Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị

Chia sẻ: Lê Bật Thành Công | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:123

Thêm vào BST

Báo xấu

294
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia: Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị gửi đến các bạn lí thuyết về bất đẳng thức và cực trị cùng với các bài toán bất đẳng thức và cực trị có trong các đề thi thử năm 2016. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG  Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)   a, b  0, thì: a  b  2 a.b . D}́u "  " xảy ra khi và chỉ khi: a  b.   a, b, c  0, thì: a  b  c  3. 3 a.b.c . D}́u "  " xảy ra khi v| chỉ khi: a  b  c. 2 3 ab ab abc Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab   a.b    v| a.b.c     2  2   3   Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b   a, b, x, y  , thì: ( a.x  b.y )2  ( a 2  b2 )( x 2  y 2 ) . D}́u "  " xảy ra khi và chỉ khi:   x y   a, b, c , x , y , z  , thì: ( a.x  b.y  c.z )2  ( a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) . a b c D}́u "  " xảy ra khi v| chỉ khi:    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a2  b2 )( x2  y 2 ). Hệ quả. Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì: a 2 b 2 ( a  b) 2 a 2 b 2 c 2 ( a  b  c )2   v|    : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số. x y xy x y z xyz  Bất đẳng thƣ́c véctơ Xét c{c véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) . Ta luôn có : u  v  u  v  a2  b2  x2  y 2  (a  x)2  (b  y)2 . D}́u "  " xảy ra khi và chỉ khi u v| v cùng hướng.  Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp  x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y).  x2  y 2  z2  ( x  y  z)2  2( xy  yz  zx).  x3  y3  z3  ( x  y  z)3  3( x  y)( y  z)( z  x).  x3  y3  z3  3xyz  (x  y  z) x2  y2  z2  (xy  yz  zx) .  (a  b)(b  c)(c  a)  ab2  bc 2  ca2  (a2 b  b2 c  c 2 a).  ( a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc. 2( a3  b3  c 3 )  6abc  ( a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  2( a2  b2  c 2  ab  bc  ca)   abc  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  3(a  b)(b  c)(c  a). 2   2   ( a  b) 2  ( a 2  b 2 )  .( a2  b2 )  .ab  ( a  b)2  ( a  b)2 v| ab   4 2 2  Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thƣ́c phụ Các đánh giá cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại) a.  x; y; z  0  suy ra  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx. VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 1
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 b.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y)( y  z)( z  x)  8 xyz. c.  x; y; z   suy ra  3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . d.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x). e.  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx). f.  x; y; z  0  suy ra  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  xyz( x  y  z). g.  x; y; z  0  suy ra  ( xy  yz  zx)2  3 xyz( x  y  z). h.  x; y; z   suy ra  3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  ( xy  yz  zx)2 . 9 i.  x; y; z   suy ra  ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x). 8 Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng) 1 j.  x; y  0 suy ra  x 3  y 3  ( x  y) 3 . 4 1 1 2 1 1 2 k.  xy  1  suy ra    v|  xy  1 suy ra     1 x 2 1 y 2 1  xy 1 x 2 1 y 2 1  xy 1 1 2 1 1 2 Suy ra:  xy  1  suy ra    v|  xy  1  suy ra     1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy 1 1 1 l.  x; y  1  suy ra     (1  x) (1  y) 2 2 1  xy 1 1 2 m.  x; y  0;1  suy ra     1 x 2 1 y 2 1  xy 2 x, y  0 1  1   2  n.    suy ra    1   1    1  x  y  1 x  y  xy  Chƣ́ng minh các đánh giá cơ bản a. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx.  x2  y 2  2 x2 y 2  2 xy    Áp dụng BĐT Cauchy:  y 2  z 2  2 y 2 z 2  2 yz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx. D}́u "  " khi x  y  z.  2  z  x  2 z x  2 zx 2 2 2 b. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  ( x  y)( y  z)( z  x)  8 xyz.  x  y  2 xy  nhân Áp dụng BĐT Cauchy  y  z  2 yz  ( x  y)( y  z)( z  x)  x 2 y 2 z 2  8 xyz. D}́u "  " khi x  y  z.   z  x  2 zx c. Chƣ́ng minh:  x; y; z   suy ra  3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được: x2 y 2 z2 ( x2  y 2  z 2 ) x2  y 2  z 2      3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z)2 . D}́u "  " khi x  y  z. 1 1 1 3 d. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)( x 2  y 2  z 2 )  3( x 2 y  y 2 z  z 2 x). Ta có: ( x  y  z)(x2  y 2  z 2 )  ( x3  xy 2 )  ( y 3  yz 2 )  ( z 3  zx2 )  x2 y  y 2 z  z 2 x Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 ( x  y  z)( x2  y 2  z 2 )  2x2 y  2 y 2 z  z 2 x  x2 y  y 2 z  z 2 x  3( x2 y  y 2 z  z 2 x). D}́u "  " khi x  y  z. e. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx). Ta có: ( x  y  z)2  x2  y 2  z2  2( xy  yz  zx)  3( xy  yz  zx). D}́u "  " khi x  y  z. f. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  xyz( x  y  z). Đặt: a  xy; b  yz; c  zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với: a2  b2  c 2  ab  bc  ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.) D}́u đẵng thức khi x  y  z hoặc y  z  0 hoặc x  y  0 hoặc z  x  0. g. Chƣ́ng minh:  x; y; z  0  suy ra  ( xy  yz  zx)2  3 xyz( x  y  z). Đặt: a  xy; b  yz; c  zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với: (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) : luôn đúng theo BĐT e. D}́u đẵng thức khi x  y  z hoặc y  z  0 hoặc x  y  0 hoặc z  x  0. h. Chƣ́ng minh:  x; y; z   suy ra  3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  ( xy  yz  zx)2 .  ( xy)2 ( yz)2 ( zx)2  Cauchy Schwarz Ta có: 3( x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2 )  3       ( xy  yz  zx)2 .  1 1 1  D}́u đẵng thức xãy ra khi x  y  z. 9 i. Chƣ́ng minh:  x; y; z   suy ra  ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x). 8 Cauchy Ta có: ( x  y)( y  z)( z  x)  2 xy . yz . zx  8 xyz. Mặt khác: ( x  y  z)( xy  yz  zx)  xyz  ( x  y)( y  z)( z  x). Suy ra: 1  9 ( x  y  z)( xy  yz  zx)    1  ( x  y)( y  z)( z  x)  ( x  y)( y  z)( z  x).  8  8 D}́u đẵng thức xãy ra khi: x  y  z. Chƣ́ng minh các bất đẳng thƣ́c phụ 1 j. Chƣ́ng minh:  x; y  0  suy ra  x 3  y 3  ( x  y) 3 . 4 2 Cauchy xy ( x  y )3 Ta có: x3  y 3  ( x  y)3  3x.y( x  y)  ( x  y)3  3.   .( x  y )   Dấu "  " khi x  y.  2  4 1 1 2 1 1 2 k. Chứng mnh:  xy  1  suy ra    v|  xy  1  suy ra     1  x2 1  y 2 1  xy 1  x 2 1  y 2 1  xy 1 1 2 Chứng minh: xy  1    (1) 1 x 2 1 y 2 1  xy  1 1   1 1  B}́t đẵng thức (1) tương đương với:       0 1 x 2 1  xy   1  y 2 1  xy  xy  x2 xy  y 2 x( y  x) y( x  y)   0  0 (1  x )(1  xy) 2 (1  y )(1  xy) 2 (1  x )(1  xy) 2 (1  y 2 )(1  xy) x(1  y 2 )  y(1  x2 ) ( x  y)  xy(y x)  ( y  x)   0  ( y  x)  0 (1  x )(1  y )(1  xy) 2 2 (1  x2 )(1  y 2 )(1  xy) ( y  x)2 ( xy  1)   0 : đúng xy  1. D}́u "  " khi x  y hoặc xy  1. (1  x2 )(1  y 2 )(1  xy) VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 3
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 1 2 Chứng minh: xy  1    (2) 1 x 2 1 y 2 1  xy Ta làm tương tự và d}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi x  y hoặc xy  1. 1 1 2 1 1 2 Suy ra: xy  1    v| xy  1     1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy 1 1 1 3 Mỡ rộng:  x; y; z  1 thì    (3) 1  x2 1  y 2 1  z 2 1  xyz Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. D}́u " = " khi và chỉ khi: x  y  z  1. 1 1 1 l. Chƣ́ng minh:  x; y  1  suy ra     (1  x) 2 (1  y) 2 1  xy 2 1 1 1  1 1  2 1 Ta có:        0 (1  x) (1  y) 2 2 1  xy  1  x 1  y  (1  x)(1  y) 1  xy ( y  x)2 1  xy  x  y ( y  x)2 ( x  1)( y  1)    0    0 : đúng x , y  1. (1  x) (1  y) (1  x)(1  y)(1  xy) 2 2 (1  x) (1  y) (1  x)(1  y)(1  xy) 2 2 D}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi x  y  1. 1 1 2 m. Chƣ́ng minh:  x; y  0;1  suy ra     1 x 2 1 y 2 1  xy Cauchy Schwarz 1 1 1 1 Ta có: 1.  1.  12  12 .  (1) 1 x 2 1 y 2 1 x 2 1  y2 1 1 2 Mặt khác x , y  (0;1), thì   (2) 1 x 2 1 y 2 1  xy  1 1   1 1  xy  x 2 xy  y 2 Th}̣t v}̣y: (2)          0   0 1 x 2 1  xy   1  y 2 1  xy  (1  x 2 )(1  xy) (1  y 2 )(1  xy) x( y  x) y( x  y) ( y  x)2 ( xy  1)   0  0 : đúng xy  1. (1  x2 )(1  xy) (1  y 2 )(1  xy) (1  x2 )(1  y 2 )(1  xy) 1 1 2 Từ (1), (2), suy ra:   , x; y  0;1 . D}́u đẵng thức xãy ra khi: x  y. 1  x2 1  y2 1  xy 2 x, y  0 1  1   2  n. Chƣ́ng minh:    suy ra    1   1    1  x  y  1 x  y  xy  1 1 1 4 4 1 4 1 1 4 ( x  y )2 ( x  y)2 Ta có: BĐT             xy x y ( x  y)2 x  y xy ( x  y)2 x y x  y xy( x  y)2 xy( x  y)  ( x  y)2 (1  x  y)  0 : đúng với mọi x  y  1 và dấu "  " khi và chỉ khi: x  y. VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 4
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 Câu 1: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a, b, c [1;2] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2(ab  bc  ca) 8 bc4 P   2(2a  b  c)  abc 2a(b  c)  bc  4 bc  1 Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2 Lời giải tham khảo Vì a, b, c [1;2] nên ta có (a 1)(b  2)(c  2)  0  abc  2(2a  b  c)  2(b  c)a  bc  4 Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2 Do đó v| do a  1 nên ta có 2(ab  bc  ca) 8 bc4 P   2(2a  b  c)  abc 2a(b  c)  bc  4 bc  1 2(ab  bc  ca) 8 b  c  4 2a(b  c)  bc  4  bc  4 b  c  4      2a(b  c)  bc  4 2a(b  c)  bc  4 bc  1 2a(b  c)  bc  4 bc  1 bc  4 bc4 bc  4 bc4 bc  4 2 bc  4  1   1   1  2a(b  c)  bc  4 bc  1 2(b  c)  bc  4 bc  1 bc  4 bc  4 bc  1 t 2  4 2t  4 Đặt t  bc [1;2] . Xét hàm số f (t )  1   trên [1;2] (t  2) 2 t  1 4t  8 2 4 2 f '(t )     0 (t  2) (t  1) 2 2 27 9 7 nên f (t ) liên tục v| đồng biến trên [1;2] Suy ra P  f (t )  f (2)   6 7 Vậy, giá trị lớn nhất của P   khi a =1 , b = c = 2. 6 Câu 2: Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn a2  b2  c2  1 .Chứng minh rằng 1 1 1 9    . 1  ab 1  bc 1  ca 2 Trƣờng THPT Bắc Yên Thành – Lần 1 Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 5
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 1 1 9 ab bc ca 3        1  ab 1  bc 1  ca 2 1  ab 1  bc 1  ca 2 ab 2ab 2ab Ta có  2  2 . 1  ab 2a  2b  2c  2ab a  b2  2c 2 2 2  a  b  2 a2 b2 4ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 2  2 2  2 . a c b c a  b  2c 2 2 a  b 2  2c 2 2 ab 1  a2 b2  Vậy   2 2  2 2 . 1  ab 2  a  c b  c  bc 1  b2 c2  ac 1  a2 c2  Tương tự   2   ,   2 2  . 1  bc 2  b  a 2 c2  a2  1  ac 2  a  b c  b 2 2  3 Cộng lại ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi a  b  c  . 3 Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 8. 48 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  ( x  y )( y  z )( z  x) + x y z 3 Trƣờng THPT Số 3 – Bảo Thắng – Lào Cai– Lần 1 Lời giải tham khảo (x y )(y z )(z x) (x y z ) xy yz zx 8 2 Ta có : a b (b c)2 (c a )2 0 2 a2 b2 c2 ab bc ca a b c 3 ab bc ca * . Thay 2 a xy;b yz;c zx vào (*) xy yz zx 3xyz x y z xy yz zx 2 6 x y z 48 Do đó : P  2  x  y  z  6  x  y  z   8 x y z 3 48 Đặt : t  x  y  z  3 3 xyz  6  P  2t 6t   8,  t  x  y  z, t  6  3t 3 6t  t  3  24 3 48 Xét hàm số f (t )  2t 6t   8,  t  6   f '(t )   f '(t )  0, t  6 3t  t  3 3 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 6
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016  f (t ) đồng biến trên 6;  . Vậy Min f (t )  f (6)  80 6;  Suy ra P  80 dấu bằng xảy ra khi x  y  z  2 Kết luận : Giá trị nhỏ nhất của P l| 80 đạt được khi x  y  z  2 Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. 7 121 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A a2 b2 c2 14(ab bc ca ) Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình – Lần 1 Lời giải tham khảo 1 (a 2 b2 c2 ) Ta có 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) ab bc ca . 2 7 121 Do đó A 2 2 2 2 a b c 7(1 (a b2 c 2 )) Đặt t a 2 b2 c2 . Vì a,b,c 0 và a b c 1 nên 0 a 1,0 b 1,0 c 1 Suy ra t a2 b2 c2 a b c 1 Mặt khác 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca ) 3(a 2 b2 c2 ) 1 1 Suy ra t a2 b2 c2 . Vậy t ;1 3 3 7 121 1 Xét hàm số f (t ) ,t ;1 t 7(1 t ) 3 7 121 7 f '(t ) 0 t 2 2 18 t 7(1 t) BBT t 1 7 1 3 18 f '(t ) - 0 + f (t ) 324 7 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 7
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 324 1 324 Suy ra f (t ) , t ;1 . Vậy A với mọi a,b,c thỏa điều kiện đề bài. Hơn nữa, với 7 3 7 7 1 1 1 a 2 b2 c2 324 324 a ;b ;c thì 18 và A Vậy min A 2 3 6 a b c 1 7 7 Câu 5: Cho các số thực x, y , z thỏa mãn x  2, y  1, z  0 . 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   2 x  y  z  2(2 x  y  3) 2 2 2 y ( x  1)( z  1) Trƣờng THPT Bố Hạ – Lần 2 Lời giải tham khảo: Đặt a  x  2, b  y 1, c  z  a, b, c  0 1 1 P  2 a 2  b2  c2  1 (a  1)(b 1)(c 1) (a  b)2 (c  1)2 1 Ta có a 2  b2  c 2  1    (a  b  c  1)2 2 2 4 Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 (a  b  c  3)3 Mặt khác ( a  1)(b  1)(c  1)  27 1 27 Khi đó P   . Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 a  b  c  1 (a  b  c  3)3 1 27 Đặt t  a  b  c  1  1 . Khi đó P   ,t 1 t (t  2)3 1 27 1 81 81t 2  (t  2) 4 f (t )   , t  1; f '(t )     t (t  2)3 t 2 (t  2) 4 t 2 (t  2) 4 Xét f '(t )  0  81t 2  (t  2) 4  0  t 2  5t  4  0  t  4 (do t>1) lim f (t )  0 x  t 1 4  f’(t) + 0 - f(t) 1 8 0 0 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 8
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 Từ BBT Ta có maxf(x)=f(4)= 8 1 a  b  c  1 Vậy ma xP  f(4)    a  b  c 1  x 3; y 2; z 1 8 a  b  c  1  4 Câu 6: Cho x, y, z  0 thoả mãn x + y + z  0 . x 3 + y 3 + 16z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z 3 Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà– Lần 1 Lời giải tham khảo x + y 3 Trước hết ta chứng minh được: x + y 3 3  4  x + y  + 64z 3 = a - z  3 3 + 64z 3 z Đặt x + y + z = a. Khi đó 4P  = 1 - t  + 64t 3 (với t = 3 3 3 ;0 < t 0 0;1 81 81 1 1 1 Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 v| thoả mãn điều kiện: + + 2 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =  x - 1 y - 1 z - 1 Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà – Lần 2 Lời giải tham khảo 1 1 1 1 1 1 y -1 z -1 (y - 1)(z - 1) Ta có + +  2 , nên :  (1 - ) + (1 - ) = ( )+( )2 (1) x y z x y z y z yz 1 1 1 x -1 z -1 (x - 1)(z - 1)  (1 - ) + (1 - ) = ( )+( )2 (2) y x z x z xz 1 1 1 x -1 y -1 (x - 1)(y - 1)  (1 - ) + (1 - ) = ( )+( )2 (3) z x y x y xy 1 Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x - 1)(y - 1)(z - 1)  8 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 9
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 3 Vậy Amax = x=y=z= 8 2 Câu 8: Giả sử a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  1 . a2 b2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    ( a  b)2 (b  c)  5bc (c  a)  5ca 4 2 2 Trƣờng THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp – Lần 1 Lời giải tham khảo a2 a2 4a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi   (b  c)2  5bc 5 9(b  c)2 ( b  c )2  ( b  c )2 4 b2 4b 2 Tương tự:  (c  a)2  5ca 9(c  a)2 2 a2 b2 4  a2 b2  2  a b      2      (b  c )  5bc (c  a)  5ca 9  (b  c ) (c  a)  9  b  c c  a  2 2 2 2  ( a  b) 2    2   c(a  b)  2 2 a  b  c(a  b) 2 2 2 2 2  2( a  b)2  4c(a  b)           9  ab  c( a  b)  c 2  9  ( a  b) 2 2  9  ( a  b ) 2  4c( a  b )  4c 2    c( a  b)  c   4  Vì a  b  c  1  a  b  1  c nên ta có 2 2 2  2(1  c)2  4c(1  c)  3 8 2  3 P  2   (1  c)2   1    (1  c)2 (1) 9  (1  c)  4c(1  c)  4c  4 2 9  c 1 4 2 8 2  3 f (c)   1    (1  c)2 , c  (0;1) 9  c 1 4 Xét hàm số 16  2  2 3 1 f (c )   1   (c  1); f ( c)  0  c  9  c  1  (c  1) 2 2 3 Bảng biến thiên c 1 0 1 3 f (c)  0  f (c) 1  9 1 Dựa vào BBT ta có f (c)   , c  (0;1) (2) 9 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 10
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 1 Từ (1) và (2) suy ra P   , dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  9 3 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  9 Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2  2x  y   2 y  z   2z  x  2 M       .  x y   yz   zx  Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 2 Lời giải tham khảo Câu 10: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2  y 3  z 4  x 3  y 4  z 5 , chứng minh rằng x3  y 3  z 3  3 Trƣờng THPT Chuyên KHTN– Lần 1 Lời giải tham khảo Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x 2  y 3  z 4  x 3  y 4  z 5 , chứng minh rằng x3  y 3  z 3  3 thức : VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 11
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Câu 11: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện a 2 ab b2 c a b c .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a  c b  c  2 2 ab ab P    2a  2ac  c 2b  2bc  a  a  b a  4bc  b 2 2 2 2 2 2 2 Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 3 Lời giải tham khảo 1 1 2 Bổ đề : Cho x, y 0; xy 1 khi đó : 2 2 (*) 1 x 1 y 1 xy (xy 1)(x y)2 Thật vậy (*) 0 (Luôn đúng) (1 x 2 )(1 y 2 )(1 xy ) a  c b  c  2 2 1 1 2     2a  2ac  c 2 2 2b  2bc  a 2 2  a  2  b  2 1 ab 1   1   (a  c)(b  c) ac bc (a  c)(b  c) ab  c( a  b  c)  a  b  2 2t 1 1 Đặt t     4 thì P  f (t ), f (t )    ab ab 4 1 t t t  2 2 1 1 1 1 2 2 Ta có : f '(t )     0 do 2    1  t  t  2  t  2  t (t  2) (t  1) 2 2 2 2 2 t t 121 121 Suy ra : f (t )  f (4)  Dấu bằng xảy ra khi t  4  a  b  c . Vậy : Pmax  60 60 Câu 12:Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 3(x + y + z) + 2( 1 x  1y  1z ) Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hoà – Lần 1 Lời giải tham khảo Trước hết ta có: (x – 1)2(x – 4) ≤ 0 ,x < 3 (dấu “=” xảy ra tại x = 1) 2 Hay : x2 + 9 ≤ 6x + 4  ½ (x2 + 9) ≤ 3x + x x (1) 2 2 Tương tự ta cũng có ½ (y + 9) ≤ 3y + y (2) 2 2 ½ (z + 9) ≤ 3z + z (3) Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế cuối cùng ta có: ½ (x2 + y2 + z2 + 27)  P Vậy minP = 15  x = y = z = 1 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 12
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 3 Câu 13:Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x  y  z  . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  x3  y3  z3  x2 y 2 z 2 . Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 1 Lời giải tham khảo  1 ▪ Giả sử x  min  x; y; z suy ra x  0;  2  Ta có:  x3  y 3  z 3  3xyz   x  y  z  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   x3  y 3  z 3  3xyz   x  y  z   x  y  z   3  xy  yz  zx   2   27 9  xy  yz  zx   3xyz   8 2 Ta có: 27 9 P  x3  y 3  z 3  x 2 y 2 z 2  x 2 y 2z 2  3xyz    xy  yz  zx  8 2 2  1 1 13 27 9   xyz     xyz    xy  yz  zx   8  64 4 8 2 215 9  9 13     xy  zx   yz   x  64 2 2 4  2  1 9 13  9 13   y  z   9 13  Vì 0;    x  0   yz   x        x  2 2 4 2 4   2  2 4  2 215 9  3  13   9 13  Suy ra P   x  x    x   x 64 2  2  4 2  2 4  2 215 9  3  13   9 13   1 Xét f  x    x   x     x    x  , x  0;  64 2  2  4 2  2 4   2  1  1  25 Hàm số f  x  nghịch biến trên 0;   f  x   f     2  2  64 25 1 Vậy GTLN của P bằng đạt khi x  y  z  . 64 2   Câu 14:Cho x, y, z  0 và 5 x2  y 2  z 2  9  xy  2 yz  zx  . x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   . y z 2 2  x  y  z 3 Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 13
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Lời giải tham khảo t2 t2 Đặt y  z  t  t  0  ; y 2  z 2  ; yz  2 4   5 x 2  y 2  z 2  9  xy  2 yz  xz    x 2  5  y  z   9 x  y  z   28 yz 2  5 x 2  5t 2  9 xt  7t 2   5 x  t  x  2t   0  x  2t 2x 1 P 2  với t  0 t 27t 3 4 1 f  t    2  4 t 9t  f  t   0 1  t   t 0 6 1 1 Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P bằng 16 đạt được tại x  ; y  z  3 12 Câu 15: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x  y;  x  z  y  z   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1 4 4    x  y x  z  y  z 2 2 2 Trƣờng THPT Chuyên Sơn La – Lần 1 Lời giải tham khảo 1 a  x  z y  z . a 1 x  y x z  y  z a a 1 a a2  1 x  y  x  z  ( y  z)  a Thay v|o P được: a2 4 P   4a 2 a  1 2 2 2 a a2 4 a2 P  3a 2   a 2   3a 2  4 a  1  a  1 2 2 2 2 a 2 t Xét f (t )   3t  4 ; t  a 2  1  t  1 2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 14
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 t  1 3t 3  9t 2  8t  4 f '(t )   3; f '(t )  0   0  t  2; (t  1)  t  1  t  1 3 3 T 1 2  f’ - 0 + F 12 Min f (t ) 12 . Vậy Min P 12 khi x  z  2; y  z  x  y  1 . t 1 2  2 y  x 2 Câu 16: Cho x, y  thỏa mãn  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  y  2 x  3 x 2 2 P  x4  y 4   x  y 2 Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 1 Lời giải tham khảo x2  2 x 2  3x  0  x  và x 2  y 2  x 2   2 x 2  3x   2 x 2  2 x 2  6 x  5 6 2 Từ giả thiết ta có y  0 và 2 5  6 Xét hàm số f ( x)  2 x 2  2 x 2  6 x  5  ; x  0;  ta được Max f(x) = 2  x 2  y 2  2  5  6  0;   5 x  y2  2 2 P  x  y   x  y  2 2 2 2 2 2 2  2x y  2 2 2    x  y x  y2 2 2 2 t2 2 Đặt t  x 2  y 2  P   ,0t 2 2 t Xét hàm số: t2 2 g (t )   , t   0; 2 2 t 1 t3  2 g '(t )  t  2  2 ; g '(t )  0  t  3 2 t t VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 15
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 33 4 6 16 Lập bảng biến thiên ta có Min P  khi x  y  2 2 Câu 17:Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 . Tìm giá trị lớn nhất của 4 4 4 1 1 1 biểu thức : T      ab bc ca a b c Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 Lời giải tham khảo 4 4 4 1 1 1 5a  1 5b  1 5c  1 T         1  a 1  b 1  c a b c a  a 2 b  b2 c  c2  1 Vì a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1  a, b, c   0;   2  3a  1  2a 1  0 , a   0; 1  2 5a  1 Ta có  18a  3    aa 2 a  a2  2 5a  1  1 Từ đó suy ra :  18a  3, a   0;  aa 2  2 Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự: 5b  1  1 5c  1  1  18b  3, b   0;  và  18c  3, c   0;  bb 2  2 cc 2  2 Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có : 5a  1 5b  1 5c  1 T    18  a  b  c   9  9 . a  a 2 b  b2 c  c 2 1 1 Dấu đẳng thức xẩy ra khi a  b  c   Tmax  9 đạt được  a  b  c  3 3 Vậy Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 , thì giá trị lớn nhất của biểu 4 4 4 1 1 1 1 thức : T      bằng 9 v| đạt được khi và chỉ khi a  b  c  ab bc ca a b c 3 5a  1  1 Chú ý: Để có được bất đẳng thức  18a  3, a   0;  ta đã sử dụng phương ph{p tiếp aa 2  2 tuyến Câu 18: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  5 x  xy  3 y  3x  xy  5 y  x  xy  2 y  2 x  xy  y 2 2 2 2 2 2 2 2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 16
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3 Lời giải tham khảo P  A B . Trong đó A  5 x 2  xy  3 y 2  3x 2  xy  5 y 2 và B  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2  A  3  x  y   3  2016  6048 * dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 6 A  180 x 2  36 xy  108 y 2  108 x 2  36 xy  180 y 2  11x  7 y   59  x  y   11y  7 x   59  y  x   11x  7 y   11y  7 x   18  x  y  2 2 2 2  B  2  x  y   2  2016  4032 ** dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 4 B  16 x 2  16 xy  32 y 2  32 x 2  16 xy  16 y 2   3x  5 y   7 x  y   3 y  5x   7  y  x   3x  5 y    3 y  5 x   8  x  y  2 2 2 2 Từ * và  ** ta đươc P  A  B  6048  4032  10080 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 . Vậy Pmin  10080  x  y  1008 2 abc Câu 19: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn    4abc.  2016  a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P    . a  bc b  ca c  ab Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2 Lời giải tham khảo Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có a b 1 1 c 1 1  P       . 2   4 4 4 2 a bc 2 b ca 2 c ab ab bc ca Với các số thực x, y , z , ta có ( x  y)2  ( y  z)2  ( z  x)2  0  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2 . 1 1 1 1  1 1 1 1  ab  bc  ca abc Do đó 4        . Suy ra P  . 2  ab 4 bc 4 ca  2 a b c 2 abc 2 abc Từ giả thiết, ta có a  b  c  4032 abc . Do đó P  2016 1 Với a  b  c  , ta có P  2016 . Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016. 1344 2 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 17
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2  2y  12 . 4 4 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   4 . x 4 y 8  x  y 2 Trƣờng THPT Chuyên Long An – Lần 1 Lời giải tham khảo Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0  xy  8 . 1  x 2 y2  5 1 Đ{nh gi{ P  . 2  2   . 16  y x  64 x y  2 y x x y 1 5 1 Đặt t  y x 16     t  2  . Khi đó P  . t 2  2  . 64 t  2 1 2 5 1 1 Xét hàm số f (t)  .t  .  (với t > 2) 16 64 t  2 8 Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được: 5 27 min f (t)  f  2   64  2;    27 Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là khi x = 2 và y = 4 64  Câu 21: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa 5 a  b  c 2 2 2   6  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2  a  b  c    b2  c 2  Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành– Lần 1 Lời giải tham khảo Từ điều kiện suy ra a  b  c  2  b  c  1 3 1 P  2t  t 4 , t  b  c maxP  , a  1, c  b  2 2 2 Câu 22: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c. Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1 Lời giải tham khảo 1 +) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2  0  ( a  b)  c  a  b . 5 VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 18
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 1 +) Ta có a 4  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b)4 8 8 t4 t3 +) Xét f (t )  2t  (t  0), f '(t )  2  ; f '(t )  0  t  3 4 8 2 +) BBT:< T 3 0 4 + f’(t) + 0 - 33 4 f(t) 2  34 33 4  a  b  +) MaxP =  2 . 2  c  4 3 Câu 23:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2  b2  c 2  4 . 3a 3b 3c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    . b2  c 2 c 2  a 2 a 2  b2 Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 2 Lời giải tham khảo a 2  b 2  c 2  4 Từ giả thiết   a, b, c   0; 2 và a2  b2  c2  4  b2  c2  4  a2 <  a , b, c  0 3a 3b 3c 3a 3b 3c 3a 2 3b2 3c 2 Do đó P          b2  c 2 c 2  a 2 a 2  b2 4  a 2 4  b2 4  c 2 4a  a 3 4b  b3 4c  c 3 Vì a, b, c  0 . Xét hàm số f  x   4 x  x 3 với x   0;2  . Có 2 3 f '  x   4  3x 2  f '  x   0  x  , f (0)  0, f (2)  0 . 3 Ta có bảng biến thiên của hàm số f  x  trên  0; 2  là VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 19
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 3 2 3 2 3  2 3  16 3 f    4      3  3  3  9 16 3 Từ bảng biến thiên ta có 0  f ( x)  , x   0; 2  . 9 16 3 1 9 3x 2 9 3x 2 Tức 0  4 x  x3      , x   0; 2  . 9 4 x  x3 16 3 4 x  x3 16 3 2 3 Dấu ‚=‛ khi x  . 3 Áp dụng ta có 3a 2 9 3a 2 9a 2 3b2 9 3b2 9b2 3c 2 9 3c 2 9c 2   ;   ;   , (a, b, c   0; 2 ) 4a  a3 16 3 16 4b  b3 16 3 16 4c  c3 16 3 16 Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được 9a 2 9b2 9c 2 9 2 2 2  a  b  c   . 9 P   16 16 16 16 4 2 3 Và dấu ‚=‛ xảy ra  a  b  c  . 3 9 2 3 Vậy min P  đạt được, khi và chỉ khi a  b  c  . 4 3 Câu 24: Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c  b  abc. 3 4 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S    bca a cb a bc Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 1 Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 20