Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH DIỆU

ĐỊNH LÝ ROLLE, QUY TẮC DẤU DESCARTES

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn đã được bảo vệ tr ước Hội đồng ch ấm Lu ận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1 MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Đa thức và các bài toán liên quan luôn đóng vai trò quan trọng

trong toán học không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng

tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý

thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết biểu diễn, tối ưu... Đặc biệt

bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với các hệ số thực là

vấn đề được quan tâm của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết

quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu để xác

định số nghiệm âm, dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố

dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho.

Bên cạnh đó Định lý Rolle và một số mở rộng (Định lý

Lagrange, Định lý Cauchy) là các định lý quan trọng về giá trị trung

bình trong chương trình giải tích cổ điển. Ứng dụng của các định lý

này trong chương trình toán trung học phổ thông rất đa dạng và

phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải phương trình, biện luận

số nghiệm của phương trình trên một khoảng, chứng minh bất đẳng

thức... Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế thì các

bài toán về đa thức, phương trình và các vấn đề liên quan cũng được

đề cập nhiều và được xem như những dạng toán khó ở bậc trung học

phổ thông. Các bài toán liên quan đến đa thức và phương trình cũng

nằm trong chương trình thi Olympic sinh viên giữa các trường đại

học và cao đẳng trong cả nước về Giải tích và Đại số.

2 Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu

chúng tôi lựa chọn đề tài: “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và

ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung,

tính chất liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và một

số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các đa thức với dãy các hệ số thực.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng

dụng.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên

cứu liên quan đến định lý olle và quy tắc dấu escartes.

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các

kết quả đang nghiên cứu.

5. Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Ở chương 1 giới thiệu các khái niệm, các tính chất về sự đổi dấu

và vị trí đổi dấu của dãy, trình bày định lý olle, quy tắc dấu

Descartes.

Đến chương 2 trình bày các bài toán liên quan đến định lý olle

và quy tắc dấu escartes.

3 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan

đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng dụng thực tế qua các

ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho

những ai muốn nghiên cứu về định lý olle và quy tắc dấu

Descartes.

Chứng minh chi tiết các định lí và làm rõ một số tính chất, cũng

như đưa ra một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng

tiếp cận vấn đề được đề cập.

4 CHƢƠNG 1

ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES

1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY

Trong luận văn này, khi nói đến các đa thức, chuỗi luỹ thừa hay

dãy số ta đều xét chúng là các số thực. Tiếp đó, nếu không nói ngược

lại, các hàm được đưa vào đều giả thiết là giải tích trong các khoảng

đã nêu. Tuy nhiên các định lý được khẳng định chỉ cần thay đổi

không lớn lắm hoặc thậm chí hoàn toàn không cần một sự thay đổi

nào khi thay giả thiết này bằng giả thiết yếu hơn, chẳng hạn với đòi

hỏi tồn tại đạo hàm đến một cấp nào đó. Khắp nơi về sau, các không

điểm được tính theo bội của nó.

Và để thuận tiện cho việc lập luận, ta quy ước số 0 là số chẵn.

Ta cần xét một số khái niệm sau:

Định nghĩa 1.1. [7]. Không điểm của hàm số là điểm

mà ở đó hàm số triệt tiêu .

Định nghĩa 1.2. [7]. Cho dãy gồm hữu hạn hay vô

hạn các số hạng.

Chỉ số được gọi là vị trí đổi dấu của dãy nếu có

,

hoặc là

và

5 , .

Trong trường hợp thứ nhất thì và , còn trong trường hợp

thứ hai thì và lập thành vị trí đổi dấu.

Định nghĩa 1.3. [7]. Hàm được gọi là duy trì dấu trong

khoảng nếu hoặc ,

Giả sử khoảng được chia thành khoảng con sao

cho:

a. không đồng nhất triệt tiêu trong khoảng con nào đó.

b. Trong mỗi khoảng con duy trì dấu.

c. Trong hai khoảng con kề nhau có dấu ngược nhau.

Khi đó ta nói rằng trong khoảng hàm có lần đổi

dấu.

Nhận xét 1.1. Khi vượt qua không điểm bậc lẻ, hàm giải tích bị

thay đổi dấu còn khi vượt qua không điểm bậc chẵn thì không đổi

dấu.

Định nghĩa 1.4. [7]. Ta gọi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa

thức

hoặc của chuỗi luỹ thừa

chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hữu hạn hoặc vô hạn các

hệ số

6 tương ứng

1.2. CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY VÀ

HÀM

Tính chất 1.1. [7]. Số vị trí đổi dấu của một dãy nào đó không

thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn

lại vẫn bảo toàn vị trị tương hỗ của nó.

Tính chất 1.2. [7]. Các dãy

và

có cùng một số vị trí đổi dấu.

Tính chất 1.3. [7]. Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số vị trí

đổi dấu không tăng thêm.

Tính chất 1.4. [7]. Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số

lượng tùy ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy vẫn không

thay đổi.

Tính chất 1.5. [7]. Số vị trí đổi dấu của dãy sẽ không thay đổi

nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy, ta đặt một số hạng mới có

cùng dấu với số hạng đó.

Tính chất 1.6. [7]. Nếu , ,... thì các dãy ,

và

có cùng những vị trí đổi dấu.

7 Tính chất 1.7. [7]. Dãy có số vị

trí đổi dấu không lớn hơn so với dãy .

Tính chất 1.8. [7]. Nếu dãy vô hạn chỉ có một

số hữu hạn vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên nhờ dãy đã cho:

cũng chỉ có một số hữu hạn vị trí đổi dấu và số đó không lớn hơn

.

Tính chất 1.9. [7]. Trong khoảng mà khắp nơi , các hàm

và có cùng các không điểm.

Tính chất 1.10. [7]. Cho hàm liên tục trên khoảng ,

và không là không điểm của hàm . Khi đó

i. Nếu thì chứa một số lẻ các không

điểm trên khoảng .

ii. Nếu thì chứa một số chẵn các không

điểm trên khoảng .

Tính chất 1.11. [7]. Giả sử khác 0 ( ). Khi đó:

i. Nếu và cùng dấu thì dãy số hữu hạn

sẽ có một số chẵn vị trí đổi dấu.

ii. Nếu và trái dấu thì dãy số hữu hạn sẽ

có một số lẻ vị trí đổi dấu.

8 Tính chất 1.12. [7]. Nếu và là những vị trí đổi dấu

kề nhau của dãy thì dãy các hiệu số

có một số lẻ vị trí đổi dấu (do đó có ít nhất một lần đổi dấu).

Tính chất 1.13. [7]. Nếu dãy số

có vị trí đổi dấu thì dãy hiệu lập thành từ dãy đó

sẽ có ít nhất vị trí đổi dấu .

Tính chất 1.14. [7]. Nếu dãy hữu hạn

có vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên từ nó theo cách sau

sẽ có không ít hơn vị trí đổi dấu (loại trừ trường hợp tầm

thường khi mọi số hạng của dãy đều bằng 0).

Tính chất 1.15. [7]. Nếu và thì các đa thức

sẽ có số vị trí đổi dấu như nhau.

Tính chất 1.16. [7]. Giả sử dãy vô hạn có

vị trí đổi dấu. Khi đó dãy

,

9 trong đó có ít nhất vị trí đổi dấu. Ngoài ra nếu thỏa điều

kiện thì thậm chí dãy đã nêu có cực tiểu là vị trí

đổi dấu.

Tính chất 1.17. [7]. Nếu dãy có vị trí đổi

dấu thì dãy

có không quá vị trí đổi dấu.

Tính chất 1.18. [7]. Cho đa thức

có số vị trí đổi dấu là , khi đó đa thức có số vị trí đổi

dấu không lớn hơn .

Tính chất 1.19. [7]. Giả sử số và đa thức

có số vị trí đổi dấu là thì đa thức

có số vị trí đổi dấu lớn hơn .

Tính chất 1.20. [7]. Giả sử chuổi lũy thừa

,

có vị trí đổi dấu thì chuỗi lũy thừa

,

có số vị trí đổi dấu không thể tăng thêm.

10 1.3. ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ CÁC HỆ QUẢ

Cơ sở của định lý Rolle dựa vào hai định lý cơ bản nhất của

Weierstrass đối với hàm liên tục khẳng định rằng khi liên tục trên

đoạn thì nó phải đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

đoạn đó và định lý Fermat về điểm cực trị của hàm khả vi khẳng

định rằng nếu hàm liên tục trên đoạn , khả vi trong

đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại một điểm trong khoảng đó thì

đạo hàm tại điểm đó bằng 0.

Định lý 1.1. [2]. (Định lý Rolle) Giả sử là hàm liên tục trên

đoạn và có đạo hàm tại mọi . Nếu thì

tồn tại ít nhất một điểm sao cho .

Nhận xét 1.2.

1. Định lý Rolle sẽ không còn đúng nếu trong khoảng có

điểm mà tại đó không tồn tại. Chẳng hạn, xét hàm

, . Dễ thấy thoả mãn các điều kiện:

liên tục trên và . Ta xét đạo hàm

, rõ ràng tại đạo hàm không tồn tại,

nên hàm số không thoả mãn đủ các điều kiện của định lý Rolle.

2. Điều kiện liên tục trên đoạn đối với hàm cũng

không thể thay đổi bởi điều kiện liên tục trên khoảng .

Chẳng hạn, xét hàm

11

Ở đây là điểm gián đoạn. Khi đó, rõ ràng không tồn tại

để .

3. Ý nghĩa hình học: Nếu các điều kiện của định lý olle được

thoả mãn thì trên đồ thị của hàm số , tồn tại

điểm , mà tiếp tuyến tại đó song song với trục

hoành .

Hệ quả 1.1. Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng và

phương trình có nghiệm phân biệt thuộc khoảng

thì phương trình có ít nhất nghiệm phân biệt thuộc

khoảng . (Phương trình có ít nhất nghiệm

phân biệt thuộc khoảng , với ).

Nhận xét 1.3.

- Kết quả trên vẫn đúng nếu thay khoảng bởi các nửa

khoảng , hay đoạn hoặc chỉ là một điểm .

- Nếu hàm là đa thức bậc và có nghiệm thực thì

có nghiệm thực.

Hệ quả 1.2. Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và có

đạo hàm trên khoảng . Khi đó nếu phương trình có

không quá nghiệm phân biệt trên thì phương trình

có không quá nghiệm phân biệt trên khoảng đó.

12 Hệ quả 1.3. Nếu thì có số lượng các không

điểm trong khoảng không ít hơn so với trên khoảng

ấy. Kết quả vẫn đúng nếu thay bởi .

Hệ quả 1.4. Giả sử hàm có không điểm trong .

Khi đó hàm

có ít nhất không điểm trong khoảng đó. Hơn nữa, nếu thoả

mãn điều kiện

thì hàm đã nêu có ít nhất là không điểm.

Định lý 1.2. [5]. Giả sử là hàm liên tục trên , có đạo

hàm trên và . Khi đó tồn tại ít nhất một số

thực sao cho .

Định lý 1.3. [2]. Cho hàm số liên tục trên đoạn

và là một nguyên hàm của trong đoạn đó. Nếu tồn tại

các số thực với thì sao cho

phương trình có nghiệm trong đoạn (hay có nghiệm

trong đoạn ).

Định lý 1.4. [2]. (Định lý Lagrange) Giả sử là hàm liên tục

trên đoạn . Khi và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng

đó tồn tại ít nhất một điểm sao cho

13

Nhận xét 1.4:

- Ta đã thu được định lý Lagrange như là một hệ quả của Định

lý Rolle. Thế nhưng chính Định lý Rolle (về dạng biểu thức) lại là

một trường hợp riêng của Định lý Lagrange (ứng với giả thiết

).

- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm thoả mãn đầy đủ các điều

kiện của Định lý Lagrange thì trên đồ thị của hàm số phải

tồn tại ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại

điểm đó song song với dây cung , ở đó và

.

Định lý 1.5. (Định lý Cauchy) Giả sử , liên tục trên đoạn

và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng , ngoài ra

với mọi . Khi đó tồn tại ít nhất một điểm

sao cho

Nhận xét 1.5. Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lý

Cauchy với giả thiết .

1.4. QUY TẮC DẤU DESCARTES

Việc tìm ra mối liên hệ giữa số vị trí đổi dấu của đa thức và số

không điểm của nó là một kết quả cực kì lý thú. Kết quả đó sẽ giúp

chúng ta ước lượng được số nghiệm của đa thức, đặc biệt là những

14 đa thức bậc cao khi mà bằng phương pháp thông thường chúng ta

khó có thể ước lượng được số nghiệm của nó. Quy tắc dấu Descartes

sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này.

Định lý 1.6. [7]. (Quy tắc dấu Descartes) Giả sử là số không

điểm dương của đa thức

và

là số lần đổi dấu trong dãy hệ số của nó. Khi đó: i.

ii. là một số chẵn.

15 CHƢƠNG 2

NHỮNG ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ROLLE

VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES

2.1. ƢỚC LƢỢNG SỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC,

CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

2.1.1. Sử dụng quy tắc dấu Descartes

Chúng ta sử dụng quy tắc dấu escartes để xét số nghiệm

dương của đa thức

thông qua số lần đổi dấu của dãy các hệ số của đa thức. Từ đó, muốn

xác định số không điểm âm của đa thức thì ta đặt , khi

đó số không điểm âm của đa thức chính là số không điểm

dương của đa thức .

Đồng thời chúng ta cũng khảo sát một số kết quả về số không

điểm của đa thức trên một khoảng hoặc nửa khoảng nào đó.

Chẳng hạn, để xét số không điểm của đa thức

trong khoảng thì ta dùng phép đổi biến phân tuyến tính

.

Xem thì như là một hàm số đối với biến số

16

, .

Vậy hàm số là đồng biến trong khoảng và có tập giá trị

là . Vì vậy, với mỗi luôn tìm được duy nhất một

giá trị . Ta có

.

o đó

.

Xét hàm số

Dễ thấy số không điểm của đa thức bằng số

không điểm dương của đa thức . Xét số không điểm dương của

sẽ suy ra được số không điểm của đa thức .

Tương tự ta có thể xét số không điểm của đa thức

trên các nửa khoảng hoặc đoạn dạng .

Cũng vậy, để xét số không điểm của đa thức trên khoảng

tuỳ ý, ta thực hiện phép đổi biến

, .

17 Ta có

.

Khi ấy để xét số nghiệm của trong ta đi xét số

nghiệm của

,

trong đó

.

Để xét số không điểm của đa thức

,

trên ta tiến hành thực hiện phép đổi biến thì

và dẫn đến xét không điểm dương của đa thức

.

Sau đây ta sẽ đi xét các ví dụ cụ thể.

Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng đa thức

,

có đúng hai nghiệm dương và ít nhất một nghiệm âm.

Ví dụ 2.2. Xác định số nghiệm của đa thức sau trên .

18

,

Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng đa thức

có đúng hai nghiệm .

Ví dụ 2.4. Tính số nghiệm thực của phương trình

Ví dụ 2.5. (Singapore,78) Với đa thức bậc và các số

nào đó thoả mãn các bất đẳng thức

chứng minh tất cả nghiệm thực của đa thức đều thuộc .

Ví dụ 2.6. (CH C Đức, 83) Chứng minh rằng phương trình

có đúng hai nghiệm.

Ví dụ 2.7. (IMO 33-1992) Cho đa thức với hệ số hữu tỉ,

là số thực thoả:

Chứng minh rằng:

trong đó

2.1.2. Sử dụng định lý Rolle

Ví dụ 2.8. Cho và 19 là số dương tuỳ ý thoả mãn biểu

thức

.

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm

thuộc .

Ví dụ 2.9. Cho các số thực . Chứng minh rằng

phương trình luôn có nghiệm.

Ví dụ 2.10. Chứng minh rằng phương trình

có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong .

Ví dụ 2.11. (Olympic SV, 94) Cho số nguyên dương

. Chứng minh rằng phương trình:

có nghiệm trong khoảng .

2.2. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH

Đối với dạng bài tập này thì các hệ quả của định lý Rolle tỏ ra là

công cụ rất mạnh để giải toán. Kỉ thuật để giải một số bài toán trong

phần này như sau:

- Biến đổi phương trình cần giải về dạng .

20 - Xét hàm số . Tìm số nghiệm của phương trình

.

Giả sử phương trình có nghiệm. Khi đó theo Hệ

quả 1.2 thì phương trình có không quá nghiệm.

- Chỉ ra các nghiệm đó của phương trình.

Ví dụ 2.12. Biện luận số nghiệm của phương trình

.

Ví dụ 2.13. Giải phương trình

.

Ví dụ 2.14. Giải phương trình

Ví dụ 2.15. Giải phương trình

Ví dụ 2.16. (Toán học và Tuổi trẻ số 305) Hỏi phương trình

có bao nhiêu nghiệm trên đoạn ?

2.3. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 2.17. (Olympic Nga) Cho đa thức

,

có nghiệm phân biệt. Chứng minh:

Ví dụ 2.18. (CH C Đức, 70) Cho dương khác nhau

từng đôi một. Chứng minh rằng:

21

Ví dụ 2.19. Cho . Chứng minh rằng:

Ví dụ 2.20. Cho là ba số mà phương trình

có ba nghiệm phân biệt. Chứng minh:

.

2.4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC

Ví dụ 2.21. (Olympic SV, 01) Chứng minh rằng tồn tại số thực

sao cho

.

và có Ví dụ 2.22. Cho liên tục trên ,

thì tồn đạo hàm cấp hai trên đó. Chứng minh rằng với mọi

tại sao cho:

Ví dụ 2.23. Chứng minh rằng nếu phương trình

,

22 có 3 nghiệm dương thì

.

Ví dụ 2.24. Cho ba số thực thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ví dụ 2.25. (Tiệp khắc, 59) Chứng minh rằng nếu các số

thoả mãn các đẳng thức

thì các số này đều dương.

Ví dụ 2.26. Cho liên tục trên , có đạo hàm trên khoảng

thoả và . Với là số

thực cho trước, chứng minh rằng tồn tại dãy với

sao cho:

23 KẾT LUẬN

Luận văn “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và ứng dụng”

nhằm giới thiệu một số ứng dụng của quy tắc dấu escartes và Định

lý Rolle trong tập số thực, chủ yếu nghiên cứu một số dạng toán

thường gặp ở chương trình phổ thông. Luận văn đã đạt được một số

kết quả cụ thể như sau:

- Nghiên cứu các tài liệu khác nhau và trình bày lại một số

định nghĩa và tính chất liên quan đến sự đổi dấu của dãy, Định lý

olle và quy tắc dấu escartes, chứng minh chặt chẽ các định lý liên

quan.

- Giới thiệu một số phương pháp cụ thể để tìm nghiệm của đa

thức

- Áp dụng lý thuyết để đưa ra lời giải hoàn chỉnh cho một số

bài toán có liên quan, từ đó làm rõ tính hiệu quả của định lý Rolle và

quy tắc dấu Descartes.

Với những gì đã tìm hiểu được, chúng tôi hy vọng luận văn sẽ

là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân trong công tác giảng

dạy sau này và hy vọng luận văn cũng là nguồn tư liệu tốt cho những

ai quan tâm đến vấn đề này.

Tuy nhiên do thời gian và khả năng nghiên cứu của chúng tôi

là có hạn nên trong luận văn chưa có điều kiện để nghiên cứu về ứng

dụng của Định lý Rolle trong các bài toán hình học, mở rộng của

Định lý Rolle trong tập số phức…

24 Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có

hạn nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót. Vì thế chúng tôi

rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của quý thầy cô, bạn bè,

đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.