
Do ó: 1024 = 2 ⇒ n = 5 .<br />
2n<br />
<br />
15 0 2 15 − k −2 k k +) Khi ó: A = x 2 − = ∑ C15 x 2 k = ( −2 ) ∑ C15 x3 k −15 x x 0 15 Cho 3k − 15 = 21 ⇒ k = 12 . 21 H s c a s h ng ch a x trong khai tri n là: −3640<br />
<br />
15<br />
<br />
15 − k<br />
<br />
1 Ví d 2: [ VH]. Tìm h s c a x trong khai tri n nh th c Newton bi u th c P ( x) = 3 + x 2 v i n x n +1 n+ 2 2n 100 nguyên dương th a mãn: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .<br />
20<br />
<br />
n<br />
<br />
L i gi i :<br />
+1 n C22nn+1 = 1 và Cnk = Cn − k ; ∑Cnk = 2n . Ta có:<br />
<br />
n<br />
<br />
k =0<br />
<br />
+1 +2 2n 0 1 +1 2n+ C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 = 2100 − 1 ⇔ C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + ... + C2 n +11 = 2101 ⇔ 22 n +1 = 2101 ⇔ n = 50 50 1 2 k V i n = 50 ⇒ P ( x) = 3 + x = ∑C50 x5 k −150 x k =0 20 S h ng này ch a x ⇒ 5k − 150 = 20 ⇔ k = 34 34 V y h s c a s h ng ch a x 20 là C50 50<br />
<br />
Ví d 3: [ VH]. Cho khai tri n ( x 2 − 3 x + 2 ) tìm h s ch a x 2 trong khai tri n ó.<br />
n 4 Bi t C22n + C2 n + ... + C22nn = 219 − 1<br />
<br />
L i gi i :<br />
k 2n Xét: (1 + 1) 2 n = ∑ C 2 n = C0 n + C1 n + ... + C 2 n 2 2 k =0 k 2 (1 − 1)2 n = ∑ C2 n (−1) k = C0 n − C1 n − ... + C2 n 2 2 n k =0 2n 2n<br />
<br />
C ng hai v c a chúng l i ta có: 22 n = 2C0 n + 2 P = 2 + 2(219 − 1) ⇒ n = 10 2 Ta có: ( x 2 − 3 x + 2 ) = ( x − 1)<br />
10 10<br />
<br />
( x − 2)<br />
<br />
10<br />
<br />
= ∑ ( −1)<br />
k =0<br />
<br />
10<br />
<br />
10 − k<br />
<br />
k C10 x k ∑ ( −2 ) i=0<br />
<br />
10<br />
<br />
10 −i<br />
<br />
i C10 x i<br />
<br />
Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br />
<br />
có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br />
<br />
Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br />
2<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
10 − k<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
Khi ó h s ch a x trong khai tri n là<br />
9 9<br />
<br />
∀i ; k<br />
<br />
∑ ( −1)<br />
<br />
C . ( −2 )<br />
k 10<br />
<br />
10 −i<br />
<br />
C<br />
<br />
i 10<br />
<br />
k = i = 1 th a mãn: i + k = 2 ⇒ i = 0; k = 2 i = 2; k = 0 <br />
<br />
1 1 1 Khi k = i = 1 h s s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 2 0 2 i = 0; k = 2 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 8 10 0 2 2 i = 2; k = 0 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 28 C10 10 8<br />
1 2 2 V y h s ch a x 2 trong khai tri n trên là 210.C10 + 210.C10 + 28.C10 = 67840<br />
<br />
1 Ví d 4: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a 4 + x 7 , bi t r ng x <br />
26<br />
1 2 n C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 220 − 1<br />
<br />
n<br />
<br />
L i gi i<br />
0 1 2 + S d ng khai tri n sau: (1 + x) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + C2 n +1 x 2 + ... + C22nn+11 x 2 n +1 0 1 n +1 Cho x = 1 ta có: 2 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C22n +1 + ... + C22n +1 n M t khác ta có công th c: Cnk = Cn − k 0 1 2 Do v y: 2 2 n +1 = 2(C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) = 2(1 + 2 20 − 1) ⇒ n = 10<br />
<br />
10 10 1 k 1 k Xét khai tri n: 4 + x 7 = ∑ C10 4 ( x 7 )10− k =∑ C10 x 70 −11k x x k =0 k =0<br />
<br />
10<br />
<br />
k<br />
<br />
ng v i h s c a s h ng ch a x26 ta có: 70 − 11k = 26 ⇔ k = 4<br />
4 V y h s c a s h ng ch a x26 là C10<br />
+1 +2 +3 2 n −1 2n 2n+ Ví d 5: [ VH]. Cho x > 0 và C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +11 = 236 .<br />
<br />
1 Tìm s h ng không ph thu c x trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a 5 − x . x L i gi i : k 2 n +1− k Ta có C2 n +1 = C2 n +1 ∀k : 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên 1 0 +1 +2 3 2 n −1 2n 2 n +1 1 2 −1 + C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 = ( C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C22nn+1 + C22nn+1 + C22nn+11 ) 2 2 n +1 0 1 2 2 n −1 + Mà (1 + 1) = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C22nn+1 + C22nn+11 suy ra 236 = 2n ⇔ n = 18<br />
18 18 6 −18 1 1 1 k k k k 5 5 5 − x = − x = ∑ C18 .(− x) = ∑ C18 (−1) . ( x ) 5 x x k =0 k =0 x 6k − 18 S h ng không ph thu c x ng v i = 0 ⇔ k = 3. 5 3 Suy ra s h ng c n tìm là C18 (−1)3 = −816<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
18<br />
<br />
18− k<br />
<br />
Ví d 6: [ VH]. Cho<br />
<br />
n +1 n+2 n+3 2 n −1 2n ng th c C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 = 28 − 1 .<br />
<br />
Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n 1 − x + x3 − x 4<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
n<br />
<br />
.<br />
<br />
L i gi i :<br />
Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br />
<br />
Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y<br />
<br />
NG VI T HÙNG<br />
<br />
Facebook: LyHung95<br />
<br />
n +1 n+2 n+3 2 n −1 2n t S = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1<br />
<br />
0 1 2 n −1 n n +1 n+2 2n 2 n +1 Ta có (1 + 1) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n+1 0 2 n +1 2n 2 n −1 n+2 n +1 n +1 n+ 2 2 n −1 2n ⇒ 22 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
(<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
)<br />
<br />
⇒ 22 n +1 = 2 + 2S ⇒ 22 n = 1 + S ⇒ 22 n = 28 ⇒ n = 4 .<br />
⇒ 1 − x + x3 − x 4<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
n<br />
<br />
4 = (1 − x) + x3 (1 − x) = (1 − x ) 1 + x3 <br />
<br />
4<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
4<br />
<br />
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 = C4 − C4 x + C4 x 2 − C4 x3 + C4 x 4 C4 + C4 x3 + C4 x 6 + C4 x9 + C4 x12 .<br />
1 3 4 2 Ta có h s c a x10 là: −C4 .C4 + C4 .C4 = −10<br />
<br />
(<br />
<br />
)(<br />
<br />
)<br />
<br />
BÀI T P LUY N T P<br />
Bài 1: [ VH]. Tìm h s c a x4 trong khai tri n bi u th c (1 + x + 2 x 2 )<br />
0 n mãn C2 n + C22n + C24n + ... + C22n = 512 .<br />
<br />
n<br />
<br />
bi t n là s nguyên dương th a<br />
<br />
/s: a4 = 105<br />
<br />
Bài 2: [ VH]. Tìm h s c a x5 trong khai tri n bi u th c (1 − 2 x + 4 x 2 )<br />
2 4 6 1006 mãn C2014 + C2014 + C2014 + ... + C2014 = 2503 n − 1 .<br />
<br />
3n<br />
<br />
bi t n là s nguyên dương th a<br />
<br />
/s: n = 4 ⇒ a5 = −99264<br />
2 Bài 3: [ VH]. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a 3 − x 2 , bi t r ng x <br />
1 2 n C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 228 − 1<br />
n<br />
<br />
/s: n = 14 ⇒ a0 = 372736<br />
<br />
Bài 4: [ VH]. Tìm s h ng không ch a x14 trong khai tri n 1 + x + 3 x 2<br />
1 2 n th a mãn Cn + Cn + ... + Cn = 255<br />
<br />
(<br />
<br />
)<br />
<br />
n<br />
<br />
, bi t r ng n là s nguyên dương<br />
<br />
/s: n = 8 ⇒ a14 = 37908<br />
<br />
Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN<br />
<br />
có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!<br />
<br />