Vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh hình học

VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC

“tailieumontoan.com”

Date

I. Lý Thuyêt

II. Bài tâp

Bài 1. Cho tam giác ABC có hai góc ABC và ACBnhọn . Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

+

=

2 BHBD CHCE BC

.

.

Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,….Bài viết này giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữa các đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn.

Hướng dẫn

A

D

Trước hết, ta nhắc lại các hệ thức sau đây. Mẹnh đề 1. Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại một điểm M (M nằm trong hoặc ngoài đường tròn) thì ta có MA.MB = MC. MD. Mệnh đề 2. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 1)

E

H

C

B

K

∈

⊥

Kẻ

)

( HK BC K BC

(

. Khi đó ta có Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và có MA.MB = MC.MD. Khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Mệnh đề 3. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT (T là ( ) ,AB O∈ tiếp điểm) và cát tuyến MAB

)

2

.

.

= BHBD BKBC

.

= MT MAMB

theo mệnh đề 1 ta có . Dễ thấy tứ giác CDHK nội tiếp nên ( ) 1

= CHCE CKCB

.

.

( ) 2

2

Cộng 2 vế đẳng thức (1) và (2) ta có:

.

+

=

+

=

+

=

2 BHBD CHCE BKBC CKCB BC BK CK BC

.

.

.

.

.

(

)

Tương tự, tứ giác BEHK nội tiếp nên theo mệnh đề 1 ta có

Bài 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến

AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm

của OA và BC. EF là một dây cung đi qua H. Chứng minh rằng

a) AEOF là tứ giác nội tiếp.

b) AO là tia phân giác của góc EAF

Hướng dẫn

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

Mệnh đề 4. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 3) Cho góc xMykhác góc bẹt. Trên tia Mx lấy hai điểm A, B. Trên tia My lấy điểm T. Khi đó nếu = thì MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại MT MAMB tiếp tam giác ABT. Việc chứng minh các mệnh đề trên khá đơn giản, xin dành cho bạn đọc. Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng các mệnh đề trên.

B

= ⇒ =

−

=

Suy ra

= CH CE

a BH BC HC

a

3 4

9 4

15 4

Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông BHF và

E

CHF, ta có:

2

2

2

2

2

−

=

=

−

A

O

H

BF BH FH FC CE 2

2

2

2

2

−

⇒

⇒

=

−

=

18

2 a

BF

BF

2 a

2 a

) 3 a

( ) 2

(

2

15 2 4

9 4 Từ (1) và (2) suy ra BF2 = BE.BC . Theo mệnh đề 4 suy ra BF

F

C

. Lại có

⊥

⊥

nên tứ giác ABOC nội tiếp,

a) Ta có

, OB AB OC AC

. Từ đó suy ra tứ giác BMOC

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF. b) Theo câu a) ta có    OFB OCF OCB nên  OCB OMF=  OFB OMF= nội tiếp.

= =

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn

(góc chắn các cung

tâm A cắt đường tròn (O) tại C và D. Kẻ dây cung BN của

do đó theo mệnh đề 1 ta có AH.OH = BH.HC. Mặt khác, cũng theo mệnh đề 1 ta có: HB.HC = EH.HF Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp. b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF. Ta có: OE = OF, suy ra  EAO FAO= bằng nhau). Do đó AO là tia phân giác của góc EAF .

đường tròn (O) cắt đường tròn (A) tại điểm E. Chứng minh rằng NE2 = NC.ND.

Hướng dẫn

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có và

F

M

2 AB BC= 3

C

N

E

A

B

O

đường cao AE. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác OECF nội tiếp và BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b) Gọi M là giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O). Chứng minh rằng tứ giác BMOC nội tiếp.

Hướng dẫn

D

A

F

nên N là trung điểm của FE. Gọi M là giao điểm

M

O

= , suy ra    = CNB BND MNF

C

B

H

E

, suy ra C và M đối xứng nhau qua

và OF CF⊥

Gọi F là giao điểm thứ hai của BN và đường tròn (A). Do AN EF⊥ thứ hai của ND với đường tròn (A). Dễ thấy  BC BD= Do đó  ANC ANM= đường AN nên NC = NM.

Từ đó ta có NC.ND = NM.ND = NE.NF (theo mệnh đề 1).

Kẻ

thì FH//AE. Sử dụng định lí

Thales ta có:

a) Đặt BC = 6a. Ta có BE = CE = CF = 3a, AB = AC = 4a. Suy ra AF = AC – CF = a. Vì OE CE⊥ nên tứ giác OECF nội tiếp . ) ( OF BC H BC CH CF = CE CA

3 = 4

Vậy NC.ND = NE2 (đpcm). ∈ ⊥

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C

thuộc bán kính OA. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt

nửa đường tròn tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với các

đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với nửa

đường tròn (I). Chứng minh rằng BD = BE.

Hướng dẫn

1. Cho điểm C thuộc đường tròn có đường kính AB, E thuộc nửa đường tròn sao cho HC là ta phân giác góc DHE . Chứng minh rằng HC2 = HD.HE

D

2. Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến

AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là

K

giao điểm của OA và BC. Kẻ dây cung EF bất kì qua H. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc EAF

H

I

3. Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính

A

B

của đường tròn đi qua A và B, biết rằng tiếp tuyến từ D

E

C

O

vuông tại D.

Vì AB là đường kính nên ADB∆

đến đường tròn bằng 4cm.

2

Suy ra

= BD BCBA

.

4. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài nhau

( ) 1

tại D. Từ điểm A trên đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AA’ với

Gọi K, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) với

đường tròn (O’). Tính độ dài AA’ theo AD, R, r.

đường tròn (O) và CD. Các tam giác cân IKH và OKB có

5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD.

(đồng vị) nên  IKH OKB=

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ . Suy ra K, H, B  KOB KOH= tự ở E và F. Chứng minh rằng BE = CF.

thẳng hàng. Theo mệnh đề 3, ta có BE2 = BH. BK (2)

Tứ giác AKHC nội tiếp. Theo mệnh đề 1 ta có:

Từ (1), (2) và (3) suy ra BD = BE

❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

BH.BK = BC.BA (3)