Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

308
lượt xem 48
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4" đưa ra một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện về Nhị thức Niu Tơn. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích chó các em học sinh lớp 11 ôn tập và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán cơ bản và nâng cao 11: Nhị thức Niu Tơn phần 4

Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 07. NH TH C NIU-TƠN – P4 Th y ng Vi t Hùng [ VH] L I GI I CHI TI T CÁC BÀI T P CÓ T I WEBSITE MOON.VN [Tab Toán h c – Khóa Toán cơ b n và Nâng cao 11 – Chuyên T h p] Ví d 1: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x 1 3 C 20n +1 + C 2 n +1 + C 22n +1 + C 2 n +1 + ... + C 2nn +1 = 1024 21 2  trong khai tri n nh th c Niu-tơn  x 2 −  x  3n ; x ≠ 0 bi t +) Ta có khai tri n : (1 + x ) Vì C k 2 n +1 2 n +1 L i gi i: 0 1 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + ... + C2 n +1 x 2 n +1 0 1 2 2 n +1 0 1 2 n Cho x = 1 ư c: 22 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ...C2 n +1 ( ) =C 2 n +1− k 2 n +1 Do ó: 1024 = 2 ⇒ n = 5 . 2n 15 0 2 15 − k   −2  k k +) Khi ó: A =  x 2 −  = ∑ C15 x 2 k   = ( −2 ) ∑ C15 x3 k −15 x x    0 15 Cho 3k − 15 = 21 ⇒ k = 12 . 21 H s c a s h ng ch a x trong khai tri n là: −3640 15 15 − k  1  Ví d 2: [ VH]. Tìm h s c a x trong khai tri n nh th c Newton bi u th c P ( x) =  3 + x 2  v i n x  n +1 n+ 2 2n 100 nguyên dương th a mãn: C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 . 20 n L i gi i : +1 n C22nn+1 = 1 và Cnk = Cn − k ; ∑Cnk = 2n . Ta có: n k =0 +1 +2 2n 0 1 +1 2n+ C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 = 2100 − 1 ⇔ C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 + ... + C2 n +11 = 2101 ⇔ 22 n +1 = 2101 ⇔ n = 50 50  1 2 k V i n = 50 ⇒ P ( x) =  3 + x  = ∑C50 x5 k −150 x  k =0 20 S h ng này ch a x ⇒ 5k − 150 = 20 ⇔ k = 34 34 V y h s c a s h ng ch a x 20 là C50 50 Ví d 3: [ VH]. Cho khai tri n ( x 2 − 3 x + 2 ) tìm h s ch a x 2 trong khai tri n ó. n 4 Bi t C22n + C2 n + ... + C22nn = 219 − 1 L i gi i : k 2n Xét: (1 + 1) 2 n = ∑ C 2 n = C0 n + C1 n + ... + C 2 n 2 2 k =0 k 2 (1 − 1)2 n = ∑ C2 n (−1) k = C0 n − C1 n − ... + C2 n 2 2 n k =0 2n 2n C ng hai v c a chúng l i ta có: 22 n = 2C0 n + 2 P = 2 + 2(219 − 1) ⇒ n = 10 2 Ta có: ( x 2 − 3 x + 2 ) = ( x − 1) 10 10 ( x − 2) 10 = ∑ ( −1) k =0 10 10 − k k C10 x k ∑ ( −2 ) i=0 10 10 −i i C10 x i Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y 2 NG VI T HÙNG 10 − k Facebook: LyHung95 Khi ó h s ch a x trong khai tri n là 9 9 ∀i ; k ∑ ( −1) C . ( −2 ) k 10 10 −i C i 10 k = i = 1 th a mãn: i + k = 2 ⇒ i = 0; k = 2  i = 2; k = 0  1 1 1 Khi k = i = 1 h s s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 2 0 2 i = 0; k = 2 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 210.C10 8 10 0 2 2 i = 2; k = 0 h s là: ( −1) C10 . ( −2 ) C10 = 28 C10 10 8 1 2 2 V y h s ch a x 2 trong khai tri n trên là 210.C10 + 210.C10 + 28.C10 = 67840  1  Ví d 4: [ VH]. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a  4 + x 7  , bi t r ng x  26 1 2 n C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 220 − 1 n L i gi i 0 1 2 + S d ng khai tri n sau: (1 + x) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + C2 n +1 x 2 + ... + C22nn+11 x 2 n +1 0 1 n +1 Cho x = 1 ta có: 2 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C22n +1 + ... + C22n +1 n M t khác ta có công th c: Cnk = Cn − k 0 1 2 Do v y: 2 2 n +1 = 2(C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2nn +1 ) = 2(1 + 2 20 − 1) ⇒ n = 10 10 10  1  k  1  k Xét khai tri n:  4 + x 7  = ∑ C10  4  ( x 7 )10− k =∑ C10 x 70 −11k x  x  k =0 k =0 10 k ng v i h s c a s h ng ch a x26 ta có: 70 − 11k = 26 ⇔ k = 4 4 V y h s c a s h ng ch a x26 là C10 +1 +2 +3 2 n −1 2n 2n+ Ví d 5: [ VH]. Cho x > 0 và C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +11 = 236 .  1  Tìm s h ng không ph thu c x trong khai tri n nh th c Niu-tơn c a  5 − x  .  x    L i gi i : k 2 n +1− k Ta có C2 n +1 = C2 n +1 ∀k : 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên 1 0 +1 +2 3 2 n −1 2n 2 n +1 1 2 −1 + C2nn +1 + C2nn +1 + C2nn++1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 = ( C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C22nn+1 + C22nn+1 + C22nn+11 ) 2 2 n +1 0 1 2 2 n −1 + Mà (1 + 1) = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C22nn+1 + C22nn+11 suy ra 236 = 2n ⇔ n = 18 18 18 6 −18  1   1   1 k k k k 5 5 5 − x =  − x  = ∑ C18    .(− x) = ∑ C18 (−1) . ( x ) 5  x     x k =0 k =0    x    6k − 18 S h ng không ph thu c x ng v i = 0 ⇔ k = 3. 5 3 Suy ra s h ng c n tìm là C18 (−1)3 = −816 n n 18 18− k Ví d 6: [ VH]. Cho n +1 n+2 n+3 2 n −1 2n ng th c C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 = 28 − 1 . Tìm h s c a s h ng ch a x10 trong khai tri n 1 − x + x3 − x 4 ( ) n . L i gi i : Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia! Khóa h c Toán Cơ b n và Nâng cao 11 – Th y NG VI T HÙNG Facebook: LyHung95 n +1 n+2 n+3 2 n −1 2n t S = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 0 1 2 n −1 n n +1 n+2 2n 2 n +1 Ta có (1 + 1) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n+1 0 2 n +1 2n 2 n −1 n+2 n +1 n +1 n+ 2 2 n −1 2n ⇒ 22 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + ... + C2 n+1 + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 + C2 n +1 ( ) ( ( ) ) ⇒ 22 n +1 = 2 + 2S ⇒ 22 n = 1 + S ⇒ 22 n = 28 ⇒ n = 4 . ⇒ 1 − x + x3 − x 4 ( ) n 4 = (1 − x) + x3 (1 − x)  = (1 − x ) 1 + x3   4 ( ) 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 = C4 − C4 x + C4 x 2 − C4 x3 + C4 x 4 C4 + C4 x3 + C4 x 6 + C4 x9 + C4 x12 . 1 3 4 2 Ta có h s c a x10 là: −C4 .C4 + C4 .C4 = −10 ( )( ) BÀI T P LUY N T P Bài 1: [ VH]. Tìm h s c a x4 trong khai tri n bi u th c (1 + x + 2 x 2 ) 0 n mãn C2 n + C22n + C24n + ... + C22n = 512 . n bi t n là s nguyên dương th a /s: a4 = 105 Bài 2: [ VH]. Tìm h s c a x5 trong khai tri n bi u th c (1 − 2 x + 4 x 2 ) 2 4 6 1006 mãn C2014 + C2014 + C2014 + ... + C2014 = 2503 n − 1 . 3n bi t n là s nguyên dương th a /s: n = 4 ⇒ a5 = −99264  2  Bài 3: [ VH]. Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a  3 − x 2  , bi t r ng  x  1 2 n C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 228 − 1 n /s: n = 14 ⇒ a0 = 372736 Bài 4: [ VH]. Tìm s h ng không ch a x14 trong khai tri n 1 + x + 3 x 2 1 2 n th a mãn Cn + Cn + ... + Cn = 255 ( ) n , bi t r ng n là s nguyên dương /s: n = 8 ⇒ a14 = 37908 Tham gia khóa Toán Cơ b n và Nâng cao 11 t i MOON.VN có s chu n b t t nh t cho kì thi THPT qu c gia!