Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ THANH HIỀN

ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI

TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN

Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn. Phản biện 2 : TS Trịnh Đào Chiến.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), còn đƣợc biết với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất dƣới cái tên Fibonacci, là một nhà toán học ngƣời Ý và ông còn đƣợc một số ngƣời xem là “nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Ông nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở Châu Âu và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn sách Liber Abaci – sách về toán đố năm 1202. Liber Abaci cũng đề ra và giải quyết bài toán liên quan đến sự phát triển dân số của thỏ dựa trên giả thiết lý tƣởng. Phép giải theo từng thế hệ là một chuỗi các con số sau này đƣợc biết với tên dãy Fibonacci. Dãy số này đƣợc các nhà toán học Ấn Độ biết đến từ thế kỷ thứ 6, nhƣng chỉ đến khi cuốn Liber Abaci của Fibonacci ra đời, mới đƣợc giới thiệu đến phƣơng Tây. Dãy Fibonacci đƣợc coi là một dãy số kỳ diệu, nó xuất hiện một cách tự nhiên ở hầu hết mọi sự vật, hiện tƣợng từ thiên nhiên đến nhân tạo, chúng ta có thể bắt gặp sự hiện diện của nó ở thực vật cho đến hệ động vật rất đẹp và đa dạng. Dãy Fibonacci và các tỉ lệ của nó có vẻ rất lẻ và ngẫu nhiên, nhƣng kỳ lạ là nó đem lại sự cân bằng hoàn hảo. Hơn nữa, ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán học lại rất phong phú. Vì vậy việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp là rất thú vị và cần thiết cho học tập giảng dạy Toán, cũng nhƣ sự hiểu biết của con ngƣời. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài - Giới thiệu dãy Fibonacci, công thức tổng quát của dãy

Fibonacci.

- Giới thiệu các tính chất và các hệ thức của dãy Fibonacci. - Trình bày ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Giới thiệu dãy Fibonacci. - Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu, đọc hiểu để trình bày một có hệ thống lý

thuyết và bài tập.

- Tham gia các buổi seminar với thầy hƣớng dẫn để hiểu rõ

hơn về nội dung đề tài nghiên cứu. 5. Đóng góp của đề tài Làm rõ sự kỳ thú và chứng minh tính phong phú của dãy

Fibonacci trong các ứng dụng của nó, đặc biệt là trong toán sơ cấp.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn  Ý nghĩa khoa học Góp phần làm sáng tỏ các định lý, tính chất của dãy Fibonacci

và ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

 Ý nghĩa thực tiễn Góp phần làm tài liệu tham khảo cho những ngƣời yêu thích dãy

Fibonacci và tìm hiểu về ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự kiến

đƣợc chia thành ba chƣơng.

Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở. Chƣơng 2. Dãy Fibonacci và các tính chất. Chƣơng 3. Ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.

3

CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. NGUYÊN LÝ QUY NẠP TOÁN HỌC

Giả sử rằng với mỗi số nguyên dƣơng n ta có mệnh đề logic . Ta chứng minh mệnh đề đúng nhƣ sau

a. Bƣớc cơ sở: đúng.

b. Bƣớc quy nạp: , nếu đúng thì đúng.

Khi đó, .

đúng

1.2. DÃY SỐ

Định nghĩa 1.1. Một hàm số xác định trên tập hợp các

số tự nhiên đƣợc gọi là một dãy số vô hạn, mỗi giá trị của hàm số

gọi là một số hạng của dãy.

Ta thƣờng ký hiệu dãy ký hiệu các giá trị bởi

… tƣơng ứng bởi … và là số hạng tổng quát của dãy.

Định nghĩa 1.2. Công thức truy hồi của dãy số là phƣơng

trình xác định bằng các phần tử …, trƣớc nó:

…,

Điều kiện ban đầu là gán các giá trị cho một số hữu hạn các

phần tử đầu. Định nghĩa 1.3. Công thức truy hồi tuyến tính bậc k có dạng

trong đó …, với và là các hàm theo n với

Với công thức (S), công thức truy hồi sau

4

gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất tƣơng ứng với .

Nếu …, là các hằng số và thì gọi

với

là công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k và gọi là công

thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k. 1.3. LÝ THUYẾT CHIA HẾT

Định nghĩa 1.4. Cho a, b là các số nguyên. Ta nói a chia hết b Nếu a (hay b chia hết cho a) nếu tồn tại số nguyên c sao cho

chia hết b, ta ký hiệu hoặc Khi ta nói a là ƣớc của b.

Định nghĩa 1.6. Ƣớc chung lớn nhất của hai số a và b không

đồng thời bằng 0 là số nguyên dƣơng lớn nhất chia hết cả a và b. Ta dùng ký hiệu để chỉ ƣớc chung lớn nhất của a và b.

Định nghĩa 1.7. Các số nguyên a và b đƣợc gọi là nguyên tố

cùng nhau nếu

Thuật toán ơ-clit

Giả sử là các số nguyên không âm và

Ta thực hiện phép chia

dừng lại khi Nếu ta tiếp tục

dừng lại khi Nếu ta tiếp tục …

, , với

Khi đó,

5

1.4. LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ

Định nghĩa 1.8. Cho a và b là các số nguyên, m là số nguyên Khi a dƣơng. Ta nói rằng a đồng dƣ b môđulô m nếu

đồng dƣ b môđulô m, ta viết

Định lý 1.4.3. (Định lý Ơ-le)

Cho m là số nguyên dương và a là số nguyên thỏa Khi đó,

trong đó là Phi-hàm Ơle.

Định lý 1.4.4. (Định lý Phecma bé )

Cho p nguyên tố và với a không chia hết cho p. Khi đó,

1.5. HÀM SINH

Định nghĩa 1.9. Cho dãy số thực và biến x. Hàm sinh thƣờng của dãy là hàm

Định nghĩa 1.10. Cho dãy số thực và biến x. Hàm sinh

mũ của dãy là hàm

1.6. TỔ HỢP

Định nghĩa 1.11. Với mỗi cặp

các số nguyên mà,

ta định nghĩa và gọi là số tổ hợp chập

k của n.

6

1.7. TỈ LỆ VÀNG

Định nghĩa 1.12. Chia một đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỉ số giữa đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỉ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Tỉ số đó chính là tỉ lệ vàng. Nếu độ dài đoạn lớn qui về đơn vị thì tỉ lệ vàng bằng nghịch đảo của

nghiệm dƣơng của phƣơng trình

Giải phƣơng trình trên, ta đƣợc tỉ lệ vàng là

CHƢƠNG 2 DÃY FIBONACCI VÀ CÁC TÍNH CHẤT

2.1. ĐỊNH NGHĨA DÃY FIBONACCI

Bài toán mở đầu. Mỗi cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con. Cặp thỏ mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu sinh một cặp mới. Hỏi sau một năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ, nếu đầu năm ta có một cặp thỏ?

Lời giải.

Nhƣ vậy từ giả thiết suy ra rằng, sau 1 tháng ta sẽ có 2 cặp thỏ, sau hai tháng cặp thứ nhất sinh một cặp nữa ta có 3 cặp thỏ. Sau 3 tháng

cặp thứ 2 cũng sinh ra một cặp mới, vậy ta có 5 cặp thỏ. Ký hiệu

là số cặp thỏ có đƣợc sau tháng thứ n kể từ đầu năm, ta có sau tháng

cặp ban đầu, cộng thêm số cặp do các cặp đã có

, do đó thứ thì sẽ có sau tháng thứ

sinh ra, số này gọi là

, , từ đó ta tính đƣợc Theo giả thiết

trên đƣợc gọi là số Fibonacci.

Các số

7

Định nghĩa 2.1. Dãy Fibonacci là dãy số vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bởi số 0 và 1, kể từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng của dãy đƣợc tính bằng tổng của hai số hạng đứng liền trƣớc nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là

(2.1) {

Định nghĩa 2.2. (dãy Lucas)

Dãy Lucas đƣợc định nghĩa là dãy mà các số hạng của dãy đƣợc

tính bởi hệ thức truy hồi sau

{

2.2. MỞ RỘNG DÃY SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM

Với n là số nguyên dƣơng, ta có

và

Hai công thức trên đƣợc chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp. 2.3. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY FIBONACCI Công thức của số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là

(2.3)

Công thức của số hạng tổng quát của dãy Lucas là

(2.4)

Định lý 2.3.1. Với mọi số nguyên dương n, ta có

(2.5)

2.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI Với n và i là hai số nguyên dương, ta có Định lý 2.4.1. (2.10)

8

Định lý 2.4.2. (2.11)

Hệ quả 2.4.1. (2.12)

Định lý 2.4.3.

(2.13)

Định lý 2.4.4. (2.16)

Định lý 2.4.5.

(2.17)

(2.20) Định lý 2.4.9.

Ví dụ 2.2. Cho n là số nguyên không âm, ta có

(2.21)

Định lý 2.4.10. Cho m và n là hai số nguyên dương, ta có

(2.22) Hệ quả 2.4.2. Cho ta có (2.23)

Định lý 2.4.12. Cho n là số nguyên và khi đó

Hệ quả 2.4.3.

Nhận xét. Tỉ số của hai số liên tiếp nhau của dãy số Fibonacci

ngày càng tiến đến tỉ lệ vàng.

9

CHƢƠNG 3 ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI TRONG TOÁN SƠ CẤP

3.1. SỐ FIBONACCI VÀ TỔ HỢP

3.1.1. Số Fibonacci và tam giác Pascal Với n là số nguyên không âm, ta có

Bổ đề 3.1.1.1. (3.1)

Hệ quả 3.1.1.1.

Định lý 3.1.1.1.

Định lí 3.1.1.2.

3.1.2. Số Fibonacci và các đẳng thức tổ hợp khác Bài toán 1. Với mọi số nguyên n không âm, chứng minh rằng

Lời giải.

Bài toán 2. Với n là số nguyên và Chứng minh rằng

(3.2)

Lời giải.

Với nên (3.2) đúng khi

Giả sử (3.2) đúng khi

tức là ta có

10

ta chứng minh (3.2) đúng khi tức là chứng minh

Thật vậy, theo bài toán 1và giả thiết quy nạp, ta có

Vậy (3.2) đƣợc chứng minh.

Định lí 3.1.2.1. Cho n là số nguyên không âm, ta có

Định lý 3.1.2.2. Cho n là số nguyên dương, ta có

(3.3)

3.1.3. Số Fibonacci và một số bài toán tổ hợp khác Bài toán 5. Có bao nhiêu cách lát sàn nhà hình chữ nhật kích

thƣớc và bởi các viên gạch có kích thƣớc Lời giải. Gọi là số cách lát sàn nhà cần tìm và là

tập các cách lát sàn nhà thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có

Dễ thấy

Khi , gọi là tập hợp các cách lát sàn nhà thỏa

mãn hình chữ nhật cuối cùng có kích thƣớc gọi là tập hợp

các cách lát sàn nhà thõa mãn hình chữ nhật cuối cùng có kích thƣớc

Ta có suy ra

Trƣớc hết, ta tính chính bằng số cách

. Số phần tử của

lát sàn nhà hình chữ nhật đã cho bỏ đi hình chữ nhật có kích thƣớc

11

cuối cùng. Nói cách khác, số phần tử của chính bằng số cách

lát sàn nhà hình chữ nhật có kích thƣớc suy ra

Lập luận tƣơng tự nhƣ trên, ta có

Từ hai cách tính trên ta đƣợc

với

trong đó

Vậy với

3.2. SỐ FIBONACCI VÀ CÁC TỔNG

Bài toán 7. Với mỗi số nguyên dƣơng n, tính tổng sau

Lời giải.

Đặt Theo (2.10), ta có

Ta có

Bài toán 8. Với mỗi số nguyên dƣơng n, tính tổng sau

Lời giải. Đặt

12

Mặt khác, theo (2.1), ta có

và theo (2.12), ta có

Do đó

Bài toán 10. Với mỗi số nguyên dƣơng n, tính tổng sau

Lời giải. Đặt

theo (2.16), ta có

Ta có

Dựa vào (2.17), ta thu đƣợc ngay

Bài toán 12. Cho n là số nguyên dƣơng và tính tổng sau

Lời giải.

Đặt theo (2.10), ta có và

Suy ra

Trƣớc hết, ta tính tổng sau

13

Theo đề, ta có

3.3. SỐ FIBONACCI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

Bài toán 13. Cho tam giác ABC, đặt

là diện tích tam giác ACB. Với . Chứng minh rằng

14

Lời giải.

Đặt

Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc viết lại thành

(3.5)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có

suy ra

Mà

(3.6) nên

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta lại có

(3.7)

Kết hợp (3.6) và (3.7), ta suy ra (3.5) luôn đúng.

3.4. SỐ FIBONACCI VÀ SỐ CHÍNH PHƢƠNG

là số Fibonacci khi và chỉ khi

Bài toán 15. Chứng minh rằng là số chính phƣơng. Lời giải. Theo (2.21), ta có , nên

là số

làsố chính phƣơng. Vậy nếu n là một số Fibonacci thì chính phƣơng.

15

là số chính phƣơng, do đó tồn tại số Ngƣợc lại, giả sử nguyên dƣơng m sao cho

Ta thấy m và n có cùng tính chẵn lẻ, ; , trong

đó , nên tồn tại duy nhất đẳng thức

trong đó , suy ra

Vậy là một số Fibonacci.

Bài toán 17. Cho n là số nguyên dƣơng, chứng minh các số

là số chính phƣơng. Lời giải. Theo (2.20), ta có

Dựa vào kết quả trên ta lại tính đƣợc

16

(3.10) Bổ đề 3.5.1. Cho và 3.5. SỐ FIBONACCI VÀ TÍNH CHIA HẾT ta có

Định lý 3.5.1. Cho ta có

(3.11) Bổ đề 3.5.2. Cho n và q là hai số nguyên dương không đồng

thời bằng 1, ta có .

Bổ đề 3.5.3. Cho m, n, q, r là các số nguyên dương sao cho

ta có

trong đó Định lý 3.5.2. Cho ta có

Hệ quả 3.5.1. Nếu m và n là hai số nguyên tố cùng nhau thì

và cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bổ đề 3.5.4. Cho p là số nguyên tố, khi đó

Bài toán 23. Nếu số Fibonacci có chỉ số lẻ thì tất cả các ƣớc

với của nó có dạng Lời giải.

Với n là số lẻ, gọi p là ƣớc nguyên tố của

Theo (2.20), ta có

Vì p là ƣớc của nên

suy ra

do đó

17

hay

Lại có (theo bổ đề 3.6.1), nên không chia hết cho

p, suy ra (theo định lý phecma bé).

Nên vậy suy ra Bài toán 25. Chứng minh rằng

a. Nếu số nguyên tố p có dạng thì

Lời giải. Theo (2.3), ta có

Hay

Do p là số nguyên tố nên với

hay

suy ra

Từ đó ta có

Vì

nên

Lại có (theo định lý phecma bé),

nên

Vì p là số nguyên tố có dạng nên và

vậy ta suy ra

18

Bài toán 26. Cho m và n là hai số nguyên dƣơng. Chứng minh

(3.14)

.

tức là ta có Lời giải. Dễ thấy (3.14) đúng khi Giả sử (3.14) đúng khi

Ta chứng minh (3.14) đúng khi , tức là chứng minh

Thật vậy, theo (2.22), ta có

Theo giả thiết quy nạp, ta có

do đó

hay

Theo (3.11), ta có , nên

Ta suy ra

hay

Bài toán 27. Cho m và n là hai số nguyên dƣơng. Chứng minh

(3.15)

Lời giải.

Dễ dàng thấy (3.15) đúng khi

Giả sử (3.15) đúng khi với tức là ta có

Ta chứng minh (3.15) đúng khi tức là chứng minh

19

Thật vậy, theo (2.22), ta có

Mà theo giả thiết quy nạp, ta có

do đó

Mà theo (3.14), ta có

nên

Bài toán 28. Chứng minh rằng nếu q là ƣớc nguyên tố của

và khác số nguyên tố p thì không chia hết cho q.

Lời giải.

Theo (3.14), ta có

nên

Theo (3.11) , ta có

Lại có

Do đó

20

suy ra

Vì

nên

hay do đó

và khác số nguyên tố p thì Nếu gọi q là ƣớc nguyên tố của

không chia hết cho q. Do đó không chia hết cho q.

3.7. SỐ FIBONACCI VÀ HÀM SINH 3.7.1. Hàm sinh thƣờng Bài toán 30. Cho m và n là hai số nguyên không âm. Tìm

a. b.

Lời giải. Theo (2.3), ta có

Thực hiện tƣơng tự ta đƣợc kết quả

3.7.2. Hàm sinh mũ Bài toán 33. Cho n và m là hai số nguyên không âm, tìm

a. b.

Lời giải. a. Theo (2.3), ta có

21

b. Theo (2.3), ta có

Bài toán 34. Cho n và m là hai số nguyên không âm. Chứng minh

a.

d.

Lời giải.

và

thì

a. Với

suy ra

b. Với

và

thì

Ta có

Do đó

Suy ra

3.8. NGHỊCH LÝ HÌNH HỌC

Theo (2.20), ta có . Công thức này là

nền tảng của hai lớp của những nghịch lí hình học hấp dẫn.

22

Nghịch lí thứ nhất Tổng quát, cho n là số chẵn và Giả sử một hình vuông

bị cắt thành 4 mảnh nhƣ hình 3.4 và chúng đƣợc lắp ráp

thành một hình chữ nhật nhƣ hình 3.5. Khi đó, hình chữ

nhật tạo thành dƣ một đơn vị diện tích, vì

Hình 3.4. Hình vuông Hình 3.5. Hình chữ nhật

kích thước với n chẵn kích thước với n chẵn

Nghịch lý thứ 2. Tổng quát, cho n là số lẻ và Giả sử một hình vuông

đƣợc cắt thành bốn miếng nhƣ hình 3.9 và chúng đƣợc lắp ráp

thành một hình chữ nhật nhƣ hình 3.10. Khi đó, hình chữ nhật

trong hình 3.10 bị mất một đơn vị diện tích vì

Hình 3.9. Hình vuông kích thước Hình 3.10. Hình chữ nhật

kích thước với n lẻ. với n lẻ.

Trong năm 1962, A. F. Horadam của Đại học New England,

Úc, tìm đƣợc một công thức cho , trong đó biểu thị góc hẹp

giữa hai cạnh bên liền kề của hình bình hành nhƣ sau:

23

Trƣờng hợp 1. n chẵn và .Dựa vào hình 3.11 ta thấy:

vì

Theo (2.20) và (2.23), ta có

và nên

Hình 3.11. Hình cho thấy góc Hình 3.12. Hình cho thấy góc

khi n lẻ.

khi n chẵn.

Trƣờng hợp 2. Cho n là số lẻ và , hình 3.12 cho thấy

24

Nhƣ trƣờng hợp 1, điều này dẫn đến các phƣơng trình

Nhƣ vậy, trong cả hai trƣờng hợp, với ta có

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày đƣợc một số vấn đề nhƣ sau 1. Nguồn gốc xuất hiện và định nghĩa dãy Fibonacci, bên cạnh đó giới thiệu định nghĩa Lucas, là một dãy có quy luật giống với quy luật của dãy Fibonacci.

2. Giới thiệu tỉ lệ vàng rất đặc biệt đƣợc sử dụng để mô tả tính

cân đối của vạn vật.

3. Một số tính chất của dãy Fibonacci và chứng minh các tính chất đó một cách đơn giản và dễ hiểu nhất, đồng thời chứng minh đƣợc tỉ số của hai số liên tiếp nhau trong dãy Fibonacci ngày càng tiến đến tỉ số vàng.

4. Các ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp, thông qua các tính chất của dãy để giải các bài tập ứng dụng một cách có hệ thống.