Các phép biến đổi trên tam giác: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI

TRÊN TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Phản biện 1: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 2: PGS. TS. HUỲNH THẾ PHÙNG

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học

Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

M— (cid:30)(cid:134)U

1. L(cid:254) do ch(cid:229)n (cid:31)• t(cid:160)i

Tam gi¡c l(cid:160) kh¡i ni»m quen thuºc v(cid:160) quan tr(cid:229)ng trong ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh To¡n

phŒ th(cid:230)ng.

C¡c t(cid:160)i li»u nghi¶n cøu c¡c v§n (cid:31)• li¶n quan (cid:31)‚n tam gi¡c cho (cid:31)‚n nay (cid:31)¢

r§t phong ph(cid:243), (cid:31)Æi h(cid:228)i nhœng c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cøu sau ph£i vła k‚ thła c¡c

c(cid:230)ng tr…nh tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)(cid:226), vła ph£i (cid:31)• c“p nhœng v§n (cid:31)• chuy¶n s¥u h(cid:236)n, v(cid:238)i mºt

l(cid:190)nh v(cid:252)c h(cid:181)p n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) v• tam gi¡c. Tuy nhi¶n, mºt sŁ v§n (cid:31)• d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y v• tam

gi¡c, cÆn (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)• c“p kh¡ ‰t:

- C¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ g(cid:226)c cıa tam gi¡c.

- C¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ c⁄nh cıa tam gi¡c.

- (cid:129)p d(cid:246)ng mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c (cid:31)” t⁄o ra c¡c b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i.

Lu“n v«n s‡ (cid:31)• c“p (cid:31)‚n ba v§n (cid:31)• tr¶n, gi(cid:243)p ta c(cid:226) th” gi£i (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ l(cid:238)p

c¡c b(cid:160)i to¡n li¶n quan (cid:31)‚n tam gi¡c ho(cid:176)c s¡ng t¡c (cid:31)(cid:247)æc nhi•u (cid:31)ﬂng thøc, b§t

(cid:31)ﬂng thøc kh¡c nhau tł mºt (cid:31)ﬂng thøc, b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)¢ bi‚t.

Do (cid:31)(cid:226), vi»c nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c l(cid:160) cƒn thi‚t, c(cid:226) (cid:254)

ngh(cid:190)a khoa h(cid:229)c, mang t‰nh th(cid:252)c ti„n v(cid:160) ph(cid:242) hæp v(cid:238)i chuy¶n ng(cid:160)nh Ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p To¡n s(cid:236) c§p.

2. M(cid:246)c ti¶u nghi¶n cøu

Lu“n v«n s‡ (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng ch(cid:243)ng

(cid:31)” gi£i mºt sŁ d⁄ng to¡n li¶n quan (cid:31)‚n tam gi¡c, mºt sŁ d⁄ng to¡n tŒng hæp,

l(cid:160) (cid:31)• thi trong c¡c k(cid:253) thi ch(cid:229)n h(cid:229)c sinh gi(cid:228)i c¡c n(cid:247)(cid:238)c, khu v(cid:252)c, Olympic to¡n

quŁc t‚.

Lu“n v«n c(cid:244)ng s‡ (cid:31)• xu§t mºt sŁ b(cid:160)i t“p t(cid:252) s¡ng t¡c, nh‹m ph(cid:246)c v(cid:246) cho

c(cid:230)ng t¡c gi£ng d⁄y v(cid:160) b(cid:231)i d(cid:247)(cid:239)ng h(cid:229)c sinh gi(cid:228)i (cid:240) phŒ th(cid:230)ng, (cid:31)(cid:176)c bi»t (cid:31)Łi v(cid:238)i h»

chuy¶n To¡n.

3. (cid:30)Łi t(cid:247)æng v(cid:160) ph⁄m vi nghi¶n cøu

- (cid:30)Łi t(cid:247)æng nghi¶n cøu: Mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c.

- Ph⁄m vi nghi¶n cøu: Thuºc chuy¶n ng(cid:160)nh Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p to¡n s(cid:236) c§p.

4. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p nghi¶n cøu

Tł c¡c t(cid:160)i li»u s(cid:247)u tƒm (cid:31)(cid:247)æc, d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) (cid:31)(cid:224)nh h(cid:247)(cid:238)ng cıa ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa

h(cid:229)c, lu“n v«n s‡ (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c v(cid:160) c¡c ¡p d(cid:246)ng

cıa ch(cid:243)ng.

5. (cid:222) ngh(cid:190)a khoa h(cid:229)c v(cid:160) th(cid:252)c ti„n cıa (cid:31)• t(cid:160)i

V(cid:238)i m(cid:246)c (cid:31)‰ch nghi¶n cøu n¶u tr¶n, nºi dung cıa lu“n v«n l(cid:160) c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a khoa

h(cid:229)c, mang t‰nh th(cid:252)c ti„n v(cid:160) ph(cid:242) hæp v(cid:238)i chuy¶n ng(cid:160)nh Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p To¡n s(cid:236)

c§p.

C(cid:226) th” sß d(cid:246)ng lu“n v«n nh(cid:247) l(cid:160) t(cid:160)i li»u tham kh£o cho gi¡o vi¶n, h(cid:229)c sinh

v(cid:160) b⁄n (cid:31)(cid:229)c quan t¥m (cid:31)‚n c(cid:230)ng t¡c b(cid:231)i d(cid:247)(cid:239)ng h(cid:229)c sinh gi(cid:228)i.

6. C§u tr(cid:243)c lu“n v«n

Ngo(cid:160)i phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, k‚t lu“n v(cid:160) t(cid:160)i li»u tham kh£o, lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc chia

th(cid:160)nh 3 ch(cid:247)(cid:236)ng:

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n nhœng ki‚n thøc c(cid:236) b£n, sß d(cid:246)ng cho nhœng ch(cid:247)(cid:236)ng

ti‚p theo nh(cid:247) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m Pexider; c¡c (cid:31)ﬂng thøc, b§t (cid:31)ﬂng thøc c(cid:236) b£n

trong tam gi¡c v(cid:160) B§t (cid:31)ﬂng thøc Erdos-Mordell.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. Ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n g(cid:226)c, c⁄nh tr¶n tam gi¡c v(cid:160) ¡p

d(cid:246)ng

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ g(cid:226)c, c⁄nh tr¶n

tam gi¡c v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng ch(cid:243)ng (cid:31)” tł mºt (cid:31)ﬂng thøc ho(cid:176)c b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)¢ bi‚t

li¶n quan (cid:31)‚n c¡c g(cid:226)c, c¡c c⁄nh cıa mºt tam gi¡c, ta c(cid:226) th” ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£

(cid:31)(cid:226) (cid:31)¢ n¶u (cid:31)” s¡ng t¡c ra nhi•u b(cid:160)i to¡n kh¡ phong ph(cid:243). B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” c(cid:226)

nhi•u c¡ch gi£i, nh(cid:247)ng ‰t nh§t mºt c¡ch gi£i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc t…m ra tł ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

s¡ng t¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3. Mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi kh¡c tr¶n tam gi¡c

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n vi»c ¡p d(cid:246)ng mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi kh¡c tr¶n tam

gi¡c, (cid:31)” tł B§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)¢ bi‚t (chﬂng h⁄n B§t (cid:31)ﬂng thøc Erdos-Mordell) ta

t⁄o ra nhi•u b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i th” hi»n c¡c y‚u tŁ cıa tam gi¡c.

CH(cid:215)(cid:204)NG 1

KI(cid:152)N TH(cid:217)C CHU(cid:137)N B(cid:192)

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n nhœng ki‚n thøc c(cid:236) b£n, sß d(cid:246)ng cho nhœng ch(cid:247)(cid:236)ng

ti‚p theo.

K‰ hi»u (cid:52), (cid:52)i lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) tam gi¡c ABC, AiBiCi (i = 0, 1, 2, 3). (cid:30)” thu“n ti»n, (cid:31)º l(cid:238)n c¡c g(cid:226)c øng v(cid:238)i c¡c (cid:31)¿nh Ai, Bi, Ci c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) Ai, Bi, Ci.

(cid:30)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c: ai, bi, ci. (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng cao øng v(cid:238)i c¡c c⁄nh: hai, hbi, hci. (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng trung tuy‚n øng v(cid:238)i c¡c c⁄nh: mai, mbi, mci. B¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p: Ri v(cid:160) ri. B¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p: rai, rbi, rci. L§y M l(cid:160) mºt (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c, ta k‰ hi»u:

Kho£ng c¡ch tł M (cid:31)‚n c¡c (cid:31)¿nh: Rai, Rbi, Rci. Kho£ng c¡ch tł M (cid:31)‚n c¡c c⁄nh: dai, dbi, dci. H…nh chi‚u cıa M l¶n c¡c c⁄nh: A1, B1, C1. Di»n t‰ch c¡c (cid:52)ABC, (cid:52)M BC, (cid:52)M CA, (cid:52)M AB lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) S, Sa, Sb, Sc. TŒng ho¡n v(cid:224): (cid:80) a, (cid:80) Ra, ..... C(cid:246) th” l(cid:160): (cid:80) a = a + b + c, (cid:80) Ra = Ra + Rb + Rc, ....

1.1. PH(cid:215)(cid:204)NG TR(cid:156)NH H(cid:128)M PEXIDER

 

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.1. Nghi»m li¶n t(cid:246)c cıa Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:160)m Pexider l(cid:160):



, x ∈ R.

f (x) = ax + c1 + c2 g(x) = ax + c1 h(x) = ax + c2

1.2. C(cid:129)C (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C V(cid:128) B(cid:135)T (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C C(cid:204) B(cid:131)N TRONG TAM GI(cid:129)C

1.2.1. C¡c (cid:31)ﬂng thøc c(cid:236) b£n trong tam gi¡c

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.2. ((cid:30)(cid:224)nh l‰ h(cid:160)m sŁ sin) Trong tam gi¡c ABC ta c(cid:226)

= = = 2R. a sin A b sin B c sin C

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.3. ((cid:30)(cid:224)nh l‰ h(cid:160)m sŁ c(cid:230)sin) Trong tam gi¡c ABC ta c(cid:226)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A,

b2 = c2 + a2 − 2ca cos B,

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.4. (C¡c c(cid:230)ng thøc v• di»n t‰ch) Di»n t‰ch tam gi¡c ABC (cid:31)(cid:247)æc

t‰nh theo mºt trong c¡c c(cid:230)ng thøc sau

S = aha = chc 1 2 1 2

bc sin A = ca sin B = ab sin C = bhb = 1 2 1 2

1 2 1 2 = pr

abc 4R (cid:113) = p(p − a)(p − b)(p − c) (c(cid:230)ng thøc H¶-r(cid:230)ng).

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.5. (C¡c h» thøc l(cid:247)æng gi¡c c(cid:236) b£n) V(cid:238)i A, B, C l(cid:160) ba g(cid:226)c

cıa mºt tam gi¡c, ta lu(cid:230)n c(cid:226) c¡c h» thøc sau

cos cos . sin A + sin B + sin C = 4 cos (1.1) A 2 B 2 C 2

sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. (1.2)

cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin . (1.3) A 2 B 2 C 2

cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C. (1.4)

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C. (1.5)

1.2.2. C¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc c(cid:236) b£n v• g(cid:226)c v(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i c¡c c⁄nh trong

tam gi¡c

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.6. (C¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc l(cid:247)æng gi¡c c(cid:236) b£n) V(cid:238)i A, B, C l(cid:160)

ba g(cid:226)c cıa mºt tam gi¡c, ta lu(cid:230)n c(cid:226) c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

√

. 0 < sin A + sin B + sin C ≤ 3 (1.6)

2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3 (1.7) , (tam gi¡c ABC nh(cid:229)n). √ 2, (tam gi¡c ABC t(cid:242)). (1.8)

2 < sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ , (tam gi¡c ABC nh(cid:229)n). (1.9) 3 2 √ 3 2 0 < sin A + sin B + sin C ≤ 1 + 9 4

(1.10) √

sin A. sin B. sin C ≤ 3 . (1.11) sin A + sin B + sin C ≥ sin 2A + sin 2B + sin 2C. 3 8 √

0 < sin A. sin B. sin C ≤ 3 . (1.12) 3 8

+ sin . 1 < sin (1.13) 3 2

≤ 1. (1.14) A 2 < sin2 A 2 B + sin 2 + sin2 B 2

C ≤ 2 + sin2 C 3 4 2 1 < cos2 A + cos2 B + cos2 C ≤ 3, (tam gi¡c ABC t(cid:242)). (1.15)

cos A. cos B. cos C ≤ . (1.16) 1 8

. −1 < cos A. cos B. cos C ≤ (1.17) 1 8

0 < cos A. cos B. cos C ≤ , (tam gi¡c ABC nh(cid:229)n). (1.18) √

2 < cos + cos + cos . (1.19) A 2 B 2 3 2 ≤ 3 √ (1.20)

+ sin + sin sin . (1.21) 1 8 C 2 tan A + tan B + tan C ≥ 3 (cid:19)2 (cid:18) B 2 A 2 C 2 3, (tam gi¡c ABC nh(cid:229)n). + cos2 C + cos2 B ≤ cos2 A 2 2 2

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.7. (B§t (cid:31)ﬂng thøc v• c⁄nh tam gi¡c) C¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng a, b, c

l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh cıa tam gi¡c khi v(cid:160) ch¿ khi

|b − c| < a < b + c. (1.22)

a + b > c, b + c > a, c + a > b. (1.23) ho(cid:176)c

1.3. B(cid:135)T (cid:30)(cid:143)NG TH(cid:217)C ERDOS-MORDELL

BŒ (cid:31)• 1.1. Cho tam gi¡c ABC v(cid:160) M l(cid:160) (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi (cid:31)(cid:226)

ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

db + dc. Ra ≥ b a c a

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra ((cid:30)TXR) khi M ∈ ha. BŒ (cid:31)• 1.2. Cho tam gi¡c ABC, M l(cid:160) (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c v(cid:160) M (cid:48) l(cid:160)

(cid:31)i”m (cid:31)Łi xøng v(cid:238)i M qua ph¥n gi¡c AK. Khi (cid:31)(cid:226) ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

Ra ≥ dc + db. b a c a

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi M (cid:48) ∈ ha. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.8. (B§t (cid:31)ﬂng thøc Erdos-Mordell) Cho tam gi¡c ABC v(cid:160) M

l(cid:160) (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi (cid:31)(cid:226) ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

(1.24) Ra + Rb + Rc ≥ 2 (da + db + dc) .

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi (cid:52)ABC (cid:31)•u v(cid:160) M l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m tam gi¡c ABC. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.9. Cho tam gi¡c ABC v(cid:160) M l(cid:160) (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi (cid:31)(cid:226)

ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

(1.25) aRa + bRb + cRc ≥ 2 (ada + bdb + cdc) .

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi M l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m tam gi¡c ABC. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.10. Cho tam gi¡c ABC v(cid:160) M l(cid:160) (cid:31)i”m n‹m trong tam gi¡c. Khi

(cid:31)(cid:226) ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc

+ b + c ≥ 2(a + b + c). a (1.26) Ra da Rb db Rc dc

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi (cid:52)ABC (cid:31)•u v(cid:160) M l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m tam gi¡c ABC. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 1.11. V(cid:238)i x, y > 0, ta lu(cid:230)n c(cid:226) b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

 

(x + y)α ≥ xα + yα, α ≥ 1;



(1.27)

(x + y)α ≥ 2α−1(xα + yα), 0 < α ≤ 1.

CH(cid:215)(cid:204)NG 2

PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I B(cid:131)O TO(cid:128)N Y(cid:152)U T¨ G´C,

C(cid:132)NH TR(cid:150)N TAM GI(cid:129)C V(cid:128) (cid:129)P D(cid:214)NG

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ g(cid:226)c, c⁄nh tr¶n

tam gi¡c v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng ch(cid:243)ng (cid:31)” t⁄o ra nhi•u b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i kh¡ phong ph(cid:243). C¡c ki‚n thøc trong ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [1] v(cid:160) [3].

2.1. PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I B(cid:131)O TO(cid:128)N Y(cid:152)U T¨ G´C TR(cid:150)N TAM GI(cid:129)C

2.1.1. Mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ g(cid:226)c tr¶n tam gi¡c

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.1. C¡c h(cid:160)m th(cid:252)c li¶n t(cid:246)c

A → A1, B → B1, C → C1

l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(2.1) A1 + B1 + C1 = π,

v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n

A + B + C = π, (2.2)

n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u ch(cid:243)ng th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

(2.3) A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ,

trong (cid:31)(cid:226) k + l + m + n = 1.

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a. V‰ d(cid:246) 2.1. Ch(cid:229)n k = −2, l = 1, m = 1, n = 1.

Khi (cid:31)(cid:226)

A1 = −2A + π; B1 = −2B + π; C1 = −2C + π.

, m = , n = 1. V‰ d(cid:246) 2.2. Ch(cid:229)n k = −1, l = 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

A1 = −A + ; B1 = −B + ; C1 = −C + π. π 2 π 2

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.2. C¡c h(cid:160)m th(cid:252)c li¶n t(cid:246)c

A → A1, B → B1, C → C1

l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(2.11) A1 + B1 + C1 = π; A1, B1, C1 ≥ 0,

v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n

A + B + C = π; A, B, C ≥ 0, (2.12)

n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u ch(cid:243)ng th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

A1 = kA + lπ, B1 = kB + mπ, C1 = kC + nπ

trong (cid:31)(cid:226) k + l + m + n = 1 v(cid:160)

l, m, k + l, k + m ≥ 0; l + m, k + l + m ≤ 1. (2.13)

hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥ 0. (2.14)

, l = , m = , n = V‰ d(cid:246) 2.3. Ch(cid:229)n k = − . D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a. 1 2 1 2 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

+ + + . , B1 = − , C1 = − A1 = − B 2 π 2 C 2 π 2 A 2 π 2

, l = 0, m = 0, n = V‰ d(cid:246) 2.4. Ch(cid:229)n k = . 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

+ . A1 = , B1 = , C1 = A 2 B 2 π 2 C 2

Nh“n x†t. Trong phƒn ti‚p theo, (cid:31)” c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u g(cid:229)n h(cid:236)n,

ta s‡ m(cid:230) t£ c¡c l(cid:238)p cıa tam gi¡c (cid:31)(cid:176)c bi»t nh(cid:247) sau

-) (cid:30)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p c¡c tam gi¡c

K = {(A, B, C) : A, B, C ≥ 0, A + B + C = π} (2.19)

ho(cid:176)c

K = {(A, B) : A, B ≥ 0, A + B ≤ π} (2.20)

(cid:111)

(cid:110)

(A, B, C) : 0 ≤ A, B, C ≤ , A + B + C = π (2.21) K0 = π 2

(cid:111)

(cid:110)

ho(cid:176)c

. (A, B) : 0 ≤ A, B ≤ , A + B ≥ (2.22) K0 = π 2 π 2

(cid:110)

(cid:111)

-) (cid:30)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p c¡c tam gi¡c kh(cid:230)ng nh(cid:229)n.

(A, B, C) : B ≥ 0, C ≥ 0, A ≥ , A + B + C = π (2.19) KA = +) Tam gi¡c kh(cid:230)ng nh(cid:229)n t⁄i A, k‰ hi»u l(cid:160) KA π 2

(cid:111)

(cid:110)

ho(cid:176)c

(cid:110)

(cid:111)

, B ≥ 0, A + B ≤ π . (A, B) : A ≥ (2.20) KA = π 2

, A + B + C = π (A, B, C) : A ≥ 0, C ≥ 0, B ≥ (2.21) KB = +) Tam gi¡c kh(cid:230)ng nh(cid:229)n t⁄i B, k‰ hi»u l(cid:160) KB π 2

(cid:111)

(cid:110)

ho(cid:176)c

(cid:110)

(cid:111)

, A + B ≤ π (A, B) : A ≥ 0, B ≥ (2.22) KB =

(A, B, C) : A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ , A + B + C = π (2.23) KC = π 2 +) Tam gi¡c kh(cid:230)ng nh(cid:229)n t⁄i C, k‰ hi»u l(cid:160) KC π 2

(cid:111)

(cid:110)

ho(cid:176)c

(A, B) : A ≥ 0, B ≥ 0, A + B ≤ . (2.24) KC = π 2

BŒ (cid:31)• 2.1.

i) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł K0 v(cid:160)o K, n‚u

l, m ≥ 0; + l, + m ≥ 0; + l + m, k + l + m ≤ 1. (2.25) k 2 k 2 k 2

hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; + l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ 0. (2.26) k 2 k 2 k 2

ii) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł K v(cid:160)o K0, n‚u

≤ l + m, k + l + m ≤ 1. ; l, m ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m ≤ (2.27) 1 2 1 2

hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0; 0 ≤ k + l, k + m, k + n ≤ . (2.28) 1 2



, l = , m = , n = D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a. V‰ d(cid:246) 2.5. Ch(cid:229)n k = . 1 3 1 4 1 4 1 6 Khi (cid:31)(cid:226)

+ A1 = A 3 π 4

+ ∈ K. (A, B, C) ∈ K0 → B1 = B 3 π 4

 

+ C1 = C 3



, l = , m = , n = . V‰ d(cid:246) 2.6. Ch(cid:229)n k = 1 8 3 8 1 3 π 6 1 6 Khi (cid:31)(cid:226)

+ A1 = A 8 3π 8

(A, B, C) ∈ K → + ∈ K0. B1 = B 8 π 3

 

+ C1 = C 8 π 6

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.3. C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi t(cid:247)(cid:236)ng øng 1 − 1 tł K0 v(cid:160)o K khi v(cid:160) ch¿ khi k = −2, l = m = n = 1 ngh(cid:190)a l(cid:160) khi v(cid:160) ch¿ khi A1 = π − 2A, B1 = π − 2B, C1 = π − 2C.

BŒ (cid:31)• 2.2.

i) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł K v(cid:160)o KC, n‚u

l ≥ 0, m ≥ 0, k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, l + m ≤ , k + l + m ≤ (2.33) 1 2 1 2

hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ ; k + l ≥ 0, k + m ≥ 0, k + n ≥ . (2.34) 1 2 1 2

ii) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł KC v(cid:160)o K, n‚u

l ≥ 0, m ≥ 0, + l ≥ 0, + m ≥ 0, l + m ≤ 1, + l + m ≤ 1 (2.35) k 2 k 2 k 2

hay

l ≥ 0, m ≥ 0; + l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ 0, k + n ≥ 0. (2.36) k 2 k 2 k 2



, l = , m = , n = D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a. V‰ d(cid:246) 2.7. Ch(cid:229)n k = − . 1 4 1 4 1 4 3 4 Khi (cid:31)(cid:226)

+ A1 = − A 4 π 4

(A, B, C) ∈ K → + B1 = − ∈ KC. B 4 π 4

 

+ C1 = − C 4 3π 4



, m = V‰ d(cid:246) 2.8. Ch(cid:229)n k = −1, l = , n = 1. 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

A1 = −A + π 2

 

(A, B, C) ∈ KC → ∈ K. B1 = −B + π 2

C1 = −C + π

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.4. C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi t(cid:247)(cid:236)ng , l = m = 0 ngh(cid:190)a l(cid:160) khi v(cid:160) ch¿ khi øng 1 − 1 tł K v(cid:160)o KC khi v(cid:160) ch¿ khi k = 1 2

. (2.37) A1 = , B1 = , C1 = A 2 C + π 2 B 2

BŒ (cid:31)• 2.3.

i) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł K0 v(cid:160)o KC, n‚u

l, m, + l, + m ≥ 0; + l + m, k + l + m ≤ . (2.42) k 2 k 2 k 2 1 2

hay

l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ + l ≥ 0, + m ≥ 0, + n ≥ ; . (2.43) 1 2 k 2 k 2 k 2 1 2

ii) C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi tł KC v(cid:160)o K0, n‚u

0 ≤ l, m, + l, + m ≤ + l + m, l + m ≥ ; . (2.44) k 2 k 2 1 2 k 2 1 2

hay

0 ≤ l, m ≤ ; 0 ≤ + l, + m, + n ≤ ; 0 ≤ k + n ≤ . (2.45) 1 2 k 2 k 2 k 2 1 2 1 2



, l = 0, m = 0, n = D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)§y l(cid:160) v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a. V‰ d(cid:246) 2.9. Ch(cid:229)n k = . 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

A1 = A 2

(A, B, C) ∈ K0 → B1 = ∈ KC. B 2

 

+ C1 = C 2



, l = , m = , n = . V‰ d(cid:246) 2.10. Ch(cid:229)n k = − 1 2 1 2 π 2 1 2 1 2 Khi (cid:31)(cid:226)

+ A1 = − π 2 A 2

+ (A, B, C) ∈ KC → B1 = − ∈ K0. π 2 B 2

 

+ C1 = − π 2 C 2

1 2 −B, C1 = π−C hay A = −B1, C = π−C1. −A1, B = −A, B1 = A1 = (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.5. C¡c h(cid:160)m A1, B1, C1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.3) bi‚n (cid:31)Œi t(cid:247)(cid:236)ng øng , k = −1, ngh(cid:190)a l(cid:160) khi v(cid:160) ch¿ khi 1 − 1 tł K0 v(cid:160)o KC khi v(cid:160) ch¿ khi l = m = π 2 π 2 π 2 π 2

2.1.2. Mºt sŁ v‰ d(cid:246) ¡p d(cid:246)ng

Tł h» thøc l(cid:247)æng gi¡c (cid:31)¢ bi‚t, ta c(cid:226) th” t⁄o ra nhœng h» thøc kh¡c c(cid:226) mŁi

li¶n h» v(cid:238)i h» thøc §y. Tł (cid:31)(cid:226), ngo(cid:160)i c¡ch gi£i truy•n thŁng (sß d(cid:246)ng ph†p bi‚n

(cid:31)Œi l(cid:247)æng gi¡c) ta c(cid:226) th” gi£i b(cid:160)i to¡n b‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o

to(cid:160)n g(cid:226)c trong tam gi¡c.

V‰ d(cid:246) 2.11. Gi£ sß (A, B, C) ∈ K0. Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.3, ta c(cid:226) (π − 2A, π − 2B, π − 2C) ∈ K. (cid:129)p d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o c¡c B§t (cid:31)ﬂng thøc "gŁc" nh(cid:247) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.11), (1.15), (1.24) v(cid:160) (1.26), ta c(cid:226) b(cid:160)i to¡n chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i sau.

B(cid:160)i to¡n 2.1. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC nh(cid:229)n ta c(cid:226): √

. a) 0 < sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ 3 3 2

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin 4A + sin 4B + sin 4C ≥ 0. √

. 3 2

(cid:19)

c) 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 3 d) (cos A + cos B + cos C)2 ≤ sin2 A + sin2 B + sin2 C. V‰ d(cid:246) 2.12. Gi£ sß (A, B, C) ∈ K.

(cid:18)A 2

, , + Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.4, ta c(cid:226) ∈ KC. (cid:129)p d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o B 2 C 2 π 2

c¡c B§t (cid:31)ﬂng thøc "gŁc" nh(cid:247) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.13), (1.15) v(cid:160) (1.20), ta c(cid:226) b(cid:160)i

to¡n chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i sau.

√ 2. < 1 + B(cid:160)i to¡n 2.2. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC ta lu(cid:230)n c(cid:226): a) 0 < sin C 2

≥ sin A + sin B − sin C.

< 2. + cos C 2 − cos2 C 2

B A + sin 2 2 B A + cos b) sin + sin 2 2 + cos2 B c) 0 < cos2 A 2 2 V‰ d(cid:246) 2.13. Gi£ sß (A, B, C) ∈ KC. Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.4, ta c(cid:226) (2A, 2B, 2C − π) ∈ K. (cid:129)p d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o c¡c B§t (cid:31)ﬂng thøc "gŁc" nh(cid:247) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.18), (1.19), (1.24) v(cid:160) (1.22), ta

c(cid:226) b(cid:160)i to¡n chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i sau.

. B(cid:160)i to¡n 2.3. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC t(cid:242) ta lu(cid:230)n c(cid:226): a) 1 < sin A + sin B − cos C ≤ 3 2

b) 3 4 < sin2 A + sin2 B − cos2 C < 1. √

. c) 2 < cos A + cos B + sin C <≤ 3 3 2

≤ cos 2A cos 2B cos 2C < 1. d) − 1 8

V‰ d(cid:246) 2.14. Gi£ sß (A, B, C) ∈ KC. , −B + Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.5, ta c(cid:226) (−A + π 2 π 2

, −C + π) ∈ K0. (cid:129)p d(cid:246)ng k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o c¡c B§t (cid:31)ﬂng thøc "gŁc" nh(cid:247) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.12), (1.14), (1.23) v(cid:160) (1.25), ta c(cid:226) b(cid:160)i to¡n chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i sau.

√

. a) 2 < cos A + cos B + sin C ≤ 3

. b) 2 < cos2 A + cos2 B + sin2 C ≤ B(cid:160)i to¡n 2.4. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC t(cid:242) ta lu(cid:230)n c(cid:226): 3 2 9 4

c) − 1 8 ≤ sin A sin B cos C < 0. √ 3. d) cot A + cot B − tan C ≥ 3

(cid:19)

V‰ d(cid:246) 2.15. Gi£ sß (A, B, C) ∈ K.

(cid:18)π − A 2

, , Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.3, ta c(cid:226) ∈ K0. (cid:129)p d(cid:246)ng k‚t qu£ π − B 2

π − C 2 nay v(cid:160)o (cid:30)ﬂng thøc (1.7) v(cid:160) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.21).

Ta phŁi hæp k‚t qu£ tr¶n v(cid:160) (cid:30)ﬂng thøc (1.6) (cid:31)” t⁄o ra b(cid:160)i to¡n chøng minh

b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i.

cos . B 2 A 2 C 2 B(cid:160)i to¡n 2.5. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC ta lu(cid:230)n c(cid:226): a) sin A sin B sin C ≤ cos cos b) sin A sin B sin C ≤ sin A + sin B + sin C.

V(cid:230) v(cid:160)n b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i s‡ (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra n‚u ta ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa c¡c

(cid:31)(cid:224)nh l‰ (cid:31)¢ n¶u, m(cid:160) c¡c v‰ d(cid:246) tr¶n ch¿ m(cid:238)i l(cid:160) mºt sŁ ‰t k‚t qu£ minh h(cid:229)a. D(cid:247)(cid:238)i

(cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ b(cid:160)i to¡n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252).

B(cid:160)i to¡n 2.6. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC c(cid:226) ba g(cid:226)c nh(cid:229)n ta

c(cid:226):

(tan A tan B tan C) . ≤ sin A + sin B + sin C cos A + cos B + cos C

1 3 B(cid:160)i to¡n 2.7. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC (cid:31)•u khi v(cid:160) ch¿ khi

(cid:18)

(cid:19)

cos + cos + cos

cot cot cot . = A 2 B 2 1 3 C 2 sin + sin + sin B 2 B 2 A 2 A 2 C 2 C 2

B(cid:160)i to¡n 2.8. Cho tam gi¡c ABC kh(cid:230)ng vu(cid:230)ng, chøng minh r‹ng:

3 tan2 A tan2 B tan2 C − 5 (cid:0)tan2 A + tan2 B + tan2 C(cid:1)

≤ 9 + tan2 A tan2 B + tan2 B tan2 C + tan2 C tan2 A.

(cid:18)

(cid:19)

B(cid:160)i to¡n 2.9. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC ta lu(cid:230)n c(cid:226):

− 5

(cid:18)

(cid:19)

. a) 3 cot2 A 2 ≤ 9 + cot2 A 2 cot2 B 2 cot2 B 2 cot2 C 2 + cot2 B 2 cot2 A 2 cot2 C 2 + cot2 B 2 + cot2 C 2 + cot2 C 2 cot2 A 2

− 5

. b) 3 tan2 A 2 ≤ 9 + tan2 A 2 tan2 B 2 tan2 B 2 cot2 C 2 + tan2 B 2 tan2 A 2 cot2 C 2 + tan2 B 2 + tan2 A 2 + cot2 C 2 cot2 C 2

B(cid:160)i to¡n 2.10. (Tuy”n t“p (cid:31)• thi Olimpic 30-4, n«m 2007) Chøng

minh r‹ng tam gi¡c ABC c(cid:226) ba g(cid:226)c nh(cid:229)n, ta lu(cid:230)n c(cid:226):

≥ 9. tan5 A + tan5 B + tan5 C tan A + tan B + tan C

B(cid:160)i to¡n 2.11. Chøng minh r‹ng v(cid:238)i m(cid:229)i tam gi¡c ABC ta lu(cid:230)n c(cid:226):

≥ 9.

+ cot + cot cot cot5 A 2 A 2 + cot5 B 2 B 2 + cot5 C 2 C 2

B(cid:160)i to¡n 2.12. C(cid:226) nh“n x†t g… v• tam gi¡c ABC bi‚t:

tan A tan B tan C = 3(cot A + cot B + cot C).

B(cid:160)i to¡n 2.13. (Tuy”n t“p (cid:31)• thi Olimpic 30-4, n«m 2007) Cho tam gi¡c ABC c(cid:226) p, R, r t(cid:247)(cid:238)ng øng l(cid:160) nœa chu vi, b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p

(cid:18)

(cid:19)

v(cid:160) nºi ti‚p. Chøng minh hai m»nh (cid:31)• sau t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(cid:113)

cot cot = 3 tan + tan + tan (1) cot B 2 C 2 A 2 B 2 C 2 A 2

3r(4R + r) = p (2)

V(cid:160) c(cid:226) nh“n x†t g… v• d⁄ng cıa tam gi¡c ABC khi c(cid:226) (1) ho(cid:176)c (2). B(cid:160)i to¡n 2.14. Chøng minh r‹ng tam gi¡c ABC c¥n n‚u ba g(cid:226)c cıa n(cid:226)

th(cid:228)a m¢n h» thøc:

sin A = 2 sin B cos C.

B(cid:160)i to¡n 2.15. Chøng minh r‹ng tam gi¡c ABC c¥n n‚u ba g(cid:226)c cıa n(cid:226)

th(cid:228)a m¢n h» thøc:

sin 2A = −2 sin 2B cos 2C.

2.2. PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I B(cid:131)O TO(cid:128)N Y(cid:152)U T¨ C(cid:132)NH TR(cid:150)N TAM GI(cid:129)C

2.2.1. Mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ c⁄nh tr¶n tam gi¡c

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.6. N‚u a, b, c l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c, th… c¡c sŁ

sau (cid:31)¥y c(cid:244)ng l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c: √ √ √ b, a, 1) √ b, a, c; √ c, n nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng;

, , ; 6)

√ 2) n 3) a2, b2, c2 (tam gi¡c nh(cid:229)n); 4) a (p − a) , b (p − b) , c (p − c) (p l(cid:160) nßa chu vi); 5) ma, mb, mc; 1 hb , 7) ; √ , √ 1 hc 1 c + a bc, 1 ha 1 b + c √ ab, 1 a + b ca, v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n min(A, B, C) ≥ 8) . π 12

2, c3 = (cid:112)c2

2, b3 = (cid:112)b2

1 + a2

1 + c2

1 + b2

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.7. N‚u a, b, c l(cid:160) ba sŁ d(cid:247)(cid:236)ng th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n ka2 +qb2 > kqc2, v(cid:238)i m(cid:229)i k, q sao cho k + q = 1, th… a, b, c l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.8. Gi£ sß ai, bi, ci l(cid:160) ba c⁄nh cıa tam gi¡c AiBiCi, (i = 1, 2). 2 c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt

Th‚ th… a3 = (cid:112)a2 tam gi¡c.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.9. T(cid:231)n t⁄i mºt tam gi¡c v(cid:238)i ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao ha, hb, hc khi v(cid:160) ch¿

khi

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

− + , ≤ 1 ≤ (2.53) ha hb ha hc ha hb ha hc

(v(cid:160) c¡c ho¡n v(cid:224)).

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.10. Gi£ sß r1, r2, r3 l(cid:160) ba sŁ d(cid:247)(cid:236)ng t(cid:242)y (cid:254). Th‚ th…, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t mºt tam gi¡c v(cid:238)i b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn b(cid:160)ng ti‚p l(cid:160) r1, r2, r3. Tam gi¡c (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:238)i ba c⁄nh a, b, c nh(cid:247) sau

√ a = , r1(r2 + r3) r2r3 + r3r1 + r1r2

(v(cid:160) c¡c ho¡n v(cid:224)).

B¥y gi(cid:237), ta x†t h(cid:160)m f (x), x > 0, th(cid:228)a m¢n 3 t‰nh ch§t sau (cid:31)¥y:

i) f (x) > 0, ∀x > 0;

ii) 0 < x < y ⇒ f (x) < f (y); iii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y > 0.

K‰ hi»u F l(cid:160) t“p hæp t§t c£ c¡c h(cid:160)m f (x), th(cid:228)a m¢n 3 t‰nh ch§t n¶u tr¶n.

Ta c(cid:226) k‚t qu£ sau (cid:31)¥y. (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.11. Gi£ sß f (x) ∈ F . N‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c th…

f (a), f (b), f (c) c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.12. N‚u A, B, C l(cid:160) ba g(cid:226)c cıa mºt tam gi¡c th… c¡c sŁ sau (cid:31)¥y

c(cid:244)ng l(cid:160) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c:

, cos , cos ; 1) sin A, sin B, sin C; C 2 A 2 B 2

2) cos 3) sin 2A, sin 2B, sin 2C, v(cid:238)i c¡c g(cid:226)c A, B, C nh(cid:229)n; 4) cos A, cos B, sin C, v(cid:238)i c¡c g(cid:226)c A, B nh(cid:229)n;

, sin , cos ; A 2 B 2 C 2

5) sin 6) a sin A, b sin B, c sin C, v(cid:238)i c¡c g(cid:226)c A, B, C nh(cid:229)n; 7) a cosA, b cosB, c cosC, v(cid:238)i c¡c g(cid:226)c A, B, C nh(cid:229)n.

2.2.2. Mºt sŁ v‰ d(cid:246) ¡p d(cid:246)ng

Tł mºt (cid:31)ﬂng thøc ho(cid:176)c b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)¢ bi‚t, li¶n quan (cid:31)‚n c¡c c⁄nh cıa

mºt tam gi¡c, ta c(cid:226) th” ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l‰ (cid:31)¢ n¶u (cid:31)” s¡ng t¡c ra

nhi•u b(cid:160)i to¡n kh¡ phong ph(cid:243). B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” c(cid:226) nhi•u c¡ch gi£i, nh(cid:247)ng ‰t

nh§t mºt c¡ch gi£i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc t…m ra tł ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p s¡ng t¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. D(cid:247)(cid:238)i

(cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a.

≤ + , V‰ d(cid:246) 2.16. Theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.6, n‚u ta ch(cid:229)n ha, hb, hc sao cho 1 hc 1 hb

1 ha th… s‡ kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i tam gi¡c c(cid:226) 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao ha, hb, hc. V“y, ta s¡ng t¡c (cid:31)(cid:247)æc

b(cid:160)i to¡n sau.

B(cid:160)i to¡n 2.16. Chøng minh r‹ng kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i tam gi¡c c(cid:226) 3 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao l(cid:160) √ √ 5. ha = 1, hb = 5, hc = 1 +

V‰ d(cid:246) 2.17. Ta bi‚t r‹ng, n‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c th… a2 + b2 + c2 < 2 (ab + bc + ca). (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.6 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.12 v(cid:160)o b§t (cid:31)ﬂng thøc tr¶n, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i sau:

B(cid:160)i to¡n 2.17. Chøng minh r‹ng n‚u ma, mb, mc l(cid:160) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trung tuy‚n

cıa mºt tam gi¡c, th…

a + m2

b + m2

c < 2(mamb + mbmc + mcma).

B(cid:160)i to¡n 2.18. Chøng minh r‹ng n‚u ha, hb, hc l(cid:160) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa mºt

(cid:19)

(cid:18) 1

tam gi¡c, th…

2 +

2 < 2

+ + . hahb 1 hbhc 1 hcha 1 ha 1 hb 1 hc

B(cid:160)i to¡n 2.19. Chøng minh r‹ng n‚u A, B, C l(cid:160) ba g(cid:226)c cıa mºt tam gi¡c

th…

sin2 A + sin2 B + sin2 C < 2(sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A).

Ta bi‚t r‹ng, S = rp = r v(cid:238)i r l(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p tam a + b + c 2 gi¡c.

(cid:19)2

(cid:19)

(cid:18) 1

V“y

(cid:18) 1 ha

+ + + + < 4 . 1 r2 = 1 hcha 1 hbhc 1 hb hahb

1 hc Tł c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p phŁi hæp tr¶n, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i. B(cid:160)i to¡n 2.20. Chøng minh r‹ng n‚u ha, hb, hc l(cid:160) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa mºt

(cid:19)

(cid:18) 1

tam gi¡c v(cid:160) r l(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn nºi ti‚p tam gi¡c, th…

+ + > 1 4r2 . hahb 1 hbhc 1 hcha

B(cid:160)i to¡n 2.21. Chøng minh r‹ng n‚u ha, hb, hc l(cid:160) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa mºt

tam gi¡c, th…

+ > . hahb ha + hb hbhc hb + hc hcha hc + ha

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.11. l(cid:160) k‚t qu£ tŒng qu¡t. V(cid:238)i mØi h(cid:160)m f ∈ F c(cid:246) th”, ta c(cid:226) f (a), f (b), f (c) l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc mºt b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i. D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ h(cid:160)m f ∈ F c(cid:246) th”.

V‰ d(cid:246) 2.18. X†t h(cid:160)m f (x) = , x > 0. x x + 1

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.11, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n sau. B(cid:160)i to¡n 2.22. Chøng minh r‹ng n‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c,

th…

, , a a + 1 b b + 1 c c + 1

c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa tam gi¡c.

B(cid:160)i to¡n 2.23. Chøng minh r‹ng n‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c

v(cid:160) ha, hb, hc l(cid:160) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao t(cid:247)(cid:236)ng øng, th…

, , 1 1 + ha 1 1 + hb 1 1 + hc

c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa tam gi¡c.

V‰ d(cid:246) 2.19. Gi£ sß k l(cid:160) sŁ cho tr(cid:247)(cid:238)c, th(cid:228)a m¢n 0 < k ≤ 1. X†t h(cid:160)m

f (x) = xk, x > 0.

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.11, ta c(cid:226) b(cid:160)i to¡n sau: B(cid:160)i to¡n 2.24. Chøng minh r‹ng n‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c,

th… ak, bk, ck, v(cid:238)i 0 < k ≤ 1, c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa tam gi¡c.

, n nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng, k‚t qu£ n(cid:160)y ch‰nh l(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.6 (cid:31)¢ Nh“n x†t. V(cid:238)i k = 1 n bi‚t.

V‰ d(cid:246) 2.20. X†t tam gi¡c c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i ba c⁄nh l(cid:160) a, b, c v(cid:160) tam gi¡c (cid:31)•u c(cid:226)

(cid:31)º d(cid:160)i c⁄nh l(cid:160) 1. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.8, ta c(cid:226) b(cid:160)i to¡n sau

√ √ a2 + 1, b2 + 1, B(cid:160)i to¡n 2.25. Chøng minh r‹ng n‚u a, b, c l(cid:160) ba c⁄nh cıa mºt tam gi¡c, √ c2 + 1 c(cid:244)ng l(cid:160) ba c⁄nh cıa tam gi¡c. V(cid:230) v(cid:160)n b(cid:160)i to¡n th…

m(cid:238)i s‡ (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra n‚u ta ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa c¡c (cid:31)(cid:224)nh l‰ (cid:31)¢ n¶u, m(cid:160)

c¡c v‰ d(cid:246) tr¶n ch¿ m(cid:238)i l(cid:160) mºt sŁ ‰t k‚t qu£ minh h(cid:229)a.

CH(cid:215)(cid:204)NG 3

M¸T S¨ PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I KH(cid:129)C TR(cid:150)N TAM GI(cid:129)C

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)• c“p (cid:31)‚n vi»c ¡p d(cid:246)ng mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi kh¡c tr¶n tam

gi¡c, (cid:31)” tł B§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)¢ bi‚t ta t⁄o ra nhi•u b§t (cid:31)ﬂng thøc m(cid:238)i th” hi»n

c¡c y‚u tŁ cıa tam gi¡c. C¡c ki‚n thøc trong ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong c¡c t(cid:160)i li»u [1] v(cid:160) [2].

3.1. PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I TH(cid:217) NH(cid:135)T

H⁄ M H ⊥ C1B1, (H ∈ C1B1) Ta s‡ th(cid:160)nh l“p s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A1B1C1 nh(cid:247) sau: +) Tł (3.1), (3.2), (3.4), c¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c A1B1C1 (cid:31)(cid:247)æc t‰nh theo

c¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c ABC nh(cid:247) sau

Ra1 = da, Rb1 = db, Rc1 = dc,

, , dc1 = , db1 = da1 = dcda Rb dadb Rc

, , c1 = , b1 = a1 = cRc 2R bRb 2R

dbdc Ra aRa 2R trong (cid:31)(cid:226) R l(cid:160) b¡n k‰nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c ABC.

+) Tł (3.1), (3.3), (3.5), c¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c ABC (cid:31)(cid:247)æc t‰nh theo

c¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c A1B1C1 nh(cid:247) sau:

, Ra = , Rb = , Rc = Rc1Ra1 da1 Rb1Rc1 da1 Ra1Rb1 dc1

da = Ra1, db = Rb1, dc = Rc1,

, b = λ , c = λ , a = λ b1db1 Rc1Ra1 a1da1 Rb1Rc1 c1dc1 Ra1Rb1

trong (cid:31)(cid:226) λ = 2R.

3.2. PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I TH(cid:217) HAI

Ph†p bi‚n (cid:31)Œi n(cid:160)y ¡p d(cid:246)ng t‰nh ch§t cıa ph†p ngh(cid:224)ch (cid:31)£o.

K†o d(cid:160)i c¡c (cid:31)o⁄n M A1, M B1, M C1 v(cid:160) l§y tr¶n (cid:31)(cid:226) c¡c (cid:31)i”m A2, B2, C2

th(cid:228)a m¢n

(3.6) M A1.M A2 = M B1.M B2 = M C1.M C2 = k2.

trong (cid:31)(cid:226) k kh(cid:230)ng (cid:31)Œi kh¡c 0 cho tr(cid:247)(cid:238)c (c(cid:226) th” (cid:31)i”m A2 thuºc (cid:31)o⁄n M A1).

C¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng M A, M B, M C c›t c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c A2B2C2 lƒn l(cid:247)æt t⁄i c¡c (cid:31)i”m D1, E1, F1. D„ th§y r‹ng D1, E1, F1 ch‰nh l(cid:160) ch¥n c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng vu(cid:230)ng g(cid:226)c h⁄ tł M xuŁng c¡c c⁄nh B2C2, C2A2, A2B2. H(cid:236)n nœa ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc

(3.7) M A.M D1 = M B.M E1 = M C.M F1 = k2

Ch(cid:229)n k = 1, ta c(cid:226) s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A2B2C2 nh(cid:247) sau: +) C¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c A2B2C2 (cid:31)(cid:247)æc t‰nh theo c¡c y‚u tŁ trong tam

gi¡c ABC nh(cid:247) sau

, (3.14) , Rb2 = , Rc2 = Ra2 =

, (3.15) , db2 = , dc2 = da2 = 1 da 1 Ra 1 db 1 Rb

. (3.16) a2 = 2R2. , b2 = 2R2 , c2 = 2R2 ada RbRc 1 dc 1 Rc bdb RcRa cdc RaRb

+) C¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c ABC (cid:31)(cid:247)æc t‰nh theo c¡c y‚u tŁ trong tam gi¡c A2B2C2 nh(cid:247) sau

, (3.17) Ra = , Rb = , Rc = 1 da2 1 db2 1 dc2

, (3.18) da = , db = , dc = 1 Rb2

, b = , c = . a = (3.19) 1 Ra2 1 2R2 1 2R2 1 2R2 a2Ra2 db2dc2 c2Rc2 da2db2 1 Rc2 b2Rb2 dc2da2

3.3. M¸T S¨ V(cid:157) D(cid:214) (cid:129)P D(cid:214)NG

Cho tam gi¡c ABC v(cid:160) M n‹m trong tam gi¡c. G(cid:229)i A1, B1, C1 lƒn l(cid:247)æt l(cid:160)

ch¥n c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng vu(cid:230)ng g(cid:226)c h⁄ tł M (cid:31)‚n c¡c c⁄nh BC, CA, AB. (cid:30)(cid:176)t

M A = Ra, M B = Rb, M C = Rc,

M A1 = da, M B1 = db, M C1 = dc.

V‰ d(cid:246) 3.1. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.8 (B§t (cid:31)ﬂng thøc Erdos-Mordell) v(cid:160) s(cid:252) li¶n

h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A1B1C1. Ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i sau.

B(cid:160)i to¡n 3.1. Chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

a)RaRbRc(da + db + dc) ≥ 2(RbRcdbdc + RcRadcda + RaRbdadb).

b)RbRc + RcRa + RaRb ≥ 2(Rada + Rbdb + RcRdc).

c)Rada + Rbdb + Rcdc ≥ 2(dbdc + dcda + dadb).

V‰ d(cid:246) 3.2. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.9 v(cid:160) s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160)

A1B1C1. Ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i sau.

(cid:19)

B(cid:160)i to¡n 3.2. Chøng minh b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

(cid:18)aRada RbRc

+ + . a + b + c ≥ 2 bRbdb RcRa cRcdc RaRb

V‰ d(cid:246) 3.3. (cid:129)p d(cid:246)ng Ph†p bi‚n (cid:31)Œi thø hai, ta thay c¡c bi”u di„n th” hi»n s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A2B2C2 v(cid:160)o B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.31) v(cid:160) ta thay c¡c bi”u di„n th” hi»n s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A1B1C1 v(cid:160)o

k‚t qu£ (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i sau.

(cid:19)

(cid:18) a

B(cid:160)i to¡n 3.3. Chøng minh b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

+ + ≥ 2 + + . a Rada b Rbdb c Rcdc RbRc b RcRa c RaRb

V‰ d(cid:246) 3.4. (cid:129)p d(cid:246)ng Ph†p bi‚n (cid:31)Œi thø nh§t, ta thay c¡c bi”u di„n th” hi»n s(cid:252) li¶n h» giœa hai tam gi¡c ABC v(cid:160) A1B1C1 v(cid:160)o B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.31), ta c(cid:226)

(cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i sau.

B(cid:160)i to¡n 3.4. Chøng minh b§t (cid:31)ﬂng thøc sau

aRbRc + bRcRa + cRaRb ≥ 2(aRada + bRbdb + cRcdc).

α), v(cid:238)i α ≥ 1.

α + Rb

α + Rc

V‰ d(cid:246) 3.5. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 1.2 v(cid:160) B§t (cid:31)ﬂng thøc (1.32) ta c(cid:226) b(cid:160)i to¡n sau.

α + db

α + dc

B(cid:160)i to¡n 3.5. Chøng minh b§t (cid:31)ﬂng thøc sau α ≥ 2(da a) Ra

α), v(cid:238)i 0 < α ≤ 1.

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi tam gi¡c ABC (cid:31)•u v(cid:160) M l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m cıa tam gi¡c.

α + Rb

α + Rc

α ≥ 2α(da

α + db

α + dc

b) Ra

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi tam gi¡c ABC (cid:31)•u v(cid:160) M l(cid:160) tr(cid:252)c t¥m cıa tam gi¡c.

V(cid:230) v(cid:160)n b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i s‡ (cid:31)(cid:247)æc t⁄o ra n‚u ta ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng k‚t qu£ cıa c¡c

Ph†p bi‚n (cid:31)Œi tr¶n tam gi¡c (cid:31)¢ n¶u, m(cid:160) c¡c v‰ d(cid:246) tr¶n ch¿ m(cid:238)i l(cid:160) mºt sŁ ‰t k‚t

qu£ minh h(cid:229)a.

K(cid:152)T LU(cid:138)N

Lu“n v«n (cid:31)¢ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc nhœng k‚t qu£ sau:

1) (cid:30)(cid:247)a ra v(cid:160) chøng minh (cid:31)(cid:247)æc nhœng bŒ (cid:31)•, (cid:31)(cid:224)nh l‰ cıa mºt sŁ ph†p bi‚n

(cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ g(cid:226)c, c⁄nh v(cid:160) mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi kh¡c tr¶n tam gi¡c.

2) (cid:30)(cid:247)a ra c¡c v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a c¡c k‚t qu£ c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc v(cid:160) tł mºt b§t (cid:31)ﬂng thøc

(ho(cid:176)c (cid:31)ﬂng thøc) v• g(cid:226)c cıa tam gi¡c (cid:31)¢ s¡ng t⁄o ra nhi•u b§t (cid:31)ﬂng thøc (ho(cid:176)c

(cid:31)ﬂng thøc) m(cid:238)i. (cid:30)¥y c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc xem l(cid:160) mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n, n‚u ta

ph¡t hi»n ra "c¡i gŁc" t⁄o ra b(cid:160)i to¡n §y. Qua (cid:31)(cid:226), gi(cid:243)p ta th§y (cid:31)(cid:247)æc mŁi li¶n

h» giœa c¡c h» thøc l(cid:247)æng gi¡c trong tam gi¡c.

3) (cid:129)p d(cid:246)ng c¡c k‚t qu£ cıa ph†p bi‚n (cid:31)Œi b£o to(cid:160)n y‚u tŁ c⁄nh tr¶n tam

gi¡c v(cid:160) mºt sŁ ph†p bi‚n (cid:31)Œi kh¡c, tł mºt b§t (cid:31)ﬂng thøc (ho(cid:176)c (cid:31)ﬂng thøc) v•

ba c⁄nh v(cid:160) c¡c y‚u tŁ kh¡c cıa tam gi¡c (cid:31)¢ t⁄o ra nhi•u b§t (cid:31)ﬂng thøc (ho(cid:176)c

(cid:31)ﬂng thøc) m(cid:238)i. Khi (cid:31)(cid:226), ta s¡ng t¡c (cid:31)(cid:247)æc nhi•u b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i v(cid:160) (cid:31)¥y c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc

xem l(cid:160) mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i b(cid:160)i to¡n, n‚u ta ph¡t hi»n ra "c¡i gŁc" t⁄o ra b(cid:160)i

to¡n §y.

K‚t qu£ cıa lu“n v«n c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a khoa h(cid:229)c, mang t‰nh th(cid:252)c ti„n v(cid:160) ph(cid:242) hæp

v(cid:238)i chuy¶n ng(cid:160)nh Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p To¡n s(cid:236) c§p. C(cid:226) th” sß d(cid:246)ng lu“n v«n nh(cid:247) l(cid:160)

t(cid:160)i li»u tham kh£o cho h(cid:229)c sinh, gi¡o vi¶n phŒ th(cid:230)ng v(cid:160) nhœng ai quan t¥m (cid:31)‚n

tam gi¡c n(cid:226)i chung v(cid:160) c¡c v§n (cid:31)• n(cid:226)i ri¶ng m(cid:160) lu“n v«n (cid:31)¢ (cid:31)• c“p.