zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

173
lượt xem 41
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nhị thức Niu tơn thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P5 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức - Tổ hợp] 2 22 2n n 121 Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cn = 2 3 n +1 n +1 Lời giải: Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + ... + Cn x n 0 1 2 2 n n 3n +1 − 1 22 23 2n +1 n Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được: = 2Cn0 + Cn1 + Cn3 + ... + Cn n +1 2 3 n +1 2 22 2n n 3n +1 − 1 121 3n +1 − 1 ⇔ Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cn = ⇔ = ⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1) Vậy n = 4. Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh: Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + (n + 1)Cnn = (n + 2)2n −1 , với n nguyên dương. Lời giải: Ta có : x(1 + x) = xC + xC x + xC x + xC x + ... + Cnn x n (1) n 0 n 1 n 2 n 2 3 3 n Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: (1 + x) n + nx(1 + x) n −1 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 x 2 + ... + (n + 1)Cnn x n (2) Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh. 1 0 1 1 1 2 1 1 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính tổng S = C2011 − C2011 + C2011 − ... + 2010 C2011 − 2011 C2011 3 4 5 2013 2014 Lời giải: Ta có (1 − x) 2011 = C2011 − C2011 x + C2011 x − ... + C2011 x − C2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 x Suy ra x 2 (1 − x) 2011 = C2011 0 x 2 − C2011 1 x3 + C2011 2 x 4 − ... + C2011 x − C2011 2010 2012 2011 2013 x 1 1 ∫x (1 − x) ∫ (C x − C2011 x3 + C2011 x 4 − ... + C2011 x − C2011 ) 2 2011 0 2 1 2 2010 2012 2011 2013 dx = 2011 x dx 0 0 1 1 0 3 1 1 4 1 2 5 1 1 2011 2014  =  C2011 x − C2011 x + C2011 x − ... + C2011 x − 2010 2013 C2011 x  3 4 5 2013 2014 0 1 0 1 1 1 2 1 1 = C2011 − C2011 + C2011 − ... + 2010 C2011 − 2011 C2011 3 4 5 2013 2014 1 ∫ Vậy S = x 2 (1 − x) 2011 dx . 0 Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx . Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0 0 1 1 S = ∫ (1 − t ) 2 t 2011 (− dt ) = ∫ (t 2 − 2t + 1)t 2011dt = ∫ (t 2013 − 2t 2012 + t 2011 )dt 1 0 0 1  t 2014 t 2013 t 2012  1 2 1 1 = −2 +  = − + =  2014 2013 2012  0 2014 2013 2012 2013.2014.1006 Ví dụ 4: [ĐVH]. Với n là số nguyên dương. Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 2 1 23 2 2 n +1 n 3n +1 − 1 Chứng minh rằng : 2C n + Cn + Cn + ... +0 Cn = 2 3 n +1 n +1 Lời giải: n Xét khai triển (1 + x ) = ∑ Cn k x k n (1) k =0 (1 + x) n +1 2 n x k +1 2 2 2 n ∫ (1 + x) dx = ∫ ∑ Cn x ⇔ = ∑ Cn k n k k Lấy tích phân hai vế của (1) ta có: 0 0 k =0 n + 1 0 k =0 k +1 0 n +1 2 2 2 2 3n +1 − 1 3 Từ đó dẫn tới : 2C n + Cn + Cn + ... + 1 02 Cn = n 2 3 n +1 n +1 1 1 1 1 1023 Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm số nguyên dương n thoả mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ⋯ + Cnn = 2 3 4 n +1 10 Lời giải: 1 1 Xét khai triển (1 + x ) = C + C x + C x + ⋯ + C x ⇒ ∫ (1 + x ) dx = ∫ ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ⋯ + Cnn x n )dx n 0 1 2 2 n n n n n n n 0 0 n +1 1 (1 + x ) 1  1 1 1  ⇒ =  Cn0 x + Cn1 x 2 + Cn2 x 3 + ⋯ + Cnn x n +1  n +1  2 3 n +1 0 0 2 n +1 − 1 1 1 1 1 1023 ⇒ = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + ⋯ + Cnn = n +1 2 3 4 n +1 n +1 n +1 n +1 ⇒ 2 − 1 = 1023 ⇔ 2 = 1024 = 2 ⇔ n + 1 = 10 ⇔ n = 9 10 Ví dụ 6: [ĐVH]. Tính tổng: S = 12 C2011 1 + 22 C2011 2 + 32 C2011 3 + ... + 20102 C2011 2010 + 20112 C2011 2011 Lời giải: Ta có (1 + x ) =C +C x+C x +C x + ⋯ + C2011 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 x (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được: 2011(1 + x ) = C2011 + 2 xC2011 + 3 x 2C2011 + ⋯ + 2011x 2010C2011 2010 1 2 3 2011 nhân hai vế với x ta được: 2011x (1 + x ) = xC2011 + 2 x 2C2011 + 3 x3C2011 + ⋯ + 2011x 2011C2011 2010 1 2 3 2011 (2) Lấy đạo hàm hai vế (2) ta được ( 2011 (1 + x ) 2010 + 2010 x (1 + x ) 2019 )=C 1 2011 + 22 xC2011 2 + 32 x 2C2011 3 + ⋯ + 20112 x 2010C2011 2011 (3) Thay x = 1 vào ta được 2011( 22010 + 2010.2 2009 ) = 12 C12011 + 2 2 C22011 + 32 C32011 + 20112 C 2011 2011 Vậy S = 2011.2012.22009 n  1  Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của  x + 4  biết rằng  2 x n là số nguyên dương thỏa mãn: Cn + 2Cn + 3Cn + ⋯ + ( n − 1) Cn + nCn = 64n 1 2 3 n −1 n Lời giải: Xét khai triển (1 + x ) = C + C x + C x + ... + C n −1 n −1 + Cnn x n n 0 1 2 2 n n n n x Lấy đạo hàm hai vế ta có n (1 + x ) = Cn1 + 2Cn2 x + ... + ( n − 1) Cnn −1 x n − 2 + nCnn x n −1 n −1 Thay x = 1 suy ra Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ⋯ + ( n − 1) Cnn −1 + nCnn = n2n −1 ⇔ 64n = 2 n −1 ⇔ 64 = 2n −1 ⇔ n = 7 7 k  1  ( x)  1  7 7−k Khi đó ta có  x + 4  = ∑ C7k  4   2 x  k =0 2 x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 7−k k Số hạng chứa x 2 có hệ số là C7k k với k thoả mãn − =2⇔k =2 2 2 4 1 21 Suy ra hệ số chứa x 2 là C72 = 4 4 n  2  Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm hệ số của x 20 trong khai triển  3 + x5  biết rằng: x  1 1 1 1 Cn − Cn + C n + ... + ( − 1) Cn = 0 1 2 n n 2 3 n +1 13 Lời giải: 1 (1 − x) n+1 1 1 1 Ta có ∫ (1 − x) dx = − ∫ (1 − x) d (1 − x) = − n = n 0 0 n +1 n +1 0 Mặt khác, (1 − x) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − .... + (−1) n n n Cn x 1 1 1 1 1 ⇒ ∫ (Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − .... + (−1)n Cnn x n )dx = Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1) n Cnn = 0 2 3 n +1 13 ⇒ n + 1 = 13 ⇒ n = 12 n 12 12− k ( ) 12 12  2   2  k  2  k Khi đó ta có  3 + x5  =  3 + x5  = ∑ C12 . 3  x5 = ∑ C12k 12 − k 8 k −36 .2 .x x  x  k =0 x  k =0 0 ≤ k ≤ 20 Số hạng chứa x 20 ứng với k thoả mãn:  ⇔k =7 8k − 36 = 20 ⇒ Hệ số của x 20 là: C12 7 5 .2 = 25344 Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho đẳng thức C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn++31 + ... + C22nn+−11 + C22nn+1 = 28 − 1 . ( ) n Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển 1 − x + x3 − x 4 . Lời giải: Đặt S = C2nn++11 + C2nn++21 + C2nn++31 + ... + C22nn+−11 + C22nn+1 Ta có (1 + 1) 2 n +1 = C20n +1 + C21n +1 + C22n+1 + ... + C2nn−+11 + C2nn +1 ( ) + C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn+1 + C22nn++11 ( ) ( ⇒ 22 n +1 = C20n +1 + C22nn++11 + C22nn+1 + C22nn+−11 + ... + C2nn++21 + C2nn++11 + C2nn++11 + C2nn++21 + ... + C22nn+−11 + C22nn+1 ) 2 n +1 ⇒2 = 2 + 2S ⇒ 2 2n = 1+ S ⇒ 2 2n = 2 ⇒ n = 4. 8 ( ) ( ) n 4 4 = (1 − x) + x3 (1 − x)  = (1 − x ) 1 + x3 4 ⇒ 1 − x + x3 − x 4 ( )( = C40 − C41 x + C42 x 2 − C43 x3 + C44 x 4 C40 + C41 x3 + C42 x 6 + C43 x9 + C44 x12 . ) Ta có hệ số của x10 là: −C41 .C43 + C44 .C42 = −10 n  1  Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  x + 4  , biết 2  2 x 2 3 n +1 2 2 2 6560 rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: 2 C n0 + C n1 + C n2 + ⋯ + C nn = 2 3 n +1 n +1 Lời giải: 2 2 ( Ta có I = ∫ (1 + x) dx = ∫ Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ⋯ + Cnn x n dx n ) 0 0 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2n +1 n 2  1 1 1  22 23 =  Cn0 x + Cn1 x 2 + Cn2 x3 + ⋯ + Cnn x n+1  ⇒ I = 2Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋯ + Cn (1)  2 3 n +1 0 2 3 n +1 1 2 3n +1 − 1 Mặt khác I = (1 + x)n +1 = (2) n +1 0 n +1 22 23 2 n+1 n 3n+1 − 1 Từ (1) và (2) ta có 2Cn0 + Cn1 + Cn2 + ⋯ + Cn = 2 3 n +1 n +1 n +1 3 − 1 6560 Theo bài ra thì = ⇔ 3n +1 = 6561 ⇒ n = 7 n +1 n +1 7 k 14 −3k  1  ( ) 7 7−k  1  7 1 k 4 Ta có khai triển  x + 4  = ∑ C7k x  4  = ∑ C x k 7  2 x 0 2 x 0 2 14 − 3k 1 21 Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn = 2 ⇔ k = 2 Vậy hệ số cần tìm là 2 C72 = 4 2 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN n  1  Bài 1: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  4 + x 7  , biết rằng 26 x  C21n +1 + C22n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 ( ) n Bài 2: [ĐVH]. Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức A = 1 − x − 3 x 2 thành đa thức. Trong đó n là ( ) số nguyên dương thỏa mãn 2 C22 + C32 + C42 + ... + Cn2 = 3 An2+1 Bài 3: [ĐVH]. Tìm hệ số của x6 trong khai triển 1 + x 2 (1 + x )  thành đa thức. 7 Bài 4: [ĐVH]. Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x 2 (1 − x )  thành đa thức. 8 Bài 5: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1 + 2x + 3x2)10. Bài 6: [ĐVH]. Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + 3(1 + x)3 +......+ 15(1 + x)15. Bài 7: [ĐVH]. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 7 1  1  Bài 8: [ĐVH]. Tìm hệ số của số hạng chứa 3 khi khai triển P( x) = 1 − 2 x +  x  3 2   x  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.