Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị hay nhất

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG

 Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)

thì:

D}́u

xảy ra khi và chỉ khi:

thì:

D}́u

xảy ra khi v| chỉ khi:

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

 Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

thì:

D}́u

xảy ra khi và chỉ khi:

thì:

D}́u

xảy ra khi v| chỉ khi:

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

Hệ quả. Nếu

l| c{c số thực v|

l| c{c số dương thì:

: b}́t đẵng thức cộng m}̂u số.

 Bất đẳng thƣ́c véctơ

Xét c{c véctơ:

. Ta luôn có:

D}́u

xảy ra khi và chỉ khi

cùng hướng.

 Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp

 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thƣ́c phụ

Các đánh giá cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)

1 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)

Suy ra:

Chƣ́ng minh các đánh giá cơ bản

a. Chƣ́ng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy:

D}́u

khi

b. Chƣ́ng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy

D}́u

khi

c. Chƣ́ng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được:

D}́u

khi

d. Chƣ́ng minh:

Ta có:

Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (<) ta được:

2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

D}́u

khi

e. Chƣ́ng minh:

D}́u

khi

Ta có:

f. Chƣ́ng minh:

Đặt:

thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:

: luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)

D}́u đẵng thức khi

hoặc

g. Chƣ́ng minh:

Đặt:

thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:

: luôn đúng theo BĐT e.

D}́u đẵng thức khi

hoặc

h. Chƣ́ng minh:

Ta có:

D}́u đẵng thức xãy ra khi

i. Chƣ́ng minh:

Ta có:

Mặt khác:

Suy ra:

D}́u đẵng thức xãy ra khi:

Chƣ́ng minh các bất đẳng thƣ́c phụ

j. Chƣ́ng minh:

Ta có:

Dấu

khi

k. Chứng mnh:

Chứng minh:

(1)

B}́t đẵng thức (1) tương đương với:

: đúng

D}́u

khi

hoặc

3 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Chứng minh:

(2)

Ta làm tương tự và d}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi

hoặc

Suy ra:

Mỡ rộng:

thì

(3)

Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. D}́u " = " khi và chỉ khi:

l. Chƣ́ng minh:

Ta có:

: đúng

D}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi

m. Chƣ́ng minh:

Ta có:

(1)

Mặt khác

thì

(2)

Th}̣t v}̣y:

đúng

Từ (1), (2), suy ra:

D}́u đẵng thức xãy ra khi:

n. Chƣ́ng minh:

Ta có:

đúng với mọi

và dấu

khi và chỉ khi:

4 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016

Câu 1: Cho là các số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2

Lời giải tham khảo

Vì nên ta có

Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2

Do đó v| do nên ta có

Đặt . Xét hàm số trên [1;2]

nên liên tục v| đồng biến trên [1;2] Suy ra

Vậy, giá trị lớn nhất của khi a =1 , b = c = 2.

Câu 2: Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn .Chứng minh rằng

Trƣờng THPT Bắc Yên Thành – Lần 1

Lời giải tham khảo

5 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Ta có .

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki .

Vậy .

Tương tự .

Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi .

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Trƣờng THPT Số 3 – Bảo Thắng – Lào Cai– Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có :

. Thay

vào (*)

Do đó :

Đặt :

Xét hàm số

6 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

đồng biến trên . Vậy

Suy ra dấu bằng xảy ra khi

Kết luận : Giá trị nhỏ nhất của P l| 80 đạt được khi

. Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình – Lần 1

Lời giải tham khảo

. Ta có

Do đó

. Đặt Vì và nên

Suy ra

Mặt khác

Suy ra . Vậy

Xét hàm số

BBT

- 0 +

7 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Suy ra . Vậy với mọi thỏa điều kiện đề bài. Hơn nữa, với

thì và Vậy

thỏa mãn . Câu 5: Cho các số thực

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Bố Hạ – Lần 2

Lời giải tham khảo:

Đặt

Ta có

Dấu “=” xảy ra khi

Mặt khác

Khi đó . Dấu “=” xảy ra khi

Đặt . Khi đó

Xét (do t>1)

1 4 t

+ 0 - f’(t)

f(t)

0 0

8 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Từ BBT Ta có

Vậy

Câu 6: Cho thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà– Lần 1

Lời giải tham khảo

Trước hết ta chứng minh được:

Đặt x + y + z = a. Khi đó (với t = ; )

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t .

Có : . Lập bảng biến thiên

GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z >0

Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 v| thoả mãn điều kiện:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

Ta có , nên :

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được

9 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy Amax =

Câu 8: Giả sử là các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức Côsi

Tương tự:

Vì nên ta có

Xét hàm số

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta có

10 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Từ (1) và (2) suy ra , dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 2

Lời giải tham khảo

, chứng minh rằng Câu 10: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện

Trƣờng THPT Chuyên KHTN– Lần 1

Lời giải tham khảo

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện , chứng minh rằng

thức :

11 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 11: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện .Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 3

Lời giải tham khảo

Bổ đề : Cho khi đó :

Thật vậy (*) (Luôn đúng)

Đặt thì

Ta có : do

Suy ra : Dấu bằng xảy ra khi . Vậy :

Câu 12:Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P = 3(x + y + z) + 2( )

Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Trước hết ta có: (x – 1)2(x – 4) ≤ 0 ,x < (dấu “=” xảy ra tại x = 1)

Hay : x2 + 9 ≤ 6x +  ½ (x2 + 9) ≤ 3x + (1)

Tương tự ta cũng có ½ (y2 + 9) ≤ 3y + (2)

½ (z2 + 9) ≤ 3z + (3) Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế cuối cùng ta có: ½ (x2 + y2 + z2 + 27)  P

Vậy minP = 15  x = y = z = 1

12 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 13:Cho là các số không âm thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P .

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 1

Lời giải tham khảo

▪ Giả sử min suy ra

Ta có:

Vì

Suy ra

Xét

Hàm số nghịch biến trên

Vậy GTLN của P bằng đạt khi .

Câu 14:Cho và .

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 2

13 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Đặt

với

Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P bằng 16 đạt được tại

Câu 15: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Chuyên Sơn La – Lần 1

Lời giải tham khảo

Thay v|o P được:

Xét

14 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

T 1 2

- f’ 0 +

. Vậy khi .

Câu 16: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết ta có và và

Xét hàm số ta được f(x) = 2

Đặt

Xét hàm số:

15 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lập bảng biến thiên ta có Min

Câu 17:Cho l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức :

Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Vì l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng

Ta có

Từ đó suy ra :

Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự:

và

Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có :

Dấu đẳng thức xẩy ra khi đạt được

Vậy Cho l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng , thì giá trị lớn nhất của biểu

thức : bằng v| đạt được khi và chỉ khi

Chú ý: Để có được bất đẳng thức ta đã sử dụng phương ph{p tiếp

tuyến

Câu 18: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức :

16 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3

Lời giải tham khảo

. Trong đó và

dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Từ và ta đươc , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

. Vậy

Câu 19: Cho là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2

Lời giải tham khảo

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

Với các số thực , ta có

Do đó . Suy ra

Từ giả thiết, ta có Do đó

Với , ta có . Vậy giá trị lớn nhất của bằng 2016.

17 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Chuyên Long An – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: .

Đ{nh gi{

Đặt . Khi đó

Xét hàm số (với t > 2)

Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được:

Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là khi x = 2 và y = 4

Câu 21: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành– Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ điều kiện suy ra

Câu 22: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c.

Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1

Lời giải tham khảo

+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2  0 .

18 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

+) Ta có => P

+) Xét

+) BBT:<

T 0 +

f’(t)

+ 0 -

f(t)

+) MaxP = .

Câu 23:Cho ba số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 2

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết và <

Do đó

Vì .

Xét hàm số với . Có

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên là

19 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Từ bảng biến thiên ta có

Tức .

Dấu ‚=‛ khi .

Áp dụng ta có

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được

Và dấu ‚=‛ xảy ra .

Vậy đạt được, khi và chỉ khi .

Câu 24: Cho l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

20 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Áp dụng bất đẳng thức

suy ra

Từ giả thiết ta có nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . Dấu bằng xảy ra khi

là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 25: Cho

thức

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

- Ta có:

- Đặt , khi đó ta có: trở thành

Mặt khác:

- Mà:

Suy ra:

- Do đó: nên GTNN của P bằng 1 khi

Câu 26: Cho là các số thực dương.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

21 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 3

Lời giải tham khảo

Ta có

và

, Đặt Suy ra

Xét .

T 0 4 +

F’ - 0 +

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng - khi .

Câu 27: Cho là các số thực dương.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 4

Lời giải tham khảo:

Đặt

Do đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

22 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy GTNN của là

Câu 28:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ; .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Phƣớc Bình – Bình Phƣớc – Lần 5

Lời giải tham khảo

Ta chứng minh được c{c BĐT quen thuộc sau:

(1)

Thật vậy,

luôn đúng vì . Dầu ‚=‛ khi a=b hoặc ab=1

. Dấu ‚=‛ khi ab=1.

Do đó,

Đặt ta có:

23 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

BBT

t 0 4

f’(t) - + 0

f(t)

5+6ln4

Vậy, GTNN của P là +6ln4 khi a=b=c=1.

Câu 29: Cho thỏa mãn .

Tìm Min P, với .

Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc– Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

Đặt , ta có

Xét ta được

24 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 30: Cho thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức .

Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Khi đó

Xét hàm số

Kết luận:

Câu 31: Cho a, b là các số thực thỏa mãn : . Tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức :

Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc – Lần 1

25 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Max =

Min =

Câu 32: Cho a, b, c là ba số dương. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc– Lần 2

Lời giải tham khảo

Vậy

+

f’(t)

1/4

f(t)

= với

26 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy giá trị lớn nhất của khi

Câu 33: Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc – Lần 3

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Suy ra

Đặt . Khi đó ta có:

Xét hàm số với ta có .

Bảng biến thiên

27 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Do đó ta có khi và chỉ khi

. Vậy ta có , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi và chỉ khi .

Câu 34: Cho các số không âm thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Giả thiết cho

Ta có:

Xét hàm với có

Dựa vào bảng biến thiên ta có khi

Câu 35: Cho thuộc đoạn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Quang Trung – Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có:

28 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Khi đó

. Dấu bằng xảy ra khi .

Câu 36: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: .

Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có .

Từ đó suy ra

Do và nên . Từ đ}y kết hợp với trên ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

Câu 37: Cho ba số thực nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Trong không gian với hệ tọa độ . Xét mặt cầu:

. Có tâm ,bán kính .

Xét mp

G/s . Từ có điểm nằm bên trong và kể cả trên mặt cầu

29 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

 Với thì l| giao điểm của mp :

V| đường thẳng đi qua và .

Với . Tương tự

Vậy khi khi

Câu 38: Cho ba số thực dương . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc – Lần 3

Lời giải tham khảo

* (1)

Vì nên

(1)

Vậy

Đặt , xét hàm số với

Ta có ,

30 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

+ 0

Vậy . Suy ra khi .

Câu 39: Cho x, y, z là các số thực dương thõa: xyz = 1. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức :

Trƣờng THPT Hà Huy Tập – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giãi thiết

Tương tự:

Khi đó

Đặt

B}́t đẵng thức trỡ thành:

Kết lu}̣n Min A = 2 khi x = y = z =1.

31 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 40: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

. thức

Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

(1)

Mặt khác vì , suy ra

Với mọi số thực x, y, z ta có

(2). Áp dụng (2) và (1) ta có

Suy ra

. Đặt với .

Xét hàm số có .

Tính và khi . Do đó .

Khi thì . Vậy giá trị lớn nhất của P là .

Câu 42: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Thực Hành Cao Nguyên – Tây Nguyên– Lần 1

32 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Dấu bằng khi

Từ (1) v| x, y, z dương suy ra

Đặt . Xét hàm số

Lập BBT cho ta

Kết luận:

Câu 43: Cho các số thực a, b, c thõa mân v| .

Chứng minh rằng :

Trƣờng THPT- Đoàn Thị Điểm – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: .

Suy ra:

Tương tự ta có:

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi

Câu 44: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

Trƣờng THPT Đoàn Thƣợng – Hải Dƣơng – Lần 1

Lời giải tham khảo

33 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Ta có

Mặt khác

Đẳng thức xảy ra

. Tương tự cộng lại ta được

Đẳng thức xảy ra

Ta lại có

Đặt và xét hàm số

Ta có

3 24

0 +

. Vậy

Câu 45: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

34 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Trƣờng THPT Đoàn Thƣợng – Hải Dƣơng – Lần 2

Lời giải tham khảo

- Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

- Xét bất đẳng thức : (phải chứng minh bđt này)

Áp dụng :

Đặt khi đó và

–

Xét hàm số với

Ta có vì

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị lớn nhất của P là đạt được khi

Câu 46: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Trƣờng THPT Đông Du - ĐăkLăk– Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

35 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Khi đó

Vậy Min P = 3 khi x = y = z =

Câu 47: Cho là ba số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Trƣờng THPT Đông Du – Đăk-lăk– Lần 2

Lời giải tham khảo

+ Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

+ Tương tự, ta thu được

+ Suy ra

+ Dấu bằng xảy ra khi .

36 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

là các số dương v| . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 48: Cho

Trƣờng THPT Đông Du – Đăk - Lăk – Lần 3

Lời giải tham khảo

Với a + b + c = 3 ta có

Theo BĐT Cô-Si: , dấu đẳng thức xảy ra b = c

và Tương tự

Suy ra P

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = khi a = b = c = 1.

Câu 49: Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Đồng Gia – Hải Dƣơng – Lần 1

Lời giải tham khảo

Điều kiện:

Ta có

Đặt , ta có

. Vậy S(t) đồng biến trên [1;4].

Suy ra

37 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 50: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Áp dụng Bất đẳng thức ta có:

Ta có: Thật vậy:

Khi đó

Đặt . Vì nên

Xét hàm số

Do hàm số đồng biến trên nên

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy , đạt được khi và chỉ khi: .

38 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 51: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết và bất đẳng thức CôSi ta có:

Do đó

Đặt , ta có

Xét hàm số

Ta có

BBT:

Từ bảng biến thiên ta có

Suy ra , dấu bằng xảy ra khi

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi

Câu 52: Cho là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh bất đẳng thức

Trƣờng GDTX Cam Lâm – Khánh Hoà – Lần 1

39 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức

Ta có:

Ta lại có:

Tương tự:

Từ đó suy ra

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Câu 53: Cho các số x, y, z là những số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

Trƣờng GDTX Cam Lâm _ Khánh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si, ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh tương tự ta có: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ (1); (2); (3) suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

40 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Chỉ ra được:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó: ; Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy

Câu 54: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .

Chứng minh rằng:

:Trƣờng GDTX Nha Trang – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

mà a3 + ab2  2a2b

b3 + bc2  2b2c

c3 + ca2  2c2a

Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

Suy ra

Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t  3.

Suy ra:  VT  4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Câu 55: Cho các số thực dương a,b,c. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng GDTX Nha Trang – Khánh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

+ Theo bđt Cô-si: . Dấu = xảy ra khi b=c

41 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Ta sẽ cm : . Thật vậy :

(**)

Điều n|y đúng ; dấu = xảy ra khi b=c

+ Áp dụng(*), (**) ta được với và

+ Xét ; . Ta có

BBT t 0 1/5 1

f’(t) - +

f(t) giảm 4/25 tăng

Suy ra Dấu = xảy ra khi

Câu 56: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : . Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức : P = x + y.

Trƣờng THPT Hoàng Hoa Thám – Lần 1

Lời giải tham khảo

Giả sử T là tập giá trị của P, khi đó ta đi tìm m để hệ (I)

có nghiệm.

Đặt , ta có : (II)

Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (u; v) với

42 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy tập giá trị T của P l| đoạn , suy ra minP và maxP

Câu 57: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Yên Mỹ - Hƣng yên – Lần 1

Lời giải tham khảo

. Ta có

Do đó

Đặt .

Vì và nên

Suy ra

Mặt khác

Suy ra . Vậy

Xét hàm số

43 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

BBT

0 +

Suy ra . Vậy với mọi thỏa điều kiện đề bài. Hơn nữa, với

thì và

Vậy

Câu 58: Cho a, b, c là ba số thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh:

Trƣờng THPT Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh – Lần 1

Lời giải tham khảo

c, khi đó:

b S – c

S – c; S - c .

1 (*)

0 đúng do a, b [0; 1]. Vậy (*) đúng.

Do vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a Đặt S = a + b + c + 1 => b + c +1 = S – a a + c + 1 a + b + 1 Ta có ( 1 – a)(1 – b) ( 1 +a +b) <=> ( 1 –a – b + ab) ( 1 +a +b ) – 1 0 <=> - a2 – b2 – ab + a2b + ab2 <=> b( a + b)( a – 1) – a2 Mà (*) <=> ( 1 – a)(1 – b) ( S - c) 1

<=> ( 1 – a)(1 – b) <=>

Do đó:

44 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

đpcm.

Câu 59: Cho thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức

Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 3

Lời giải tham khảo

Khi đó

Xét hàm số

Kết luận:

45 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 60: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

và . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: .

Trƣờng THPT Kẻ Sặt – Hải Dƣơng– Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có .

Từ đó suy ra

Do và nên . Từ đ}y kết hợp với trên ta được

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Câu 61: Cho các số thực dương sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Khánh Sơn – Khánh Hoà– Lần 2

Lời giải tham khảo

(1)

Đặt Vì . Ta đặt

Áp dụng bất đẳng thức cô- si, ta có

(2)

46 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

(3)

(4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra .

Dấu ‚=‛ xảy ra

Vậy .

Câu 62: Cho các số thực dương a, b, c.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Khoái Châu – Hƣng Yên– Lần 2

Lời giải tham khảo

- Áp dụng BĐT Cô - Si ta có: hay .

- Tương tự

Mà

Đặt

Xét hàm số

có: ,

+ ∞

- ∞

f'(t)

Bảng biến thiên

-

f(t)

47 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy khi hay .

Câu 63:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Kinh Môn – Hải Dƣơng – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức Côsi suy ra: .

Đ{nh gi{

Đặt . Khi đó Xét hàm số (với t >

2) Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P là khi x = 2 và y = 4

Câu 64: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn .

Tìm GTLN của biểu thức:

Trƣờng THPT Lạc Long Quân – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

ta có

Thật vậy:

(2)

48 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vì a,b>0 nên (2) luôn đúng . Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = b.

Suy ra (1) được chứng minh.

Áp dụng bđt (1) với a = x, b = 2y2, ta có :

Lại có :

Do đó :

Ta có P = 54 khi

Vậy Giá trị lớn nhất của biểu thức là Pmax = 54 ,đạt được khi

Câu 65: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = xyz.

Chứng minh rằng :

Trƣờng THPT Lạc Long Quân – Khánh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

49 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 66: Cho l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Trƣờng THPT Lam Kinh – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức

suy ra

Từ giả thiết ta có nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng . Dấu bằng xảy ra khi

Câu 67: Cho là các số thực thuộc đoạn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Lê Lợi – Thanh Hoá – Lần 1

Lời giải tham khảo

50 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt

.Ta có:

Nhận xét:

, lập bảng biến thiên ta thấy khi hay thì .

Mà

(1)

Lại đặt ,

. Nhận xét tương tự suy ra

Lại có . Suy ra

(2)

Cuối cùng đặt với , .

. Lập bảng biến thiên suy ra: (3)

Dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi x = y = z = 1.

Vậy giá trị lớn nhất của P l| 3 đạt được khi x = y = z = 1.

Câu 68: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

: .

Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt . Khi đó :

. Ta có :

Dấu ‚=‛ xảy ra khi . Mặt khác

51 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

. Khi đó :

. Dấu ‚=‛ xảy ra khi .

Đặt . Khi đó . Ta có :

;

Lập bảng biến thiên hàm f trên khoảng . Ta có f có giá trị lớn nhất bằng .

Vậy

Câu 69: Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng BĐT Cosi: hay

Tương tự: ;

Cộng từng vế BĐT ta được , (1)

Ta có:

Thay v|o (1) ta được:

Suy ra: . Đẳng thức xảy ra khi:

Câu 70: Cho các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

52 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Trƣờng THPT Lƣơng Tài 2 – Bắc Ninh – Lần 3

Lời giải tham khảo

; Ta có:

Dấu ‚=‛ xảy ra khi x = 4y = 9z

Suy ra

, xét hàm số (t > 0) Đặt

Lập bảng biến thiên tìm được

Vậy

Câu 71: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có BĐT: với và chứng minh.

(Học sinh không chứng minh (*) trừ 0.25)

Áp dụng (*) ta có:

Ta có:

Suy ra:

53 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Khi đó: Xét hàm số: với Đặt

Ta có:,

BBT:

x 3 36

144/71

3/4 2

Từ BBT ta có: GTNN của P là: khi

Vậy GTNN của P là: 3/4 khi

Câu 72: Cho ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Trƣờng THPT Lý Thƣờng Kiệt – Bình Thuận – Lần 1

Lời giải tham khảo

Xét hàm số

Nên ; ;

Vậy: khi

54 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 73: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần 2

Lời giải tham khảo

Ta có:

Từ giả thiết suy ra:

Đặt:

Mà:

Ta có:

Xét hàm số: với

Ta có:

Lập BBT Suy ra:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 10. Dấu ‚=‛ xảy ra khi:

Câu 74: Cho , , là 3 số thực dương v| thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: .

Trƣờng THPT Marie Curie - Hà Nội– Lần 1

55 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

 Đặt , ,  , , > 0, và .

 

 Ta có: .

 Xét hàm số trên

 Lập bảng biến thiên cho hàm số ta có:

 Xét hàm số trên

 Lập bảng biến thiên cho hàm số ta có:

 Vậy khi , , .

Câu 75: Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Minh Châu – Hƣng Yên – Lần 3

Lời giải tham khảo

56 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt thì ta được

Điều kiện của t:

Đặt ta được và

Hay

Từ đó ta được nên

Xét hàm số

Suy ra đồng biến trên

khi ta được hay

khi hay

Câu 76: Cho ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Nam Duyên Hà – Thái Bình– Lần 1

Lời giải tham khảo

Trong mp(Oxy), gọi

và

Ta có:

57 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

, dấu = xảy ra khi ba vecto cùng hướng và kết hợp điều kiện đề b|i ta được

Vậy khi

Câu 77: Cho các số thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Thanh Chƣơng 3 – Thanh Hoá – Lần 1

Lời giải tham khảo

Vì

nên

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

Do đó

Đặt . Ta có .

. Lập bảng biến thiên của hàm suy ra được

Ta thấy khi Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là khi

58 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 78: Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN của biểu thức : .

Trƣờng Cao Đẳng Nghề Nha Trang – Lần 2

Lời giải tham khảo

MinP =

Câu 79: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trƣờng Trung cấp Nghề Ninh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y; z và x, z:

Dấu ‚ = ‚ khi y = z = x. Khi đó :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

59 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Mà

Do x + y + z =2 x + y =2 – z nên

Do . Xét hàm số: trên (0;2) có:

Trên (0;2), . Ta lập bảng biến thiên:

z 2 0

F’(z) - 0 +

F(z) -8/9

Từ bảng biến thiên suy ra . Dấu ‚ = ‛ xảy ra khi x = y = z =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là min M = khi x = y = z =

60 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 80: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn : .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng Trung Cấp Nghề Ninh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

Từ suy ra 2xy = (x + y)z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x, y ta lại có:

Dấu ‚ = ‚ xảy ra khi x = y . Suy ra (*)

Khi đó

Đặt t = , từ (*) ta có t 2

Xét hàm số f(t) = , t 2

Ta có : f’(t) = >0, t 2

Suy ra f(t) đồng biến trên nên f(t) f(2) = 3, t 2

Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi t = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min P = khi x = y = z

61 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 81: Cho là ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

Trƣờng THPT Ngô Sỹ Liên – Bắc Giang – Lần 2

Lời giải tham khảo

, đặt ▪ Ta có:

Mà

. Xét hàm số

Ta có , ,

▪ Lập bảng xét dấu ta có: với mọi giá trị t thỏa mãn

Suy ra . Dấu bằng xảy ra khi hay .

Kết luận.

Câu 82: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x2y + xy2 = x + y + 3xy. Tìm GTNN của biểu thức

Trƣờng THPT Nguyễn Trí Thanh – Lần 1

Lời giải tham khảo

+ Ta có

do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0

(1)

62 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Nên P = (x + y)2 + 2 -

+ Đặt x + y = t ( t )

+Ta có . Nên f(t) đồng biến trên nửa khoảng =>

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x= y = 2

Câu 83: Cho ba số thực dương thuộc đoạn và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: .

Trƣờng THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần 2

Lời giải tham khảo

ĐS :

Câu 84: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Lần 2

Lời giải tham khảo

 Biến đổi biểu thức , ta có:

 Chứng minh bất đẳng thức: (1)

63 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Sử dụng (1) ta suy ra:

 Tiếp tục đ{nh gi{ , ta có:

Đặt , ta có:

 Khi đó:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của là , đạt khi .

Câu 85: Cho là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Nguyễ Siêu – Hƣng Yên– Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

Vì nên dấu bằng xảy ra khi a=0

Tương tự dấu bằng xảy ra khi a=0

Do đó dấu bằng xảy ra khi a=0

Áp dụng các bất đẳng thức sau:

Dấu bằng xảy ra khi x=y (phải chứng minh)

64 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Dấu bằng xảy ra khi x=y

Suy ra

Đặt t=a+b+c với t>0

Xét hàm số

Ta có

Bảng biến thiến

0 1 T

- 0 + f’(t)

f(t)

Suy ra dấu bằng đạt được khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 32.

Câu 86: Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

Trƣờng THPT Nguyễn Trãi - KonTum – Lần 1

Lời giải tham khảo

* Ta có:

. (1)

65 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vì: (dấu ‚=‛ xảy ra khi x = z)

nên:

(2)

* Ta có: (3)

(Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = b = c)

Áp dụng (3), từ (2) ta có :

* Đặt (từ (1))

Xét hàm số :

Ta có :

=> hàm số f(t) đồng biến trên => minf(t) = f(2) =

Vậy minP = 1/2, đạt được khi x = z = 1 và y = 0.

Câu 87: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên– Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt

Ta có

66 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Suy ra

Xét hàm số với

Ta có . Suy ra hàm số nghịch biến với

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi .

Câu 88: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức :

Trƣờng THPT Nguyễn Văn Trỗi – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có :

lại có :

nên

Mặt khác :

Suy ra :

Vậy : đạt được khi :

67 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 89: Cho

là các số thực dương. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Nhƣ Xuân – Thanh Hoá - Lần 1

Lời giải tham khảo

và Ta có

, Đặt Suy ra

. xét

t 0 4 +

f’ - 0 +

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng - khi .

Câu 90: Cho ba số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên – Lần 1

Lời giải tham khảo

▪ Từ giả thiết ta có:

Nên

▪ Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt ta có:

68 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt

▪ Lập bảng biến thiên ta có:

Vậy minP khi .

Câu 91: Cho x là số thực thuộc đoạn .Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Phan Bội Châu – Lần 2

Lời giải tham khảo

Đặt

Khi đó :

Xét hàm số với

với

f(x) đồng biến trên

Vậy

69 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 92: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Phan Thúc Trực – Nghệ An – Lần 1

Lời giải tham khảo

. Ta có

và Ta có

Suy ra

Đặt ,

Ta có

hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng .

Suy ra

Vậy

Câu 93: Cho các số thực dương . Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Phù Cừ - Hƣng Yên– Lần 1

Lời giải tham khảo

Bất đẳng thức tương đương với

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

70 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vậy bất đẳng thức (2) đúng. Do đó bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Câu 94: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

trong đó a, b l| hai số thực dương.

Trƣờng THPT Phú Riềng – Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có :

Xét hàm số , với .

Ta có :

Lập bảng biến thiên hàm số f(t) trên khoảng ta tìm được :

đạt đươc khi t=2.

Từ đó tìm được GTNN của biểu thức P bằng 4, đạt được khi x=y=1.

Câu 95: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: .

Trƣờng THPT Phú Riềng – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Ta có .

Từ đó suy ra

Do và nên . Từ đ}y kết hợp với trên ta được

71 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Câu 96: Cho các số thực a,b thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Phú Riềng – Bình Phƣớc – Lần 3

Lời giải tham khảo

Do nên

Suy ra:

Mà

Suy ra:

Đặt t = (a + b) thì xét hàm số

Với có

Nên f(t) nghịch biến trên . Do đó:

Vậy khi a = b = 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 97: Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: a + b + c =

Trƣờng THPT Phú Xuyên B – Lần 1

Lời giải tham khảo

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

(*)

72 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

¸p dông (*) ta cã:

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:

Suy ra

Do ®ã

DÊu = x¶y ra

VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 3 khi

Câu 98: Cho là các số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

Trƣờng THPT Quốc Oai – Hà Nội – Lần 1

Lời giải tham khảo

Giả sử . Đặt

Ta có: luôn đúng.

Vậy .

Mà với , ta có: và

Vậy

73 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Mà

Vậy

. Đặt

Xét với . Ta có:

Từ đó, ta có: .

Khi thì . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .

Câu 99: Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .

Trƣờng THPT – Quỳnh Lƣu 1 – Nghệ An – Lần 1

Lời giải tham khảo

Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] . Tìm GTNN của P = .

P = =

Ta có 4ab (a + b)2 nên P =

Đặt t = vì a, b , c thuộc [1;2] nên t thuộc [1;4]

Ta có f(t) = , f’(t) = > 0 với mọi t thuộc [1;4]

Hàm số f(t) đồng biến trên *1;4+ nên f(t) đạt GTNN bằng khi t = 1

Dấu bằng xảy ra khi a = b ; = 1, a,b,c thuộc [1;2] a =b = 1 và c =2

Vậy MinP = khi a =b = 1 và c = 2

74 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 100: Cho các số dương x,y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu 3 – Nghệ An– Lần 1

Lời giải tham khảo

Xét biểu thức

Trước hết ta chứng minh

Thật vậy,

Xét

Dấu ‚=‛ xẩy ra khi x=y

Như vậy,

Đặt, . Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên

t - -1 1 +

f’(t) - 0 + 0 -

4/3

f(t)

75 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là 4/3 khi t=1.

Vậy, GTLN của P là 4/3 khi

Câu 101: Cho ba số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Sở GD & ĐT Bắc Giang – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết suy ra

, trong đó A, B, C l| c{c góc nhọn. Đặt

Từ giả thiết suy ra

Suy ra A, B, C là ba góc nhọn của một tam giác.

Ta có:

Câu 102: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức::

Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc– Lần 1

76 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết ta có và và

Xét hàm số ta được f(x) = 2

Đặt

Xét hàm số:

Lập bảng biến thiên ta có Min

Câu 103: Cho các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: .

Sở GD & ĐT Hà Tĩnh – Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt Ta có: và

Giả thiết trở thành:

Vì nên trong ba số a, b, c có tồn tại 1 số , giả sử a có tính chất

Từ (1) và . Ta có: .

77 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Suy ra:

Xét hàm số: trên .

Ta có:

Lập bảng biến thiên của f(a) trên (0;1+ thu được .

Do đó, . Khi thì .

Vậy, giá trị lớn nhất của P là .

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 104: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn

Sở GD & ĐT Lào Cai – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

Tương tự, ta có

Suy ra

nên Vì

(1)

Xét hàm số với

Ta có

78 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

–

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có với mọi (2)

Từ (1) và (2) suy ra dấu đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt khi

Câu 105: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Sở GD & ĐT Quảng Nam – Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt (x, y, z > 0).

Điều kiện đã cho trở thành: (*)

Ta có: và

Do đó:

Mặt khác nên .

Ta có:

79 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Suy ra: .

Đặt . Ta có .

Xét hàm số .

 f(t) nghịch biến trên (0 ; 2].

Suy ra: .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , khi 2a = b = 4c.

thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 106: Xét các số thực dương

thức:

Trƣờng THPT Trần Cao Vân – Khánh Hoà– Lần 1

Lời giải tham khảo

Suy ra

80 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy

Câu 107: Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Sở GD & ĐT Thanh Hoá – Lần 1

Lời giải tham khảo

, đặt và . Giả sử

Khi đó

Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên

, tức là . Tương tự ta cũng có .

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với mọi .

Thật vậy: (**)

(**) hiển nhiên đúng với mọi . Do đó (*) đúng với mọi .

Áp dụng (*) ta được

Dấu ‚=‛ xảy ra khi .

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi .

Câu 108: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

của biểu thức: .

Sở GD & ĐT Quảng Ninh – Lần 1

81 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Từ điều kiện suy ra . Khảo s{t h|m P <

ĐS :

Câu 109: xét các số thực dương thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Sở GD & ĐT Hà Nội – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

Suy ra

Mặt khác ta có

Khi đó

Xét hàm số với

Suy ra khi

Vậy khi

Câu 110: Xét là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức .

Sở GD & ĐT Nam Định – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết đã cho ta có:

Mà . Đặt

Ta có và

82 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

suy ra Do

Mà

Suy ra

Xét hàm số , với

Ta có . Lập bảng biến thiên

Ta có đẳng thức xảy ra khi

Vậy

Câu 111: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Sông Lô – Lần 2

Lời giải tham khảo

Ta có ,

tương tự

Đặt

83 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Do đó

Do ,

Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y = z = 1.

Câu 112: Cho hai số thực và thỏa mãn: . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 1

Lời giải tham khảo

khi

Câu 113: Cho hai số thực và thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:

Trƣờng THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – Lần 2

Lời giải tham khảo

khi hoặc các hoán vị.

Câu 114: Cho là ba số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Tam Đảo – Vĩnh Phúc – Lần 1

Lời giải tham khảo

khi

84 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 115: Cho là các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Thạch Thành 1 – Thanh Hoá– Lần 2

Lời giải tham khảo

Chứng minh được : .

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

Áp dụng (*) ta có

(1)

Mặt khác:

Mà: (2)

Từ (1) và (2) suy ra: . Dấu ‚=‛ xẩy ra khi:

Vậy đạt được khi .

Câu 116: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

Trƣờng THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – Lần 1

Lời giải tham khảo

85 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt

Ta có:

Áp dung bất đẳng thức Cauchy ta có:

; Tương tự:

Do đó:

Lại có:

Vậy khi

Câu 117: Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức .

Trƣờng THPT Thạch Thành – Thanh Hoá – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có

Xét hàm số: trên đoạn .

Ta có . Suy ra Ta có

hoặc (loại)

Khi thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của là

86 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 118: Cho a,b,c là những số thực dương và thỏa mãn

Trƣờng THPT Thăng Long - Hà Nội – Lần 1

Lời giải tham khảo

87 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 119: Cho là các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức:

88 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Trƣờng THPT Thanh Chƣơng – Nghệ An – Lần 1

Lời giải tham khảo

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

Từ đó suy ra:

Khi đó:

Với , xét hàm số:

Do đó, suy ra:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là .

Câu 120: Cho ba số thực không âm . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Chuyên Bình Long – Lần 2

Lời giải tham khảo

Với mọi số thực không }m x, y, z Ta có:

89 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Mặt khác ta có:

Vì

Tương tự ta có (2)

Từ (1) v| (2) ta suy ra

Hay .Đặt

Khi đó . Xét h|m số

(do t > 2 nên

L}̣p bãng biến thiên cũa hàm số f(t). Dựa vào bãng biến thiên ta có

khi

Câu 121: Cho là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Bình Long – Lần 3

Lời giải tham khảo

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương ta được:

Ta có

90 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng .

Câu 122: Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của

. biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phƣớc – Lần 6

Lời giải tham khảo

Đặt t=a+b+2 (t>2).

Cách 1: Sử dụng xét h|m, tìm được Min P= . Khi

. Cách 2: Sử dụng Cauchy:

Câu 123: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = .

Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo:

91 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vì

(z + 1)( x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có: .

Khi đó: T = =

Áp dụng BĐT Côsi cho c{c số dương x, y ta có : ,

, .

Do đó suy ra ( * )

Dấu ‚=‛ ở ( * ) xảy ra .

Vậy GTLN của khi x= 3, y =3, z = 7

Câu 124: Cho là ba số thực thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Trƣờng THPT Lê Hồng Phong – Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết ta có

Khi đó .

Khảo sát hàm biến a là với suy ra

Khảo sát hàm g(c) với suy ra .

Câu 125: Cho các số thực dương a, b, c luôn thoả mãn a+ b + c = 1.

Chứng minh rằng :

Trƣờng THPT Lộc Ninh – Bình Phƣớc – Lần 3

92 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo:

Ta có :VT =

Từ đó ta có VT

Dấu đằng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

Câu 126: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức .

Trƣờng THPT Lộc Ninh – Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có:

Suy ra

Tương tự .Suy ra

Ta có

Suy ra

Xét hàm số trên

với .

93 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Do hàm số liên tục trên , nên nghịch biến trên

Suy ra . Dấu = xảy ra khi

Vậy GTLN của P là đạt được khi

Câu 127: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Lộc Ninh – Bình Phƣớc– Lần 2

Lời giải tham khảo:

+ Ta có

do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0

(1)

Nên P = (x + y)2 + 2 - = (x + y)2 +1 +

+ Đặt x + y = t ( t

+Ta có = 2t - Nên đồng biến trên nửa khoảng =>

Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng khi x= y = 2

Câu 128: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức .

Trƣờng THPT Nguyễn Du– Lần 2

94 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Từ gt ta có:

Hệ có nghiệm khi

Suy ra hoặc các hoán vị hoặc hoặc các hoán vị.

Câu 129: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Trƣờng THPT Nguyễn Du – Lần 3

Lời giải tham khảo

Trước tiên ta chứng minh BĐT :

luôn đúng với mọi x>0, d ấu ‚=‛ sảy ra khi x=1

Áp dụng (*) cho x lần lượt là

Từ c{c đảng thức trên suy ra

Vậy MinS =2 khi a=b=c=1

Câu 130: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Nguyễn Du – Lần 4

95 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo



 đpcm.

Câu 131: Cho các số dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng

Trƣờng THPT Nguyễn Du – Lần 5

Lời giải tham khảo

Đặt và

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

Thật vậy,

Tương tự, ,

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra

Câu 132: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Nguyễn Du – Lần 6

Lời giải tham khảo

96 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Ta có:

Từ giả thiết suy ra:

Đặt

Mà:

Ta có:

Xét hàm số: với

Ta có:

Bảng biến thiên:

Suy ra:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 10. Dấu ‚=‛ xảy ra khi:

Câu 133: Cho các số thực thỏa mãn Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Nguyễn Du– Lần 7

Lời giải tham khảo

- từ gt có

97 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

- Do đó

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Câu 134: Cho ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện .Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : .

Trƣờng THPT Nguyễn Du – Lần 8

Lời giải tham khảo

Trước tiên ta chứng minh BĐT :

luôn đúng với mọi x>0, d ấu ‚=‛ sảy ra khi x=1

Áp dụng (*) cho x lần lượt là

Từ c{c đảng thức trên suy ra

Vậy MinS =2 khi a=b=c=1

Câu 135: Cho là các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Nguyễn Văn Trỗi – Lần 1

98 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Ta có

Theo BĐT Côsi

(1) (2)

Lại có theo BĐT Côsi

(3) . Từ (1) và (2) (4)

Từ (2) và (4)

Xét hàm số trên . Ta có

Lập BBT . Vậy GTNN của . .

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 136: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn:

Sở GD & ĐT Bình Phƣớc – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có:

99 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Khi

thuộc khoảng (0;1) thoả mãn . Tìm GTNN của biểu thức: P = Câu 137: Cho

Sở GD & ĐT Bình Phƣớc – Lần 2

Lời giải tham khảo

Ta có:

Theo Cô si

Đặt t = a + b + c, ta có:

v ới 0

Khảo sát hàm số trên tìm ra minP =3/4 khi t=3/2 hay a=b=c=1/2

Câu 138: Cho số thực không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng

Trƣờng THPT Chuyên Biên Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt

Giả sử , khi đó

Đặt thì

Ta có . Do đó (đpcm)

100 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đẳng thức xảy ra khi và chẳng hạn một bộ thỏa mãn là

Câu 139: Cho số thực lớn nhất sao cho tồn tại các số thực không âm thỏa mãn

và

Trƣờng THPT Chuyên Vinh – Lần 2

Lời giải tham khảo

Giả sử tồn tại các số thực thỏa mãn yêu cầu b|i to{n đặt ra.

Không mất tính tổng quát ta giả sử nằm giữa và . Kết hợp với giả thiết ta có

và

Từ đ}y ta được

Mặt khác do , không âm nên

Do đó

Xét hàm số . Ta có

Ta có . Suy ra

Từ (1) v| (2) ta được Khi ta có dấu đẳng thức

Vậy số lớn nhất cần tìm là

là ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 140: Cho

Trƣờng THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu – Lần 1

Lời giải tham khảo

Suy ra :

Vậy : P lớn nhất bằng 12 đạt được khi a = b = c = 1

101 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 141: Cho x ≥ 0 v| y ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu – Lần 1

Lời giải tham khảo

Câu 142: Cho ba số thực dương thuộc đoạn và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

. nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh– Lần 2

Lời giải tham khảo

ĐS :

Câu 143: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Trƣờng THPT Lê Lợi – Thanh Hoá – Lần 2

Lời giải tham khảo

102 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

(Khảo sát hàm 1 biến )

Vậy : P nhỏ nhất bằng 2 đạt được khi x =2 ; P lớn nhất bằng đạt được khi x = 8

Câu 144: Cho là các số thực dương thỏa mãn :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Liên Sơn – Lần 1

Lời giải tham khảo

Vì

Theo Cô-Si

Do đó

Đặt

Xét hàm số

Có

103 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Bảng biến thiên

Ta được

Dấu = xảy ra khi

Vậy đạt được khi

Câu 145: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức:

Trƣờng THPT Nghèn – Hà Tĩnh - Lần 1

Lời giải tham khảo

Đ{nh gi{ <.xét h|m số

ĐS : khi hoặc

là ba số thực dương và thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 146: Cho

Trƣờng THPT Trần Hƣng Đạo – ĐăcNông - Lần 1

Lời giải tham khảo

; Suy ra ….

104 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy : P nhỏ nhất bằng

đạt được khi

Câu 147: Cho là ba số thực dương v| thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:

Trƣờng THPT - Nguyễn Sỹ Sách- Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt :

tương tự các biểu thức còn lại suy ra

Vậy : P lớn nhất bằng đạt được khi

là ba số thực không âm và thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu Câu 148: Cho

thức:

Trƣờng THPT Trung Giã - Lần 2

Lời giải tham khảo

Suy ra : ;

Vậy : P lớn nhất bằng đạt được khi y =z =0 ; x = 1

Câu 149: Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Ischool Nha Trang – Khánh Hoà - Lần 1

Lời giải tham khảo

105 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt x =a + b + c; y= b + c + 4a; z = c + a + 16b, ta có x,y,z > 0 và

. Khi đó

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là khi .

Câu 150:Cho x, y là hai số thực dương, x + y = 1. Tìm GTNN của P = .

Trƣờng THPT Ischool – Nha Trang – Khánh Hoà - Lần 2

Lời giải tham khảo

Đặt t = xy ,

Xét hs trên

(Vì pt g(t) = vô nghiệm và

Suy ra hs f(t) nghịch biến trên . Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là

khi và chỉ khi

Câu 151:Cho các số thực thuộc và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Thuận Châu – Sơn La - Lần 2

106 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

+) Biến đổi c{c đại lượng khác của b|i to{n theo đại lượng

Thứ nhất:

Suy ra:

Thứ 2:

Kết hợp:

Thứ 3:

Suy ra

Xét hàm số

Suy ra

107 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Do đó h|m

nghịch biến trên

suy ra

Giá trị lớn nhất của biểu thức là:

khi hoặc các hoán vị của

Câu 152: Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Thuận Thành – Bắc Ninh - Lần 2

Lời giải tham khảo

Không giảm tính tổng quát, giả sử a + b + c = 1.

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên .

Câu 153: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trƣờng THPT Tô Văn Ơn - Lần 1

Lời giải tham khảo

108 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

+ lập bảng biến thiên, ta được

Câu 154: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn xyz + x + z = y .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

- - +

Trƣờng THPT Tô Văn Ơn - Lần 2

Lời giải tham khảo

+ Vì y = ,nên

= = ,Đặt t =

Ta có P -2t + = -3t3 + t = f(t) với t (0;1)

+ Khảo sát ta có kết quả đạt được khi z =

109 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 155: Cho x,y là các số dương thỏa mãn

Trƣờng THPT Tôn Đức Thắng - Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt , .Theo đề bài ta có:

Kết hợp điều kiện suy ra

Đặt ;

Xét hàm số:

Suy ra hàm số nghịch biến trên

Suy ra giá trị lớn nhất của M bằng khi a=b=1

Câu 156: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Tôn Đức Thắng - Lần 2

110 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Lời giải tham khảo

Ta có .

Ta có và

Suy ra \

Đặt ,

Ta có

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng .

Suy ra .

Vậy

Câu 157: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa . Tìm GTNN của

Trƣờng THPT Trần Bình Trọng – Khánh Hoà - Lần 1

Lời giải tham khảo

với : .

Ta có:

, Dấu bằng xảy ra

Ta có:

Suy ra ,

111 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Câu 158: Cho 3 số thực x;y;z dương thõa điều kiện

. Tìm GTNN của

Trƣờng THPT Trần Cao Vân – Khánh Hoà - Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt

Chứng minh.

Min(P)=

Câu 159: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Trần Quang Khải - Lần 3

Lời giải tham khảo

Theo BĐT Bunhiacopxki:

Ta có:

Tương tự: ;

Suy ra:

112 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Đặt Khi đó:

Xét h|m số: với ,

BBT

Từ BBT ta có: GTNN của P l|: khi khi

Câu 159: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Trần Đại Nghĩa – Lần 1

Lời giải tham khảo

+ Ta có

Vì x,y không âm nên

Đặt t = x+y khi đó

Ta có

+ Xét hàm với

ta có với với

và f(t) liên tục trên đoạn [1;2] nên f(t) đồng biến trên đoạn [1;2]



 , P= khi

KL: Giá trị lớn nhất của P là đạt được khi x = 2 và y = 0

Câu 160: Cho các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT – Trần Phú – Vĩnh Phúc - Lần 1

Lời giải tham khảo

113 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

(1) Ta có

(2) Tương tự

(3)

Cộng (1), (2), (3) vế với vế, thu được

Mà suy ra

Ta có

Suy ra

Dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy P đạt giá nhỏ nhất bằng 24

Câu 161: Cho các số thực dương thỏa mãn: .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Trƣờng THPT Trần Thị Tâm - Lần 1

Lời giải tham khảo

Theo giả thiết ta có

Mặt khác ta có

Vì vậy

Đặt

114 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy ; dấu bằng đạt tại

là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 162: Cho

thức

Trƣờng THPT Triệu Sơn – Thanh Hoá - Lần 1

Lời giải tham khảo

- Ta có:

- Đặt , khi đó ta có: trở thành

Mặt khác:

- Mà:

Suy ra:

- Do đó: nên GTNN của P bằng 1 khi

Câu 163: Cho thuộc khoảng (0;1) thoả mãn . Tìm GTNN của biểu thức

P =

Trƣờng THPT DL Lê Thánh Tôn - Lần 1

Lời giải tham khảo

115 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Theo Cô si

v ới (0

Khảo sát hàm số tr ên tìm ra minP =3/4 khi t=3/2 hay a=b=c=1/2

Câu 164: Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng 2 số bất kì đều dương. Chứng minh rằng:

Trƣờng THPT Chuyên Biên Hoà - Lần 1

Lời giải tham khảo

Đặt

Giả sử , khi đó

Đặt thì

Ta có: . Do đó (đpcm).

Đẳng thức xảy ra khi và chẳng hạn một bộ thỏa mãn:

là ba số thực không âm và thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 165: Cho

thức:

Trƣờng THPT Đăk-Mil ĐăkNông - Lần 1

Lời giải tham khảo

116 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

….

Lại có :

Suy ra : khi

Câu 166: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức sau:

Trƣờng THPT Chuyên Biên Hoà – Phú Thọ - Lần 2

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết ta có: .

. Đặt

với .

Ta có: với .

Hàm số nghịch biến trên .

Dấu ‚=‛ xảy ra khi .

117 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

là ba số thực dương và thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 167: Cho

Trƣờng THPT Nguyễn Sỹ Sách - Lần 2

Lời giải tham khảo

Đặt :

tương tự các biểu thức còn lại suy ra

Vậy : P lớn nhất bằng đạt được khi

, biết rằng và Câu 168: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu 2 – Nghệ An - Lần 1

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết và điều kiện của ta có : và

Ta có

Đặt . Ta có

P(1)=6, P(5)=26,

Ta có

Câu 169: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

Trƣờng THPT – Triệu Sơn 1– Thanh Hoá - Lần 2

Lời giải tham khảo

118 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

- Ta có:

- Đặt , khi đó ta có: trở thành

Mặt khác:

- Mà:

Suy ra:

- Do đó: nên GTNN của P bằng 1 khi

Câu 170: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT- Tƣơng Dƣơng – Nghệ An – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có .

Ta có và

Suy ra

Đặt ,

Ta có

hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng .

Suy ra

119 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Vậy

Câu 171: Cho thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trƣờng THPT Văn Giang – Lần 1

Lời giải tham khảo

Viết lại

Đặt

Suy ra:

Ta có:

Từ giả thiết ta có nên

Ta có đ{nh gi{:

Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi thoả mãn điều kiện đầu bài.

Vậy

Câu 172: Cho là ba số thực dương thoả mãn điều kiện : . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

Trƣờng Trung tâm GDTX Vạn Ninh – Khánh Hoà – Lần 1

Lời giải tham khảo

Với a, b, c là 3 số dương, ta luôn có:

và

120 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Nên :

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Mặt khác : nên :

Đặt . Ta có : . Vậy

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Do đó từ ( 1 ) ta có :

hàm nghịch biến trên

Do đó

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Vậy GTLN của P là đạt được khi

Câu 173: Cho các số thực dương thỏa . Tìm giá trị nhõ nh}́t c ủa biểu thức

Trƣờng Trung tâm GDTX Vạn Ninh – Khánh Hoà – Lần 2

Lời giải tham khảo

Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có

Mặt khác, do nên

121 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Từ (1) và (2), ta có

Do đó

. Ta có

. Đặt

Khi đó

Xét hàm số trên .

Lập bảng biến thiên, ta có h|m f đồng biến trên .

Kết luận được :

Câu 174: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trƣờng THPT Xuân Trƣờng - Nam Định – Lần 1

Lời giải tham khảo

Ta có ,<.; ,<

Nên .

Ta có

122 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

Suy ra

Đặt .

Mặt khác: . Vậy

Ta có

Xét hàm số với ta có nên hàm số

đồng biến trên . .

Do . Có khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi