Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Vành các hàm số học và các tính chất liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> TR N NG C VINH<br /> <br /> VÀNH CÁC HÀM S<br /> <br /> H C<br /> <br /> VÀ CÁC TÍNH CH T LIÊN QUAN<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số: 60 46 01 13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2016<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU<br /> <br /> Ph n bi n 1: TS. Lê Văn Dũng<br /> Ph n bi n 2: TS. Tr nh Đào Chi n<br /> <br /> Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt<br /> nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13<br /> tháng 8 năm 2016.<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Tính cấp thiết của đề tài<br /> Trong những năm gần đây,công nghệ thông tin đang phát<br /> triển mạnh mẽ như vũ bão, các thành tựu của số học được ứng<br /> dụng trực tiếp vào các vấn đề trực tiếp của đời sống như kinh tế,<br /> xã hội,thông tin mật mã, kĩ thuật máy tính. Do đó nghiên cứu<br /> phát triển và ứng dụng số học là một bước đi quan trọng của toán<br /> học.<br /> Nhắc tới số học ta không thể bỏ qua vai trò cực kì quan<br /> trọng của các hàm số học,kể cả trong lý thuyết và trong ứng dụng<br /> thực tiễn. Đây là một vấn đề cổ điển nhưng được khai thác và đề<br /> cập rất nhiều từ các cuộc thi học sinh giỏi cho đến các nghiên cứu<br /> bậc cao. Dưới sự hướng dẫn và định hướng của GS.TSKH Nguyễn<br /> Văn Mậu, tôi chọn đề tài “Vành các hàm số học và các tính chất<br /> liên quan” làm đề tài nghiên cứu luận văn của mình.<br /> 2. Mục tiêu nghiên cứu<br /> Trong luận văn này tôi sẽ trình bày những lý thuyết cơ bản<br /> của vành các hàm số học,nêu vài hàm số học tiểu biểu,quan trọng,<br /> cũng như các tính chất liên quan và ứng dụng của các hàm số<br /> được nêu.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng nghiên cứu: vành các hàm số học, một số hàm số<br /> học tiểu biểu,quan trọng, cũng như các tính chất liên quan và ứng<br /> dụng của các hàm số được nêu.<br /> <br /> 2<br /> <br /> Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về vành các hàm số<br /> học, một số tính chất liên quan và bài tập trong tài liệu tham<br /> khảo mà GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu giới thiệu.<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> Tìm đọc, phân tích một số tài liệu về vành các hàm số học<br /> và các tính chất liên quan.<br /> Làm rõ các chứng minh trong tài liệu, hệ thống kiến thức<br /> nghiên cứu.<br /> 5. Bố cục đề tài<br /> Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành<br /> ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây:<br /> Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số và<br /> số học.<br /> Chương 2 Trình bày một số hàm số số học cơ bản.<br /> Chương 3 Trình bày một số áp dụng của các hàm số trên.<br /> Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH. NGUYỄN<br /> VĂN MẬU, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu<br /> và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa<br /> Toán, trường ĐHSP Đà Nẵng-ĐH Đà Nẵng và bạn bè đồng nghiệp<br /> đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này.<br /> <br /> 3<br /> <br /> CHƯƠNG 1<br /> <br /> MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> CỦA ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC<br /> 1.1. VÀNH, IDEAN, MIỀN NGUYÊN<br /> - Một cấu trúc đại số (X, .) với (.) là phép toán trong trên<br /> X có tính chất kết hợp được gọi là nửa nhóm. Một nửa nhóm có<br /> <br /> phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm. Một nửa nhóm là giao hoán<br /> nếu phép toán trên nó có tính giao hoán.<br /> - Một vị nhóm (X, .) được gọi là một nhóm nếu mỗi phần<br /> tử của X đều tồn tại phần tử nghịch đảo. Hay nói cách khác cấu<br /> trúc đại số (X, .) dược gọi là một nhóm nếu:<br /> a) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ X;<br /> b) Tồn tại phần tử e ∈ X sao cho e.x = x.e = x với mọi<br /> x∈X<br /> <br /> c) Với mọi x ∈ X tồn tại y ∈ X sao cho x.y = y.x = e<br /> Ví dụ 1.1.<br /> 1. Tập hợp các số hữu tỉ với phép cộng thông thường là một<br /> nhóm, tập hợp các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân thông thường<br /> là một nhóm.<br /> 2. Tập hợp các số phức có modul bằng 1 với phép nhân<br /> thông thường là một nhóm, tập hợp gồm 2 số 1 và -1 với phép<br /> nhân là một nhóm.<br /> - Một nhóm chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm tầm<br /> <br />