Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh

MỤC LỤC Trang

Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Đối tượng nghiên cứu, Phạm vi đề tài 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Dự kiến kết quả của đề tài. 2 2 3 3 3

Nội dung I. Cơ sở lý luận của đề tài II. Thực trạng dạy học Toán 7 ở trường THCS III. Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học lớp 7 cho học sinh 1. Định hướng chung 2. Các nhóm biện pháp. 2.1. Giảng lý thuyết 2.2. Dạy bài tập tự luận

4 4 5 6 6 8 8 11 2.2.1. Chứng minh các yếu tố bằng nhau 11 2.2.2. Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc 15 2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy 2.2.4. Chứng minh các hình 19 22 26 3. Kết quả

29 Kết luận Tài liệu tham khảo

1/ 29

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Trong toán học, phân môn hình học ra đời rất sớm, từ sự cần thiết đo đạc ruộng đất và nó luôn gắn bó với nhu cầu hằng ngày của con người. Môn hình học cung cấp cho học sinh những kiến thức cấn thiết trong cuộc sống, giúp phát triển tư duy logic, phát triển trí tưởng tượng không gian và óc thẩm mỹ .

Bài tập hình học cũng có vai trò của bài tập toán nói chung, tức là chỉ ra sự áp dụng lý thuyết vào thực hành và đảm bảo việc hiểu lý thuyết: chỉ có quá trình áp dụng lý thuyết tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán nhiều loại mới có thể hiểu lý thuyết một cách đầy đủ được.

Chứng minh hình học là rất mới lạ, rất khó đối với lứa tuổi 12-14 tuổi, đang chập chững những bước đi ban đầu trong quá trình học hình học. Vì vậy, giáo viên cần coi trọng khâu giải toán hình học. Về mặt tổ chức (xây dựng nền nếp làm bài ở lớp, ở nhà, cách sử dụng vở bài tập, vở nháp, vở bài soạn, sử dụng thước và compa…) cũng như về mặt dạy học sinh giải toán (dạy học sinh giải toán chứ không phải giải toán cho học sinh).

Thế nào là dạy học sinh giải toán hình học? Với vai trò quan trọng của bài toán hình học, với quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức của học sinh, rõ ràng rằng dạy học sinh giải toán hình học không phải chỉ cung cấp lời giải cho học sinh và tìm mọi cách làm cho học sinh hiểu và nhớ những lời giải mẫu đó. Nhiệm vụ chủ yếu của giáo viên khi dạy học sinh giải toán hình học là tổ chức những hành động trí tuệ bên trong đầu óc của học sinh để tự các em khám phá ra lời giải: hướng dẫn, gợi ý, nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy nghĩ đúng hướng trước bài toán hình học cụ thể, biết vận dụng một cách hợp lý nhất những tri thức hình học của mình để độc lập tìm tòi được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán và từ đó tìm được cách giải. Chỉ có qua quá trình hoạt động trí tuệ chủ động sáng tạo như vậy mới chuyển hóa được trí nhớ tạm thời khi thu nhận những thông tin mới trong giờ học thành trí nhớ lâu dài, giữ lại được những thông tin cần thiết nhất trong thời gian lâu dài và mới có thể nắm vững tri thức, kỹ năng hình học. Vì vậy, để giúp học sinh, tôi đã nghiên cứu và viết đề tài “ Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh”.

2. Mục đích nghiên cứu:

Đề xuất “Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học 7 cho học sinh” nhằm:

- Giúp học sinh có được hệ thống kiến thức cơ bản nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu, lĩnh hội tri thức một cách chủ động, sáng tạo, làm công cụ giải quyết các bài toán liên quan đến chứng minh hình học.

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. Thông qua đó, các em sẽ tìm ra phương

2/ 29

án giải các bài toán tiếp theo.

- Giúp học sinh giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải

toán chứng minh hình học.

- Thông qua phương pháp giải các bài toán chứng minh hình học, giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập hình học, đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục.

3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi của đề tài:

Đề tài tập trung nghiên cứu thực trạng và giải pháp cụ thể về “Biện pháp rèn kỹ

năng chứng minh hình học 7 cho học sinh”.

4. Phương pháp nghiên cứu:

- Khảo sát, thu thập tài liệu.

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phương pháp điều tra.

- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm.

5. Dự kiến kết quả của đề tài:

Khi chưa thực hiện đề tài, học sinh chỉ giải được một số bài toán chứng minh đơn giản, hay mắc sai lầm, thường xuyên gặp khó khăn, định hướng giải chưa đúng, lúng túng và rối trong việc trình bày lời giải.

Khi thực hiện đề tài, gây được hứng thú học tập, học sinh tích cực tìm hiểu và có kĩ năng tốt hơn trong giải toán chứng minh hình học. Các em tự giải quyết được nhiều bài tập, hạn chế được sai lầm hay mắc phải.

3/ 29

NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận của đề tài:

Việc dạy học định hướng phát triển năng lực về bản chất chỉ là cần và coi trọng thực hiện mục tiêu dạy học hiện tại ở các mức độ cao hơn, thông qua việc yêu cầu HS ”vận dụng những kiến thức, kĩ năng một cách tự tin, hiệu quả và thích hợp trong hoàn cảnh phức hợp và có biến đổi, trong học tập cả trong nhà trường và ngoài nhà trường, trong đời sống thực tiễn”. Việc dạy học thay vì chỉ dừng ở hướng tới mục tiêu dạy học hình thành kiến thức, kĩ năng và thái độ tích cực ở HS thì còn hướng tới mục tiêu xa hơn đó là trên cơ sở kiến thức, kĩ năng được hình thành, phát triển khả năng thực hiện các hành động có ý nghĩa đối với người học. Nói một cách khác việc dạy học định hướng năng lực về bản chất không thay thế mà chỉ mở rộng hoạt động dạy học hướng nội dung bằng cách tạo một môi trường, bối cảnh cụ thể để HS được thực hiện các hoạt động vận dụng kiến thức, sử dụng kĩ năng và thể hiện thái độ của mình. Như vậy việc dạy học định hướng năng lực được thể hiện ở các trong các thành tố quá trình dạy học như sau:

- Về mục tiêu dạy học: Mục tiêu kiến thức: ngoài các yêu cầu về mức độ như nhận biết, tái hiện kiến thức cần có những mức độ cao hơn như vận dụng kiến thức trong các tình huống, các nhiệm vụ gắn với thực tế. Với các mục tiêu về kĩ năng cần yêu cầu HS đạt được ở mức độ phát triển kĩ năng thực hiện các hoạt động đa dạng. Các mục tiêu này đạt được thông qua các hoạt động trong và ngoài nhà trường.

- Về phương pháp dạy học: Ngoài cách dạy học thuyết trình cung cấp kiến thức cần tổ chức hoạt động dạy học thông qua trải nghiệm, giải quyết những nhiệm vụ thực tiễn. Như vậy thông thường, qua một hoạt động học tập, HS sẽ được hình thành và phát triển không phải 1 loại năng lực mà là được hình thành đồng thời nhiều năng lực hoặc nhiều năng lực thành tố mà ta không cần (và cũng không thể) tách biệt từng thành tố trong quá trình dạy học.

- Về nội dung dạy học: Cần xây dựng các hoạt động, chủ đề, nhiệm vụ đa dạng gắn

với thực tiễn.

- Về kiểm tra đánh giá: Về bản chất đánh giá năng lực cũng phải thông qua đánh giá khả năng vận dụng kiến thức và kĩ năng thực hiện nhiệm vụ của HS trong các loại tình huống phức tạp khác nhau.Trên cơ sở này, các nhà nghiên cứu ở nhiều quốc gia khác nhau đề ra các chuẩn năng lực trong giáo dục tuy có khác nhau về hình thức, nhưng khá tương đồng về nội hàm. Trong chuẩn năng lực đều có những nhóm năng lực chung. Nhóm năng lực chung này được xây dựng dựa trên yêu cầu của nền kinh tế xã hội ở mỗi nước. Trên cơ sở năng lực chung, các nhà lí luận dạy học bộ môn cụ thể hóa thành những năng lực chuyên biệt. Tuy nhiên không dừng ở các năng lực chuyên biệt, các tác giả đều cụ thể hóa thành các năng lực thành phần, những năng lực thành phần này được cụ thể hóa thành các thành tố liên quan đến kiến thức, kĩ năng… để định hướng quá trình dạy học, kiểm tra đánh giá của GV.

4/ 29

II. Thực trạng dạy học toán 7 ở trường THCS

1. Về phía giáo viên

- Thiên về cung cấp lời giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ động: chưa chú trọng dạy học sinh giải toán hình học.

- Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải bài toán hình học khi đã tìm được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi cách giải khác, cách giải hay hơn hoặc khai thác thêm ở bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh; thường chú ý số lượng hơn là chất lượng bài giải.

- Đôi lúc chú trọng mặt đề cao và coi nhẹ mặt bảo đảm cái cơ bản theo yêu cầu của chương trình theo chuẩn KTKN; thích cho học sinh giải những bài toán khó, bài toán lạ trong khi còn nhiều học sinh vẫn lúng túng với những bài toán rất cơ bản.

2. Về phía học sinh

- Rất lúng túng trước đầu bài toán hình học: không biết làm gì, bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào, không biết liên hệ những điều nói trong đề bài với những kiến thức đã học, không phân biệt được điều đã cho và điều cần tìm, thậm chí không nắm được các kiến thức hình học, nên không biết cách làm bài.

- Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên lý luận thiếu căn cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh làm giả thiết; suy nghĩ rất hời hợt, máy móc. Không rút được kinh nghiệm để làm các bài tương tự.

- Trình bày bài giải hình học không tốt, hình vẽ không chính xác, không rõ ràng; ngôn ngữ và ký hiệu tùy tiện; câu văn lủng củng, không ngắn gọn, sáng sủa, lập luận thiếu khoa học, không logic. Kĩ năng vẽ đường phụ còn thấp.

Những khuyết điểm trên đây của học sinh chủ yếu do chúng ta chưa quan tâm đầy đủ đến việc uốn nắn, rèn luyện từng cái nhỏ, cái bắt đầu nhưng rất quan trọng, trong những bước đi ban đầu học hình học và giải toàn hình học (đặc biệt là năm lớp 7) . Cho nên học sinh thường mắc sai lầm ngay cả khi thực hiện những thao tác rất đơn giản.

Bảng kết quả khảo sát ý kiến học sinh về dạng bài chứng minh hình học 7 khi chưa thực hiện đề tài: Lớp

7A1 7A2 7A3 7A4 7A5 Rất khó khăn 30% 29% 70% 82% 68% Khó khăn 50% 46% 30% 28% 32% Không khó 20% 25% 0 0 0

5/ 29

III. Biện pháp rèn kỹ năng chứng minh hình học lớp 7 cho học sinh. 1. Định hướng chung 1.1. Về phía giáo viên:

Yêu cầu 1: Làm cho học sinh, kể cả học sinh yếu, giải được toán hình học và qua đó làm cho học sinh nắm vững các tri thức hình học và hiểu rõ thêm thế nào là chứng minh hình học.

Ở lớp 6, yêu cầu chủ yếu là vẽ hình, đo đạc, luyện tập sử dụng các dụng cụ vẽ và đo, quan sát hình và mô tả hình, rút ra một số tính chất của các hình.

Ở lớp 7, bước đầu làm quen với định lý, nắm được hai phần của định lý, thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Vì vậy đây là năm học rất quan trọng cần được chuẩn bị kỹ càng, giúp học sinh nắm được trình tự cơ bản của bài toán chứng minh hình học, có như thế mới tạo cho học sinh tâm lý tự tin đối với môn học và là cơ sở cho những năm học sau.

Hiện nay trong dạy học hình học có tình trạng là nhiều học sinh không giải được toán hình học, do đó những học sinh này không những không có điều kiện để hiểu rõ thêm những tri thức hình học (kể cả phép chứng minh) mà còn dễ bi quan, thiếu tự tin, mất hứng thú học tập. Cho nên dạy giải toán hình học, trước hết phải làm cho học sinh giải được toán, nhất là học sinh yếu, sao cho khả năng giải đó ngày càng tăng lên. Muốn thế cần chú ý các biện pháp sau:

- Mỗi tiết học nhất thiết dành thời gian làm một số bài tập ở lớp, những bài tập này phải lựa chọn sao cho có tác dụng gợi ý giúp học sinh giải được các bài tập cho về nhà.

- Tập cho học sinh thói quen chuẩn bị tốt trước khi chứng minh, phần chuẩn bị này không ngoài những điểm sau :

+ Đọc kỹ đề, phải hiểu rõ nghĩa tất cả các từ trong bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý bài tập đó

+ Phân biệt được giả thiết và kết luận của bài tập, rồi dựa vào những điều đã cho trong giả thiết để vẽ hình. Hình vẽ cần phải chính xác, rõ ràng.

+ Ghi được giả thiết và kết luận của bài toán; biết thay những từ toán học trong bài bằng các ký hiệu, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn và dễ hiễu hơn.

Yêu cầu 2: Chú trọng rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán

Một trong những phương pháp toán học quan trọng nhất, có tác dụng rõ rệt trong việc rèn luyện ở học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán hình học là phương pháp phân tích, đặt biệt là phương pháp phân tích đi lên. Phương pháp này thường bắt đầu từ kết luận. Tìm những điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó; rồi nghiên cứu từng điều kiện, xét xem điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện gì nữa. Cứ như vậy suy ngược từng bước, cho đến lúc những điều kiện đó phù hợp với giả thiết mới.

6/ 29

Yêu cầu 3: Dạy học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán hình học và biết lựa chọn cách giải tốt nhất.

Việc dạy học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau là hoàn toàn có thể thực hiện được vì:

- Khả năng giải bài toán bằng nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học của từng học sinh, vốn kiến thức đó được tích lũy dần qua các lớp học.

- Có thêm kiến thức mới, tìm được cách giải tốt hơn sẽ làm cho học sinh năng động hơn, yêu thích môn học hơn và tất sẽ có kết quả học tập ngày càng tốt hơn

Để giúp học sinh có khả năng tìm tòi những cách giải khác nhau, giáo viên cần:

+ Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa và nắm vững các cách chứng minh khác nhau của cùng một tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, cùng nằm trên một đường tròn …).

+ Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết căn cứ vào giả thiết (tức tình huống cụ thể) mà lựa chọn một số công cụ thích hợp trong loại công cụ có liên quan đến luận điểm. Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện, học sinh có thể loại trừ ngay những con đường không thích hợp và chỉ giữ lại một số con đường thích hợp. Đối với nhiều học sinh, lúc đầu phải thử với từng con đường đi còn lại đó, có thể thất bại nhiều lần mới xác định con đường đi đúng. Nhưng chính công việc mò mẫm ban đầu đó lại cần thiết trong quá trình nghiên cứu khoa học.

+ Luôn luôn khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, khi học lý thuyết cũng như khi giải toán, có những hình thức động viên khác nhau đối với những đối tượng học sinh khác nhau. Chúng ta không nên đòi hỏi học sinh tìm được cách giải độc đáo. Tất nhiên như vậy là rất quý. Trong mọi trường hợp, mỗi cố gắng tìm tòi độc lập của học sinh điều có giá trị, cần được trân trọng xem xét và khai thác để nâng cao tính giáo dục .

Rõ ràng rằng nếu giáo viên thành công trong việc làm cho học sinh có hứng thú tìm kiếm những cách giải khác nhau một bài toán hay những cách chứng minh khác nhau một định lý thì điều đó không những làm cho học sinh nắm vững thêm những kiến thức hình học đã học, biết vận dụng chúng một cách linh hoạt sáng tạo mà còn giúp phát triển năng lực nghiên cứu của học sinh

Yêu cầu 4: Dạy học sinh biết khai thác bài toán

Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh của một bài toán sẽ giúp phát triển cao nhất năng lực nhận thức của học sinh. Giáo viên nắm kĩ và biết tổ chức khai thác bài toán, nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh, giúp học sinh “học một biết mười”.

Đối với những bài toán khác nhau có thể có những cách khai thác khác nhau. Sau đây là một số hướng khai thác cần thiết :

+ Thay đổi một phần của giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp rộng hơn …, thì kết quả thay đổi như thế nào, hoặc có thể thay đổi những gì ở giả thiết thì cách giải và kết quả vẫn không thay đổi.

7/ 29

+ Có thể giải quyết thêm vấn đề gì mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào bài toán này có thể giải bài toán tương tự nào khác hoặc đặt ra bài toán nào khác.

Yêu cầu 5: Nâng cao kỹ năng giải toán hình học cho học sinh và tiếp tục dạy cho học sinh trình bày tốt bài giải.

Việc xây dựng cho học sinh một nền nếp tốt trong việc giải toán hình học là rất quan trọng và cần được chú trọng ngay từ giai đoạn đầu học hình học. Kỹ năng giải toán hình học được nâng cao dần trên cơ sở hình thành và hoàn thiện những thói quen, nền nếp làm bài tập. Sau đây là những thói quen, nền nếp quan trọng, nêu dưới dạng quy tắc :

- Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ và đúng, hiểu rõ và ghi giả thiết, kết luận bài toán theo ngôn ngữ và ký hiệu hình học.

- Nhớ và huy động bộ công cụ liên quan đến kết luận của bài toán, căn cứ vào nội dung của giả thiết mà lựa chọn những công cụ thích hợp.

- Sử dụng hết những điều giả thiết đã cho. Trong nhiều trường hợp, không tìm ra cách giải là vì còn có điều trong giả thiết chưa sử dụng đến.

- Mỗi điều khẳng định của mình phải có căn cứ.

- Từng bước, từng phần phải kiểm tra để kịp thời phát hiện và sửa những sai lầm nếu có

- Khi giải xong, nhìn lại con đường vừa đi: có thể coi đây là giai đoạn nhận thức tư tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm.

1.2 Về phía học sinh:

- Thực hiện tốt nhiệm vụ hướng dẫn tự học do giáo viên giao. - Đọc sách tham khảo, làm nhiều bài tập, tìm bằng được đáp án. - Tích cực học tập trên lớp. - Rèn kỹ năng vẽ hình.

2. Các nhóm biện pháp 2.1. Giảng lý thuyết: a) Sau khi gi¶ng mçi kiÕn thøc, gi¸o viªn h-íng dÉn ngay häc sinh biÕt c«ng dông cña kiÕn thøc ®ã dïng ®Ó chøng minh g×? Khi chøng minh ph¶i chØ ra nh÷ng dÊu hiÖu g× cña gi¶ thiÕt cÇn cã ®Ó ®i ®Õn kÕt luËn. * Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Dạy dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. - Công dụng: chứng minh hai đường thẳng song song.

8/ 29

A 3

A 1

hoặc hoặc   B 1

 1 180

c cắt d và d’   B A 1 3   A B

1 B

- Mô hình suy luận:GT KL d // d’

Hình 1

Ví dụ 2: Dạy tính chất hai đường thẳng song song. - Công dụng: tính số đo góc. - Mô hình suy luận: GT d // d’;

A 3

;

 1 180

c cắt d và d’ KL   ; A B 1 3   B A 1 1   A B

1 B

Hình 2

A

A'



Ví dụ 3: Dạy tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. - Công dụng: Chứng minh các cặp góc tương ứng bằng nhau, các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. - Mô hình để suy luận (hình 4): GT  ABC =  A’B’C’ KL        A A B B C C ' '; '; AB = A’B’; AC = A’C’ BC = B’C’

C

B

C'

B'

Hình 4

- Mô hình để chứng minh hai tam giác bằng nhau (hình 4): + Trường hợp cạnh- cạnh – cạnh (c-c-c)  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’  ABC =  A’B’C’ KL

9/ 29

+ Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c-g-c)  ABC ;  A’B’C’ AB = A’B’  ' B B BC = B’C’  ABC =  A’B’C’ KL

+ Trường hợp góc- cạnh – góc (g-c-g)

 ABC ;  A’B’C’  ' B B BC = B’C’  ' C C  ABC =  A’B’C’

- §Ó chøng minh hai gãc hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng b»ng nhau b»ng ph-¬ng ph¸p tam gi¸c bằng nhau ta cã thÓ lµm theo c¸c b-íc : Bíc 1: XÐt hai tam gi¸c cã chøa hai gãc ®ã hay c¸c cÆp ®o¹n th¼ng Êy. Bíc 2: Chøng minh hai tam gi¸c ®ã bằng nhau. Bíc 3: Suy ra c¸c cÆp gãc, c¸c cÆp c¹nh t-¬ng øng b»ng nhau. - NÕu  ABC cã A = 900,  A’B’C’ cã 'A = 900 (h×nh 5) Th× viÖc chøng minh hai tam gi¸c nµy bằng nhau sÏ ®¬n gi¶n h¬n theo hai tr-êng hîp TH1: Cạnh huyền- góc nhọn:

B

B'

GT ΔABC ( 

A  ΔA’B’C’ (  BC = B’C’  ' B B  ABC =  A’B’C’

) 090 A  ' 90 )

C

A

A'

C'

Hình 5.

TH2: Cạnh huyền – cạnh góc vuông.

GT ΔABC ( 

A  ΔA’B’C’ (  BC = B’C’ AB = A’B’ KL  ABC =  A’B’C’

) 090 A  ' 90 )

Ví dụ 4: Dạy định lý Pytago. - Công dụng: tính độ dài cạnh của tam giác vuông.

10/ 29

B

090

- Mô hình để suy luận (hình 6): GT

ΔABC  A  BC2 = AB2 + AC2 KL

C

A

Hình 6

Dạy định lý Pytago đảo: - Công dụng: chứng minh tam giác vuông. - Mô hình để suy luận (hình 5) GT

090

KL ΔABC BC2 = AB2 + AC2  A 

b) Khả năng giải bài tập phụ thuộc nhiều vào việc tiếp thu kiến thức. Mỗi khi giảng khái niệm, định lý mới, cần có những câu hỏi, bài tập miệng giúp học sinh nắm vững các dấu hiệu bản chất của khái niệm, trước khi đi vào giải bài tập trong SGK.

*Ví dụ minh họa: Dạy định lý tổng ba góc trong tam giác.

Sau khi phát biểu và chứng minh định lý, giáo viên đưa ra câu hỏi vận dụng sau : “ Cho biết số đo góc x trong mỗi hình vẽ sau:

C

A

78°

59°

52°

C

B

A

2.2. Dạy bài tập tự luận: * Khi dạy bài tập tự luận, giáo viên cần chia thành các dạng bài điển hình. Với mỗi dạng bài cần chỉ ra các phương pháp chứng minh cụ thể. Dưới đây là các dạng bài và phương pháp chứng minh của dạng bài đó trong phần hình học lớp 7. 2.2.1 Chứng minh các yếu tố bằng nhau: a) Chứng minh hai góc bằng nhau: * Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể thực hiện một trong các cách sau:

(1) Chứng minh chúng là hai góc đối đỉnh (2) Chứng minh chúng cùng bằng một góc thứ ba. (3) Chứng minh chúng cùng bù hoặc cùng phụ với một góc thứ ba

11/ 29

110 ,

0 C



(4) Chứng minh chúng là những góc so le trong (hoặc đồng vị, hoặc so le ngoài) tạo nên bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. (5) Chứng minh chúng là hai góc đáy của một tam giác cân (6) Chứng minh chúng là hai góc tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng minh được là bằng nhau. (7) Chứng minh chúng là các góc nhọn có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc). * Một số bài tập minh họa: Bài tâp 1. Cho ΔABC có   B . Gọi Ax là tia đối của tia AC. Tia phân giác

củagóc BAx cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh rằng ΔKAB có hai góc bằng nhau.

x



(kề bù)

A

1

KBA 

300

C

1100



B

K



(kề bù)



(AK là tia phân giác của góc xAB)

Bài giải: Có   0180  KBA ABC Tính được  070 Theo định lý tổng ba góc trong tam giác có:    0180  ABC ACB BAC  Thay số :  040 BAC  Mà   0180 BAC xAB   =>  0140 xAB  =>   A A 1 2 =>   070  KAB KBA

Bài tập 2: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D và cắt d tại E. Chứng minh rằng ΔCDE có hai góc bằng nhau.

Bài giải:

B



B 2

1 2





B 1







2 (gt)

B 1

(2)

C

D

A



ADB (đối đỉnh) nên:   0 B CDE 90 nên :   0  B CDE 90 => đpcm

E

 BCE vuông tại C nên:   (1) E  ABD vuông tại A nên:   0 90 Mà  ADB CDE Mặt khác   B Từ (1) và (2) suy ra  E CDE

d

12/ 29

A

B

120°

M

O

120°

D

C

 

  0180 A AOM



(hai góc trong cùng phía)

Bài tập 3: Cho hình vẽ: Biết AB // OM // CD và Â = Cˆ = 1200 Hỏi tia OM có là tia phân giác AOC không? Bài giải: AB // OM  060 AOM  CD // OM =>   0180 C COM Tính được:  060 COM  Do đó   060  AOM COM Vậy OM là tia phân giác của góc AOC *Bài tập đề nghị:

Cho A ABC, kẻ tia phân giác AD của góc A. Từ một điểm M thuộc đoạn thẳng DC, ta kẻ đường thẳng song song với AD. Đường thẳng này cắt cạnh AC ở điểm E và cắt tia đối của AB tại điểm F. a) Chứng tỏ tam giác EAF có hai góc bằng nhau. b) Chứng tỏ  AEF MEC

 b. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau * Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta thường sử dụng các cách sau: (1) Chứng minh chúng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. (2) Chứng minh chúng cùng bằng hiệu hoặc tổng của những đoạn bằng nhau.

(3) Sử dụng sự liên hệ giữa đường trung tuyến thuộc cạnh huyền với cạnh huyền của tam giác vuông. (4) Chứng minh chúng là hai cạnh bên của tam giác cân (5) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc ấy.

(6) Chứng minh chúng là các khoảng cách từ một điểm thuộc đường trung trực

của đoạn thẳng đến hai đầu mút của đoạn thẳng ấy.

(7) Chứng minh chúng là những đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường

thẳng song song.

(8) Chứng minh chúng là hai cạnh tương ứng trong hai tam giác mà ta chứng

minh chúng là bằng nhau.

* Một số bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho một góc nhọn xOy. Trên Ox ta đặt hai điểm A, B với OA < OB. Trên Oy ta đặt hai điểm C, D sao cho OC = OA, OD = OB. a) Chứng minh: AD = BC b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. CM: IA = IC và ID = IB. c) Chứng minh: I nằm trên tia phân giác của xOy.

13/ 29

Bài giải

GT  090

D

C

I

xOy  A, B  Ox, OA < OB C, D  Oy, OA = OC, OB = OD AD cắt BC tại I. a) AD = BC b) IA = IC, IB = ID c) I thuộc tia phân giác của góc xOy

B

O

A

a) Xét  OCB và  OAD có: OC = OA (gt)  COB AOD  OB = OD (gt)



 OAD DAB



 =>  OCB OAD (kề bù);   0 180

=>  OCB =  OAD (c-g-c) => BC = AD (hai cạnh tương ứng)

(hai góc tương ứng) (1) (hai góc tương ứng) (kề bù)



b) Vì  OCB =  OAD (cmt) =>  ODA OBC Mà   0180   OCB BCD =>  BCD DAB  (2)

(hai góc tương ứng)

B C . Tia phân giác BD và CE của góc B và C cắt nhau

Lại có: CD = OC – OD; AB = OB – OA Mà OA = OC; OB = OD (gt) => CD = AB (3) Từ (1), (2), (3) suy ra  ICD =  IAB (g-c-g) => IA = IC; IB = ID (hai cạnh tương ứng) c) Xét  OCI và  OAI có: OC = OA (gt) IC = IA (cmt) OI là cạnh chung. =>  OCI =  OAI (c-c-c) =>  COI AOI => I nằm trên tia phân giác của góc xOy. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có 

tại O. Từ O kẻ OH  AC, OK  AB. Chứng minh: a)  BCD =  CBE b) OB = OC c) OH = OK

Bài giải:

14/ 29

A



E

D K

H

O

C

B

B C  ABC,      B  B C C ; 2 2 1 1 OH  AC, OK  AB a)  BCD =  CBE b) OB = OC c) OH = OK



ABC ACB    B  1 Xét  BCD =  CBE có:  DCB EBC (gt)  BC là cạnh chung   (cmt) B C 2 =>  BCD =  CBE (g-c-g)



a) Vì       B C C 1

b) Từ (a) suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng) và  BEO CDO (hai góc tương ứng)

(cmt)



Xét  OBE và  OCD có:   B C 1 1 BE = CD (cmt)  BEO CDO  =>  OBE =  OCD (g-c-g) => OB = OC (hai cạnh tương ứng)

(cmt)

c) Xét  OHB và  OKC có:   090  OHB OKC OB = OC (cmt)   B C 1 1  OHB =  OKC (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OK (hai cạnh tương ứng)

* Bài tập đề nghị

Cho một đường thẳng d và ba điểm A, B, C theo thứ tự ấy thuộc d.

Chứng minh: AE = DC Chứng minh tam giác MBN là tam giác đều.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, ta vẽ hai tam giác đều ABD, BEC. Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, CD a) b) 2.2.2 Chứng minh các đường thẳng song song, chứng minh các đường thẳng vuông góc. a) Chứng minh hai đường thẳng song song. * Ta có thể sử dụng các cách sau để chứng minh hai đường thẳng song song:

(1) Chứng minh chúng tạo với một đường thẳng thứ ba các góc so le trong (hoặc

đồng vị) bằng nhau hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau.

(2) Sử dụng tiên đề Euclide, thường chứng minh bằng phản chứng.

15/ 29

(3) Chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng. (4) Chứng minh chúng cùng vuông góc với một đường thẳng.

* Bài tập minh hoạ: Bài tập 1. Cho hình vẽ sau. Hãy chứng tỏ đường thẳng xy // Am bằng 3 cách.

B

A

Bài giải:

B  2 120



(hai góc kề bù) => 

A  2

120 ,



0 60 =>   A B

=> xy // Am (hai góc SLT bằng nhau)

 2 180

=> xy // Am (hai góc TCP bù nhau). Cách 1: Ta có    2 108 B B Do đó    A B 1 120 2 Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.  xy // Am (hai góc đồng vị bằng nhau) =>   B A 2 1 0 A 2

700

1100

b ABb

Cách 2: Tính  Cách 3: Tính  B 2 Bài tập 2. Tìm trên hình vẽ bên các cặp đường thẳng song song:

500

Bài giải:   0 => a // b (hai góc TCP bù nhau) 180   aA Tính  0110 => b // c (hai góc đồng vị bằng nhau) BCc    0 => a // c (hai góc TCP bù nhau)   B BCc 180 aA Bài tập 3. Cho hình vẽ bên:

500

a) Chứng tỏ a // b b) Chứng tỏ: a // c

Bài giải:

16/ 29

a b / /



050

a b b) 

a) (cùng vuông góc với d)

  d   d  A B  => b // c (hai góc SLT bằng nhau)

. Mà hai góc này ở vị trí so le trong

c) Vì a // b, b // c nên a // c (cùng song song với b)

*) Bài tập đề nghị: Cho hình vẽ:

300

a) Hai đường thẳng Mz và Ny có

song song với nhau hay không?

1500

Vì sao?

b) Hai đường thẳng Ny và Ox có

1200

song song với nhau hay không? Vì sao?

b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : *) Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có thể sử dụng một trong các cách sau: (1) Chứng minh đó là hai đường phân giác của hai góc kề bù. (2) Chứng minh hai đường này cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc bằng 900 (3) Chứng minh đường thẳng thứ nhất vuông góc với một đường thẳng khác mà song

song với đường thẳng thứ hai.

(4) Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác. (5) Chứng minh đường thẳng thứ nhất là đường trung trực của một đoạn thẳng nằm trên

đường thẳng kia.

(6) Sử dụng tính chất đường cao của tam giác cân. (7) Chứng tỏ chúng là hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông của một tam giác

vuông, thường kết hợp với việc tính tổng hai góc hoặc sử dụng định lý Pytago.

*) Các bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho hai đường thẳng song song xx’ và yy’. Vẽ đường thẳng a cắt xx’ tại A, cắt yy’ tại B. Tia phân giác của các góc xAB và ABy cắt nhau tại C; tia phân giác của các góc BAx’ và ABy’ cắt nhau tại D. Chứng minh rằng: a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD

Bài giải:

17/ 29

A



D

C

B

xx’ // yy’    ;  xAC CAB BAD DAx '    ; yBC CBA ABD DBy ' a) CA  DA; CB  DB b) AC  CB; AD  BD

a) AC là tia phân giác của góc xAB (gt) AD là tia phân giác của góc BAx’ (gt) Mà hai góc xAB và BAx’ kề bù.



 CA  DA



180 : 2 90



xAB ABy 

(kề bù)

Chứng minh tương tự có: CB  DB b) Vì xx’ // yy’ =>   0 180 =>   0  CAB CBA =>  CAB vuông tại C => AC  CB Chứng minh tương tự có  DAB vuông tại D => AD  BD Bài tập 2: Cho góc xOy, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB và tia phân giác góc xOy. Chứng minh rằng:OK  AB

Bài giải:

A

GT góc xOy

K

A  Ox, B  Oy; OA = OB  KOA KOB  KL OK  AB

O

B

Vì OA = OB (gt) =>  AOB cân tại O Mà OK là đường phân giác xuất phát từ đỉnh O (gt) => OK đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh O (t/c tam giác cân) => OK  AB Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D. Chứng minh: AD  BE.

Bài giải:

18/ 29

A

E

 ABC nhọn, AC > AB AE = AB  BAD CAD KL AD  BE.

C

B

D

(gt)

ABC 

Xét  ABD và  AED có: AB = AE (gt)  BAD CAD AD là cạnh chung. =>  ABD =  AED (c-g-c) => DB = DE (hai cạnh tương ứng) Mà AB = AE (gt) => AD là đường trung trực của đoạn thẳng BE (tính chất trung trực) Do đó: AD  BE. * Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC vuông tại C. Kẻ đường cao CH. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = BC; CN = CH. Chứng minh: MN  AC 2.2.3. Chứng minh các điểm thẳng hàng, chứng minh các đường thẳng đồng quy a) Chứng minh các điểm thẳng hàng * Các cách thường dùng để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

(1) Chứng minh AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB hoặc BA + AC = BC) (2) Chứng minh  0180 (3) Sử dụng tiên đề Euclide, chứng minh hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC

cùng song song với một đường thẳng khác.

(4) Sử dụng tính chất của các đường trong tam giác (trung tuyến, phân giác, đường

cao, trung trực). Chứng minh rằng A, B, C cùng thuộc một trong các đường ấy. *Bài tập minh hoạ: Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Bài giải:

N

D

E

A

 ABC D thuộc tia đối AB: AD = AB E thuộc tia đối AC: AE = AC CM = EN

KL M, A, N thẳng hàng.

C

B

M

19/ 29



(đối đỉnh)

(hai góc tương ứng)

 CAM NAC



(cmt)

Xét ΔABC và ΔADE có: AB = AD (gt)  BAC DAE  AC = AE (gt) => ΔABC = ΔADE (c-g-c) =>  DEA ACB Xét ΔAEN và ΔACM có: AC = AE (gt)  DEA ACB  CM = EN (gt) => ΔAEN = ΔACM (c-g-c) =>  EAN CAM (hai góc tư) (kề bù) =>   0180 Mà   0180   EAN NAC Hay  0180 => Ba điểm M, A, N thẳng hàng. NAM  Bài tập 2: Cho  ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB, trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng: ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài giải:

A

M

N

D

E

C

ABC DA = DC; EA = EB M thuộc tia đối DB: DM = DB N thuộc tia đối EC: EN = EC

B

KL M, A, N thẳng hàng.

(đối đỉnh)

Xét  ADM và  CDB có: DA = DC (gt)  ADM CDB  DM = DB (gt) =>  ADM =  CDB (c-g-c)

(hai góc tương ứng)

    ACB 3A  AM // BC (hai góc so le trong bằng nhau)(1)

Chứng minh tươn tự có  AEN =  BEC (c-g-c)

(hai góc tương ứng)

    ABC 1A  AN // BC (hai góc so le trong bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra qua điểm A có hai đường thẳng cùng song song với BC (trái với tiên đề Ơclit) Do đó: AN trùng với AN hay ba điểm M, A, N thẳng hàng.

20/ 29

*Bài tập đề nghị: Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BE và CD, M là trung điểm của BC. Chứng minh: ba điểm A, M, I thẳng hàng.

b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy * Các phương pháp thường dùng để chứng minh ba đường thẳng đồng quy:



(1) Chứng minh đưòng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường kia. (2) Sử dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy trong tam giác. (3) Đưa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng.

2 3 minh ba đường thẳng AG, BC, KI đồng quy.

CG. Chứng * Bài tập minh hoạ. Bài tập 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên BM lấy hai điểm G và K sao cho và G là trung điểm của BK. Trên CG lấy điểm I sao cho CI = 2 3

Bài giải:

A

K

M



; GB = GK

G

I

GT  ABC, MA = MC 2 3 CI = 2 3

C

B

H

KL AG, BC, KI đồng quy.



 ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

2 3

Mà: => G là trọng tâm của tam giác ABC (tính chất trọng tâm)

 AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất ba đường trung tuyến)  AG cắt BC tại điểm H là trung điểm của BC (1)

CG => I là trọng tâm của tam giác BCK (tính chất trọng tâm) Để chứng minh AG, BC, KI đồng quy ta sẽ chứng minh KI đi qua H. Thật vậy, BCK có GB = GK nên CG là đường trung tuyến ứng với cạnh BK Mà CI = 2 3

 KI là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác BCK  KI đi qua trung điểm H của BC (2) Từ (1) và (2) => AG, BC, KI đồng quy tại H. Bài tập 2: Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó cùng đi qua một điểm.

Bài giải:

21/ 29

A

F

C

B

 ABC Phân giác góc ngoài tại B và C cắt nhau tại G

KL G thuộc tia phân giác của góc

E

BAC

D

G

Kẻ GD  AB; GE  AC; GF  BC Vì G nằm trên tia phân giác của góc DBC nên GD = GF (tính chất phân giác) (1) Vì G nằm trên tia phân giác của góc ECB nên GE = GF (tính chất phân giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: GD = GE

 G nằm trên tia phân giác của góc BAC  Đường phân giác góc ngoài tại B và C, đường phân giác góc trong tại A cùng

đi qua G (đpcm)

*Bài tập đề nghị:

Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, có chứa B, vẽ tia Ax’ // BC và lấy trên Ax’ một điểm D sao cho AD = CB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, không chứa B, vẽ tia Ax // BC và lấy trên Ax một điểm E sao cho AE = CB. Hai tia DB và EC cắt nhau tại F. Chứng minh ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy. 2.2.4. Chứng minh các hình a) Chứng minh tam giác cân *Các cách sử dụng để chứng minh:

(1) Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau (2) Chứng minh tam giác có 2 cạnh bằng nhau (3) Chứng minh tam giác có hai trong 4 đường sau đồng quy: đường trung tuyến,

đường cao, đường phân giác, đường trung trực.

(4) Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau, hoặc hai đường cao

bằng nhau hoặc hai đường trung tuyến bằng nhau. *Các bài tập minh hoạ.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có K là trung điểm của cạnh BC a) Chứng minh các tam giác ABK , ACK cân b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AK cắt AB tại E. Chứng minh tam giác BEC

cân.

Bài giải:

22/ 29

B

090

K

C

A

ΔABC,  A  KB = KC CE // AK a) ΔABK, ΔACK cân b) ΔBCE cân

E

BC (tính chất tam giác vuông) => BK = KB = KC a) Vì K là trung điểm của BC nên AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => AK = 1 2

(đồng vị)

(tam giác ABK cân tại K)

=>  ABK, ΔACK cân tại K (tam giác có hai cạnh bằng nhau) b) Vì CE // AK (gt) =>  E BAK  Mà  BAK KBA  =>  E KBA  => ΔBCE cân tại C (tam giác có hai góc bằng nhau)

Bài tập 2: Cho góc xOy, có Ot là tia phân giác. Lấy điểm M khác O trên tia Ot. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Ot cắt Ox, Oy thứ tự tại A và B. Chứng minh rằng:

a)  OBA cân. b) Trên tia Ot lấy điểm N khác O và M. Chứng minh ΔNAB cân

Bài giải:

B

N

M

O

A

Góc xOy  xOt  yOt M, N  Ot AB  Ot tại M a) ΔOAB cân b) ΔNAB cân

a) Xét ΔOAB có: AM  AB;  BOM AOM

=> AM là đường cao đồng thời là phân giác xuất phát từ đỉnh O của ΔOAB => ΔOAB cân tại O. b) Xét ΔNBO và ΔNAO có:

AO = OB (ΔOAB cân tại O)  BOM AOM (gt) AN là cạnh chung. => Δ ΔNAB cân tại N

* Bài tập đề nghị: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AC lấy một điểm D sao cho BD = BC. Qua C kẻ

23/ 29

đường thẳng d song song với cạnh AB. Lấy điểm E trên đường thẳng d sao cho CE = AD (E và A nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC). Chứng minh: tam giác ABE cân b) Chứng minh tam giác đều: *Các cách chứng minh tam giác đều: (1) Chứng minh tam giác có ba cạnh bằng nhau. (2) Chứng minh tam giác có ba góc bằng nhau. (3) Chứng minh tam giác đó cân và có một góc bằng 600 * Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho ΔABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao

cho AD = BE = CF. CMR: ΔDEF đều.

Bài giải:

A

D

KL ΔABC, AB = AC = BC AD = BE = CF ΔDEF đều

F

C

B

E

060

A 

Có AB = AC = BC (gt) => AD + DB = À + FC = BE + EC Mà AD = BE = CF => BD = CE = AF Xét ΔADF và ΔBED có: AD = BE (gt) A B (tam giác ABC đều)  AF = BD (cmt) => ΔADF = ΔBED (c-g-c) => DF = DE (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự: ΔBED = ΔCFE => DE = EF (hai cạnh tương ứng) Do đó: DE = DF = EF => ΔDEF đều Bài tập 2: Cho ΔABC có 

. Tia phân giác BD của góc B cắt tia phân giác CE của góc C tại O. Tia phân giác của góc BOC cắt BC tại F. Chứng minh rằng: ΔDEF đều.

Bài giải:

24/ 29

B

A 

060

GT ΔABC, 

F

E

O

60°

Tia phân giác BD của góc B cắt tia phân giác CE của góc C tại O Tia phân giác của góc BOC cắt BC tại F

C

D

A



KL ΔDEF đều.

A ABC ACB 

BOF C

EOA



(đl tổng ba góc tam giác)

 =>    0 60 OF



(BD, CE là phân giác)

Xét ΔABC có:    0180      0120  ABC ACB    060  OCB OBC   0120 BOC  Xét ΔOEB và ΔOFB có:   060  EOB FOB OB chung  EBO FOB (gt)   ΔOEB = ΔOFB (g-c-g)  OE = OF (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: OD = OF. Do đó: OD = OE = OF Xét ΔEOF và ΔDOF có:

OE = OD (cmt)   0  OF 120 EOF D OF chung

 ΔEOF = ΔDOF (c-g-c) => EF = FD

Chứng minh tương tự: FD = DE.

 EF = DE = DF => ΔDEF đều.

*Bài tập đề nghị: Cho ΔABC đều. Trên tia đối của các tia AB, BC, CA lấy theo thứ tự 3 điểm D, E, F sao

cho AD = BE = CF. CMR: ΔDEF đều.

c) Chứng minh tam giác vuông. *Các cách chứng minh tam giác vuông: (1) Sử dụng định lý Pytago đảo. (2) Chứng minh tam giác có hai cạnh vuông góc với nhau bằng cách chứng minh hai

đường thẳng vuông góc.

(3) Chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng 900. (4) Chứng minh tam giác có một trung tuyến bằng một nửa cạnh tương ứng. * Bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho ΔABC có AB = 12cm; AC = 16cm; BC = 20cm. Chứng minh tam giác

25/ 29

ABC là tam giác vuông.

Bài giải:

Có: AB2 + AC2 = 122 + 162 = 400 BC2 = 202 = 400

090

A 

 AB2 + AC2 = BC2  ΔABC vuông tại A (định lý Pytago đảo)

, kẻ AH  BC.Tia phân giác của góc BAH và góc C cắt

Bài tập 2: Cho ΔABC có  nhau tại K. Chứng minh: ΔAKC vuông

Bài giải:

B

090

H

K

KL ΔABC,  A  AH  BC Tia phân giác của góc BAH và góc C cắt nhau tại K ΔAKC vuông

C

A





BCA



BAC

3A )



 (cùng phụ với 

A 1

 A C











A 3

A 2

AKC 

(tính chất tam giác vuông)

ΔACH vuông tại H =>   0 A 90 3 Mà    0  BAH A 90 3  BAH BCA  =>     A C C 1 2         KAC KCA A A 90 1 3 2 Theo định lý tổng ba góc của tam giác cho tam giác KAC tính được:  090

 ΔAKC vuông tại K

* Bài tập đề nghị:

Cho xÔy = 900 . Vẽ tia phân giác Oz của góc xOy , trên đó lấy điểm C. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Oz cắt Ox ở A, cắt Oy ở B. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Chứng minh tam giác CED vuông. 3. Kết quả: Tôi đã áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 7A3, 7A4, 7A5 và thu được kết quả tốt. Trước khi áp dụng đề tài này, tôi thấy nhiều học sinh còn lúng túng, khó xác định dạng toán, nhầm lẫn trong việc xác định dữ kiện đã cho và yêu cầu đề bài nên không tìm ra cách giải ngay. Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã giúp học sinh khắc phục được những khó khăn sau: thiếu phương pháp chứng minh, hình thành kỹ năng chậm, tư duy thiếu linh hoạt, sử dụng ngôn ngữ toán học lúng túng, ….Học sinh đã tự tin, làm bài có chất lượng hơn, học sinh hứng thú và học tập tích cực hơn. Học sinh loại bỏ được tâm lí lo sợ, ức chế đồng thời tạo hứng thú, kích thích niềm ham mê tìm hiểu sâu hơn của các em về mảng kiến thức hình học.

26/ 29

Dưới đây là kết quả làm bài kiểm tra dạng toán trên.

KÕt qu¶ thùc nghiÖm (b¶ng thèng kª kÕt qu¶ bµi kiÓm tra d¹ng to¸n trªn)

Áp dụng đề

Kết quả kiểm tra Giái Kh¸ T.B×nh YÕu KÐm 0% 35% 15% 45% 5% ¸p tài. Ch-a

dông

§· ¸p dông 60% 27% 13% 0% 0%

27/ 29

KẾT LUẬN Qua quá trình nghiên cứu và thực nghiệm tại trường mình, tôi nhận thấy đề tài này phù hợp với quá trình dạy toán cho học sinh khối lớp 7, giúp các em tổng hợp lại được kiến thức mình đã học và hào hứng hơn trong tiết học môn hình học

Qua bài viết này tôi có một suy nghĩ trăn trở làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập

của học sinh, đặc biệt là chất lượng học tập môn toán. Tôi nhận thấy:

Trước hết, người giáo viên phải soạn bài chu đáo, khi lên lớp, nhất thiết phải có giáo án trên giấy, ngay cả khi sử dụng máy chiếu Projector. Khi giảng bài, giáo viên phải làm rõ trọng tâm và mối quan hệ lôgíc nội tại của mạch kiến thức bài học, sắp xếp hợp lý hoạt động của giáo viên và học sinh; chuẩn bị hệ thống câu hỏi phát huy trí lực và phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh, (nhất là đối với bài dài, bài khó, nhiều kiến thức mới). Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng sáng tạo kiến thức, hạn chế ghi nhớ máy móc, thay việc sửa lỗi bằng cách hướng dẫn học sinh tự trả lời câu hỏi: do dâu dẫn đến kết quả sai?

Thứ hai: Giáo viên phải là người làm chủ lớp học, thiết lập bầu không khí thân

thiện tích cực, chủ động giải quyết mọi tình huống bảo đảm yêu cầu sư phạm.

Thứ ba: Sử dụng hợp lý sách giáo khoa (không đọc chép, hướng dẫn học sinh chỉ ghi theo diễn đạt của giáo viên, không để học sinh đọc theo sách giáo khoa để trả lời câu hỏi) và sử dụng có hiệu quả thiết bị dạy học, phương tiện trực quan, phương tiện nghe nhìn; ứng dụng hợp lý công nghệ thông tin, thực hiện đầy đủ thí nghiệm, thực hành. Ở một số bài phải làm rõ mối liên hệ dọc theo mạch kiến thức môn học và mối quan hệ môn với các môn học khác để khắc sâu kiến thức.

Thứ tư: Cần phải tích luỹ, khai thác sử dụng hồ sơ chuyên môn, liên hệ thực tế sinh động để làm sâu sắc thêm bài giảng, giao bài tập, chủ đề nguyên cứu, sưu tầm về nhà để rèn luyện kỷ năng tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.

Thứ năm: Giáo viên nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết, dẫn dắt học sinh tự đưa ra kết luận cần thiết. Dạy phải sát đối tượng, coi trọng bồi dưỡng học sinh khá giỏi và kiên trì giúp đỡ học sinh học lực yếu kém.

Trên đây là một số kết luận được tích lũy và kiểm nghiệm thông qua 12 năm giảng dạy của bản thân tôi. Đó chưa thể gọi là tổng quát và không tránh khỏi khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự góp ý, chia sẻ của của các thầy cô giáo và các đồng nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn !

28/ 29

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. Ôn tập hình học 7- Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dương Thụy – NXB Giáo dục 2014 2. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7

Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm - NXB Giáo dục 2015

3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7

– Bùi Văn Tuyên – NXB Giáo dục 2015

4. Nâng cao và phát triển toán 7 tập 1, 2 – Vũ Hữu Bình-– NXB Giáo dục 2015 5. Các chuyên đề chọn lọc toán 7 – Tôn Thân (chủ biên) - – NXB Giáo dục 2015 6. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7 – Nguyễn Đức Tấn – NXB Giáo dục 2015 7. Phương pháp giải toán 7 theo chủ đề phần hình học – Phan Doãn Thoại – NXB Giáo dục 2015