CHUYÊN ĐỀ
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
TÍNH TỔNG CỦA KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN
1. Nhận dạng:
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp 1. (đạo
hàm 1 lần)
* Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dương liên tiếp thì ta dùng đạo
hàm cấp 2; hoặc mất 0
n
C và 1
n
C hoặc n
n
C và 1-n
n
C
2. Các bước giải
* Bước 1: Chon khai triển (b + x)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k k
n
C ak-1bn-k
* Bước 2: Chọn đạo hàm cấp 1, cấp 2.
* Bước 3: Chọn x = a kết quả.
3. Bài tập.
Bài 1. Tính tổng: S = 1.201
n
C + 2.212
n
C + 3.223
n
C + … + n.2n - 1 n
n
C
HD: (1 + x)n = C0
n + xC1
n + x2C2
n + x3C3
n + … + xnCn
n
n(1 + x)n – 1 = C1
n + 2x1C2
n + 3x2C3
n + … + nxn - 1Cn
n
Thay x = 2 ta được S = n.3n – 1
Bài 2. Tính tổng: S = n.30n
n
C + (n - 1)311-n
n
C + (n - 2).322-n
n
C + … + 1.3n - 1 1
n
C
HD Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 3 ta được S = n4n – 1
Bài 3. Chứng minh rằng: 1 1
n
C + 2 2
n
C + 3 3
n
C + … + n n
n
C = n2n – 1
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x = 1
Bài 4. Chứng minh rằng:
1n
n
n
1n
3
n
2
2
n
1
1
n
02
3
nC
2
n
...C
2
3
C
2
2
C
2
1
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc nhất 2 vế, thay x =
2
1
Bài 5. Tìm n Z+ thoả mãn:
1.201
12n
C - 2.212
12n
C + 3.223
12n
C - … + (2n + 1).22n 12n
12n
C
= 2005
(Đề ĐH + CĐ - A - 2005)
HD: Khai triển (-1 + x)2n + 1, lấy đạo hàm bậc nhất hai vế, thay x = 2 ta được 2005 = 2n + 1
Bài 6. Tìm số nguyên dương n thoả mãn:
2006 + 1.201
2n
C - 2.212
2n
C + 3.223
2n
C - … + 2n.22n - 1 2n
2n
C = 0
HD: Sử dụng khai triển (1 + x)2n
Bài 7. Tính tổng: S = 1.2 2
n
C + 2.3 3
n
C + 3.4 4
n
C + … + (n-1)n n
n
C
HD: Khai triển (1 + x)n, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 1, ta được S = n(n-1)2n - 2
Bài 8. S = 2.1.302
200
C - 3.2.313
200
C + 4.3.324
200
C - … + 200.199.3198 200
200
C
HD: Khai triển (1 - x)200, lấy đạo hàm bậc 2 hai vế, thay x = 3, ta được S = 200.199.2198
Bài 9. Tính tổng S = 12C1
n + 22C2
n + 32C3
n + 42C4
n + … + n2Cn
n
HD: Ta có: S = 1(1+0)C1
n + 2(1+1)C2
n + 3(2+1)C3
n + 4(3+1)C 4
n + … + n(n-1+1)C n
n =
= [2.1C2
n + 3.2C3
n + 4.3C 4
n + … + n(n-1)C n
n] + [1C1
n+ 2C 2
n + 3C3
n + 4C 4
n + … + nCn
n]
Bài 10. Tính tổng S = 2C1
100 + 3C 2
100 + 4C 3
100 + … + 101C100
100
HD: Khai triển x(1 + x)100, tính đạo hàm và thay x = 1.
Bài 11. Tính tổng: S = 31.2.C1
n + 32.3.C2
n + 33.4.C3
n + … + 3n(n + 1)C n
n
HD: Khai triển x(1 + x)n , tính đạo hàm 2 vế và thay x = 3
Bài 12. Tính tổng; S = 1.21C1
n + 2.22C2
n + 3.23C3
n + … + n.2nCn
n
HD: S = 1.21C1
n + 2.22C2
n + 3.23C3
n + … + n.2nCn
n
= (2 - 1).21C1
n+ (3 - 1).22C2
n+ (4 - 1).23C3
n+ … + (n + 1- 1).2nCn
n
= (2.21C1
n + 3.22C2
n+ 4.23C3
n+ … + (n+1).2nCn
n) - (21C1
n+ 22C2
n+ 23C3
n+ … + 2nCn
n)
Bài 13. Chứng minh rằng:
2.21C2
100 + 4.23C4
100 + 6.25C6
100 + … + 100.299C100
100 = 50(399 + 1)
HD: Khai triển: (1 + x)100 và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)100 và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 2
Bài 14. Tính tổng: S = 1.C1
2n + 3.C3
2n + 5.C5
2n + … + (2n - 1)C 12n
2n
HD: Khai triển: (1 + x)2n và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)2n và lấy đạo hàm
Trừ vế với vế và thay x = 1
Bài 15. Chứng minh rằng: 2C 2
12n + 4C4
12n + 6C6
12n + … + 2nC2n
12n = (2n + 1).22n – 1
HD: Khai triển: (1 + x)2n+1 và lấy đạo hàm.
Khai triển: (1 - x)2n+1 và lấy đạo hàm
Cộng vế với vế và thay x = 1
4. Giải đề thi:
Bài 15. Chứng minh rằng: C1
n.3n – 1 + 2.C 2
n.3n – 2 + 3.C 3
n.3n – 3 + … + nC n
n = n.4n – 1, trong đó n là
một số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1.
(ĐH Luật HCM – A - 2001)
HD: Khai triển (3 + x)n, lấy đạo hàm và thay x = 1
Bài 16. Tìm số nguyên dương n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 .... ( 1) ( 1)2 .... 2 (2 1)2 40200
k k k n n
n n n n
C C k k C n n C
(Tài liệu ôn thi đại học)
HD: Khai triển (1 - x)2n + 1, lấy đạo hàm và thay x = 2
Bài 17. Tính tổng:
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C ... 2010C .