Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học lớp 7

Ở Ầ Ầ 1. PH N M  Đ U

ọ ề 1.1. Lý do ch n đ  tài

ạ ệ ụ ả ạ

ể ạ

ầ ầ ủ

ổ ự ệ

ươ ị ổ ấ ể ệ ệ ụ ủ ả ng Đ ng

ứ ụ ạ

ướ ệ ậ ộ

ạ ế ị ườ  th  tr ứ ị ng đ nh h ấ ệ ề ượ ị ầ ộ ấ ừ ụ  m c tiêu Giáo d c trong giai đo n hi n nay là ph i đào t o ra Xu t phát t   ằ   ệ ườ i có trí tu  phát tri n, giàu tính sáng t o và có tính nhân văn cao. Nh m con ng ờ ạ ớ ứ   ng trình giáo đáp  ng yêu c u m i trong nhu c u c a th i đ i, vi c tri n khai ch ế ố ụ ằ ụ d c ph  thông, nh m th c hi n các m c tiêu, nhi m v  c a Ngh  Quy t s  29­ ả   ớ ề ươ v  “Đ i m i căn b n, NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban ch p hành Trung  ệ ệ ầ toàn di n giáo d c và đào t o, đáp  ng yêu c u công nghi p hoá, hi n đ i hoá   ố   trong đi u ki n kinh t ng xã h i ch  nghĩa và h i nh p qu c ế t ” đã đ ủ ộ ươ ng (Khóa XI) thông qua. c H i ngh  l n th  8, Ban Ch p hành Trung

ị ủ Ư ầ ứ

ế ươ ị ủ ế ố ị ươ ng 2 (Khóa 8). Theo đó, Trung

ị ể ầ ố

ụ ứ ả ầ ổ

ớ ệ ướ ệ ạ

ậ

ị ng đ nh h ồ ộ ệ ề ằ ộ ự ể ộ ị ộ ự ế ừ   ộ Ngh  quy t s  29 c a H i ngh  BCH T  l n th  8 (Khóa XI) là s  k  th a, ế   ả nâng cao c a Ngh  quy t Trung  ng Đ ng ti p ế ệ ụ   t c xác đ nh phát tri n GD&ĐT là qu c sách hàng đ u và trong xu th  hi n nay ệ   “Đ i m i căn b n, toàn di n giáo d c và đào t o, đáp  ng yêu c u công nghi p ủ ộ ng xã h i ch  nghĩa hoá, hi n đ i hoá trong đi u ki n kinh t   ả ố ế ượ   c Đ ng ta và h i nh p qu c t ” nh m nâng cao ch t l ấ ướ ế ượ ủ c. xác đ nh là m t trong ba đ t phá chi n l ạ ế ị ườ  th  tr ấ ượ ng ngu n nhân l c đ c c a công cu c phát tri n đ t n

ể ế ố ụ ả

ươ ệ ể ậ ư ệ

ả ủ ỉ ạ ể ế

ụ ả ạ

ự ủ ự i pháp c  b n theo đúng th c ti n c a s  phát tri n kinh t ế ụ ổ ướ ứ ạ ẽ ể ồ ẩ ụ ị i pháp c a Ngh  quy t s  29­ Quan đi m ch  đ o, m c tiêu, nhi m v  và gi ệ   ng đ a ra đ  t p trung lãnh, ch  đ o th c hi n 8 nhi m ộ  xã h i trong   ế ố  ộ ự   ấ ng coi tr ng phát tri n ph m ch t, năng l c

ườ ọ ỉ ạ NQ/TW c a BCH Trung  ụ ễ ủ ự ơ ả v  và gi ệ ớ i pháp th  2 là ti p t c đ i m i m nh m  và đ ng b  các y u t đó nhi m v  gi ọ ụ ơ ả ủ c  b n c a giáo d c, đào t o theo h ủ c a ng i h c.

ấ ượ Đó là m t cu c c i cách nh m nâng cao ch t l

ộ ự

ằ ạ ủ ọ ế ụ ớ ặ ề ọ ọ ộ

ữ ứ ở

ể ỹ ộ ả ệ   ng giáo d c toàn di n, phát ủ ừ   ể ợ ủ ộ huy tính tích c c ch  đ ng, sáng t o c a h c sinh, phù h p v i đ c đi m c a t ng ả ứ ạ ằ ớ   i ni m vui h ng thú cho l p h c, môn h c, nh m tác đ ng đ n tình c m, đem l ệ ể ườ ọ   i phát tri n toàn di n (Đ c, Trí, h c sinh, giúp các em tr  thành nh ng con ng Th , M ...).

ượ ọ ự

ộ ộ ờ nhiên đ ự ờ ờ ố ế

Toán h c là m t b  môn c a khoa h c t ụ ụ ề ọ

ọ ủ ọ ừ  khi ra đ i Toán h c đã ph c v  thi ọ ượ ơ ở ủ ự ệ ệ

ề ọ

ườ ấ ệ ạ

ườ ữ ổ ế ứ ụ ọ

ễ ả ấ ể ấ   c ra đ i và phát tri n r t ơ   ộ ớ t th c cho đ i s ng xã h i, h n s m. Ngay t ể ư ữ   c coi là c  s  c a nhi u ngành khoa h c, nó phát tri n t  duy, n a, Toán h c đ ủ ậ ươ ể   ng   pháp   suy   lu n   logic   c a   con phát   tri n   năng   l c   trí   tu   và   rèn   luy n   ph ờ ế ọ ậ   i.... Chính vì v y mà ngày nay Toán h c là môn h c chi m nhi u th i gian ng ủ ế ạ ọ ậ   ng ph  thông. Thông qua vi c h c t p nh t trong k  ho ch đào t o c a nhà tr ệ ọ ự   ế ệ ắ Toán h c, vi c h c sinh ngoài vi c n m v ng ki n th c còn bi t áp d ng vào th c ộ ti n, vào lao đ ng s n xu t...

ổ ườ ọ Trong nhà tr

ượ ề ọ ọ ọ

ọ ệ ỹ

ấ ạ ữ ầ ẩ ọ ng ph  thông, môn Toán nói chung và môn Hình h c nói riêng   ế   c h c nhi u ki n ẽ ng pháp suy lu n, rèn luy n k  năng tính toán, v  hình. Ngoài ra   ứ   ng cho h c sinh nh ng ph m ch t đ o đ c,

ạ ấ ữ ộ ị  m t v  trí r t quan tr ng. Trong môn h c này, h c sinh đ gi ậ ươ ề ứ th c, nhi u ph ồ ưỡ ọ môn h c này còn góp ph n b i d ạ ộ ậ tính linh ho t, đ c l p, sáng t o.....

1

ọ ư ủ ố ớ ọ Nh ng do tính tr u t

ọ ặ ừ ượ ứ

ứ ậ ụ ề

ị ỉ

ế ọ

ụ ế ẽ

ế ố ng ph  thích h p t o ra s  liên h  gi a các y u t

ợ ạ ễ ự ơ ọ ng c a môn h c và là môn h c khó đ i v i h c sinh   ế   ườ t ng lúng túng không bi ủ   ế ấ ậ i quy t v n đ . Do v y bài làm c a ượ ươ ặ   ng   pháp c   ph ả   i Toán ng pháp gi ể ế   đã   ả ẽ

ọ ấ c p THCS. G p bài ch ng minh hình h c, h c sinh th ể ả ế ắ ầ ừ b t đ u t  đâu, v n d ng ki n th c nào đ  gi ọ ề nhi u   h c   sinh   b   sai,   không   hoàn   ch nh   ho c   không   tìm   đ ươ ạ ọ ẫ ả i...d n đ n h c sinh ng i h c môn hình, trong khi tìm ph gi ọ ườ ng ph  thì có th  b hình h c ta g p m t s  bài toán mà n u không v  thêm đ ệ ữ ế ắ t c. N u bi ậ ệ cho thì vi c gi thêm y u t ặ ộ ố ế ẽ t v  thêm đ ở ả ớ ế ố ụ  ph  thì m i tìm ra l i h n, d  dàng h n. Th m chí có bài ph i v i. ụ ườ ậ ợ ơ i toán tr  nên thu n l ả ờ i gi

ỉ ơ ả ậ

ớ ề ư ế ậ

ậ ặ ớ ầ ớ t làm th  nào đ  v  thêm đ

ộ ố ẽ ườ ng ch a nhi u. V i các bài t p có liên quan đ n v  đ ế ạ ọ

ế ậ ư ả ố ọ

ờ   Tuy nhiên, trong sách giáo khoa ch  trình bày m t s  bài t p c  b n v i th i ọ   ượ ụ ng ph  ph n l n h c l ườ   ể ẽ ứ ế ụ ậ sinh v n d ng ki n th c ch m ho c không bi ng ậ ỏ ố ớ ọ ụ ể ả i thì các d ng bài t p hình h c trong ph  đ  gi i bài t p. Đ i v i h c sinh khá gi   ứ   ườ ng ch a làm các em tho  mãn vì tính ham h c, mu n khám phá tri th c SGK th ớ ủ m i c a mình.

ọ ẽ Hi n nay, trong kì thi h c sinh gi

ư ế ụ ẽ ể ợ ph  nh  th  nào đ  có l

ứ ạ ể ọ

ụ ể ả ươ ậ ẽ ng pháp v  thêm y u t

ế ố  ỏ ệ i Toán 7, các bài toán có v  thêm y u t ệ   ế ố ụ ổ ế Tuy nhiên v  thêm y u t i cho vi c ph  khá ph  bi n.  ậ ể ắ   ế ề ả i toán là đi u khó khăn và ph c t p. V y làm th  nào đ  h c sinh có th  n m gi ọ   ế ố ộ ố ượ c m t s  ph i các bài t p trong Hình h c  ph  đ  gi đ 7?

ữ ạ ớ ặ

Xét trên th c t ọ ấ ầ

ể ậ ụ ệ

ế ậ

ế ố ụ ả t là trong công tác   ượ   ố c ậ   i các bài t p trong ặ ấ ộ ố ườ   i, các kì thi c p THCS, kì thi vào THPT ho c m t s  tr ng, ế ệ ự ạ ạ ấ ầ   t. Vì v y tôi m nh d n th c hi n sáng ki n kinh ọ ớ   ẽ i toán hình h c l p ng pháp v  thêm y u t  ph  trong gi ng cao là r t c n thi “M t s  Ph ươ ộ ố

ự ế ệ ả  qua nh ng năm gi ng d y l p 7, đ c bi ọ ậ ủ ọ ỏ ậ ồ ưỡ ng h c sinh gi b i d i, tôi nh n th y nhu c u h c t p c a h c sinh, mu n đ ứ ả ổ ợ ể ế ế ti p thu các ki n th c b  tr  đ  có th  v n d ng vào vi c gi ỏ ọ các kì thi h c sinh gi ấ ượ ớ l p ch t l nghi m: ệ 7”.

ể ế ớ ủ * Đi m m i c a Sáng ki n

ộ ứ ướ N i dung c a

ậ ạ ạ

ẽ ư ế ố

ủ sáng ki n ế này tr ư ư ị ầ ụ ố ớ ụ ụ

ụ ề ươ ậ ẽ ng pháp v  thêm y u t

ụ ư ậ ừ d  đ n khó, các bài t p nâng cao dành cho h c sinh khá gi

ọ giúp h c sinh ch  đ ng đ ắ

ướ ư ễ ắ ng gi

i quy t cho các bài toán. ạ ế ả ộ

ả ụ ng đang gi ng d y và áp d ng gi ng d y có hi u qu  t ộ ố ườ ả

Mong r ng  ằ ụ ụ ơ ị ườ i nghiên c u song   ể ớ sáng  ươ   ụ ộ ố ng ả ụ ể  ươ i c  th ng pháp gi  Trong sáng ki nế  này tôi đã  ế ố    ph , đ a ra các ỏ ọ i. Khi   ượ ủ ộ ả   c cách gi i, ệ ạ    Sáng ki n ế th c hi n t ự i ẽ ả ố   t. N i dung v  thêm ể ặ ở ấ  c p THCS có th  nhân   sáng ki n  ế sẽ

ệ ng g p  ị  các đ n v  trên đ a bàn.   ậ ệ ộ ố c đây đã có m t s  ng ụ ể  Đi m m i trong  ộ n i dung còn chung chung, ch a đ a ra các d ng bài c  th . ủ ậ ki n ế này, tôi t p trung trang b  đ y đ  các d ng bài t p v n d ng m t s  ph ậ ỗ ạ pháp v  thêm y u t  ph . Đ i v i m i d ng toán đ a ra ph ậ và t p trung phân tích kĩ các ví d  và bài t p áp d ng. ộ ố ố ắ c  g ng tìm ra m t s  ví d  v  các ph ạ d ng bài t p t ễ ế ậ ọ ạ ặ g p d ng toán h c sinh d  n m b t và   ủ ộ  duy tìm h ch  đ ng t ả ạ ườ tr ệ ế ố y u t  ph  trong vi c gi ả ộ r ng áp d ng vào gi ng d y  ọ ượ đ i m t s  bài toán th ạ ở ồ c các em h c sinh và đ ng nghi p đón nh n.

2

ụ ề ạ 1.2. Ph m vi áp d ng đ  tài:

ố ượ ứ * Đ i t ng nghiên c u:

ở ứ ế ỉ trên nên trong sáng ki n này tôi ch  nghiên c u trên hai

ư ố ượ nhóm đ i t ­ Nh  đã trình bày  ụ ể ng c  th  sau:

ạ 1. Giáo viên d y toán  THCS

ớ ớ ổ ồ ọ ố ớ 2. H c sinh l p 7 THCS : bao g m 1 l p 7 v i t ng s  30 h c sinh và nhóm

ọ ỏ ọ ng h c sinh gi ồ ưỡ b i d i toán 7.

ứ ạ * Ph m vi nghiên c u:

ộ ố ỉ ­ Trong sáng ki n này tôi ch  nêu ra m t s  “ph ẽ ng pháp v  thêm y u t

ươ ứ ế ư ệ ọ

ế ố  ụ ph ” mà h c sinh ch a phát hi n ra trong quá trình ch ng minh các bài toán hình   h c.ọ

ậ ­ Phân tích m t s  bài toán c  th  đ  h c sinh nh n th y đ c cách th c v

ế ố ẫ ớ ụ ấ i không gi ượ ả ượ i đ ứ ẽ    c các bài toàn

ộ ố ọ ặ ứ ệ ọ thêm y u t ch ng minh hình h c, đ c bi ụ ể ể ọ ậ  ph  mà h c sinh không nh n ra d n t t là các bài toán khó.

ừ ướ ị ươ ả ẽ ế ố ­ T  đó đ nh h ng pháp gi i v  thêm y u t ụ  ph  khi

ứ ọ ng cho h c sinh ph ọ ch ng minh các bài toán hình h c.

ụ ạ ụ ọ ớ * Ph m vi áp d ng sáng ki nế : Sáng ki n ế này áp d ng cho h c sinh l p 7 và

ơ ả ạ giáo viên d y Toán  THCS n i b n thân đang công tác.

3

Ầ Ộ 2. PH N N I DUNG

ủ ộ ự ứ ạ ầ 2.1. Th c tr ng c a n i dung c n nghiên c u

ấ ạ ề

ấ ệ ươ ế ố

vi c v  thêm các y u t ẽ

ộ ụ ầ ọ

ộ ẽ ụ ứ ả

ề ự

ế ố ể ả ự ụ ư ườ ọ

ạ ạ ỏ

c vì sao l ượ c cách v  đ

ọ ư ậ ư ậ ỉ ẽ ớ ả ẽ ư ậ ụ ẽ ườ i sao ch  v  thêm nh  v y m i gi

ả ậ ườ ố

ượ ọ

ế ố ệ ng t

ứ ế ấ ệ ể ự ạ

ươ ự ế ả ạ ả

ố ộ ố ươ ph , cách nh n bi ng pháp th

ượ ư ế  duy tìm h ế ố c cách gi

t các căn c  cho vi c v  thêm y u t ộ ề i quy t v n đ  này m t cách tri ổ ư ả ồ ưỡ ng kh  năng t ữ ơ ở ủ t nh t ta nên trang b  cho các em nh ng c  s  c a vi c v  thêm đ ậ ẽ ng dùng khi v  thêm y u t ụ ừ  ph , t ả ơ ả ẽ ệ ế ằ ọ ớ ậ Qua nhi u năm d y môn Hình h c l p 7, tôi nh n th y r ng, không có   ạ   ộ ự ụ ẽ  ph , mà là m t s  sáng t o ng pháp chung nh t cho ph ụ   ế ố ở ệ ạ ượ ả c m c i toán, b i vì vi c v  thêm các y u t  ph  c n đ t đ trong trong khi gi ệ ả ắ ể ả ượ ề ạ   i đ đích là t o đi u ki n đ  gi c bài toán m t cách ng n g n ch  không ph i là ế ố ệ ữ ơ ỳ ệ ệ    ph  ph i tuân theo các m t công vi c tu  ti n. H n n a, vi c v  thêm các y u t ơ ả ơ ả   phép d ng hình c  b n và các bài toán d ng hình c  b n, nhi u khi ng i giáo ẽ i thích rõ cho h c sinh viên đã tìm ra cách v  thêm y u t    ph  nh ng không th  gi ầ   ể ượ i ph i v  nh  v y, khi h c sinh h i giáo viên: T i sao cô (th y) hi u đ ẽ ạ ng ph  nh  v y, ngoài cách v  này còn có cách nào l   i nghĩ ra đ ả   ặ ả ượ ạ i đ khác không? hay t c bài toán? G p ph i ả ấ ấ ả ể ả ư ậ   i thích i giáo viên cũng ph i r t v t v  đ  gi tình hu ng nh  v y, qu  th t ng ả ặ   c cách làm khi g p mà có khi hi u qu  cũng không cao, h c sinh không nghĩ đ ụ ừ  ệ ẽ ư  vì các em ch a bi bài toán t  ph . T ặ   ấ ằ t đ , m t th c t  gi ng d y tôi th y r ng: đ  gi ự  duy t ng quát cho khác l   i nâng cao năng l c gi ệ ẽ ọ ườ   ấ ng h c sinh, t ế   ụ ế ố ụ t ph  và m t s  ph ộ ớ   ọ ầ  đó khi các em ti p xúc v i m t bài toán hình h c c n ph i v  thêm y u t ộ ướ   ủ ộ m t bài toán, các em có th  ch  đ ng đ ng i, ch   đ ng  t ả gi ế ể ả i toán và b i d ị ườ ả ẽ ể ủ ộ ư ậ i quy t cho bài toán, nh  v y hi u qu  s  cao h n.

ố ệ ả ướ ề * S  li u kh o sát tr ụ c khi áp d ng đ  tài:

4

ướ ớ ộ ụ ế ề ế ả Tr ứ   c khi áp d ng đ  tài tôi đã ti n hành kh o sát v i n i dung ki n th c

ế ố ụ ế ẽ ọ ả ạ ượ ế liên quan đ n v  thêm y u t ph  trên 30 h c sinh. K t qu  đ t đ ư c nh  sau:

0 ­ < 2 2 ­ < 5 8 – 10

SL 01 % 3,3 SL 12 % 40,0 5 ­ < 6,5 % 33,3 SL 10 6,5 ­ < 8 % 16,7 SL 05 SL 02 % 6,7

i pháp

ả ơ ở ậ ủ ệ ẽ ế ố ụ 2.2. Các gi 2.2.1. C  s  lý lu n c a vi c v  thêm y u t ph

ẽ ệ ế ố ơ ả ự ụ

ộ ố ơ ả ự

ươ ả    ph  ph i tuân theo các phép d ng hình c  b n và ơ ả   ộ ố m t s  bài toán d ng hình c  b n. Sau đây là m t s  bài toán d ng hình c  b n trong ch Vi c v  thêm các y u t ự ng trình THCS.

ự ộ ế ộ ủ ạ t đ  dài ba c nh c a nó là a; b; c. Bài toán 1: D ng m t tam giác bi

a

C

b

b

a

A

B

c

c

x

Gi i:ả

* Cách d ng:ự

ự ­ D ng tia Ax.

ườ ủ ườ ể ọ ớ ự ­ D ng đ ng tròn (A, c). G i B là giao đi m c a đ ng tròn (A, c) v i tia

Ax.

ườ ọ ự ­ D ng đ ủ   ng tròn (B, a), g i C là giao đi m c a ng tròn (A, b) và đ

ườ ể ả ự chúng. Tam giác ABC là tam giác ph i d ng vì có AB = c; AC = b và BC = a.

ườ ắ ế Chú ý: N u hai đ ự   ng tròn (A, b) và (B, a) không c t nhau thì không d ng

ượ đ c tam giác ABC.

ự ằ ướ c. ộ Bài toán 2: D ng m t góc b ng góc cho tr

ự

ướ ườ ắ ở ự c. D ng đ ng tròn (O, r) c t Ox ắ  A và c t Oy ở

Cách d ng:  G i ọ ﾷxOy   là góc cho tr c ượ (cid:0) OAB. B ta đ

ﾷ O=

ﾷ 'O

ư ượ D ng ự (cid:0) O’A’B’ = (cid:0) OAB ( c.c. c) nh  bài toán 1, ta đ c .

5

x A’ A

O’ B y B’ O

ủ ự ướ c. Bài toán 3: D ng tia phân giác c a  góc xAy cho tr

Cách d ng:ự

ườ ắ ở ở ự ­ D ng đ ng tròn (A, r) c t Ax ắ  B và c t Ay C.

ự ườ ắ ở ­ D ng các đ ng tròn (B, r) và (C, r) chúng c t nhau D. Tia AD là tia phân

ﾷ A=

giác c aủ ﾷ xAy .

2

Th t v y: ậ ậ (cid:0) ABD = (cid:0) ACD ( c­ c­ c) (cid:0) ﾷ A 1

x B

r r

D z A 1 2

r r

C

y

ủ ự ể ẳ ạ ướ c. Bài toán 4: D ng trung đi m c a đo n th ng AB cho tr

Cách d ng:ự

6

ườ ắ ạ ng tròn (A, AB) và   (B, BA) chúng c t nhau t i C, D. Giao

ự D ng hai đ ủ ủ ể ể đi m c a CD và AB là trung đi m c a AB.

C

A

B

D

ự ườ ự ủ ạ ẳ ướ * Chú ý: đây cũng là cách d ng đ ng trung tr c c a đo n th ng cho tr c.

ể ướ ườ ẳ ự c, d ng đ ng th ng vuông góc v i đ ớ ườ   ng Bài toán 5: Qua đi m O cho tr

ẳ ướ th ng a cho tr c.

Cách d ng:ự

ườ ắ ạ ự ­ D ng đ ng tròn (O, r) c t a t i A, B.

ườ ự ủ ự  ­ D ng đ ng trung tr c c a AB.

ự ủ ườ ườ ớ ườ ẳ ­ Đ ng trung tr c c a AB là đ ng th ng vuông góc v i đ ẳ ng th ng a

C

a

A

B

D

ử ụ ự ầ ầ   ơ ả Trên đây là các bài toán d ng hình c  b n, khi c n thì s  d ng mà không c n

ắ ạ ự nh c l i cách d ng.

ẽ ụ ể ứ ứ Khi c n v  thêm đ ữ   ng ph  đ  ch ng minh thì cũng ph i căn c  vào nh ng

ườ ẽ ộ ự ả ỳ ệ ầ ơ ả ườ ể ẽ đ ng c  b n đã d ng đ  v  thêm không nên v  m t cách tu  ti n.

ơ ở ự ế 2.2. 2. C  s  th c t

7

ế ế ượ ạ

Ta đã bi ằ ằ t n u hai tam giác b ng nhau thì suy ra đ ứ ươ ằ ặ ng  ng b ng nhau. Đó chính là l ặ ươ   ng c các c p c nh t ệ   ủ ợ i ích c a vi c

ng b ng nhau, các c p góc t ứ ằ ứ ch ng minh hai tam giác b ng nhau.

ậ ằ ằ ố

ộ ồ ườ ạ ẳ ứ Vì v y mu n ch ng minh hai đo n th ng b ng nhau (hay hai góc b ng nhau) ướ c sau: ng làm theo m t cách g m các b ta th

ướ ẳ ạ ạ B c 1: Xét xem hai đo n th ng (hay hai góc) đó là hai c nh (hay hai góc)

ộ thu c hai tam giác nào?

ướ ứ ằ B c 2: Ch ng minh hai tam giác đó b ng nhau.

ừ ặ ạ ằ ặ ươ   ng

B c 3: T  hai tam giác b ng nhau, suy ra c p c nh (hay c p góc) t ằ ứ ướ ng b ng nhau.

ả ự ế ả ầ gi

ở ề đ  bài mà nhi u khi ph i t o thêm các y u t

ầ Tuy nhiên trong th c t ượ ượ ả

ượ ế

ả

ụ ơ ế ả c m t s  cách v  y u t

ả ặ ệ ả ấ i toán thì không ph i lúc nào hai tam giác c n có   ế ố ụ ớ ấ    ph  m i xu t ặ   ầ ậ i toán. Vì v y yêu c u đ t ụ ể  ế ố c các y u t  ph  đ ạ   ự ế ả  gi ng d y ướ   ng t th c, khi h ồ   t là trong công tác b i ẽ ế ố ệ i toán r t hi u qu , đ c bi

ọ ỏ ề ả ạ c cho ngay  cũng đ ệ ợ ế ệ i cho vi c gi t và có l c các tam giác c n thi hi n đ ẽ ế ậ ể ọ t cách v  thêm đ ra là làm th  nào h c sinh có th  nh n bi ọ i toán hình h c nói chung và toán hình h c 7 nói riêng. Qua th c t gi ự ộ ố tôi đã tích lu  đ  ph  đ n gi n và thi ệ ọ ẫ d n h c sinh th c hi n gi ưỡ d ọ ỹ ượ ự ng h c sinh gi i.

ộ ố ươ ẽ ế ố ụ 2.2.3. M t s  ph ng pháp v  y u t ph

ứ ấ ơ Bây gi chúng ta cùng nghiên c u m t s  ph ả ng pháp đ n gi n nh t, thông

ế ố ụ ộ ố ả ọ ờ ấ ể ẽ ụ d ng nh t đ  v  thêm y u t ph  trong gi ươ i toán Hình h c 7:

ể ủ ộ ẽ ẽ ạ ẳ ng pháp 1: V  trung đi m c a m t đo n th ng, v  tia phân giác

ươ Ph ộ ủ c a m t góc

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung đi mể (cid:0) ẽ ớ ủ ạ c a c nh AB. V  DH vuông góc v i BC ( H BC) và DH = 4cm.

ứ ằ ạ Ch ng minh r ng tam giác ABC cân t i A.

1) Phân tích bài toán:

ể ủ   Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung đi m c a (cid:0) ẽ ớ ạ c nh AB. V  DH vuông góc v i BC ( H BC) và  DH = 4cm.

ứ ầ ạ Yêu c u ch ng minh tam giác ABC cân t i A.

(cid:0) ụ ế ể

A

i A  ế ố ụ ầ ủ   ể  AB = AC. Ta nghĩ đ n đi m ph  K là trung đi m c a ẽ ủ ể ướ 2) H ng suy nghĩ: (cid:0) ABC cân t ạ ậ AB. V y y u t ph  c n v  là trung đi m c a BC.

GT

(cid:0) ABC; AB = 10cm;

D

ứ 3) Ch ng minh:

C

B

H

K

8

DA

DB

AB

BC = 12 cm;

;

1 2

DH (cid:0)

BC, DH = 4 cm

(cid:0) (cid:0)

KL

ạ

ABC cân t

i A.

(cid:0)

BC

ủ ể ạ ẳ G i   K   là   trung   đi m   c a   đo n   th ng   BC,   ta   có:   BK   =   KC   =

1 2

ọ cm= 6 .

AB = 5 cm ( do D là trung đi m c a AB)

1 2

ạ ủ ể L i có: BD =

2 + BH2  = BD2

ị Xét (cid:0) HBD có:  ﾷBHD  = 900 ( gt), theo đ nh lí Pitago ta có: DH

(cid:0) BH = 3 ( cm)

BH2  = BD2 ­  DH2 = 52 ­ 42 = 9 (cid:0) ằ ữ Ta có BH + HK = BK ( Vì  H n m gi a B và K )

A

(cid:0) HK = BK – BH = 6 – 3 = 3 (cm)

D

Xét  (cid:0) ABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm)

(cid:0) ườ ể ố DH // AK (đ ng n i trung đi m 2

C

K

H

ủ ớ ạ ứ

ﾷ

=

BC, DH // AK (cid:0) AK (cid:0) BC.

090

ạ c nh c a tam giác thì song song v i c nh th  3). B Ta có: DH (cid:0) ﾷ = AKB AKC

ﾷ

=

�  ABK và (cid:0) ACK có: Xét (cid:0) BK = KC ( theo cách l y đi m K) ﾷ = AKB AKC

090

ể ấ

ạ  AK là c nh chung  ABK =  (cid:0) ACK (c ­ g ­ c) Do đó (cid:0)

(cid:0) ạ (cid:0) ABC cân t i A. (đpcm)

AB = AC (cid:0) ậ 4) Nh n xét:

ả ứ ằ Trong cách gi

ạ ằ ạ ế ẻ

ứ ụ ộ

ớ ạ ẳ

ứ c nghiên c u trong ch ượ ể ứ ế

ử ụ

ạ ấ ạ ố i bài toán trên ta đã ch ng minh AB = AC b ng cách t o ra hai ứ ừ ệ   tam giác b ng nhau ch a hai c nh AB và AC t  vi c k  thêm trung tuy n AK, ộ ử ụ ệ vi c ch ng minh còn s  d ng thêm m t bài toán ph  là: Trong m t tam giác,   ứ   ạ ể ườ ế ứ ng th ng đi qua trung đi m hai c nh thì song song v i c nh th  ba, ki n th c đ ươ ẽ ượ ọ ề ườ   ng trình Toán 8 v  đ ng trung bình này h c sinh s  đ ứ ớ ạ ứ ệ ẫ ở ư   c, vi c ch ng minh  ph m vi ki n th c l p 7 v n có th  ch ng minh đ nh ng  ả ủ ế ỏ ọ i, trong bài này có s  d ng k t qu  c a bài toán mà dành cho h c sinh khá gi   ệ ẽ ỉ ứ không ch ng minh l i vì ch  mu n nh n m nh vào vi c v  thêm y u t ế ố ụ  ph .

9

ﾷ C=

ứ ằ ; ch ng minh r ng: AB = AC?

ậ ụ ườ ợ ả ằ ủ Bài toán 2: Cho tam giác ABC có  ﾷ B ằ i b ng cách v n d ng tr (Gi ạ ng h p b ng nhau góc .c nh. góc c a hai tam giác).

ﾷ C=

ứ ầ ; Yêu c u: ch ng minh  AB = AC. 1) Phân tích bài toán: Bài cho: tam giác ABC có  ﾷ B

ướ 2) H ng suy nghĩ:

ụ ầ ườ ẽ Đ ng ph  c n v  thêm là tia phân giác AI c a BC) ủ ﾷBAC  ( I(cid:0)

A

ﾷ C=

21

GT ứ 3) Ch ng minh:  (cid:0) ABC;  ﾷ B

AB = AC KL

ẽ V  tia phân giác AI c a BC). ủ ﾷBAC  ( I(cid:0)

C

B

ﾷ

ﾷ BAC

ﾷ = = A A 2

1

21 I

1 2 ổ

(cid:0) .        (1)

0

0

ủ

=

=

ụ + -

(

)

�

ﾷ B

180

180

*

ﾷ A 1

ﾷ I 1

1

0

0

+

+

=

=

ị ﾷ ﾷ + B I Áp d ng đ nh lí t ng ba góc c a tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: ﾷ + A 1

-

(

)

�

ﾷ ﾷ ﾷ A C I

ﾷ I

*

180

180

2

2

2

ﾷ ﾷ + A C 2

ﾷ

ﾷ

A A= ( theo (1) )(cid:0)

ﾷ B

ﾷ C=

I=     (2)

1

2

2

ặ M t khác ( gt);  ﾷ ﾷ I 1

2

ABI và (cid:0)  ACI ta có: ﾷ I= ( theo (2)) Xét (cid:0) ﾷ I 1

ﾷ

A= ( theo (1))

C nh AI chung

(cid:0) ạ ﾷ A 1 2  ABI  =  (cid:0) (cid:0) ACI ( g ­ c ­ g)

(cid:0) ạ ươ ứ AB = AC  ( 2 c nh t ng  ng)

ậ 4) Nh n xét:

ứ ẻ ả ả Trong cách gi i trên, ta ph i ch ng minh AB = AC b ng cách k  thêm AI là

ủ ằ ằ ể ạ tia phân giác c a góc BAC đ  t o ra hai tam giác b ng nhau.

ộ ướ ộ ẳ ặ ng pháp 2: Trên m t tia cho tr ằ   ạ c,  đ t m t đo n th ng b ng

ạ ướ ươ Ph ẳ đo n th ng cho tr c.

10

ế ộ   Bài toán 3: Ch ng minh đ nh lí: Trong tam giác vuông, trung tuy n thu c

ứ ử ạ ề ằ ậ ị ề ạ c nh huy n b ng n a c nh huy n ( Bài 25/ 67­ SGK toán 7 t p 2)

1) Phân tích bài toán:

=

=

ườ Bài cho Tam giác ABC vuông t ớ ạ   ế ứ ng trung tuy n  ng v i c nh

�

AM

AM

BC

BC

2

ứ ề ầ huy n, yêu c u ch ng minh: ạ i A, AM là đ 1 2

ướ 2) H ng suy nghĩ:

ầ ạ ứ ẳ ằ

ụ ầ ẽ ể ạ ẳ ậ ằ ằ   Ta c n t o ra đo n th ng b ng 2.AM r i tìm cách ch ng minh BC b ng    ph  c n v  thêm là đi m D sao

A

ư ậ ủ ể ồ ạ ế ố ễ đo n th ng đó. Nh  v y d  nh n ra r ng, y u t cho M là trung đi m c a AD.

090

GT

A = AM là trung tuy nế

=

KL

AM

BC

B

1 2

C

M

ứ 3) Ch ng minh: (cid:0) ABC;  ﾷ ;

A

ấ ể

1

ố ủ  MAC và (cid:0) MDB  ta có:

ﾷ

ể ấ

1

2

B

C

1

2 M

ố ỉ Trên tia đ i c a tia MA l y đi m D sao cho: MD = MA. Xét (cid:0) MA = MD ( theo cách l y đi m D) ﾷ M   = M    ( hai góc  đ i đ nh)

D

(cid:0) MB = MC ( Theo gt)  MAC =  (cid:0) (cid:0) MDB  ( c ­ g ­ c)

ﾷ

(cid:0) ạ ươ ứ ng  ng) (1)

ươ ứ ng  ng). ﾷ AB  = CD  (2 c nh t D= (2 góc t

1A T   ừ ﾷ

ﾷ D= (cid:0)

1A

ằ ặ AB // CD ( vì có c p góc so le trong b ng nhau).

(cid:0) ệ ữ CD (Quan h  gi a tính song song và vuông

BAC ACD=

= (2) 090

AC (cid:0) ﾷ góc) AB ( gt) (cid:0) =>  ﾷ

ﾷ

=  ( Theo (2))

CDA có:

090

ạ L i có: AC   ﾷ ACD = 090 �  ABC  và (cid:0) Xét (cid:0) AB = CD ( Theo (1)) ﾷ BAC ACD=

ạ AC là c nh chung

11

(cid:0) (cid:0) ABC  =  (cid:0) CDA ( c ­ g ­ c)

AM (cid:0)

AD

AM (cid:0)

BC

1 2

1 2

(cid:0) ạ ươ ứ BC = AD ( 2 c nh t ng  ng ) Mà nên

AM (cid:0)

BC

ậ 4) Nh n xét:

1 2

=

ả ủ ể ứ ậ Trong cách gi i c a bài t p trên, đ  ch ng minh ,ta đã v  thêmẽ

AM

AD

ẳ ạ đo n th ng MD trên tia AM sao cho MD = MA, do đó . Như

ỉ ư ứ ả

ộ ữ ộ

1 2 ậ ở ề  v  bài toán v y ch  còn ph i ch ng minh AD = BC và đ a bài toán đã cho tr   ạ   ộ ặ ướ ằ ứ c,  đ t m t đo n ch ng minh hai đo n th ng b ng nhau. Trên m t tia cho tr ụ ể ậ   ẽ ườ ẳ th ng b ng m t đo n th ng khác là m t trong nh ng cách v  đ ng ph  đ  v n ụ d ng tr

ạ ạ ằ ằ ườ ộ ợ ủ ẳ ẳ ng h p b ng nhau c a tam giác.

ủ ể ọ

BAM MAC ? (Bài 7/ 24 SBT toán 7 t p 2)

ﾷ&

ậ Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. G i M là trung đi m c a BC. So sánh  ﾷ

ể ủ   1) Phân tích bài toán: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung đi m c a

BC.

ﾷ ﾷ& BAM MAC  ?

ầ Yêu c u : So sánh

ướ 2) H ng suy nghĩ:

ậ ộ

ế

ệ ấ ể

ể ộ ề ộ Hai góc BAM và MAC không thu c v  m t tam giác. Do v y ta tìm m t tam giác có hai góc b ng hai góc BAM và MAC và liên quan đ n AB, AC vì đã có AB < ừ AC. T  đó d n đ n vi c l y đi m D trên tia đ i c a tia MA sao cho MD = MA. ể ả ượ Đi m D là y u t ằ ẫ ế ẽ ế ố ụ ầ  ph  c n v  thêm đ  gi ố ủ c bài toán này. i đ

3) Ch ng minh:

A GT ể

ứ (cid:0) ABC; AB < AC M là trung đi m BC ﾷ& So sánh  ﾷ BAM MAC ? KL

B M C

ấ ể

ố ủ  MAB và (cid:0) MDC  ta có: A

1

2

ể ấ

1

2

ố ỉ ( vì đ i đ nh) Trên tia đ i c a tia MA l y đi m D sao cho: MD = MA. Xét (cid:0) MA = MD ( theo cách l y đi m D) ﾷ ﾷ M M=

1 M 2

B C (cid:0) MB = MC ( Theo gt)  MAB =  (cid:0) (cid:0) MDC  ( c ­ g ­ c)

12

D

(cid:0) ạ ươ ứ ng  ng) (1)

ươ ứ và  ﾷ ng  ng).  (2) AB  = CD  (2 c nh t ﾷ 1A D=  (2 góc t

ﾷ

CD  < AC.(3)

ﾷ

ﾷ

ﾷ

ệ ữ ộ

< BAM MAC

1

1A D= ( theo (2)) nên ﾷ A 2 ậ 4) Nh n xét:

Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) (cid:0) Xét (cid:0) ACD có:  CD  <  AC ( theo (3)) ﾷ 2A D<  .(Quan h  gi a góc và c nh đ i di n trong m t tam giác) ạ ố ệ A< hay     ﾷ Mà  ﾷ

ả ủ ả ả

ệ ữ ậ ậ ụ ị

Trong cách gi ộ ệ ượ ể ề ộ ộ cùng m t tam giác nên không v n d ng đ ố đ i di n trong m t tam giác. Ta đã chuy n góc

ụ ư ẽ ườ ả ả ỉ , ta ch  còn ph i so sánh ng ph  nh  trong bài gi i c a bài t p trên, ta ph i so sánh hai góc không ph i trong   ề ạ   c đ nh lí v  quan h  gi a góc và c nh ﾷ ﾷ   A      v  cùng m t tam giác 2&A 1 ﾷ ﾷ 1A D= i, lúc đó

ở ộ  trong cùng m t tam giác ADC. ằ b ng cách v  đ ﾷ ﾷ 2&D A

ươ ẽ ể ặ ẵ

ng pháp 3 ườ ể Ph ủ đi m c a hai đ ố :  N i hai  đi m có s n trong hình ho c v  thêm giao ẳ . ng th ng

ẽ ế t AB // CD; AC // BD. Bài toán 5: Cho hình v , bi

ứ Ch ng minh:  AB =  CD, AC =  BD? A B ậ ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 t p 1)

D C

ượ ị c phát bi u d

(Bài toán còn đ ị ắ ữ ẳ ể ườ ạ   ướ ạ i d ng: Ch ng minh  đ nh lí: Hai  đo n ằ ẳ th ng song song b  ch n gi a hai đ ứ ng th ng song song thì b ng nhau)

1) Phân tích bài toán:

ẽ ế Bài cho hình v , bi t AB // CD; AC // BD.

ứ ầ Yêu c u ch ng minh:  AB =  CD, AC =  BD.

ướ 2) H ng suy nghĩ:

ể ứ ứ ặ   Đ  ch ng minh AB =  CD, AC =  BD c n t o ra hai tam giác ch a các c p

ế ố ụ ầ ẽ ố ớ ầ ạ ặ ố ạ c nh trên, y u t ớ  ph  c n v  là n i B v i C ho c n i A v i D.

ứ 3) Ch ng minh: B A

GT AB // CD; AC // BD

13 C D

KL AB = CD; AC = BD

ﾷ

DCA có:

( so le trong ­  AB // CD)

( so le trong ­ AC // BD)

(cid:0) Xét (cid:0)  ABD và (cid:0) ﾷ = BAD CDA ạ AD là c nh chung ﾷ ﾷ = ADB DAC  ABD = (cid:0) (cid:0) DCA ( g ­ c ­ g)

ạ ươ ứ AB = CD;  AC = BD ( các c nh t ng  ng)

ậ 4) Nh n xét:

ộ ạ ẽ ấ Vi c n i AD làm xu t hi n trong hình v  hai tam giác có m t c nh chung là

ỉ ầ ứ ệ AD, mu n ch ng minh AB = CD; AC = BD ta ch  c n ch ng minh.

(cid:0) ằ

ứ ậ

ộ ạ ằ ự ượ ườ ệ ằ ặ ng h p b ng nhau góc ­ c nh ­ góc. Đi u này th c hi n đ c tr

ệ ố ố ứ   ABD =  (cid:0) ỉ ầ ợ ấ ủ ườ ẳ ạ     DCA. Do hai tam giác này đã có m t c nh b ng nhau( c nh ề ạ ụ   chung) nên ch  c n ch ng minh hai c p góc k  c nh đó b ng nhau là v n d ng ờ ậ   ề ượ c nh  v n đ ụ d ng tính ch t c a hai đ ạ ng th ng song song.

ươ ể ướ ẽ ộ ườ ẳ Ph ừ ộ ng pháp 4: T  m t đi m cho tr c, v  m t đ ng th ng song

ớ ộ ườ song hay vuông góc v i m t đ ẳ ng th ng.

ườ ế ng cao AH và trung tuy n AM chia góc A Bài toán 6: Tam giác ABC có đ

ằ thành ba góc b ng nhau.

(cid:0) ứ ABC là tam giác vuông và (cid:0) ABM là tam giác đ u?ề

ườ ế ằ Ch ng minh r ng  1) Phân tích bài toán:  Bài cho (cid:0) ABC có đ (cid:0) ằ ầ ng cao AH  và trung tuy n AM ứ   ABC là tam giác

chia góc A thành ba góc b ng nhau.   Yêu c u ta ch ng minh   vuông và (cid:0) ABM là tam giác đ u.ề

ướ 2) H ng suy nghĩ:

ứ ố ẻ ạ ầ Mu n ch ng minh tam giác ABC vuông t

ẳ ớ ườ ừ ườ ứ ớ i A ta c n k  thêm đ ng th ng đó song song v i AB, t ẳ   ng th ng    đó suy ra

vuông góc v i AC và ch ng minh đ AB (cid:0)  AC và suy ra góc A = 900.

2 3

1

ứ 3) Ch ng minh: A (cid:0)

I trung tuy n AM; GT

ﾷ = = A 2

ﾷ A 3

21 H

ABC; AH (cid:0) BC;  ế ﾷ A 1 B C M 14

(cid:0) ABC vuông ; KL (cid:0) ABM đ uề

(cid:0) AC) AC ( I (cid:0)

ﾷ

MAH có:

090

ẽ V  MI  Xét (cid:0)  MAI và (cid:0) ﾷ H I= = ( gt)

(cid:0) ạ ề ạ AM là c nh chung) (cid:0) MAI =  (cid:0) MAH ( c nh huy n ­ góc

ﾷ

nh n)ọ

3

A=  (gt)                        (cid:0)  ABH và (cid:0)

ạ ươ ứ MI = MH ( 2 c nh t ng  ng) (1)

0

ﾷ

ﾷ A 2 Xét (cid:0) ﾷ H H= = ( gt)

2 90

1

AMH  có:

ﾷ

(cid:0) (cid:0) ABH=  (cid:0) AMH ( g ­ c ­ g)

ﾷ A 1

2

=

=

=

ạ ươ ứ BH= MH ( 2 c nh t ng  ng)   (2) ạ AH là c nh chung                  A= ( gt)                (cid:0)

MI MH BH

BM

1 2

(cid:0) (cid:0) ặ ừ M t khác: H BM , nên t (1) và (2)

=� MI

CM

1 2

=

ạ L i có BM = CM (gt)

MI

CM

C =

030

0

0

0

=

=

1 2 =

ạ ừ Xét (cid:0) MIC vuông t i C có: nên  ﾷ t đó suy

BAC

ﾷ HAC

.60

90

HAC 60=

3 2

0

0

=

ra:  ﾷ ﾷ .

ﾷ C

3 2 ﾷ =� B

30

60

ạ V y ậ (cid:0) ABC vuông t i A.  Vì

AM

1 BC= 2

ạ ớ ạ ế ứ ề ấ L i có ( tính ch t trung tuy n  ng v i c nh huy n trong

ể tam giác vuông) và BM = MC ( vì M là trung đi m BC) suy ra AM =

1 BC= 2 i A và có 1 góc b ng 60

0 nên nó là tam giác đ u.ề

ằ ạ BM do đó (cid:0) ABM cân t

ậ 4) Nh n xét:

ế ố ưở ừ ư ấ Trong bài toán trên n u ch  có các y u t bài ra thì t (cid:0) ỉ ằ i, tuy nhiên, ch  b ng m t đ AC) thì bài toán l

ng v  thêm ( MI  ẽ ẽ ủ ệ ấ ế ố ụ ng ch ng nh  r t khó   ấ   ạ ở i tr  lên r t ả   i toán  ph  trong gi

ế ỉ ộ ườ ả gi ễ d  dàng, qua đó càng th y rõ vai trò c a vi c v  thêm y u t hình h c.ọ

15

ừ Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). T  trung đi m M c a BC k

ể ắ ạ ắ ớ ạ ủ i H, c t tia AB t ẻ    i D và

ng vuông góc v i tia phân giác c a góc A c t tia này t ạ ứ ằ ườ đ AC t ủ i E. Ch ng minh r ng: BD = CE.

1) Phân tích bài toán: Bài cho (cid:0) ABC ( AB < AC). T  trung đi m M c a BC k  đ

ắ ạ ạ ừ ủ ớ v i tia phân giác c a góc A c t tia này t ủ ể ắ i H, c t tia AB t ẻ ườ ng vuông góc ạ i E. i D và AC t

ứ ầ Yêu c u ch ng minh: BD = CE.

ướ ứ ạ ố

ứ ườ ứ ằ ẳ

ạ ớ ứ ẳ ắ ở

ạ   2) H ng suy nghĩ: Mu n ch ng minh BD = CE, ta tìm cách t o ra đo n ụ ầ   ẳ ồ th ng th  ba, r i ch ng minh chúng b ng đo n th ng th  ba đó. Đ ng ph  c n ạ   ườ ẽ  F,  BF chính là đo n v  thêm là đ ng th ng qua B và song song v i AC c t DE  ứ ẳ th ng th  ba đó.

ứ 3) Ch ng minh:

MB

MC

BC

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ABC; AB < AC;

GT

AH là tia phân giác  ﾷBAC ; DE (cid:0) AH

KL BD = CE

A

ẽ ườ ể ọ ớ ng th ng qua B và song song v i AC, g i F là giao đi m c a đ ủ ườ   ng

ẳ ẳ ẳ ng th ng DE.

MCE có:

E

B

ﾷ ( so le trong ­ BF // CE) V  đ ớ ườ th ng này v i đ Xét (cid:0)  MBF và (cid:0) ﾷ = MBF MCE

M

C

H

D

ố ỉ  ( đ i đ nh) MB = MC ( gt) ﾷ ﾷ = BMF CME

ươ ứ Do đó  (cid:0) MBF =  (cid:0) MCE (g ­c ­ g) (cid:0) BF = CE ( 2 c nh t ng  ng) (1)

(cid:0) ADE có AH (cid:0) M t khác

ﾷ

ﾷ

(cid:0) ạ ADE   cân   t i   A ạ  DE và AH cũng  là tia phân giác c a ủ ﾷDAE  ( gt)   ﾷ BDF = AED    Mà   BF   //   CE   (   theo   cách   v )  ẽ (cid:0)

BDF = BFD   (cid:0) ﾷ

(cid:0) ặ Do   đó:  (cid:0) ﾷ BFD = AED Do đó:  ﾷ (cid:0) BDF cân t i B ạ BF = BD     (2)

ừ T  (1) và (2) suy ra: BD = CE ( đpcm )

ậ 4) Nh n xét:

ứ ụ ạ ạ ằ Cách v  đ

ẽ ườ ẳ ạ ẳ ấ ứ ầ ằ ng ph  trong bài toán này nh m t o ra đo n th ng th  ba cùng   ử ụ   ằ b ng hai đo n th ng c n ch ng minh là b ng nhau, đây là cách r t hay s  d ng

16

ớ ể ậ ọ

ụ ươ ể ả ộ ố ượ ụ ấ ề i này cũng đ ầ ư i m t s  bài toán r t hay trong ch c áp d ng đ  gi

trong nhi u bài toán nên giáo viên c n l u ý cho h c sinh nh  đ  v n d ng. Cách ả ng trình gi THCS.

ươ ụ ằ

ẽ ng pháp   ộ   ng pháp tam giác b ng nhau, sau đây ta s  nghiên c u thêm m t

ươ ư ề ả ươ Các ph ọ chung g i là ph ph ế ố ẽ ng pháp v  thêm y u t ằ ươ ư ượ ớ ấ ng pháp m i r t hay nh ng ch a đ ph  trên n m trong nhóm ph ứ i toán. c khai thác nhi u trong gi

ươ ươ ề Ph ng pháp 5: Ph ng pháp “tam giác đ u”

ộ ươ ệ ộ ủ ạ ấ ặ Đây là m t ph t, n i dung c a nó là t o thêm đ

ệ ằ ằ ng pháp r t đ c bi ạ ượ   c ả   i

ượ vào trong hình v  các c nh b ng nhau, các góc b ng nhau giúp cho vi c gi toán đ ẽ ậ ợ . i c thu n l

ướ ề ầ ố ướ ặ Đ c bi t đ i v i các bài t p v  tính s  đo góc, tr ẫ   ng d n

ệ ố ớ ế ứ ữ ố ậ c tiên ta c n h ư ị ọ h c sinh  chú ý đ n nh ng tam giác ch a góc có s  đo xác đ nh nh :

ộ ị ­ Tam giác cân có m t góc xác đ nh.

­ Tam giác đ u.ề

­ Tam giác vuông cân.

ộ ọ ế ạ ằ ­ Tam giác vuông có m t góc nh n đã bi ử   t hay  c nh góc vuông b ng n a

ề ạ c nh huy n...

ẫ ủ ệ ầ ọ

Sau đó h ố ố ứ ủ ố ộ

ệ ằ ườ ủ ộ ồ ớ ố ị

ằ ướ ế ng d n h c sinh nghĩ đ n vi c tình s  đo c a góc c n tìm thông ệ ớ qua m i liên h  v i các góc c a m t trong các hình ch a góc có s  đo hoàn toàn ng là đi v i m i liên h  b ng nhau c a m t tam giác r i rút xác đ nh nêu trên (Th ủ ươ ứ ra góc t ng  ng c a chúng b ng nhau).

ộ ể : Ta hãy xét m t bài toán đi n hình

020

ạ ạ ấ ể   . Trên c nh AB l y đi m Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân t ﾷ A =

ứ ằ ﾷ DCA D sao cho AD = BC. Ch ng minh r ng . i A,  ﾷ1 A= 2

1) Phân tích bài toán:

ﾷA  = 200 ; AD = BC ( D (cid:0) AB)

ạ Bài cho (cid:0) ABC cân t i A,

ﾷ DCA

ﾷ1 A= 2

ầ ứ Yêu c u ch ng minh: .

ướ 2) H ng suy nghĩ :

0. Ta

ở ỉ

Đ  bài cho tam giác cân ABC có góc  ố ủ ẽ ề ề  đ nh là 20 ề (cid:0) 0 ­ 200 = 600 là s  đo m i góc c a tam giác đ u  ỗ ấ th y 80 A 0, suy ra góc  ở  đáy là 80  V  tam giác đ u BMC

D

ứ 3) Ch ng minh: M

17

C B

020

GT (cid:0) ABC; AB = AC;  ﾷ ; AD = BC (D (cid:0) AB) A =

DCA

ﾷ1 A= 2

KL   ﾷ .

020

0

0

Ta có: (cid:0) ABC; AB = AC;  ﾷ ( gt) A =

180

20

0

=

=

=

ﾷ C

80

2

- Suy ra:  ﾷ B

0

0

ABM = ACM = 80  ­ 60  = 20

0

0

ﾷ

ẽ ộ ử ề ặ ẳ ượ   c: ờ 0 ồ V  tam giác đ u BCM ( M và A cùng thu c n a m t ph ng b  BC), ta đ ﾷ ờ ﾷ AD = BC = CM đ ng th i

MAC ( c ­ c ­ c) (cid:0) ﾷ MAB = MAC = 20   : 2 = 10

)020

0

ﾷ

ﾷ

DCA =   BAC.

ﾷ = Ta có (cid:0)  MAB = (cid:0) Xét (cid:0) CAD và (cid:0) ACM có: ứ AD = CM ( ch ng minh trên) ( ﾷ CAD ACM=

ﾷ1 2

ạ AC là c nh chung Do đó  (cid:0) CAD =  (cid:0) ACM ( c ­g ­c ) => DCA = MAC = 10 . V y ậ ﾷ

ậ 4) Nh n xét:

0, suy ra góc

ở đ nh là 20 đáy là 80

ủ ề ệ ỗ

ế ớ ự  thi

ề ư ậ ệ ằ ả ữ ố

0.  ở ỉ ề * Đ  bài cho tam giác cân ABC có góc  0 ­ 200 = 600 là s  đo m i góc c a tam giác đ u. Chính s  liên h  này g i ợ   ố ấ Ta th y 80 ẽ t AD = BC thì ý cho ta v  tam giác đ u BCM vào trong tam giác ABC. V i gi   ạ   ớ ẽ v  tam giác đ u nh  v y giúp ta có m i quan h  b ng nhau gi a AD v i các c nh ủ c a tam giác đ u giúp cho vi c ch ng minh tam giác b ng nhau d  dàng.

ề ề ứ ệ ễ ằ

0

0

0

=

+

=

=

ể ả ề ể ằ * Ta cũng có th  gi ẽ i bài toán trên b ng cách v  tam giác đ u ki u khác:

ﾷ B

60

20

80

ề ằ ạ ­ Cách 2: ﾷ V   ẽ D EAD đ u n m ngoài tam giác ABC, t o ra  EAC

Khi đó  D EAC =  D CBA (c.g.c) vì:    EA = BC

ﾷ

AC = AB

ﾷ = ECA BAC

ﾷ ﾷ EAC B=

(cid:0) CE = CA  và

18

A

D ặ M t khác CDA =  D CDE (c.c.c) vì:     DA = DE

E

CD chung

=

=

=

=

ﾷ ECA

ﾷ 0 BAC 10

�

ﾷ C 1

ﾷ C 2

1 2

1 2

D

CA = CE

DCA =   BAC.

ﾷ1 2

? 2

1

800

B

C

V y ậ ﾷ

ể ướ ẫ ọ ướ ng d n h c sinh  làm hai cách trên, có th  h ẫ   ng d n

A

Sau khi phân tích, h ọ h c sinh làm thêm theo cách sau:

­ Cách 3:

1

=

ề ẽ ằ

ﾷ B

080

E

1

=  DAE =  D CBA (c.g.c) vì :

2

D

0

V  tam giác đ u EAC  n m ngoài  ﾷ DAE

tam giác ABC, t o raạ Khi đó  D       AE = BA  ( = AC ) ﾷ ﾷ = DAE B= ( 80 )

?

AD = BC

0 20 (

0 20 )

800

B

C

(cid:0) = = = (cid:0) � ﾷ E 1 ﾷ do A 1 ﾷ E 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ﾷ A 1 = DE AC

o

o

o

60

20

40

0

0

ﾷ

ﾷ

=

i đ nh E, có góc ở (cid:0) ỉ đ nh DEC cân t = ạ ỉ = -

= 0 60

70

10

A A

- - . Do đó  ﾷ DE = AC mà AC = CE nên DE = CE do đó  D   góc đáy  ﾷECD  = (1800 ­  400) : 2 = 700 ﾷ 2E = DCA DCE ACE

1

ứ ừ ề ả T  đó ta có đi u ph i ch ng minh.

0

D D

= 0

= 0

=

ề ố ớ

20

60

ﾷ BAC  CBE = D DAC (c.c.c) vì :

E

- ạ t o ra

1

? 1

ﾷ ﾷ=� 1 E C 1

ﾷ

=

(

ﾷ = CBE BAC

2 ­ Cách 4 : Vẽ D đ u ABE ( E,C n m cùng phía đ i v i AB) ằ ﾷ CBE 80 Khi đó  D CB = AD  (gt)

800 800

B B

C

BE = AC ( =AB) )020

19

ậ ể V y đ  tìm ﾷ ỉ ầ 1C  ta ch  c n tính ﾷ 1E

ﾷA = 600 ­ 200=

ạ ở ỉ Ta có AE = AC (=AB) nên  D AEC cân t ạ i A l i có  góc đ nh

400

ﾷAE C  = (1800 – 400) : 2 = 700

0

ở đáy

60

0

0

0

ề (góc trong tam giác đ u ABE)

�

�

70

= 0 60

10

10

E = 2 ﾷ ﾷ = AEC E 2

ﾷ E 1

ﾷ = C 1

ACD =

010

Nên góc  Mà góc  ﾷ = - - Hay   ﾷ

DCA =   BAC.

ﾷ1 2 ề

V y ậ ﾷ

ặ ụ Ở ẳ ạ

ộ ạ ẽ ề ằ i b ng 4 cách  : V  tam giác đ u có m t c nh là AC ; v

ộ ạ ẽ ồ

ượ ươ ẽ ề c đ u các em đã đ nh hình đ ề c ph

ươ ví d  này đ  bài cho hai c p đo n th ng b ng nhau là : AB = AC ; AD =   ẽ  ể ả ằ ư ậ BC. Nh  v y có th  gi ộ ạ ề   tam giác đ u có m t c nh là AB ; v  tam giác đ u có m t c nh là BC ; r i AD. ầ ụ ướ Qua ví d  b   ng pháp v  tam giác đ u và ể các cách tri n khai theo ph ị ng pháp đó.

ượ ẽ

ề ộ

ề c góc   ạ   i đi u ph i ch ng minh, các cách khác còn tu  thu c vào s  sáng t o ườ ứ ồ ừ ệ ỳ ọ ắ Ngoài ra còn nh ng cách v  tam giác đ u khác cũng giúp ta tính đ ẫ ớ ự DCA d n t ỗ ủ c a m i ng ữ ả i và b t ngu n t vi c yêu thích môn Hình h c.

ﾷC  = 150. Trên tia BA l y đi m ể

ạ ấ i A,

Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông t ứ ằ O sao cho BO = 2 AC. Ch ng minh r ng tam giác OBC cân.

O

1) Phân tích bài toán:

ạ Bài cho tam giác ABC vuông t i A,

ể ấ ﾷC  = 150.  Trên tia BA l y đi m O sao cho BO = 2 AC.

(cid:0) ứ ầ ạ Yêu c u ch ng minh OBC cân t i O.

ướ

A

150

B

C

ủ ề ố ỗ 2) H ng suy nghĩ:  Ta th y ấ ﾷC  = 150 suy ra  ﾷA  = 750 ­ 150 = 600 là s  đo c a m i góc trong tam giác đ u

(cid:0) ử ụ ươ ề ệ ả s  d ng ph ng pháp tam giác đ u vào vi c gi i bài toán.

ứ

GT 3) Ch ng minh: (cid:0) ABC;   ﾷA = 900;  ﾷC  = 150 O (cid:0) tia BA: BO = 2AC

KL (cid:0) ạ OBC cân t i O.

20

Ta có: (cid:0) ABC;   ﾷA = 900;  ﾷC  = 150 (gt)   (cid:0) ﾷB = 750

ẽ ề V  tam giác đ u BCM

O

0

ặ ẳ ộ ờ

0 15

=

ﾷ ﾷ = - - ộ ử (M và A cùng thu c m t n a m t ph ng b  BC) Ta có:  ﾷ = OBM ABC MBC = 0 60 75

H

�

= HO HB

OB

ủ ể ọ G i H là trung đi m c a OB .

M

1 2

=

A

AC

OB

1 2

ặ M t khác BO = 2AC (gt) nên

B

C

=

(

= HBM ACB

ừ t Xét (cid:0) đó có AC = BH  HMB và  (cid:0)

ABC có: BH = AC (cmt) )015 ﾷ ﾷ

(cid:0) ề đ u BMC)

090

= = ^ � ABC ( c ­g ­c) (cid:0) HMB = (cid:0) Do đó (cid:0) MB = BC ( c nh ạ     ﾷ H ﾷ A MH OB

0

0

(cid:0) ạ ạ i M, l i có

0

0

0

0

(cid:0) - ở ỉ góc đáy  ﾷ . ườ ﾷ BMO = ế ng trung tuy n nên cân t = 0 180 2.15

)

ﾷ = + 0 = - ườ  góc  ( ng cao và là đ  đ nh   ) = 150 ( = � MOB  có MH là đ OBM = 015 ﾷ CMO ﾷ CMO BMO ừ 360 150 60 150 150 T   đó

ạ ề ủ (cid:0) (cid:0) MOB và  (cid:0) MOC có : MB = MC  ( c nh c a đ u BMC)

ﾷ ﾷ (cmt) = CMO BMO

OB = OC

ạ i O. ( đpcm) OBC cân t

OM chung Do đó (cid:0) MOB = (cid:0) MOC (c­g­c)  (cid:0) V y ậ (cid:0) ậ 4) Nh n xét:

ươ ử ụ ng pháp tam giác đ u vào vi c gi Trong bài toán trên ta đã s  d ng ph

ệ ề ố ệ ỗ ủ

ư ề ẽ ề ợ ờ

ủ ề ằ

ẫ ớ (cid:0) i HMB = (cid:0)

ươ ề ủ ụ ả   i ấ ﾷC  = 150 suy ra  ﾷA  = 750 ­ 150 = 600 là s  đo c a m i góc toán vì phát hi n th y    ề   trong tam giác đ u, đi u này g i ý cho ta v  tam giác đ u BCM nh  trên. Nh  có 0, ta ch ngứ   ạ ề các c nh c a tam giác đ u b ng nhau, các góc c a tam giác đ u là 60  ABC ( c ­ g­ c); (cid:0) MOB = (cid:0) MOC ( c ­ g ­ c) d n t  OBC  minh đ ạ cân t ng pháp tam giác đ u.

ạ ể ằ i A, đi m E n m trong tam giác sao

= EAC ECA

?

ủ c ượ (cid:0) i O, đó chính là tác d ng c a ph Bài toán 10. Cho  D ﾷ = 150 . Tính  ﾷ cho  ﾷ ABC vuông, cân t AEB =

ướ ẫ H ng d n :

21

0

ề ệ ầ ả Đi u đ u tiên trong bài toán này là HS ph i phát hi n ra

0

0

ạ ằ tam giác AEC cân t i E  vì có hai góc b ng 15

= 0 - ừ t đó suy ra EA = EC và ﾷ AEC = 180 2.15 150

ư ở Cũng nh bài toán này các em

B

0

=

=

BAE

ﾷ EAC

0 75 &

15

ệ ở  bài toán 8,  ấ ﾷ ẽ ớ s  s m phát hi n th y

ủ ề mà 750 ­ 150 = 600 là góc c a tam giác đ u

E

015

150

150

và 450 + 150 = 600  ).

A

C

045 ố ớ

ư ị ượ ậ (Cũng có em nh n xét:    ;  ﾷ ﾷ ECA = BCA = ữ Còn đ i v i nh ng em ch a xác đ nh đ ề c đi u

ợ ướ ẫ ố gì ta cũng g i ý, h ng d n các em tính s  đo các

ữ ồ ố góc trong bài r i tìm m i liên quan gi a các góc đó.

ể ướ ừ ư ề ẽ ẫ T  đó có th  h ng d n các em các cách v  thêm tam giác đ u nh  sau:

0

0

ﾷ

+ 0

=

=

ề ẽ ạ ằ

-

) =

( =

)

(

�

0 15

0 15

60

90

15

. Cách   1   :   V   tam   giác   đ u   AKE   n m   trong     tam   giác   ABE   t o   ra ﾷ ﾷ BAK EAC BAK

BAK =  D CAE (c.g.c) vì :

B

ﾷ

ﾷ = BAK EAC

= 0 ( 15 )

21

Khi đó  D AB = AC (gt)

D đ u )ề  ABK cân t

ừ ạ AK = AE ( c nh ạ ế D ẫ T  đó d n đ n i K

K

0 nên góc

?

ở ở ỉ ằ  đáy b ng 15 đ nh là

E

0

0

= 0

2.15

150

150

150

-

A

C

1 180 AKE =

0

0

0

+ 0

và có góc    ﾷ K = Mà  ﾷ nên

060 (

-

) =

ﾷ K =

360

150

60

150

2

D AKB =  D

=

D ề đ u AKE )

)0

(

150

2

EKB (c.g.c) vì :      AK = EK ( c nh ạ ﾷ K= ﾷ K 1

BK chung

22

ﾷ

=

ﾷ = ABK EBK

015

0

0

ừ ẫ T  đó suy ra i B có

30

0

0

ﾷ

=

+

=

=

=

�

ﾷ ABE

ﾷ = BAE AEB

0 15

0 15

30

75

2

- ế D ABE cân t ạ  và  AB = EB  d n đ n  180 ở ỉ góc đ nh .

D AEC, t oạ

ﾷ

=

ﾷ = ACK BAE

075

ẽ ẽ ằ ­ Cách 2: V  tam giác đ u  KCE ( nh  hình v  ) n m phía ngoài

ề . Khi đó  D ư  KCA =  D EAB (c.g.c) vì: ra

B

ﾷ

ﾷ = ACK BAE

= 0 ( 75 )

KC = AE ( = EC)

AC = AB ( gt )

K

ﾷ

�

ﾷ = AKC AEB

. (*)

D

E

?

150

150

0

0

0

ạ AEC cân t

A

ﾷ

= 0

=

=

-

C

�

2.15

150

180

15

i E có góc đáy ﾷ AEC

KEC =

060

0

0

0

+ 0

ạ  L i có  ﾷ = EAC ECA mà  ﾷ

AEK =

= 60 ) 150

-

ﾷ

ﾷ = AEK AEC

= 0 ( 150 )

0

0

ﾷ

=

=

+

=

�

�

nên  ﾷ (150 360 Xét   D AEC và   D AEK có ủ D đ u EKC) ề ạ EC = EK ( C nh c a

ﾷ AKC

15

0 15

60

0 75

ﾷ

AE chung Do đó  D  AEC =    D AEK  (c.g.c) ﾷ = AKE ACE

= AKC AEB

AEB =

075

Mà   ﾷ ( theo (*)) nên  ﾷ

­  Cách 3:

ố ớ ẽ ề ằ V  tam giác đ u AKB (K, C  n m cùng phía đ i v i AB)

B

ﾷ

=

015

ﾷ = KAE EAC  EAC =   D EAK (c.g.c) vì :

ạ t o ra  Khi đó :  D AC = AK ( = AB)

K

ﾷ

ﾷ = KAE EAC

= 0 ( 15 )

; EA chung

E

?

150

150

ABE và   D KBE có:

A

C

D ề ừ T   đó suy ra EC = EK Xét  D * AB = KB (C nh ạ đ u ABK)

23

=

=

=

o .60

�

1 2

* AE = EK  (= EC)

o 30 BAE =

075

030

ụ ổ ị ;  ﾷ ủ   , áp d ng đ nh lí t ng ba góc c a

1 2 ABE = 075

B

Nh  v y  tam giác ta có  ﾷ * BE chung  ABE =   D KBE (c.c.c) V y ậ D ﾷ ﾷ ﾷ = ABK ABE KBE ư ậ D BEA có  ﾷ AEB =

­ Cách 4:

ﾷ

=

075

D ẽ ề V  tam giác đ u ACK ra phía ngoài ABC

E?

1 2

ﾷ = ạ t o ra  EAK BAE  Khi đó  D BAE và  D AB = AK (=AC )

A

C

KAE có:

ﾷ

ﾷ = BAE KAE

AE chung

KAE ( c.g.c)

�

. Do đó  D BAE =   D ﾷ

ﾷ = BEA KEA ﾷ Mﾵ EK A

ﾷ C=

K

0

0

ﾷ

=

=

=

D = D EK do AEK CEK (c.c.c )

= AEK CEK

75

ﾷ AEC 2

150 2

nên  ﾷ

AEB =

075

B

V y ậ ﾷ

K

­ Cách 5:

ﾷ

=

D ẽ ề V  tam giác đ u AKC trùm lên EAC,

ﾷ = KCB ECA

015

ạ t o ra

ﾷ MKC =

015

?

M E

ừ T  K k  tia KM sao cho

A

C

=

(

= KCM MKC

(cid:0) MK =MC

ẻ ế D KMC cân t ﾷ i Mạ )015 ẫ D n đ n  vì có  ﾷ

D MKC =  D EAC (g.c.g) (cid:0) MC = EC = EA (cid:0) MK = AE

ạ  L i có

0

0

ﾷ

ﾷ

D ặ ạ ạ ỉ i   đ nh

0

0

ﾷ

=

- - . ABK   cân   t = 0 60 90 i   A     (   vì   AB   =   AK   )   có   góc   t 30

(

ﾷ = ABK BAK

180

) = 0 30 : 2

75

0

ﾷ

ﾷ

=

- ở M t   khác   ﾷ = = BAK BAC CAK  (cid:0) đáy góc .

= 0 45

030

- - (   Góc   ngoài

0 75 30 ạ i M có góc đáy b ng 15

KMC = 0)

.   Mà   ﾷ ằ Do   đó   ﾷ = KBM ABK ABC ủ ạ t i M c a tam giác KMC cân t

24

(cid:0) ạ i K KB = KM = AE

ABE =  D BAK (c.g.c) vì:

Thành th   ử D KMB cân t V y ậ D AB chung

ﾷ

=

(

ﾷ = ABK BAE

)075

ﾷ

=

�

ﾷ = AEB ABK

075

AE = BK

Ở ầ ặ ạ ẳ ằ bài toán  này đ u bài cũng cho hai c p đo n th ng b ng nhau là:

ậ AB = AC; EA = EC. Do v y cũng có th  gi i bài toán đó theo các cách: V ẽ

ộ ạ ề ặ ể ả ặ tam giác đ u có m t c nh là AE; ho c EC; ho c AC.

ẫ ủ Nh  v y v i s  g i ý, h

ướ ệ ữ ng d n c a giáo viên, h c sinh đã bi ủ ữ ệ ả ớ ự ợ ố c m i liên h  gi a các d  ki n c a gi ọ  thi

ế ừ t, t ề ườ ủ ượ i. Đó chính là thành công c a ng

ể ề

ọ ọ ư ạ

ế t phân tích   ướ   ị ng  đó đ nh h ữ ọ   i thày. Và đi u quan tr ng n a là   ng d n h c sinh tri n khai m t bài toán theo nhi u cách khác nhau, giáo ạ    duy ọ ủ ượ ư ậ ầ đ u bài, tìm đ ả ượ c cách gi đ ộ ẫ ướ khi h viên đã t o cho h c sinh óc quan sát nh y bén, linh ho t và cũng làm cho t ơ hình h c c a các em đ ạ ể c phát tri n h n.

Bài toán 11

0.  L y đi m K trong ể A

0

=

ở ấ ằ  đáy b ng 50

KBC

?

tam giác, sao cho  ﾷ Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc  ﾷ0 10 ;

= . KCB 30 ủ D ABK.

ố Tính s  đo các góc c a

?

K

ả

?

300

100

C

B

D ướ ế * H ng gi i quy t:  ABK có: ﾷABK = 500 ­ 100= 400

ỉ ả ạ i là:

ậ V y ch  còn ph i tính hai góc còn l ﾷ&BAK BKA . ﾷ

ầ

ủ

ể ả ặ ọ ấ D ABC có các góc 500, 500, 800 Xem xét đ u bài ta th y  ﾷKBC  = 100,  ﾷABC  = 500, mà 500 + 100 = 600 chính là góc c a tam giác đ u. ề ừ T  đó có th  gi i bài toán trên theo cách sau (h c sinh tìm ra ho c giáo viên

E

ﾷ

ợ g i ý):

=

ﾷ = ABE KBC

010

1 2 A

D ề ạ ­ Cách 1: V  ẽ D đ u BCE trùm lên ABC, t o ra

D EAB =  D

?

0

0

=

=

=

=

�

ﾷ BEC

.60

30

ﾷ E 1

ﾷ E 2

100

1 2

?

K

ừ ứ T  đó ch ng minh EAC (c.c.c)

1 2  ABE = D

?

300

100

Khi đó  D KBC (g.c.g) vì:

C

B

25

o 30

ﾷ = KCB

ﾷ E 1

=

ﾷ

=

(

ﾷ = EBA KBC

)010

BE = BC

ﾷ ABK =

040

0

0

0

ﾷ

=

(cid:0) ạ ở ỉ ABK cân t i B có góc đ nh

(

)

�

180

= 40 : 2 70

- AB = KB. Do đó  D ﾷ = BAK BKA

ﾷ

=

ậ ủ D V y các góc c a ABK là 400; 700; 700.

010

0

0

ﾷ = EBC KBC = 0

ằ

60

20

80

0

0

0

A

ﾷ

=

- ở ỉ ở ­ Cách 2: V  ẽ D ề  AEC cân và   D ố ớ  A  vì có AE = AC ( = AB ) có góc đ nh ạ  đ u ABE ( E, C n m cùng phía đ i v i AB), t o ra  ﾷ EAC =

(

)

ﾷ = AEC ACE

180

= 20 : 2 80

?

0

0

ﾷ

ﾷ

- ở Suy ra góc đáy

80

= 0 50

30

- -

ﾷ = BCE ECA BCA  KBC =  D

?

K

=

= � Do v y ậ D ﾷ ﾷ = KBC EBC

010

?

300

100

C

B

EBC (g.c.g) vì:

E

ﾷ

=

030

BC chung

0 nên hai góc còn l

0 và

ﾷ = KCB BCE (cid:0) BK = BE  mà BE = BA nên  BK = BA.  Khi đó  D ạ 700.

ở ỉ ạ ABK cân t i B có góc đ nh là 40 i là 70

ﾷ

=

ố ớ ề ­ Cách 3: V  ẽ D đ u AEC ( E, B n m cùng phía đ i v i AC )

ﾷ = BCE KBC

010

A

?

ằ và D ABE cân t i Aạ ạ t o ra

0­ 600 = 200

0

ở ỉ ằ  đ nh b ng  80

0

0

= 0

ở có góc   (cid:0) góc ằ  đáy b ng 80

30

?

K

?

-

300

100

C

B

=

ﾷ EBC =   �  Do đó  D ﾷ ﾷ = BCE KBC

80 50  KBC =  D )010 (

E

ECB (g.c.g) vì:

ﾷ

=

(

ﾷ = EBC KCB

)030

BC chung

(cid:0) KB = EC mà EC = AC = AB nên KB = AB  (cid:0) D ABK cân t i Bạ

0; 700; 700. 26

ậ ầ V y các góc c n tính là: 40

ằ ấ ể Qua ví d  này, có th  cho h c sinh th y r ng cách 2 và cách 3 là t

ằ ọ ề

ẫ ế ừ ộ ộ ạ ạ ằ

ừ ạ ạ ủ ề ẽ

ể ả ọ

075

ườ ộ ằ   . Đ ng cao AH có đ  dài b ng ươ   ụ ng ủ   ạ ề ạ ươ ng nhau: đ u t o ra tam giác đ u có c nh b ng m t trong hai c nh bên c a đ  đó d n đ n c nh BK b ng m t c nh nào đó c a tam giác tam giác cân đã cho, t   ộ   ế ề ể đ u v a t o ra đ  suy ra tam giác ABK cân. Còn n u đi v  tam giác đ u có m t ﾷKCB  ho c v  tam giác đ u có m t c nh là BK đ ằ ể  ề ặ ể ạ ạ ộ ạ ẽ c nh là KC đ  t o ra góc b ng  ﾷABC  thì s  không gi ủ ữ  ả ạ ẫ ẽ ằ ế ượ c bài toán, vì v n không đ  d t o ra góc b ng  i quy t đ ầ ấ ượ ợ ẽ ệ ề c đi u này đ  có cách v  cho thích h p. ki n, và h c sinh cũng c n ph i th y đ Bài toán 12. Cho tam giác ABC có  ﾷ C =

A A

=

=

ố ử n a BC. Tính s  đo góc B

�

ﾷ C

ﾷ CAH

0 75

0 15

750 750

C C

ạ Phân tích: D AHC vuông t i H có

B B

H H

ủ ề Mà 750 ­  150 = 600 là góc c a tam giác đ u.

ừ ướ ề ẽ ẫ T  đó h ng d n HS v  thêm tam giác đ u.

ẽ ư Có các cách v  nh  sau:

ﾷ

=

­ Cách 1:

ﾷ = ECB CAH

015

D ẽ ề ằ ạ V  tam giác đ u AEC n m trong ABC, t o ra:

^ ể ướ ẫ ả ọ ạ K  EK BC (có th  h ng d n và gi i thích cho h c sinh t i sao l ạ ẻ  i k

ẻ ư ậ nh  v y).

=

ề ạ ọ vuông EKC =  D vuông CHA (c nh huy n, góc nh n) vì:

(

Khi đó  D EC = AC ﾷ ﾷ = ECB CAH

)015

=

BC

=� KC

1 AH BC 2

1 2

(cid:0) KC = AH, mà

ﾷ

=

^ ủ ể ạ V y K là trung đi m c a BC, l i có KE BC do đó tam giác EBC cân t i Eạ

�

015

A A A A

. ậ ﾷ = EBC ECB

E E E E

ﾷBEA = 3600 ­ (600 + 1500) = 1500

750 750

C C C C

B B B B

H H H H

K K K K

Do đó :  ﾷBEC  = 1800 ­ 2.150= 1500

0

=

150

0

0

0

ﾷ

ﾷ

ﾷ

=

=

+

=

+

=

�

�

BEA (c.g.c) vì:

ﾷ ABC ABE CBE

15

15

0 15

30

ừ T  đó có  D BEC =  D BE chung ﾷ ﾷ = BEC BEA EC = EA ﾷ = ABE CBE

27

D ạ ở BEA (cid:0) AB = BC  (cid:0) ABC cân t i B có góc đáy

ằ b ng 75 ặ ừ D (Ho c t   ﾷ ABC = 0   � BEC =  D 030 )

­ Cách 2:

E E

ẽ ề V  tam giác đ u BEC

0

=

=

(E, A n m cùng phía đ i v i BC)

A A

ạ t o ra

K K

(cid:0) ^ ằ ﾷ ACE 15 ẻ T  A k  AK ) thì ố ớ ﾷ CAH  EC  ( K EC

1 1

2 2

C C

B B

H H

=

D ề ọ vuông CHA  (c. huy n, g. nh n)  vì:

=

=

KC AH, mﾵ AH BC KC

�

�

015 1 = 2

1 2

1 BC EC 2

ừ  vuông AKC =  D ề ạ C nh huy n AC chung ﾷ ﾷ = ACK CAH =

(cid:0) ủ ể nên K là trung đi m c a EC.

ườ ồ ờ ườ EAC có AK là đ ng cao đ ng th i là đ ế ng trung tuy n nên cân t ạ   i

Mà   K EC V y ậ D A   (cid:0)  AE = AC.  AEB và  D Xét   D ạ BE = BC  (c nh c a ACB có: ủ D đ u BCE) ề

AB chung

0

0

=

=

=

AE = AC Do đó  D AEB =  D ACB (c.c.c)

�

ﾷ EBC

.60

30

ABC =

030

ﾷ ﾷ = B B 1 2

1 2

1 2

. V y ậ ﾷ

ủ ể (Và suy ra K là giao đi m c a AB và EC)

ả ẽ ằ ví d  này bài cho không có c p đo n th ng nào b ng nhau thì ph i v  tam

Ở ụ ề ệ ượ ạ ữ ệ ủ ế giác đ u sao cho liên h  đ ẳ ặ ả c các d  ki n c a gi thi t.

ư ậ

ả ụ ề ừ ệ  vi c liên h  các d  ki n c a gi thi

Nh  v y qua các ví d  trên, giáo viên đã hình thành cho h c sinh ph ệ ẽ ự ậ ữ ệ ủ ế ạ ổ ề ố

ể ố ạ ả ằ ẽ ươ   ọ ng ế   t. Và sau các ví ậ    nh n xét, t ng k t d ng bài t p v  tính s  đo i cho các em là: pháp v  thêm tam giác đ u t ọ ụ d  này, giáo viên nên cho h c sinh t ươ góc gi ề ng pháp v  tam giác đ u, sau đó có th  ch t l i b ng ph

ủ ữ ệ ố

ề   ế Khi xét m i liên quan gi a các góc, n u phát hi n ra góc c a tam giác đ u ể ạ ữ ế ẽ ằ ề nên nghĩ đ n cách v  thêm tam giác đ u đ  t o ra nh ng góc b ng góc đã cho.

ẳ

ệ ượ ề ệ ẽ ộ ườ c m t đ ằ   c các đo n th ng b ng ượ   c

ạ H n n a vi c v  thêm tam giác đ u còn t o đ ấ ừ ờ ữ ể ả ữ ơ ặ ạ nhau, ho c t o đ ế ố ằ nh ng y u t ề ng có nhi u tính ch t, t ế ớ  b ng nhau, liên k t v i nhau đ  tìm ra l ạ ượ  đó d  dàng phát hi n đ i gi ễ i.

28

ệ ệ ẽ ọ ỉ

ầ ẽ ế ớ

Cũng c n ch  ra cho h c sinh th y kinh nghi m c a vi c v  thêm tam giác   ạ   ề đ u : N u v  thêm tam giác đ u mà c nh c a nó có s  b ng nhau v i các đo n ẳ th ng khác trong bài thì bao gi ấ ủ ạ ế ượ ả i quy t đ ủ ự ằ c bài toán. ề ờ  cũng gi

ề ể ọ

ụ ư ứ ề ơ ọ

ấ ằ ể ạ   ầ Qua các ví d  này h c sinh cũng c n th y r ng, có th  có nhi u cách đ  t o ả   ế ẫ ra tam giác đ u, nh ng nên ch n cách nào d n đ n ch ng minh bài toán đ n gi n h n.ơ

ụ ả ạ ượ ươ ẽ ng pháp v  thêm y u t ế ố ụ  ph :

ớ

0 ­ < 2 ế * K t qu  đ t đ ạ ấ ượ ­  Ch t l 2 ­ < 5 8 ­ 10

c sau khi áp d ng các ph ọ ố ổ ng đ i trà l p 7B, t ng s  30 h c sinh. 5 ­ < 6,5 % 30,0 % 20,0 SL 06 SL 10 SL 09 % / SL / 6,5 ­ < 8 % 33,3 SL 05 % 16,7

ậ *Nh n xét:

ề ố ượ ố ượ ế ả ọ ng h c sinh y u, kém gi m, s  l ọ   ng h c

­ Sau khi áp d ng đ  tài thì s  l ỏ ạ ụ ể sinh đ t đi m khá, gi i tăng lên.

ố ọ ượ ươ ế ố ụ ­ Đa s  h c sinh n m đ ẽ ng pháp v  thêm y u t ph  trong gi ả   i

c các ph ậ ậ ụ ề ố ắ toán, nhi u em v n d ng vào làm bài t p khá t t.

ấ ượ ể ộ ọ ỏ ấ ự ế ệ ­ Ch t l ng đ i tuy n h c sinh gi i c p huy n cũng đã có s  ti n b  v ộ ượ   t

b c.ậ

29

Ầ Ậ Ế 3. PH N K T LU N

ủ ề 3.1. Ý nghĩa c a đ  tài

ẫ ữ ướ

ệ ủ ụ

ệ

ơ ả

ầ ượ ỏ ọ ạ

ế ố thi

ế

ặ ụ ấ ộ ố ế ố ươ ây là m t s  ph

ệ ế ố ế ố  ph . Vi c v  thêm các y u t ả ẽ i toán d  dàng h n, song vi c v  thêm y u t ư  duy logic, có trí t ả ắ ế ỉ ư ạ  ph  r t phong phú, đa d ng, thi u nó thì vi c gi ẽ ng pháp v  thêm y u t ằ ạ ế ự ề ọ

ọ ự ọ ậ ự ế ả

ệ

ẹ ị

ể ệ ủ ơ ữ

ệ

ề ậ ớ ướ ứ ệ ể ộ ẽ ng nghiên c u ti p t c c a ể ủ i, đó là h

ả ậ   ng d n các em gi i bài t p hình Trên đây là nh ng kinh nghi m c a tôi khi h ụ ỏ ẽ ả ẽ    ph  giúp cho các đòi h i ph i v  thêm các y u t ứ   ụ ế ố ễ ả  ph  qu  là khó khăn, ph c em gi ượ ưở ạ ng phong phú và óc sáng ng t   t p đòi h i h c sinh ph i có t ệ ể  ứ ơ ả ạ c ki n th c c  b n và khai thác tri t đ t o linh ho t, trên tinh th n ph i n m đ ứ ạ ớ ả   t bài toán cho. Tôi m i ch  đ a ra 2 d ng toán là ch ng minh, tính s  đo góc gi ả   ệ ấ ệ ẽ ế ố i mà đã th y vi c v  thêm y u t ụ ề  ph  mà tôi   toán g p nhi u khó khăn. Đ ố   ẽ ậ ụ ể t đã l a ch n đ  truy n đ t đ n h c sinh, mong r ng qua đó các em s  v n d ng t ể   ạ ộ ơ ữ  gi ng d y và tìm hi u và phát huy h n n a năng l c h c t p b  môn. Qua th c t ứ ờ ế ố ắ Tuy nhiên th i gian nghiên c u còn   tài li u tôi đã c  g ng th  hi n sáng ki n này.  ẹ   ụ ỉ ớ sáng ki n ế ch  m i áp d ng  ạ ạ ở ị  đ a bàn h p, h n h p, trong ph m vi c a đ n v , nên  ủ sáng ki nế   ứ ọ ậ ề ả ớ ư i nh ng vùng mi n khác. Vì v y tri n v ng c a  ch a có s c lan to  t ế ụ ệ ề ế còn ti p t c trong xu th  phát tri n c a xã h i hi n nay. S  còn nhi u bi n pháp   ế ụ ủ sáng ki nế   ề ư khác ch a có đi u ki n đ  c p t ươ trong t ng lai.

ế ượ ố Thông qua sáng ki n kinh nghi m này tôi mong mu n đ

ỏ ứ ệ ẽ ẫ ọ

ệ ọ ệ ướ ng d n h c sinh v  thêm y u t ự ể ư ụ ọ ầ ả i toán hình h c, rèn luy n tính tích c c, phát tri n t ộ   c đóng góp m t ế ố    ph  trong ạ    duy sáng t o cho h c sinh,

ứ ọ ph n nh  bé công s c trong vi c h gi gây h ng thú cho các em khi h c toán.

ế ị ề ấ 3.2. Ki n ngh , đ  xu t

ể ồ ưỡ ọ ỏ ng h c sinh gi i môn toán ở ườ   ng tr

ọ ố ộ ố ấ ể ạ t và b i d Đ  có th  d y ­ h c t ề ấ ề THCS tôi xin đ  xu t m t s  v n đ  sau:

ộ ổ

1. Toán h c là b  môn văn hoá c  b n trong nhà tr ề ầ   ườ ng ph  thông do đó c n ươ ấ ơ ả ị ọ ứ ủ ậ ắ ả ph i có nh n th c đúng đ n v  vai trò, v  trí c a nó trong c u trúc ch ng trình.

ệ ấ ế ị ươ ệ t b , ph ạ ng ti n d y ­ h c đ ọ ể

ệ ổ ứ ế ọ ạ ạ 2. T o đi u ki n v  c  s  v t ch t, trang thi ệ  ch c ti ề ề ơ ở ậ ả t h c đ t hi u qu . vi c t

ổ ế ệ ộ ố ệ t có hi u qu ả

ế ữ 3. Nhân r ng và ph  bi n nh ng kinh nghi m hay mô hình t ự t th c. thi

ầ ư ứ kinh phí h p lý cho công tác nghiên c u th c t

ự ế ắ ả ủ ươ ữ ề ệ ọ ừ ợ 4. Đ u t  giáo viên và h c sinh, đ  ra nh ng ch  tr ắ ố , n m b t t ế ng, bi n pháp kh  thi thi t thông ự t th c. tin t

30

Ộ Ồ Ọ Ủ Ậ ƯỜ ĐÁNH GIÁ, NH N XÉT C A H I Đ NG KHOA H C NHÀ TR NG

31