Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong chứng minh Hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả

nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn Phạm Văn Hoàng

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Cao Thị Hà, ngƣời đã tận

tình hƣớng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, các cô giáo trong Tổ bộ môn

Phƣơng pháp giảng dạy bộ môn Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên; Ban

Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm

– Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình

học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.

Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp

trƣờng THPT Cầu Xe- huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng đã giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực nghiệm.

Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn chế

và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Phạm Văn Hoàng

MỤC LỤC

Trang

TRANG PHỤ BÌA

LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii

MỤC LỤC ................................................................................................................ iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................ iv

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài ..................................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 3

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 5

1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập ..... 5

1.2. Năng lực chứng minh hình học ........................................................................... 6

1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh ................................... 6

1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học ............................................................ 8

1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học ..................................... 12

1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán ................................................... 13

1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học............................................ 14

1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi ............................................................... 14

1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo .............................................................. 14

1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải toán hình học .......... 15

1.5.1. Điều tra từ giáo viên ........................................................................................ 15

1.5.2. Điều tra từ học sinh ......................................................................................... 15

1.6. Kết luận chƣơng 1 .............................................................................................. 47

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG

TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG

CHỨNG MINH HÌNH HỌC. ................................................................................ 48

2.1. Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS các kiến thức đầy đủ, chính xác. ............... 48

iii

2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình đúng. ............................................ 55

2.3. Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu đúng luận đề, luận cứ, luận chứng

trong các bài toán có lời giải. .................................................................................... 61

Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................... 80

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 81

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm .................................................................. 81

3.2. Nôi dung thực nghiệm. ...................................................................................... 81

3.3. Tổ chức thực nghiệm. ........................................................................................ 82

3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm: .................................................................................. 82

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm .................................................................................... 84

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm .......................................................................... 85

3.4.1. Phân tích định tính .......................................................................................... 85

3.4.2. Phân tích định lƣợng ....................................................................................... 86

3.5. Kết luận chung về thực nghiệm ......................................................................... 89

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 91

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

Dạy học

Đccm

Điều cần chứng minh

Giáo viên

Học sinh

Phƣơng Pháp

Phƣơng trình

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

VTCP

Véctơ chỉ phƣơng

VTPT

Véctơ pháp tuyến

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Toán học giữ một vị trí quan trọng trong cuộc sống, Toán học không chỉ có

những ứng dụng to lớn trong cuộc sống mà nó còn giúp chúng ta việc rèn luyện PP

suy nghĩ, PP suy luận, PP học tập, PP giải quyết các vấn đề, ngoài ra nó còn giúp

chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện

nhiều đức tính quý báu khác nhƣ: cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt

khó, yêu thích sự chính xác, ham chuộng chân lý.

Các nhà giáo dạy Toán chính là các huấn luyện viên trong môn “thể thao trí tuệ”

này, công việc dạy Toán của chúng ta nhằm rèn luyện cho HS tƣ duy Toán học cùng

những phẩm chất của con ngƣời lao động mới để các em vững vàng trở thành những

chủ nhân tƣơng lai của đất nƣớc.

Ở trƣờng phổ thông DH Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS có thể

xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài Toán ở trƣờng

phổ thông là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc

giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng

toán học vào cuộc sống. Dạy học giải Toán mang trong mình các chức năng: giáo

dƣỡng, giáo dục, phát triển và kiểm tra. Vì vậy, hoạt động giải Toán là điều kiện để

thực hiện tốt các mục đích DH Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc DH giải Toán

có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH Toán.

Trong chƣơng trình môn Toán ở trƣờng THPT, nội dung Hình học chiếm một

phần rất quan trọng, việc DH Hình học không chỉ cung cấp cho ngƣời học những kiến

thức về các đối tƣợng hình học và các quan hệ giữa chúng mà nó còn rèn luyện năng

lực tƣ duy lôgic, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả

năng vận dụng các kiến thức Hình học vào thực tiễn cuộc sống cho HS.

Tuy nhiên thực tiễn DH cho thấy, hầu hết HS khẳng định Toán học, đặc biệt là

nội dung Hình học là môn học khó và trừu tƣợng. Một trong các biểu hiện của sự khó

khăn đó là HS thƣờng mắc phải những sai lầm trong quá trình giải toán, HS không tự

tin khi giải toán mà không có sự trợ giúp của thầy giáo hoặc bạn học dẫn đến HS ngại

khi học Hình học. Đã có nhiều hƣớng nghiên cứu để nâng cao chất lƣợng DH Toán ở

trƣờng phổ thông nhƣ: tổ chức các hoạt động DH để gây đƣợc hứng thú cho HS trong

quá trình DH, phát triển tƣ duy cho HS trong DH Toán, phát hiện những sai lầm của

HS trong DH ... Việc nghiên cứu những sai lầm phổ biến của HS trong quá trình DH

Toán ở trƣờng phổ thông đã có nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm, các

nghiên cứu trên đều tập trung vào 2 hƣớng chính [15]:

- Hƣớng thứ nhất: Tìm hiểu sai lầm của HS, tìm hiểu nguyên nhân và đề xuất

các biện pháp để giúp HS sửa chữa các sai lầm đó. Đại diện cho hƣớng nghiên cứu

này là A.A Stoliar khi nói về việc xử lí với các sai lầm của HS trong quá trình DH đã

nói: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.

- Hƣớng thứ hai: Tìm hiểu các sai lầm, khó khăn của HS trƣớc khi lĩnh hội

kiến thức mới và thiết kế các tình huống học tập để HS vƣợt qua sai lầm, khó khăn

này và hình thành tri thức mới. Các đại diện cho hƣớng nghiên cứu này đó là các nhà

nghiên cứu quá trình DH theo quan điểm kiến tạo, hoặc một trong các đại diện tiêu

biểu khác đó chính là G. Polya, ông nói “Con người phải biết học ở những sai lầm và

những thiếu sót của mình ”; B.V.Gờn hedencô đã nêu ra 5 phẩm chất của tƣ duy

Toán học thì đã có tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm khi giải Toán:

+ Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các

mắt xích cần thiết của chứng minh.

+ Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ.

+ Sự chính xác của suy luận.

Nhiều tác giả trong nƣớc đã có những nghiên cứu về những sai lầm phổ biến

của HS trong quá trình dạy học Toán ở trƣờng phổ thông nhƣ: Nguyễn Vĩnh Cận- Lê

Thống Nhất- Phan Thanh Quang trong cuốn “Sai lầm phổ biến khi giải Toán”; Trần

Phƣơng- Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Những sai lầm phổ biến trong giải toán phổ

thông”; Trần Phƣơng -Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Sai lầm thƣờng gặp và các sáng

tạo khi giải toán”; -

n dạng và phân

tích những sai lầm mà HS có thể mắc phải trong quá trình DH Toán, tuy nhiên phạm

vi nghiên cứu của các tác giả trên đều dàn trải trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán

ở trƣờng phổ thông chứ chƣa tập trung vào nghiên cứu, phân tích những sai lầm mà

HS mắc phải trong học tập Hình học, đặc biệt là trong chứng minh hình học.

Với những kinh nghiệm giảng dạy môn Toán ở trƣờng THPT và năng lực

chuyên môn của bản thân cùng với các nhận thức nhƣ trên, chúng tôi chọn đề tài

nghiên cứu luận văn là : “NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH

THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình học từ đó

đề xuất một số biện pháp sƣ phạm để phòng tránh và sửa chữa các sai lầm này, qua

đó rèn luyện năng lực giải toán hình học cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng

môn Toán ở các trƣờng THPT.

3. Giả thuyết khoa học

Nếu tìm hiểu đƣợc nguyên nhân dẫn đến các sai lầm phổ biến của HS trong

quá trình giải toán hình học và có thể đề xuất đƣợc các biện pháp sƣ phạm phù hợp

giúp HS phát hiện, sửa chữa và tránh đƣợc những sai lầm này thì góp phần rèn luyện

năng lực giải toán hình học cho HS.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thống kê các sai lầm của HS thông qua phân tích khoảng 200 lời giải các bài

toán thuộc nội dung chứng minh hình học của HS THPT.

- Phân tích các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học dựa trên các

kết quả thống kê ở trên;

- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm giúp HS phát hiện, sửa chữa và hạn chế dần

những sai lầm khi giải toán hình học;

- Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện

pháp sƣ phạm đã đề xuất.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về cơ chế tâm lí học và giáo dục học dẫn đến sai lầm của

HS trong quá trình học Toán;

- Nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu trên mẫu gồm khoảng 200 lời giải của

hoc sinh THPT về nội dung chứng minh Hình học để thống kê được những sai

lầm phổ biến của HS khi học nội dung này, từ đó tìm ra được nguyên nhân dẫn

đến những sai lầm này của HS.

- Thực nghiệm sƣ phạm: trực tiếp giảng dạy thực nghiệm ở khối 10; 12 trƣờng

THPT Cầu Xe – Tứ Kỳ - Hải Dƣơng trong năm học 2016- 2017.

6. Đóng góp của luận văn

- Hệ thống hóa đƣợc một số sai lầm phổ biến của HS trong chứng minh hình học.

THPT.

- Hình thành cho ngƣời học sự tự tin trong học tập Toán.

7. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, bảng biểu, phụ lục

thì luận văn gồm 3 chƣơng:

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG

TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG

MINH HÌNH HỌC

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

Chƣơng 1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập

Sự phát triển tâm lý của mỗi con ngƣời là một quá trình mà con ngƣời đó lĩnh

hội nền văn hóa xã hội loài ngƣời và sự phát triển này là kết quả hoạt động của chính

cá nhân ngƣời đó với những đối tƣợng do loài ngƣời tạo ra. Theo Lê Văn Hồng “Bản

chất của sự phát triển tâm lý trẻ em không phải là sự tăng hoặc giảm về số lƣợng, mà

là một quá trình biến đổi về chất lƣợng tâm lý. Sự thay đổi về lƣợng của các chức

năng tâm lý dẫn đến sự thay đổi về chất và đƣa đến sự hình thành cái mới một cách

nhẩy vọt [11, tr.16]”. Việc nghiên cứu về sự phát triển tâm lí của HS trong quá trình

DH là vấn đề vô cùng lớn và phức tạp, tuy nhiên trong sự phát triển chung về mặt tâm

lí của HS có sự phát triển của tƣ duy. Do vậy, trong khuôn khổ luận văn này chúng

tôi chỉ xin đề cập đến một số yếu tố tâm lí dẫn đến sai lầm trong tƣ duy của HS.

Theo Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những

thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của

sự vật hiện tƣợng trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết [24, tr.106]”.

Trong quá trình DH ngƣời GV luôn coi trọng sự phát triển tƣ duy cho HS, hơn nữa để

kích thích HS học tập, phát triển tƣ duy thì ngƣời GV thƣờng đƣa các em vào tình

huống có vấn đề rồi tổ chức cho HS độc lập- sáng tạo giải quyết vấn đề đó. Cũng theo

Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận

thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của

mối liên hệ trực tiếp giữa tƣ duy với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những khái quát

hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong quá trình tƣ duy

[24, tr.110]”. Đứng trƣớc một bài toán, từ nhận thức cảm tính của mình, HS phán

đoán, suy luận, tổng hợp rồi đƣa ra lời giải hoặc kết quả của mình cho bài toán, trên

cơ sở đó HS tự tạo ra những bài toán tƣơng tự hoặc đặc biệt hóa bài toán hoặc trừu

tƣợng hóa và khái quát hóa bài toán. Nhƣ vậy, nếu HS chưa đủ kiến thức hoặc nhận

thức không đúng, không đầy đủ về bản chất- nội dung bài toán tức là nhận thức cảm

tính sai từ đó dẫn đến suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp, nhƣ thế bài toán

giải sai hoặc giải bài toán chƣa triệt để còn thiếu trƣờng hợp.

Theo Lê Văn Hồng “Học sinh càng trƣởng thành, kinh nghiệm cuộc sống ngày

càng phong phú, các em càng ý thức đƣợc rằng mình đang đứng trƣớc ngƣỡng cửa

của cuộc đời [11, tr.63]”. Do vậy, thái độ có ý thức của các em đối với học tập ngày

càng phát triển. Sự học tập của các em có tính lựa chọn môn học hơn, nó gắn liền với

khuynh hƣớng nghề nghiệp và đòi hỏi tính năng động, độc lập, muốn nắm đƣợc

chƣơng trình mình yêu thích một cách sâu sắc, nhưng lại thường sao nhãng các nội

dung khác hoặc môn học khác.

Tƣ duy của mỗi ngƣời đƣợc hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động

nhận thức tích cực của bản thân ngƣời đó. Ở lứa tuổi THPT, HS có khả năng tƣ duy

lý luận, tƣ duy trừu tƣợng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tƣợng đã đƣợc

học ở trƣờng . Tƣ duy của các em có chặt chẽ hơn, có căn cứ và nhất quán hơn. Đồng

thời tính phê phán của tƣ duy cũng phát triển. Những đặc điểm trên tạo điều kiện cho

HS thực hiện các thao tác tƣ duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản của

khái niệm trừu tƣợng và nắm đƣợc mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên và trong xã

hội. Đó là cơ sở để hình thành thế giới quan. Tuy nhiên, hiện nay một số HS THPT

đạt đƣợc mức độ đặc trƣng cho lứa tuổi trên còn chƣa nhiều. Nhiều HS “đánh giá cao

nhân cách của mình- tỏ ra tự cao, coi thƣờng ngƣời khác [11, tr.68]”. Nhiều khi các

em chƣa chú ý phát huy hết năng lực độc lập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội

vàng theo cảm tính và kết quả dẫn tới những sai sót, sai lầm đáng tiếc. Việc dẫn đến

sai lầm đáng tiếc đó, HS lại không biết và cứ cho mình là đúng, không kiểm tra -soi

xét lại.

1.2. Năng lực chứng minh hình học

1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh

Chứng minh Toán học là quá trình suy luận nhằm xác lập một phán đoán là

đúng bằng cách dùng các phán đoán khác đã đƣợc xác lập là đúng và dựa vào các quy

tắc suy luận. Theo Nguyễn Bá Kim “Trong Toán học, một chứng minh là một cách

trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực

đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy

diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm [12]”. Có

nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi

trƣờng hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chƣa đƣợc chứng minh nhƣng đƣợc

chấp nhận đúng đƣợc gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã đƣợc chứng minh

thƣờng đƣợc gọi là định lý, một khi định lý đã đƣợc chứng minh, nó có thể đƣợc

dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác. Một định lý cũng có thể đƣợc

gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó đƣợc dự định dùng làm bƣớc đệm để chứng minh một

định lý khác.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.366] thì “Chứng minh một mệnh đề T là

tìm ra một dãy hữu hạn thỏa mãn các điều kiện sau:

+ Mỗi của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy

ra từ một số trong các nhờ những quy tắc kết luận lôgic;

+ chính là mệnh đề T.

Nhƣ vậy có thể hiểu: Chứng minh toán học là quá trình suy luận hợp lôgic xuất

phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa,

các định lí đã đƣợc chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần chứng minh)

và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận đúng. Do vậy, cấu trúc của

một phép chứng minh toán học bao gồm 3 bộ phận (luận đề, luận cứ, luận chứng). Cụ

thể nhƣ sau:

+) Luận đề: Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh cái gì?”. Nhƣ vậy ta có thể

hiểu luận đề chính là kết luận của mệnh đề.

+) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của mệnh

đề cần chứng minh) đƣợc đƣa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu

hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì ?”.

+) Luận chứng: Là những quy tắc suy luận lôgíc đƣợc sử dụng trong chứng

minh. Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy

luận nào?”.

1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học

1.2.2.1. Suy luận và suy luận hợp lôgic

Theo Chu Cẩm Thơ: “Suy luận hay suy lí là một hình thức cơ bản của tƣ duy

đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra những phán đoán

mới. Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy

luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận [21, tr 50]”. Nhƣ vậy, suy luận

là quá trình suy nghĩ, liên hệ, kết nối, để từ một hay nhiều phán đoán đã có rồi rút ra

phán đoán mới, bao hàm một tri thức mới.

Hình thức biểu diễn suy luận: Mỗi suy luận đƣợc biểu diễn dƣới dạng một mệnh

đề kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề. Nếu gọi

là các tiền đề đã biết và Y là tiền đề mới (kết luận của suy luận)

thì ta có kí hiệu:

Kí hiệu: hay hay

Suy luận hợp lôgic: Nếu suy luận

là hằng đúng thì ta có suy luận hợp lôgic hay hệ quả lôgic. Mệnh đề hằng đúng biểu thị một quy luật lôgic.

Theo các tác giả Trần Nguyên An và Nguyễn Văn Hoàng [1, tr.77] thì bảng giá

trị chân lí xác định phép toán hội, phép toán tuyển, phép toán kéo theo, phép toán

mệnh đề tƣơng đƣơng nhƣ sau:

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán hội (trong thực tế ta thƣờng dùng liên

từ “và” để chỉ phép toán hội) là:

a b

a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 0 0 0 1

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán tuyển (trong thực tế ta thƣờng dùng

liên từ “hoặc” để chỉ phép toán tuyển) là:

a b a b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán kéo theo (trong thực tế ta thƣờng dùng

liên từ “suy ra” để chỉ phép toán kéo theo) là:

a b a b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng (trong thực tế ta

thƣờng dùng liên từ “khi và chỉ khi” để chỉ phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng) là:

a b a b

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Điều kiện cần và để suy luận đạt tới kết quả đúng là phải xuất phát từ những tiền

đề đúng và quá trình suy luận phải đúng.

Suy luận là quá trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định. Muốn suy luận đúng

thì phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy.

* Các quy tắc suy luận trong toán học: Ta thƣờng phân biệt 2 hình thức suy

luận: đó là suy diễn (suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp) và quy nạp. Trong phân

môn hình học thì ta thƣờng vận dụng suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp:

- Suy diễn trực tiếp (suy luận trực tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ một tiền

đề rồi rút ra kết luận ngay.

- Suy diễn gián tiếp (suy luận gián tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ hai hay

nhiều tiền đề rồi mới rút ra kết luận hoặc vận dụng PP chứng minh phản chứng.

Tam đoạn luận là phép suy luận gián tiếp, trong đó kết luận đƣợc rút ra từ hai

tiền đề. Các dạng chính của phép tam đoạn luận: Tam đoạn luận khẳng định, Tam

đoạn luận giả định, Tam đoạn luận lựa chọn và Tam đoạn luận có điều kiện. Trong

chứng minh hình học ở phổ thông thì ta thƣờng vận dụng phép Tam đoạn luận

khẳng định.

+ Tam đoạn luận khẳng định (xác định): Nếu các tiền đề là các phán đoán xác

định thì có phép tam đoạn luận xác định hay .

+ Tam đoạn luận giả định: có cấu trúc hình thức phủ định là : .

Thí dụ: Nếu M là trung điểm của đoạn AB

mà : thì

Điểm I không phải là trung điểm của đoạn CD

+ Tam đoạn luận lựa chọn: Nếu một tiền đề là phán đoán lựa chọn (tuyển của

một số phán đoán, mệnh đề sơ cấp) thì có phép tam đoạn luận lựa chọn.

+) Phép tam đoạn luận có điều kiện (bắc cầu) : .

Tóm lại ta có những suy luận hợp lôgic và không hợp lôgic

Những suy luận có dạng sau là suy luận hợp lôgic:

Những suy luận có dạng sau không hợp lôgic:

;

1.2.2.2. Các bước thực hiện một bài toán chứng minh hình học

Chúng tôi quan niệm rằng các bƣớc thực hiện một bài toán chứng minh hình

học tuân theo quy trình bốn bƣớc nhƣ sau:

a) Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Để hiểu rõ đề toán trong một bài toán Hình học thì ngƣời học cần:

- Phải nắm rõ luận đề và luận cứ của bài toán (giả thiết của bài toán mới chỉ là

một phần luận cứ của bài toán);

- Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán. Hình vẽ sẽ giúp ta

hiểu đƣợc đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ còn tác dụng gợi ý cho

việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tƣởng tƣợng không gian. Nếu cần

thiết ta phải vẽ thêm đƣờng phụ cho bài toán. Khi vẽ hình cho bài toán cần lƣu ý:

+ Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trƣờng hợp đặc

biệt, vì nhƣ thế dễ gây ngộ nhận;

+ Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ (nếu có thể);

+ Để làm nổi bật các đƣờng, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nét đậm, nét

nhạt với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt;

+ Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết (một phần của luận cứ) và hình vẽ thể hiện luận

đề của bài toán.

b) Bước 2: Tìm tòi lời giải cho bài toán

Sau khi làm rõ luận đề, luận cứ của bài toán thì ta nên “phân tích ngƣợc” để tìm ra

mối liên hệ giữa luận đề với luận cứ, trên cơ sở đó tìm ra lời giải cho bài toán.

Để tìm ra đƣợc hƣớng giải cho bài toán thì ngoài việc “phân tích ngƣợc” nhƣ

trên ta nghĩ đến những bài toán có liên quan (những bài toán này đã biết cách giải).

Nghĩ đến những bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kết quả hay PP giải các bài

toán đó.

c) Bước 3: Trình bày lời giải bài toán

Quá trình tìm tòi lời giải là quá trình phân tích còn quá trình trình bày bài giải là

quá trình tổng hợp các kết quả đã phân tích.

Trong quá trình tổng hợp các kết quả phân tích để trình bày lời giải thì ta cần

lƣu ý:

+ Cần sắp xếp các công việc phải làm theo một trình tự thích hợp, phải trình bày

lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọn gàng. Trình tự trình bày bài toán có thể

khác với trình tự tìm tòi lời giải;

+ Phải sử dụng những quy tắc suy luận hợp lôgíc, nghĩa là biết mình phải vận

dụng quy tắc suy luận nào?.

d) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Sau khi giải xong bài toán ta cần thực hiện:

+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán (kiểm chứng lại kết quả

chứng minh);

+ Suy nghĩ xem có lời giải, hƣớng giải khác không?. Tìm ra lời giải hay nhất

cho bài toán;

+ Suy nghĩ xem có thể vận dụng kết quả chứng minh này để vận dụng chứng

minh một bài toán khác hay không?;

+ Từ những kết quả thu đƣợc tìm cách đề xuất những bài toán khác tƣơng tự,

hoặc mở rộng bài toán hoặc lật ngƣợc vấn đề.

1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học

Hình học là một phân môn của Toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thƣớc

và vị trí của các hình trong không gian. Ở trƣờng phổ thông, việc dạy hình học cung

cấp cho HS những kiến thức về các đối tƣợng hình học và mối quan hệ giữa chúng.

Ngoài ra việc dạy hình học còn giúp HS rèn luyện, phát triển năng lực tƣ duy, phẩm

chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.

Để tìm lời giải cho một bài toán đặc biệt là bài toán hình học thì ngƣời làm toán

phải biết phân tích bài toán (giả thiết cho những gì? Ta cần chứng minh điều gì? Mối

quan hệ giữa giả thiết với kết luận?). Chứng minh (tìm lời giải) nhƣ thế nào?. Trên cơ

sở phân tích đó, ngƣời làm toán phải biết tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và

vận dụng linh hoạt các kiến thức, PP giải phù hợp để từ giả thiết suy ra đƣợc kết luận

(giải quyết xong bài toán).

Nhƣ vậy qua nghiên cứu về cơ sở lôgic của phép chứng minh toán học, các

bƣớc để thực hiện một bài toán chứng minh hình học, chúng tôi cho rằng một số biểu

hiện sau đây là thành tố của năng lực chứng minh hình học của HS:

+ Đọc, viết các kí hiệu toán học một cách chính xác, sử dụng đúng các công

thức, các phép toán;

+ Xác định rõ luận đề, luận cứ và biết phân tích ngƣợc để tìm ra mối quan hệ

giữa chúng, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán;

+ Nắm vững quy tắc suy luận trong chứng minh hình học;

+ Khả năng kết nối tri thức (tổng hợp kiến thức).

1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán

Theo từ điển Tiếng Việt thì: “Sai lầm là trái với yêu cầu khách quan hoặc trái

với lẽ phải, đẫn đến hậu quả không hay”. “Sai sót là khuyết điểm không lớn, do sơ

suất”. “Phổ biến là có tính chất chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện

tƣợng, sự vật [16, tr.844]”.

Do vậy, theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán hình là

làm trái với yêu cầu bài toán hoặc vận dụng không đúng luận cứ (khái niệm, định

nghĩa, tiên đề, định lý) hoặc suy luận sai, vận dụng không đúng quy tắc suy luận….

Dẫn tới giải sai bài toán, không đạt đƣợc yêu cầu giải toán mà những điều này xuất

hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS.

Trong giảng dạy ở bất kỳ khối nào, lớp nào cũng có những sai sót, sai lầm đáng

tiếc của HS. Mức độ sai sót tùy thuộc vào trình độ của đối tƣợng HS lớp đó. Có

những sai sót cơ bản, thậm chí là rất cơ bản, nhƣng có những sai sót không dễ gì phát

hiện đƣợc. Nhận diện rõ những sai sót, sai lầm của HS, giáo viên cần tìm ra nguyên

nhân của sai lầm đó để có hƣớng khắc phục và điều chỉnh hợp lý để giúp HS tránh

những sai sót và có hiệu quả làm bài cao hơn.

Trong Toán học: Với mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, nhƣng dù giải theo

cách nào thì chỉ có một kết quả đúng, có những cách giải sai nhƣng vẫn cho kết quả

đúng, có những cách giải thiếu trƣờng hợp nhƣng vẫn cho kết quả đúng, đƣơng nhiên

những cách giải cho kết quả sai là cách giải không đúng. Chính vì vậy, mỗi giáo viên

khi giảng dạy cần rèn cho HS tính cẩn thận, trình bày bài lôgic, chặt chẽ để giúp HS

tránh những sai sót, khi phát hiện HS có sai sót thì giáo viên cần chỉnh sửa ngay cho

HS và nhắc các HS khác tránh những sai lầm tƣơng tự.

1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học

1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi

Theo Nguyễn Văn Cƣờng [2, tr.25]: “Thuyết hành vi cho rằng học tập là một

quá trình đơn giản mà trong đó những mối liên hệ phức tạp sẽ làm cho dễ hiểu và rõ

ràng thông qua các bƣớc học tập nhỏ đƣợc sắp xếp một cách hợp lí”. “Các quá trình

học tập phức tạp đƣợc chia thành một chuỗi các bƣớc học tập đơn giản, trong đó bao

gồm các hành vi cụ thể với trình tự đƣợc quy định sẵn. Những hành vi phức tạp đƣợc

xây dựng thông qua sự kết hợp các bƣớc học tập đơn giản [2, tr.27]”.

Nhƣ vậy, để dạy học theo thuyết hành vi thì GV phải tìm mọi cách để tránh sai

lầm bằng con đƣờng lĩnh hội kiến thức đi từ đơn giản dần đến phức tạp, nếu lỡ sai

lầm xuất hiện thì dạy ôn lại hay cung cấp kiến thức bổ trợ đến khi nào HS có câu trả

lời đúng.

Nhƣ vậy, để truyền tải một đơn vị kiến thức theo thuyết hành vi thì GV phải tìm

mọi cách để phân chia thành các bƣớc 1, bƣớc 2, … Trong bƣớc 1 lại đƣợc phân chia

thành các bƣớc 1.1, bƣớc 1.2, … Việc phân chia này dừng lại khi nó là một đơn vị

kiến thức đã biết. Từ đó dẫn tới việc học máy móc, dập khuôn, theo thói quen và quá

trình nhận thức không đƣợc chú ý.

1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo

Theo Nguyễn Văn Cƣờng [2, tr.31]: “Tƣ tƣởng nền tảng cơ bản của thuyết kiến

tạo là đặt vai trò của chủ thể nhận thức lên vị trí hàng đầu của quá trình nhận thức.

Theo thuyết kiến tạo, mỗi ngƣời học là một quá trình kiến tạo tích cực, tự phản ánh

thế giới theo kinh nghiệm riêng của mình. Những gì người học lĩnh hội, phụ thuộc

rất nhiều vào kiến thức và kinh nghiệm đã có và vào tình huống cụ thể ”. Nhƣ vậy,

nếu HS chưa đủ kiến thức, kinh nghiệm để giải quyết một bài toán thì dẫn đến sai lầm

khi giải quyết nó hoặc suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp.

Trong hoạt động DH ở trƣờng phổ thông, GV lƣờng trƣớc đƣợc các sai lầm mà

HS thƣờng mắc phải và truyền tải đƣợc các nội dung này cho HS thì góp phần phát

huy tính tích cực nhận thức của HS.

1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải toán hình học

1.5.1. Điều tra từ giáo viên

Để tìm hiểu rõ hơn về sai lầm phổ biến của HS khi giải toán hình học, chúng tôi

đã tiến hành hỏi ý kiến của đồng nghiệp qua phiếu điều tra. Đối tƣợng đƣợc điều tra

là 7 giáo viên đang giảng dạy toán khối 10 và 12 tại trƣờng THPT Cầu Xe (huyện Tứ

Kỳ - tỉnh Hải Dƣơng). Sau đây là số liệu thống kê chúng tôi thu đƣợc.

Bảng 1.1: Kết quả điều tra nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học.

STT Nguyên nhân gây sai lầm % ý kiến đồng ý

Ghi chép không cẩn thận, tính toán nhầm. 57,1 1

Không hiểu về các khái niệm, định lý. 71,4 2

Nhớ sai công thức, tính chất. 71,4 3

Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, khi kết luận không 57,1 4

kết hợp với điều kiện.

Xét thiếu trƣờng hợp 71,4 5

Biểu diễn hình sai 42,9 6

Suy luận không lôgic. 71,4 7

Diễn đạt kém. 57,1 8

Nhƣ vậy kết quả điều tra cho thấy HS còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán hình

học và mọi HS đều có thể mắc sai lầm khi giải Toán.

1.5.2. Điều tra từ học sinh

Trong quá trình giảng dạy (môn Hình học) và kiểm tra thƣờng xuyên và chu kỳ

ở các lớp khối 10, khối 12 thì HS còn mắc một số sai lầm phổ biến nhƣ: sai lầm khi

ghi chép, tính toán; sai lầm khi vận dụng định nghĩa, công thức, định lý hoặc nhớ sai

công thức, tính chất; sai do biểu diễn hình không đúng; sai lầm do không nắm vững

bản chất vấn đề, không lường hết các trường hợp.

*) Một số hình ảnh minh họa

Hình 1.1: Sai lầm do ghi chép và tính toán.

Hình 1.2: Sai lầm về luận cứ không đúng (với ABCD là hình vuông cạnh a)

Hình 1.3: Sai lầm về luận cứ (đƣờng nằm ở mặt ngoài lại vẽ nét đứt đoạn)

Hình 1.4: Sai lầm về luận cứ (sai công thức tính khoảng cách từ một điểm đến

một đƣờng thẳng, sai công thức xác định góc A).

Hình 1.5: Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic (thiếu điều kiện tồn tại PT

đƣờng thẳng trong hệ Oxy)

Hình 1.6: Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic, sai lầm do tính toán, sai lầm

do không nắm vững các trƣờng hợp riêng của PT mặt phẳng

Hình 1.7: Lời giải của Bài 2 là sai (do A, B, C, D đồng phẳng

nên không tồn tại mp(P) )

Hình 1.8: Thể hiện sai lầm do ngộ nhận, không lƣờng trƣớc đƣợc hết các trƣờng

hợp: Mới chỉ ra đƣợc trƣờng hợp riêng đã kết luận luôn cho bài toán.

*) Với kiến thức cơ bản trong SGK Hình học 10, 12 ( ban cơ bản) thì theo nghiên

cứu của chúng tôi HS còn hay mắc những sai lầm sau (ngoài việc sai lầm do tính toán):

Bảng 1.2: Những sai lầm phổ biến ở chƣơng 1- (SGK Hình học 10 (ban cơ bản))

STT Sai Đúng

Với ba điểm A, B, C ta luôn có Với ba điểm A, B , C ta luôn có 1 (quy tắc hiệu) ( hoặc )

2 Dấu “= ” xảy ra khi

hoặc cùng hƣớng

3 Dấu “= ” xảy ra khi

hoặc ngƣợc hƣớng và

Trong hệ Oxy, cho

Cho 2 điển A, B phân biệt

I là trung điểm của đoạn thì I nằm trên đƣờng trung

trực của đoạn AB AB

5 thì I nằm trên I trùng với B

đƣờng tròn tâm A và bán kính là BA

Bảng 1.3: Sai lầm phổ biến về góc giữa hai véctơ ở chƣơng 2- (SGK Hình học 10

(ban cơ bản) ). Với giả thiết cho tam giác ABC đều cạnh a

STT Sai Đúng

Hoặc

(AH là đƣờng cao của tam giác ABC)

Bảng 1.4: Sai lầm về VTPT, VTCP, công thức góc, công thức khoảng cách từ

một điểm đến một đƣờng thẳng ở chƣơng 3 (SGK Hình học 10 (ban cơ bản) )

STT Sai Đúng

Đƣờng thẳng có VTPT Đƣờng thẳng có VTPT

1 là

Đƣờng thẳng hoặc Đƣờng thẳng có có

2 VTPT VTPT

Kiểm tra xem điểm A=( 1; 3) có thuộc đƣờng thẳng không ?

Thay tọa độ A vào PT đƣờng thẳng Thay tọa độ A vào PT đƣờng thẳng ta

3 ta có có

Vậy có hai giá trị của tham số t nên Vậy không tồn tại giá trị của tham số t

điểm A thuộc đƣờng thẳng nên điểm A không thuộc đƣờng thẳng

Nếu đƣờng thẳng có VTPT Nếu đƣờng thẳng có VTPT

và đƣờng thẳng có VTPT và đƣờng thẳng có VTPT

4 Khi đó ta có công thức Khi đó ta có công thức

Đƣờng thẳng AB có VTCP Đƣờng thẳng AB có VTCP

=(a,b), suy ra nó có VTPT =(a,b), suy ra nó có VTPT 5

=(b; a) =(b; -a) hoặc =( -b;a)

Nếu điểm thì khoảng Nếu điểm thì khoảng

cách từ M đến trục Ox là 6 cách từ M đến trục Ox là

Bảng 1.5: Sai lầm phổ biến về biểu diễn hình, xác định góc, khoảng cách, công

thức tỷ số thể tích ở chƣơng 1- (SGK Hình học 12 (ban cơ bản) )

STT Sai Đúng

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng cắt các

cạnh SA, SB, SC, SD lần lƣợt tại M, N, E, F. Khi đó ta có tỉ số bằng

Hình biểu diễn sai

Hình biểu diễn đúng Hình biểu diễn sai

Cho khối chóp S.ABC có SC (ABC), đáy ABC là tam giác nhọn. Khi đó

góc giữa 2 mặt phẳng ( SAB) và (ABC) là:

Góc giữa 2 mặt phẳng ( SAB) và (ABC) là Góc giữa 2 mặt phẳng

(SAB) và (ABC) là (với AH là đƣờng cao của ABC )

Hình biểu diễn sai Hình biểu diễn sai Hình biểu diễn đúng

hình vuông, tâm O. Gọi H là

hình chiếu của A trên SD. Gọi M là trung điểm CD và K là hình chiếu của O

trên SM. Khi đó ta có khoảng cách từ A đến (SCD) là:

Do A, O, C thẳng hàng và

Mà

Từ (1) và (2)

Theo giả thiết

Từ (3) và (4) suy ra

Khi đó

Bảng 1.6: Sai lầm phổ biến về tọa độ tích có hƣớng của 2 véctơ , VTPT, công

thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ở chƣơng 3 (SGK Hình học 12

(ban cơ bản) )

STT Sai Đúng

Trong hệ trục Oxyz, cho

(sai do không đúng thứ tự của tọa độ)

mp(P): có VTPT mp(P): có

2 VTPT

3 Khoảng cách từ đến Khoảng cách từ

mp(P): đến mp(P):

là

Nếu điểm thì khoảng cách từ M đến mp(Oxy) là Nếu điểm cách 4 thì khoảng là

từ M đến mp(Oxy)

Để nghiên cứu sâu về bài toán chứng minh hình học thì ta cần gạt bỏ sai lầm do

ghi chép, tính toán. Khi đó HS thường mắc sai lầm ở hai khía cạnh sau:

1) Sai lầm do vận dụng luận cứ không đúng

2) Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic

Sau đây là những ví dụ nghiên cứu cụ thể:

*) Sai lầm do vận dụng luận cứ không đúng

Ví dụ 1.1. (Tƣơng tự bài 10 trang 12- SGK Hình Học 10) Chứng minh rằng:

Nếu thì trung điểm của hai đoạn thẳng AC và BD trùng nhau.

- Sau đây là lời giải sai của HS

Do nên ABCD là hình bình hành suy ra trung điểm của hai đƣờng

chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đƣờng hay trung điểm của hai đoạn

thẳng AC và BD trùng nhau (Đccm).

- Nhận xét: HS nhầm, lẫn “Nếu thì 4 điểm A, B, C, D chƣa chắc tạo

thành hình bình hành” mà khi thì là 2 véctơ cùng hƣớng và

(có thể A, B, C, D nằm trên 1 đƣờng thẳng)

+ HS mắc sai lầm dựa vào “Luận cứ không đúng”

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10E (43HS) 20 HS 46,5%

Ví dụ 1.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC =a . Tính

a) b)

- Sau đây là lời giải sai của HS

a) Do tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC =a nên áp dụng định lý

Pitago ta có

Ta có .

b) Do tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC =a nên

- Nguyên nhân sai lầm

+ HS nhớ nhầm định nghĩa góc giữa hai véctơ nên tính sai góc ,

kết quả đúng là (do góc giữa 2 véctơ phải chung gốc).

+ Phần (b) HS sai là do các em đồng nhất với

Vậy HS mắc sai lầm dựa vào “luận cứ không đúng”.

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra HS làm sai phần a HS làm sai phần b

(số HS điều tra) Số HS Số % HS Số HS Số % HS

10G (32HS) 15HS 46,9% 8 HS 25,0%

- Lời giải đúng:

a) Do tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC =a nên áp dụng định lý

Pitago, ta có

b) Do tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC =a, nên với M là trung điểm

của BC thì .

Vậy .

Ví dụ 1.3. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC cân tại A có BC=6cm, bán kính

đƣờng tròn ngoại tiếp R= 5 cm. Tính độ dài cạnh bên của tam giác ABC.

- Sau đây là lời giải sai của HS

Đặt AB= c, BC= a, CA= b. Khi đó theo bài ra ta có a= 6cm, b = c.

Áp dụng định lý Sin cho ABC ta có

Khi đó .

Áp dụng định lý Côsin, ta có

(do b>0 )

Vậy độ dài cạnh bên bằng (cm).

- Nhận xét: Khi đọc qua ta thấy lời giải khá chặt chẽ, nhƣng ta để ý: khi

thì , vì . Hơn

nữa thì có 2 giá trị của góc A và chúng bù nhau. Vậy còn thiếu trƣờng hợp

Ngoài ra HS mới vẽ phác họa hình học cho trƣờng hợp

ABC nhọn (còn trƣờng hợp ABC vuông, tù nữa). Vậy HS mắc sai lầm dựa vào “Luận cứ không đúng”.

( Dƣới đây là hình vẽ ứng với hai trƣờng hợp)

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10B (44HS) 15 HS 34,1%

- Lời giải đúng:

Ngoài việc trình bày lời giải nhƣ trên ta cần bổ sung phần sau:

+ Trƣờng hợp

Áp dụng định lý Côsin, ta có

(do b> 0).

Kết luận : Độ dài cạnh bên là AB= AC = cm hoặc AB= AC = cm.

Ví dụ 1.4. Cho tam giác ABC có BC= 9 cm, CA= 4 cm, . Tính cạnh

AB và số đo góc A, góc B của tam giác ABC.

- Sau đây là lời giải sai của HS

AB= c, BC= a, CA= b. Khi đó theo bài ra ta có a= 9 cm; b = 4cm.

Áp dụng định lý Côsin, ta có

Suy ra .

Áp dụng định lý sin cho ABC ta có:

Vậy ; .

- Nhận xét: Nếu đọc qua thì thấy lời giải đúng, lôgic. Nhƣng kiểm tra lại, ta

thấy . Vậy sai lầm của

của lời giải ở chỗ nào ?.

- Nguyên nhân sai lầm: Do HS chủ quan, sau khi tìm ra đáp số (giải đƣợc bài

toán) coi nhƣ mình đã làm xong và không kiểm tra lại kết quả.

+ Với cho 2 số đo góc A là và ,

nhƣng thực tế ta mới lấy 1 giá trị góc A. Tƣơng tự ta mới lấy 1 giá trị góc B.

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10B (44HS) 18 HS 40,9%

- Lời giải đúng:

Đặt AB= c, BC= a, CA= b. Khi đó theo bài ra ta có a= 9cm, b = 4cm

Áp dụng định lý Côsin ta có:

Suy ra .

Ta có:

Suy ra

Vậy và ; .

Ví dụ 1.5. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có PT các cạnh là AB:

, BC: , CA: . Tìm số đo góc A và

tính diện tích tam giác ABC.

- Sau đây là lời giải sai của HS

+) Tìm số đo góc A:

Ta có đƣờng thẳng AB:

có VTPT

Đƣờng thẳng AC: có VTPT

Ta có:

Vậy .

+ Tìm diện tích tam giác ABC: Ta có .

Ta có :

Từ giả thiết ta tìm đƣợc:

Ta có:

Vậy (đơn vị diện tích).

- Nhận xét: Bài giải trình bày rõ ràng, mạch lạc. Chắc không sai ?. Khi đọc kỹ

lời giải và kiểm tra kết quả thì lời giải trên sai.

- Nguyên nhân sai lầm

+ HS đã vận dụng công thức tính góc giữa 2 đƣờng thẳng để tính góc trong tam

giác. (góc trong tam giác bằng góc giữa 2 véctơ chung đỉnh đó).

+ HS nhớ nhầm công thức tính khoảng cách (thiếu dấu giá trị tuyệt đối). Ở bài

này số “ ” là số dƣơng nên HS không kiểm tra lại công thức tính khoảng

cách mà mình vận dụng.

+) Sai lầm HS mắc phải là “Sai lầm về luận cứ không đúng”

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10E (43HS) 17 HS 35,4%

- Lời giải đúng:

Ta có:

Từ giả thiết ta tìm đƣợc :

Ta có:

+ Tìm số đo góc A:

Ta có:

Vậy

+) Tìm diện tích tam giác ABC

Ta có:

Vậy (đơn vị diện tích).

Ví dụ 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a,

SA vuông góc đáy, . Gọi B‟, D‟ lần lƣợt là hình chiếu của A lên SB, SD.

Mặt phẳng (AB‟D‟) cắt SC tại C‟.

a) Gọi I là giao điểm của SO với AC‟. Tính khoảng cách từ I đến mp(SBC).

b) Tính thể tích khối chóp S.AB‟C‟D‟.

- Một số hình biểu diễn

Hình biểu diễn đúng Hình biểu diễn sai Hình biểu diễn sai

- Ngoài việc biểu diễn hình sai thì còn có HS giải sai

- Sau đây là lời giải sai của HS

a) Ta có: AD‟ (SDC) nên AD‟ SC

AB‟ (SBC) nên AB‟ SC

mà (AB‟D‟) cắt SC tại C‟

Suy ra SC (AB‟D‟) AC‟ SC (1)

Trong SAC có SA (2) AC và

Từ (1) và (2) ta có AC‟ đƣờng cao trong tam giác vuông cân tại A nên AC‟ là

đƣờng trung tuyến của SAC và .

Trong SAC có I là trọng tâm nên .

Từ (1) ta có suy ra .

b) Theo chứng minh trên ta có SC (AB‟D‟) nên SC B‟D‟ (3)

Do ABCD là hình vuông và SA (ABCD) nên BD (SAC) BD SC (4)

Từ (3) và (4) ta có B‟D‟ //BD và B‟D‟ qua I.

Mặt khác, trong SAC có I là trọng tâm nên .

Ta có .

- Nhận xét: Ngoài việc HS vẽ hình sai (sai do không thể hiện đƣợc quan hệ

vuông góc, sai do không xác định đúng vị trí điểm C‟, sai do vẽ nét đứt đoạn ở mặt

ngoài, sai do không đúng tỷ lệ DD‟=BB‟) thì còn một số sai sót sau:

+ Phần (a), HS giải chi tiết, rõ ràng và là đúng.

Nhƣng đến phần cuối lại chỉ ra ngay ? (HS không giải thích),

ngoài ra kết quả này không đúng.

+ Phần (b) cũng vậy, lúc đầu HS giải chi tiết, rõ ràng nhƣng đoạn cuối lại vận

dụng sai công thức.

+ Tóm lại HS mắc sai lầm dựa vào “luận cứ không đúng”

Sau đây là bảng điều tra về HS biểu diễn hình sai

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS vẽ sai Số % HS vẽ sai

12C (39HS) 10 HS 25,6%

Sau đây là bảng điều tra HS làm sai

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

12C (39HS) 15 HS 38,5%

- Lời giải đúng:

a) Ta có AD‟ (SDC) nên AD‟ SC

AB‟ (SBC) nên AB‟ SC

mà (AB‟D‟) cắt SC tại C‟

Suy ra SC (AB‟D‟) AC‟ SC (1)

Trong SAC có SA AC và (2)

Từ (1) và (2) ta có AC‟ đƣờng cao trong tam giác vuông cân tại A nên AC‟ là

đƣờng trung tuyến của SAC và

Trong SAC có SO và AC‟ là hai đƣờng trung tuyến nên I là trọng tâm và

mà . nên

+ Ta có BC (SAB) nên BC AB‟

Mà AB‟ SB nên AB‟ (SBC)

Suy ra

Trong SAB ta có

b) Theo chứng minh trên ta có SC (AB‟D‟) nên SC B‟D‟ (3)

Theo giả thiết ABCD là hình vuông và SA (ABCD) nên BD (SAC)

Suy ra BD SC (4)

Từ (3) và (4) ta có B‟D‟ //BD và B‟D‟ qua I.

+ Trong SBD có .

+ Phân chia chóp tứ giác:

ta có

Ta có

Ví dụ 1.7. Trong hệ trục Oxyz, cho

. Lập PT mp (P) chứa đƣờng thẳng AB và song song CD

- Sau đây là lời giải sai của HS

Do mp (P) chứa đƣờng thẳng AB và song song CD nên

Ta có:

Suy ra PT mp(P) là :

- Nhận xét: Bài toán đơn giản, suy luận lôgic và làm bài đúng. Chắc không có

sai lầm?. Nếu ta kiểm tra lại thì thấy C, D thuộc mp(P).

- Nguyên nhân sai lầm: HS không kiểm tra tính đồng phẳng của 4 điểm A, B,

C, D (nếu A, B, C, D đồng phẳng thì không tồn tại mp(P) hoặc có vô số mp(P) ). Hơn

nữa khi thầy cô ra đề thì 4 điểm A, B, C, D thƣờng là 4 đỉnh của một tứ diện và đƣa

ra phƣơng pháp làm (nhƣ trình bày ở trên).

+ HS mắc sai lầm “ Máy móc – dập khuôn ” của thuyết hành vi.

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

25 HS 64,1% 12C (39HS)

- Lời giải đúng:

+ Ta có

Suy ra A, B, C, D đồng phẳng.

+ Mặt khác nên không cùng phƣơng.

Suy ra hai đƣờng thẳng AB, CD cắt nhau .Vậy không tồn tại mp(P) cần lập.

(*) Sai lầm do luận chứng không hợp lôgic

Ví dụ 1.8. Chứng minh rằng: Nếu thì trung điểm của hai đoạn thẳng

AC và BD trùng nhau.

- Sau đây là lời giải sai của HS

Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó ta có (1)

Nếu I là trung điểm của BD. Khi đó ta có (2)

Từ (1) và (2) ta có (đúng

theo giả thiết)

Kết luận: Nếu thì trung điểm của hai đoạn thẳng AC và BD trùng

nhau.

- Nhận xét: Mục tiêu cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AC và BD

trùng nhau, nhƣng ở đây HS đã lấy làm giả thiết và với giả thiết cho thì

HS lại đi chứng minh nó.

+ HS đã mắc sai lầm “luận chứng không hợp lôgic ”. HS đã vận dụng sai quy

tắc , quy tắc đúng là

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10 HS 31,3% 10G (32HS)

- Lời giải đúng:

Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó ta có

Từ giả thiết ta có:

I là trung điểm của BD.

Kết luận: Nếu thì trung điểm của hai đoạn thẳng AC và BD trùng nhau.

Ví dụ 1.9. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của

AB, CD và gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:

- Sau đây là lời giải sai của HS

Do M là trung điểm của AB nên với điểm I ta có .

Do N là trung điểm của CD nên với điểm I ta có .

Khi đó

Suy ra I là trung điểm của MN (luôn đúng theo giả thiết). Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh.

- Nhận xét: Mục tiêu cần chứng minh , nhƣng ở đây HS đã lấy

làm giả thiết và với giả thiết I trung điểm của hai đoạn MN thì HS lại đi chứng minh nó.

+ HS đã mắc sai lầm “luận chứng không hợp lôgic ”. HS đã vận dụng sai quy

tắc , quy tắc đúng là .

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10E (43HS) 12 HS 27,9%

- Lời giải đúng:

Do M là trung điểm của AB nên với điểm I ta có .

Do N là trung điểm của CD nên với điểm I ta có .

Do I là trung điểm của MN nên ta có .

Khi đó

( luôn đúng ).

Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh. Ví dụ 1.10. Gọi G, H, I lần lƣợt là trọng tâm, trực tâm, tâm đƣờng tròn ngoại

tiếp của ABC. Chứng minh rằng: G, H, I thẳng hàng (Định lí Ơle).

- Sau đây là lời giải sai của HS

Gọi AE là đƣờng cao và M là trung điểm BC.

Khi đó : IM BC IM//AH .

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G AM.

Xét hai tam giác AGH và MGI có:

; (so le trong)

AGH MGI

Suy ra và 2 góc này đối đỉnh

H, G, I thẳng hàng.

- Nguyên nhân sai lầm: HS đã ngộ nhận (điều này chỉ có khi G,

H, I thẳng hàng, mà điều này chính là luận đề).

+ HS đã mắc sai lầm suy luận không hợp lôgic. HS đã vận dụng sai quy tắc

, quy tắc đúng là .

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

10B (44HS) 15 HS 34,1%

- Lời giải đúng:

* Trƣớc hết ta chứng minh .

Gọi A‟ là điểm đối của A qua tâm I.

(góc nội tiếp chắn nửa đƣờng tròn) (1) + Ta có

Mà (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH // A‟C (I)

+) Tƣơng tự ta có CH// A‟B (II)

Từ (I) và (II) suy ra HBA‟C là hình bình hành

Khi đó theo quy tắc hình bình hành thì:

(3)

Theo công thức trung điểm ta có (4)

Từ (3) và (4) suy ra (I)

* Mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên với điểm H ta có

(II)

Từ (I) và (II) suy ra .

Vậy G, H, I thẳng hàng (Đccm) hơn nữa HG = 2GI.

Ví dụ 1.11. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính

khoảng cách từ A đến mp(SCD).

- Một số hình vẽ biểu diễn.

Hình biểu diễn đúng Hình biểu diễn sai Hình biểu diễn sai

- Ngoài việc biểu diễn hình sai thì còn có HS giải sai

- Sau đây là lời giải sai của HS

Kẻ AK SD tại K (1)

Ta có SD (SDC) (2)

Từ (1) và (2) ta có AK (SDC), khi đó

Ta có SAD vuông cân tại A nên

- Nhận xét: HS nghĩ rằng AK SD, SD (SCD) nên AK (SCD).

Đáng lẽ HS phải chỉ ra AK vuông góc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau nằm trong

mp(SCD) thì mới đúng.

+ Chúng ta phải dùng suy luận dạng:

(ở đây HS mới chỉ ra đƣợc mỗi X1 mà đã suy ra ngay Y )

+ Vậy HS mắc sai lầm dựa vào “luận chứng không hợp lôgic”.

+ Trong bài này ta không thể chỉ ra AK vuông góc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau

nằm trong mp(SCD), vì không vuông góc .

Sau đây là bảng điều tra về HS biểu diễn hình sai

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS vẽ sai Số % HS vẽ sai

12E (41HS) 13 HS 31,7%

Sau đây là bảng điều tra về HS có lời giải sai

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

12E (41HS) 15 HS 36,6%

- Lời giải đúng:

Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của AB, CD. Khi đó IJ CD (1) và IJ =a

Ta có AI // CD nên AI // (SCD). Khi đó

Do (SAB) (ABCD) và SAB đều cạnh a nên SI (ABCD) và

Suy ra SI CD (2).

Từ (1) và (2) suy ra CD (SIJ)

Trong mp(SIJ) kẻ IH SJ tại H (3)

Ta có (4)

Mà SJ, CD cắt nhau và cùng nằm trong mp(SCD) (5)

Từ (3),(4) và (5) ta có IH (SCD) tại H.

Khi đó

Trong SIJ ta có: .

Vậy .

Ví dụ 1.12. Cho hình chóp tam giác S.ABC đều có tất cả các cạnh bằng a. Gọi E là

trung điểm của SB. Chứng minh rằng là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

- Sau đây là lời giải sai của HS

Do S.ABC là hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau, E là trung điểm SB

nên SAB, SBC là các tam giác đều và (1)

Mà (2)

Từ (1) và (2) ta có

(*)

(Đccm).

- Nhận xét: Nếu đọc qua thì thấy lời giải khá chặt chẽ, suy luận lôgic. Chắc

không có sai lầm ?.

+) Trong thực tế, đa số các trƣờng hợp cứ thõa mãn

+ Ta cần nhớ rằng: Nếu là góc giữa 2 mặt phẳng thì . Đọc kỹ lời

giải ta cần lƣu ý không luôn đúng vì có thể lớn hơn . Vậy

ta còn phải khẳng định .

+ Sai lầm HS mắc phải là “luận cứ không đúng”. Sai lầm này do HS chƣa nắm

vững kiến thức và đa số các bài toán thực tế thỏa mãn thì

( sai lầm này dựa trên thuyết hành vi).

Sau đây là bảng điều tra

Lớp đƣợc điều tra (số HS điều tra) Số HS làm sai Số % HS làm sai

12C(39HS) 20 HS 51,3%

- Lời giải đúng:

Do S.ABC là hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau, E là trung điểm SB

nên SAB, SBC là các tam giác đều và (1)

Mà (2)

Từ (1) và (2) ta có (3)

+ Ta chứng minh góc nhỏ hơn

Xét AEC, có . Áp dụng định lý côsin ta có

(4)

Từ (3) và (4) suy ra (Đccm).

Chú ý: Nếu giả thiết chỉ cho S.ABC là hình chóp đều, cạnh đáy bằng a và góc

giữa cạnh bên với cạnh đáy bằng với thì góc lớn hơn .

Khi đó .

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 10 lần 1)

Câu 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lƣợt là trung

điểm của các cạnh AD, BC.

a) Hãy tính (độ dài các vectơ):

b)Chứng minh rằng:

(2)

c) Chứng minh rằng: (1)

Câu 2.

nằm trên cạnh AC thỏa mãn AC= 3AN.

a) Phân tích mỗi vectơ theo hai vectơ .

b) Tìm tập hợp những điểm I thỏa mãn

Ghi chú: Đây là kiến thức chƣơng 1 của hình học lớp 10 (nội dung kiểm tra

trong phạm vi phần kiến thức mà HS đã học). Đề thi trong 45 phút, vừa sức HS và

chú ý tới một số sai lầm cần quan tâm là:

*) S1: tính toán nhầm và hiểu sai công thức (Câu 1a; Câu 2b) ;

*) S2: (Câu 1b );

*) S3: Chuyển vế và vế còn lại là ( không phải là số 0) (Câu 1c);

- Vận dụng sai quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu.

*) S4: Vận dụng sai công thức, phân tích sai (Câu 2a);

*) S5: Không làm đƣợc (Câu 2b) hoặc giải sai hoặc vận dụng sai công thức trung

điểm đoạn thẳng và công thức trọng tâm tam giác hoặc kết luận sai.

Kết luận đúng là: “Trong mặt phẳng, nếu E, F cố định thỏa mãn thì

tập hợp điểm I là đƣờng trung trực của đoạn EF” .

Sau đây là thống kê số HS mắc sai lầm trên:

Sai lầm S1 S2 S3 S4 S5

Lớp (số HS) 10B (44) 0 10 10 15 33

10E (43) 7 20 20 30 40

10G (32) 9 17 20 25 32

Tổng số HS (119) 16 47 50 70 105

% HS sai lầm 13,4 39,5 42,1 58,8 88,2

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 12 lần 1)

Câu 1: Hãy xác định góc giữa cạnh bên SB với mặt đáy của các hình chóp sau:

a) Hình chóp S.ABC có SA (ABC).

b) Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC) (ABC) và SAC là tam giác đều.

(yêu cầu HS vẽ hình và xác định chính xác góc cần tìm)

Câu 2: Hãy xác định góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy của các hình chóp

a) Hình chóp S.ABC có SC (ABC), tam giác ABC vuông tại A.

b) Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SCD) (ABCD) và SCD là tam giác đều,

ABCD là hình chữ nhật.

(yêu cầu HS vẽ hình và xác định chính xác góc cần tìm)

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA

(ABCD), góc giữa mp(SBD) với mặt đáy bằng .

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách từ D đến mp(SBC). Từ đó tính khoảng cách từ O đến

mp(SBC).

c) Gọi C‟ là trung điểm của SC. Gọi là mặt phẳng đi qua A, C‟ và song

song với BD, giả sử mp cắt SB tại B‟ và cắt SD tại D‟. Tính thể tích khối chóp

S.AB‟C‟D‟.

Ghi chú: Đây là kiến thức chƣơng 1 của hình học lớp 12 (HS đã học xong

chƣơng 1 này). Đề thi trong 60 phút, vừa sức HS và chú ý tới một số sai lầm mà điều

tra cần quan tâm là:

A) Sai lầm do vận dụng luận cứ không đúng

*) S1: Góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng(Câu 1);

*) S2: dựa vào luận cứ không đúng để suy ra góc giữa 2 mặt phẳng (Câu 2);(Câu 3a)

*) S3: Công thức tỷ số thể tích(Câu 3c).

B) Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic

*) S4: chƣa đầy đủ luận cứ đã suy ra góc giữa 2 mặt phẳng (Câu 2), (Câu 3a);

*) S5: Suy luận thiếu lôgic đã suy ra khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Câu 3b)

Sau đây là thống kê số HS mắc sai lầm về vận dụng luận cứ không đúng

Sai lầm S1 S2 S3

1a 1b 2a 2b 3c 3a

Lớp (số HS) 12C (39 HS) 0 10 5 9 10 5

12E (41 HS) 0 15 7 12 20 8

0 35 12 21 30 13 Tổng số HS (80)

% HS sai lầm 0 15,0 43,8 26,3 16,3 37,5

Sau đây là thống kê số HS mắc sai lầm về “luận chứng không hợp lôgic”

Sai lầm S4 S5

2a 2b 3b 3a

Lớp (số HS) 12C (39 HS) 12 14 12 10

12E (41 HS) 17 20 20 14

27 34 32 24 Tổng số HS (80)

% HS sai lầm 33,8 42,5 30,0 40,0

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 10-lần 2).

Câu 1: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình các cạnh là:

a) Tìm tọa độ điểm A và độ dài đƣờng cao AH của ABC .

b) Tính số đo góc A của tam giác ABC.

c) Chứng minh rằng: Trong các đƣờng cao của tam giác ABC thì đƣờng cao hạ

từ đỉnh A có độ dài ngắn nhất.

Câu 2: Trong hệ trục Oxy, cho và hai đƣờng thẳng

lần lƣợt có phƣơng trình là

a) Tìm m để đƣờng thẳng tạo với một góc .

b) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua cách đều hai điểm A, B.

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc sao cho NA+ NO ngắn nhất.

Ghi chú: Đây là kiến thức chƣơng 3 của hình học lớp 10 (nội dung kiểm tra

trong phạm vi phần kiến thức mà HS đã học). Đề thi trong 45 phút, vừa sức HS và

chú ý tới một số sai lầm mà điều tra cần quan tâm là:

A) Sai lầm do vận dụng luận cứ không đúng

*) S1: Sai công thức tính khoảng cách , công thức tính góc giữa hai véctơ (Câu 1a,b);

*) S2: Điều kiện tồn tại phƣơng trình đƣờng thẳng (Câu 2a );

*) S3: Xét thiếu trƣờng hợp. (Câu 2b);

*) S4: Sai do bệnh “máy móc- dập khuôn” (Câu 2c).

B) Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic

*) S5: chƣa đầy đủ luận cứ đã khẳng định *) S6: chƣa đầy đủ luận cứ đã khẳng định (Câu 1b); là ngắn nhất(Câu 1c).

Sau đây là thống kê số HS mắc sai lầm trên

Sai lầm Sai lầm về luận chứng Sai lầm về luận cứ

S1 S2 S3 S4 S5 S6

Lớp (số HS) 10B(44 HS) 10E (43 HS) 10G (32 HS) Tổng số HS (119) % HS sai lầm 3 8 5 16 13,4 7 18 15 40 33,6 6 15 10 31 26,1 15 30 25 70 58,8 10 18 13 41 34,4 10 20 15 45 37,8

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 12- lần 2)

, Câu 1: Trong hệ trục Oxyz, cho

và .

a) Chứng minh rằng: không đồng phẳng.

b) Lập PT mp (P) chứa đƣờng thẳng AB và song song CD.

c) Có tồn tại mp(Q) chứa hai điểm A, B và song song với đƣờng thẳng CE

không?. Nếu có thì hãy viết PT mp(Q).

Câu 2: Trong hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng và mặt

nhỏ hơn 4.

cầu (S) .

a) Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Tìm m để khoảng cách từ I đến mp

b) Nếu là PT của mp . Chứng minh rằng mp

vuông góc với mp .

Ghi chú: Đây là kiến thức chƣơng 3 của hình học lớp 12 (nội dung kiểm tra

trong phạm vi phần kiến thức mà HS đã học). Đề thi trong 45 phút, vừa sức HS và

chú ý tới một số sai lầm mà điều tra cần quan tâm là:

A) Sai lầm do vận dụng luận cứ không đúng

*) S1: Sai công thức tính tọa độ tích có hƣớng của 2 véctơ (Câu 1);

*) S2: Kết luận sai về sự tồn tại của mặt phẳng (Câu 1b).

B) Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic

*) S3: Suy luận không hợp lôgic, kết luận mp(Q) có tồn tại (Câu 1c);

*) S4: Thiếu điều kiện tồn tại PT mặt phẳng, PT mặt cầu (Câu 2 ).

Sau đây là thống kê số HS mắc sai lầm trên

Sai lầm S1 S2 S3 S4

1a 1b 1c 1b 1c 2a 2b Lớp (số HS)

12G (41 HS) 9 8 8 4 32 30 25

12H (39 HS) 7 7 7 3 30 26 22

7 62 56 47 16 15 15 Tổng số HS (80)

% HS sai lầm 20,0 18,8 18,8 8,8 77,5 70,0 58,8

1.6. Kết luận chƣơng 1

Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng:

Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong quá trình giải toán hình học thì HS

thƣờng mắc sai lầm phổ biến nhƣ: nhớ sai công thức, tính chất, hiểu sai đề toán, thiếu

điều kiện (điều kiện để tồn tại PT đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu), xét thiếu trƣờng

hợp, biểu diễn hình sai, không lôgic trong suy diễn. Đối với bài toán chứng minh hình

học HS thƣờng mắc sai lầm là: sai lầm về luận cứ không đúng, sai lầm về luận chứng

không hợp lôgic.

Thấy đƣợc sự cần thiết phải phát hiện, sửa chữa sai lầm phổ biến trong giải toán

hình học, đặc biệt là trong chứng minh hình học. Hạn chế này do một phần GV chƣa

chú ý tới các tình huống dẫn đến sai lầm của HS. Nhiều khi GV phát hiện thấy sai lầm

nhƣng chƣa nhắc nhở kịp thời đến HS.

Năng lực và sở thích của mỗi HS là khác nhau, đặc biệt là năng lực toán học. Do

vậy, trong quá trình học tập môn Toán các em thể hiện và bộc lộ các sai sót khác

nhau. Do đó, ngƣời GV cần nắm bắt những sai lầm đó, phân tích nguyên nhân và đề

ra cách khắc phục. Điều này rất quan trọng vì “con ngƣời phải biết học ở những sai

lầm và những thiếu sót của mình [15]”.

Từ những nghiên cứu này, chúng tôi có cơ sở thực tiễn và lý luận đề nghị các

biện pháp hiệu quả nhằm phân tích giúp HS tự phòng tránh và sửa chữa sai lầm phổ

biến từ đó góp phần hoàn thiện hơn lý luận DH môn toán sao cho đạt mục đích dạy

và học hiệu quả, hơn nữa cần giúp HS tự phát hiện ra các lỗi, sai lầm và tự tìm cách

sửa các lỗi mắc phải.

Chƣơng 2.

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG TRÁNH

CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT

TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC.

2.1. Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS các kiến thức đầy đủ, chính xác.

a) Mục tiêu: Nhằm giúp HS có đủ kiến thức cần thiết, nhận thức đúng và đầy

đủ về bản chất các khái niệm, định lý, bài toán. Từ đó giúp HS tránh những sai lầm:

“sai lầm về luận cứ không đúng”.

b)Biện pháp thực hiện

Thứ nhất: Cung cấp đúng và đầy đủ kiến thức cho HS

Trong mỗi bài học Hình học, GV cần cung cấp đúng, đủ kiến thức cho HS. Ngoài

ra, trƣớc khi giải bài tập hình học thì GV nên củng cố lại kiến thức đƣợc vận dụng giải

bài toán này.

Khi HS đã có đủ kiến thức cần thiết, nhận thức đúng, đầy đủ nội dung bài toán

thì HS vận dụng đúng luận cứ, cảm thấy tự tin khi làm và trình bày bài. Khi đó HS

không mắc sai lầm đáng tiếc nhƣ ví dụ sau:

Ví dụ 2.1.1. Trong hệ trục Oxyz, cho .

Chứng minh rằng không đồng phẳng.

- Lời giải sai của HS

Ta chứng minh .

Ta có

Vậy không đồng phẳng.

- Nguyên nhân sai lầm: HS đã vận dụng sai công thức tính tích có hƣớng của

Với

hai véctơ thì công thức đúng là:

Nhận xét: Rõ ràng nên không đồng phẳng (đây là Đccm).

Nhƣng đọc kỹ lại ta thấy: HS kí hiệu sai công thức tích có hƣớng của hai véctơ, kí

hiệu đúng là . Khi kiểm tra lại kết quả thì đáp số là

Vậy, nếu HS nắm vững công thức tính tích có hƣớng của hai véctơ thì không mắc sai

lầm đáng tiếc này.

- Lời giải đúng:

Ta chứng minh

Ta có

Vậy không đồng phẳng.

Ví dụ 2.1.2. Trong hệ trục Oxyz, cho và mặt phẳng

: . Viết PT mp (P), biết mp(P) đi qua A, B và mp(P) vuông

góc với mp .

- Lời giải sai của HS như sau

Dễ thấy A, B không thuộc mp

Ta có:

và mp có VTPT

Do mp(P) đi qua A, B và mp(P) vuông góc với mp nên

Suy ra PT mp(P) là (vô lý, vì PT này là PT của đƣờng thẳng )

Vậy không có mp(P) thỏa mãn yêu cầu.

- Nhận xét: Mặc dù kết quả PT mặt phẳng cần lập là (kết quả

đúng) nhƣng HS kết luận sai. Nguyên nhân sai lầm là do HS không nắm chắc các

trường hợp riêng của PT mặt phẳng nên coi chỉ là PT của đƣờng thẳng.

Hơn nữa HS viết là sai (do không nắm chắc định nghĩa

hai véctơ bằng nhau) và việc kiểm tra A, B thuộc (hay không thuộc) mp là không

cần thiết.

Thứ hai: Trong quá trình giảng dạy khái niệm, định lý hình học, GV nhấn mạnh

bản chất các khái niệm, định lý.

Chúng tôi đồng quan điểm với tác giả Nguyễn Bá Kim [12] về các hoạt động DH

khái niệm, DH định lý (gồm các hoạt động: tiếp cận, hình thành, củng cố, vận dụng) và

những hoạt động củng cố khái niệm, định lý (gồm các hoạt động: hoạt động nhận dạng

và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ, hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa).

Theo chúng tôi cần nhấn mạnh hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lý.

Khi HS đã có đủ kiến thức cần thiết, nhưng chưa hiểu và nắm được bản chất

khái niệm, nội dung định lý, công thức nên vận dụng luận cứ không chính xác dẫn

đến sai lầm đáng tiếc.

Ví dụ 2.1.3. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính .

- Lời giải sai của HS

Do tam giác ABC đều cạnh a nên .

Ta có .

- Nguyên nhân sai lầm: HS không nắm đƣợc bản chất góc giữa hai véctơ nên

xác định sai góc . Kết quả đúng là

(góc giữa 2 véctơ phải chung gốc).

- Lời giải đúng:

Ta có

Ví dụ 2.1.4. Trong hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng (m

. Chứng minh rằng mp vuông góc với là tham số) và :

mp .

- Lời giải sai của HS như sau

Ta có mp có VTPT

mp có VTPT .

Ta có

Vậy với mọi m thì mp luôn vuông góc với mp .

- Nhận xét: HS không nắm vững điều kiện để PT là PT

của một mặt phẳng là: Hơn nữa

là VTPT của mp khi và chỉ khi .

- Lời giải đúng:

Điều kiện để là PT mặt phẳng là:

(1)

+ Với có VTPT ta có : mp

mp có VTPT .

suy ra

Từ (1) và (2) ta có kết luận: khi thì mp vuông góc với mp .

Thứ ba: Dự đoán trƣớc đƣợc các sai lầm mà HS hay mắc phải.

Nếu dự đoán trƣớc đƣợc các sai lầm mà HS hay mắc phải thì khi giảng dạy GV sẽ

chuẩn bị bài, soạn bài đề phòng đƣợc các sai lầm này cho HS, giúp cho HS có nhận thức

đúng đắn, chính xác và tránh đƣợc các sai lầm đáng tiếc, tiết kiệm đƣợc thời gian (sau

này GV không mất thời gian để củng cố lại kiến thức, HS cũng không mất thời gian để

học lại). Hơn nữa sự chủ động đề phòng các sai lầm bao giờ cũng mang tính tích cực,

làm cho giờ dạy của GV sôi nổi, có hiệu quả, HS thì hứng thú học tập và tạo dấu ấn, nhớ

kĩ kiến thức hơn.

Khi DH các học khái niệm, định lý về hình học thì GV cần dự đoán trƣớc (bằng

kinh nghiệm bản thân hoặc trao đổi với đồng nghiệp) những khái niệm nào, định lý nào

HS khó hiểu, hiểu sai, hiểu không đầy đủ và các khả năng HS hay mắc sai lầm, để từ đó

có PP giảng dạy phù hợp, có những ví dụ cụ thể để minh họa, có những hình ảnh trực

quan minh họa, bên cạnh đó cũng cần lấy một số “phản ví vụ” (ví dụ không đúng với

khái niệm, định lý).

Khi HS đã học xong một số khái niệm, GV nên chỉ ra mối liên hệ giữa các khái

niệm (nếu có) để từ đó HS hiểu kỹ hơn, sâu hơn và có cái nhìn tổng quát hơn vấn những

vấn đề đó và biết vận dụng vào bài tập một cách hợp lý, chính xác, không mắc sai lầm

đáng tiếc. Khi HS đã học xong một số định lý, GV cần chỉ rõ cấu trúc lôgic của mỗi định

lý, vận dụng nó để làm gì? cách vận dụng nó? bên cạnh đó nên chỉ ra mối liên hệ giữa

các định lý (nếu có) để từ đó HS hiểu kỹ hơn, sâu hơn và có cái nhìn tổng quát hơn vấn

những vấn đề đó và biết suy luận, vận dụng định lý vào bài tập một cách lôgic, chính

xác, không mắc sai lầm đáng tiếc.

Ví dụ 2.1.5. Khi dạy về khái niệm góc giữa hai véctơ trong mặt phẳng, thì

GV cần nhấn mạnh:

+) Góc giữa hai véctơ phải chung gốc;

+) Miền giá trị của góc giữa hai véctơ là từ đến , phân biệt với miền giá trị

của góc giữa hai đƣờng thẳng (từ đến

); +) Chỉ ra quan hệ góc giữa 2 đƣờng thẳng với góc giữa hai VTCP của hai đƣờng

thẳng đó;

+) Lấy một số ví dụ góc giữa hai véctơ trong tam giác đều, trong tam giác vuông,

trong hình vuông (luôn quy về góc giữa hai véctơ chung gốc);

+) Lấy một số phản ví dụ về góc giữa hai véctơ trong tam giác;

+) Rèn luyện cho HS vẽ hình để xác định góc giữa hai véctơ cho trƣớc;

+) Bên cạnh đó GV lƣờng trƣớc đƣợc một số sai lầm nhƣ:

STT Sai Đúng

Nếu Nếu là hai véctơ cùng phƣơng . Khi đó

là hai véctơ cùng phƣơng. Khi đó 2 +) , nếu cùng hƣớng

+) , nếu ngƣợc hƣớng

Gọi lần lƣợt là giá của hai véctơ . Khi đó ta có

3 = khi là góc nhọn +)

+) khi là góc tù

Chẳng hạn với tam giác ABC ta có

Đúng Sai

+) khi là góc nhọn

+) khi là góc tù

Hoặc với ABCD là hình bình hành tâm I. Khi đó ta có

Sai Đúng

Ví dụ 2.1.6. Khi dạy về “ PT tổng quát của mặt phẳng”, thì GV cần nhấn mạnh:

+) PT : (x, y, z là ẩn)

là PT của một mặt phẳng, có VTPT ;

+) Mọi PT của một mặt phẳng đều có dạng:

với x, y, z là ẩn;

+) GV nhấn mạnh rằng: Trong hệ trục tọa độ Oxyz thì các PT dạng

; đều là PT

trình của mặt phẳng, chứ không phải là PT đường thẳng.

+) Lấy một số ví dụ về PT mặt phẳng (có cả các trƣờng hợp hệ số của ẩn bằng 0)

(chỉ rõ hệ số A, B, C và tọa độ của VTCP);

+) Lấy một số phản ví dụ (nhƣ: không là PT của mặt phẳng);

+) Lấy một số ví dụ để kiểm tra điều kiện ;

Chẳng hạn: Tìm tham số m để PT: là PT của một

mặt phẳng.

+) Các trƣờng hợp riêng của PT mặt phẳng :

Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ;

Mặt phẳng song song hoặc trùng với các mặt phẳng tọa độ;

Mặt phẳng song song hoặc chứa các trục tọa độ;

Mặt phẳng cắt các trục tọa độ (PT mặt phẳng theo đoạn chắn);

Bên cạnh đó GV lƣờng trƣớc đƣợc một số sai lầm nhƣ:

Sai Đúng STT

là PT mặt phẳng song +)

song với mp(Oyz) 1 Đều là PT đƣờng thẳng, (không phải +) là PT mặt phẳng chứa là PT của mặt phẳng) trục Oz

2 Khi đó PT mp(P) là: Khi đó PT mp(P) là:

là PT của mặt phẳng có VTCP là Không luôn luôn là PT mặt phẳng .

Chỉ là PT của một mặt phẳng khi . 3

. Khi đó nó có VTPT

là .

2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình đúng.

a) Mục tiêu: Nhằm giúp HS có cái nhìn tổng quát về bài toán hình, HS hiểu đúng

đƣợc luận đề đồng thời tìm đƣợc luận cứ đúng đắn nhờ gợi ý từ trực quan. Giúp HS

tránh những sai lầm: “ngộ nhận”, luận đề và luận cứ không đúng.

b) Biện pháp thực hiện

Thứ nhất: Vẽ hình minh họa cho mỗi bài toán, xét các trƣờng hợp có thể xảy ra.

Coi việc vẽ hình minh họa là yêu cầu bắt buộc khi giải toán hình học.

Ví dụ 2.2.1. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC cân tại A có BC = 6cm, bán

kính đƣờng tròn ngoại tiếp R= 5 cm. Tính độ dài cạnh bên của tam giác ABC.

- Ta có các hình minh họa.

Ví dụ 2.2.2. Trong hệ trục Oxy, cho . Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng d đi qua cách đều hai điểm A, B.

- Ta có các hình minh họa.

Thứ hai: Vẽ đúng đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, xác định đúng chân

đƣờng cao của mỗi hình đa diện.

Trong chƣơng trình THPT, các hình cơ bản của Hình học không gian là: hình lập

phƣơng, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt, hình lăng trụ, hình nón, hình nón cụt, hình

trụ và hình cầu. Ngoài hình cầu thì các hình trên đều có đặc trƣng là: đáy và đƣờng cao.

Việc xác định và vẽ đa giác đáy của các hình đa diện trên không khó khăn (vì chỉ cần xác

định mặt ngoài và mặt khuất của hình đa diện). Để hình vẽ đƣợc trực quan, thể hiện quan

hệ song song, quan hệ vuông góc thì ta cần xác định đúng đƣờng cao và vị trí chân

đƣờng cao của hình đa diện.

Với mỗi bài toán về hình đa diện, GV hƣớng dẫn và yêu cầu HS vẽ hình minh họa,

xác định đúng chân đƣờng cao (vẽ hình minh họa ở góc nhìn khác nhau). Ngoài ra GV

chỉ ra vẽ hình minh họa sai.

Ví dụ 2.2.3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể

tích khối chóp S.ABCD.

Hình 1 (vẽ đúng)

Hình 2 (vẽ đúng)

Hình 3 (vẽ sai)

-Ta có một số hình biểu diễn minh họa.

Ngoài ra đối với hình không gian cần nắm vững nguyên tắc: Quy tắc vẽ hình

[7, tr.45] (sách giáo khoa Hình học 11, trang 45. Các đường trong hình vẽ không

được chồng lên nhau (đè lên nhau). Đối với từng Dạng hình cụ thể ta có cách vẽ

riêng nhƣ sau:

+ Đối với hình chóp đều:

Bước 1: Vẽ đáy là đa giác đều (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất;

Bước 2: Xác định tâm I của đa giác đều;

Bước 3: Từ tâm I ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác

đáy (đường thẳng d song song với mép giấy (mép bảng));

Bước 4: Từ một điểm bất kỳ (khác I) trên d ta nối với các đỉnh của đa giác đáy.

Khi đó ta được hình chóp đa giác đều.

+ Đối với hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Bước 1: Vẽ đáy (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất);

Bước 2: Từ đỉnh có cạnh bên vuông góc với đáy ta dựng đường thẳng d vuông

góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy (đường thẳng d song song với mép giấy

(mép bảng));

Bước 3: Từ một điểm bất kỳ trên d ta nối với các đỉnh của đa giác đáy. Khi đó

ta được hình chóp cần tìm.

+ Đối với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy:

Bước 1: Vẽ đáy (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất);

Bước 2: Ta xác định một điểm H trên cạnh đáy (cạnh này thuộc mặt bên vuông

góc với đáy). Từ H ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đa

giác đáy (đường thẳng d song song với mép giấy (mép bảng));

Bước 3: Từ một điểm bất kỳ (khác H) trên d ta nối với các đỉnh của đa giác đáy.

Khi đó ta được hình chóp cần tìm.

+ Đối với hình chóp có chân đƣờng cao H ở vị trí đặc biệt (theo giả thiết):

Bước 1: Vẽ đáy ( đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất);

Bước 2: Ta xác định vị trí điểm H (theo giả thiết). Từ H ta dựng đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy (đường thẳng d song song với mép

giấy (mép bảng));

Bước 3: Từ một điểm bất kỳ (khác H) trên d ta nối với các đỉnh của đa giác đáy.

Khi đó ta được hình chóp cần tìm.

+) Đối với hình lăng trụ đứng:

Bước 1: Vẽ đáy (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất);

Bước 2: Từ mỗi đỉnh của đa giác đáy ta dựng các đoạn thẳng song song, bằng

nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy (các đoạn này song

song với mép giấy (mép bảng));

Bước 3: Từ các đầu mút của mỗi đoạn thẳng ở bước 2 ta nối lại với nhau để

được đa giác bằng đa giác đáy. Khi đó ta có lăng trụ cần vẽ.

+) Đối với hình lăng trụ đã biết điểm H là hình chiếu của một đỉnh:

Bước 1: Vẽ đáy (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất)

Bước 2: Từ H ta dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác

đáy (đường thẳng d song song với mép giấy (mép bảng)). Từ một điểm bất kỳ

(khác H) trên d ta nối với một đỉnh của đa giác đáy (sao cho cạnh này thỏa mãn

giả thiết). Khi đó ta được một cạnh của lăng trụ;

Bước 3: Từ mỗi đỉnh còn lại của đa giác đáy ta dựng các đoạn thẳng song song

và bằng cạnh vừa dựng;

Bước 4: Từ các đầu mút của mỗi đoạn thẳng ở bước 3 ta nối lại với nhau để

được đa giác bằng đa giác đáy. Khi đó ta có lăng trụ cần vẽ.

+) Đối với hình lăng trụ xiên:

Bước 1: Vẽ đáy (đã có chủ định mặt ngoài và mặt bị khuất);

Bước 2: Xác định yếu tố góc- khoảng cách (giả thiết cho).Chủ định vẽ xiên về

phía nào cho phù hợp. Từ một đỉnh ở đáy ta vẽ một cạnh xiên;

Bước 3: Từ mỗi đỉnh còn lại của đa giác đáy ta dựng các đoạn thẳng song song

và bằng cạnh vừa dựng;

Bước 4: Từ các đầu mút của mỗi đoạn thẳng ở bước 3 ta nối lại với nhau để

được đa giác bằng đa giác đáy. Khi đó ta có lăng trụ cần vẽ.

Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toán. Việc ghi giả thiết, kết luận

giúp ta nắm vững hơn nội dung bài toán, chuẩn bị tốt cho các bƣớc tiếp theo.

Để hƣớng dẫn HS cho trực quan hơn ta có thể sử dụng các phần mền vẽ hình

nhƣ sketpas, GeoGebra,.. để vẽ hình minh họa. Khi đó HS thấy rõ mặt ngoài và mặt

khuất cũng nhƣ những nét đứt đoạn và nét liền.

Ví dụ 2.2.4. Trong không gian, cho hình lập phƣơng ABCD. A‟B‟C‟D‟. Gọi M

là điểm thuộc đoạn AD‟, N là điểm thuộc đoạn BD sao cho . Chứng

minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng AD‟ và BD.

- Lời giải

+ Trƣớc hết ta tóm tắt giả thiết và kết luận

+) ABCD. A‟B‟C‟D‟ là hình lập phƣơng.

GT +) M AD‟, N BD sao cho

KL Chứng minh: MN AD' và MN BD

+ Ta có một số hình vẽ cho bài toán

Hình 1

Hình 2

Hình 4

Hình 3

Hình 5

Hình 6

- Lời giải (Cách 1)

Kẻ MF AD tại E AD tại F ; NE

Ta có MF// DD‟ và nên (1)

Ta có NE// BA và nên (2)

Từ (1) và (2) ta có F là trung điểm của AE và E là trung điểm của DF

+) Chứng minh MN BD

Theo cách dựng ta có MF (ABCD) nên MF BD (3)

Xét NDF có đƣờng cao NE cũng là đƣờng trung tuyến nên NDF cân tại N,

lại có suy ra NDF vuông cân tại N.

Suy ra FN BD (4)

MN (*)

ND hay FN Từ (3); (4) ta có BD (MNF) suy ra BD +) Chứng minh MN AD'

Theo cách dựng ta có NE (AA‟D‟D) nên NE AD‟ (5) Xét MAE có đƣờng cao MF cũng là đƣờng trung tuyến nên MAE cân tại M,

lại có suy ra MAE vuông cân tại M.

Suy ra EM MA hay EM

Từ (5) và (6) ta có AD‟ MN (**)

AD‟ (6) (MNE) suy ra AD‟ Từ (*) và (**) suy ra MN là đoạn vuông góc chung của BD và AD‟.

- Nhận xét:

+ Không nên vẽ hình nhƣ Hình 4, Hình 5, Hình 6, vì vẽ nhƣ thế gây ngộ nhận

sự cắt nhau của hai đƣờng, không làm nổi bật đoạn MN lên đƣợc và bị rối khi vẽ

thêm đƣờng. Cụ thể: với Hình 4, Hình 5 làm cho HS nghĩ đoạn MN cắt đoạn CC‟, với

Hình 6 làm cho HS nghĩ MN không phải là đoạn vuông góc chung của AD‟ và BD, từ

;

đó làm lu mờ việc chứng minh và

+ Với Hình 1, Hình 2 nhìn trực quan hơn và tìm lời giải nhanh hơn. Với hình vẽ

này gợi cho HS nghĩ đến PP tọa độ với gốc trùng với đỉnh A.

- Lời giải (Cách 2): Ta dùng PP tọa độ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A, D trục Ox, B trục Oy, A‟ trục Oz

Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử ABCD.A‟B‟C‟D‟ là hình hộp có

cạnh bằng 1. Khi đó ta có tọa độ các đỉnh là:

Ta có

Vậy MN là đoạn vuông góc chung của BD và AD‟.

2.3. Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu đúng luận cứ, luận chứng trong

các bài toán có lời giải.

a) Mục tiêu: Hình thành và phát triển cho HS kỹ năng xác định các luận cứ và

xác định quy tắc suy luận đƣợc sử dụng trong chứng minh bài toán hình học.

b) Biện pháp thực hiện:

Dựa vào ba bộ phận cấu thành của chứng minh (luận đề, luận cứ, luận chứng)

chúng ta nhấn mạnh ba yêu cầu sau đây để đảm bảo chứng minh là đúng.

+) Luận đề không được đánh tráo.

+) Luận cứ phải đúng.

+) Luận chứng phải hợp lôgíc.

Nên để làm đƣợc điều này GV có thể thực hiện nhƣ sau.

Thứ nhất: Thƣờng xuyên tập luyện cho HS hoạt động vẽ hình, ghi giả thiết

(một phần quan trọng của luận cứ) và kết luận (luận đề) của các bài toán. Coi việc ghi

giả thiết và kết luận của bài toán là yêu cầu bắt buộc khi giải toán.

Ví dụ 2.3.1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:

a) BC (OAH).

b) H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.

- Ta có giả thiết, kết luận và hình vẽ của bài toán nhƣ sau:

Cho tứ diện OABC có:

GT +) OA OB, OB OC, OC OA

+) OH (ABC) tại H

a) BC (OAH).

b) H là trực tâm của tam giác ABC.

KL c) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.

Thứ hai: Thƣờng xuyên tập luyện cho HS phân tích các bƣớc trong chứng minh

để HS nắm đƣợc các quy tắc suy luận lôgic đƣợc sử dụng một cách tàng ẩn trong mỗi

bƣớc chứng minh.

Để tìm lời giải cho bài toán GV nên phân tích ngƣợc từ luận đề ta tìm mối liên

hệ với giả thiết (luận cứ). Từ đó lại tổng hợp lại, liên kết các phân tích trên để có lời

giải đúng, chính xác. Phân tích và tổng hợp lời giải cho mỗi bài toán không chỉ rèn

kỹ năng giải toán hình học mà còn phát triển tƣ duy cho HS.

Để chứng minh mệnh đề . Ta thực hiện một loạt các thao tác phân tích

ngƣợc dạng (với là các mệnh đề trung gian ):

Ví dụ 2.3.2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có

chung cạnh đáy BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng: BC (ADM).

b) Gọi DH là đƣờng cao của ADM. Chứng minh rằng: DH (ABC).

* Phân tích bài toán:

Cho tứ diện ABCD có: ABC và BCD

GT +) M là trung điểm của BC

+) DH là đƣờng cao của ADM.

Chứng minh rằng:

KL a) BC (ADM).

b) DH (BCD).

- Luận đề: BC (ADM) ; DH (BCD).

- Luận cứ: Các khái niệm tam giác cân, trung điểm của đoạn thẳng, tính chất

đƣờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân, khái niệm đƣờng cao của tam

giác gắn vào giả thiết của bài toán. Khi đó:

- Luận chứng:

+ Chứng minh BC (ADM):

(ADM)

Ta phân tích ngƣợc yêu cầu cần chứng minh BC (ADM).

( Loại bỏ PP tọa độ, loại bỏ việc tìm 2 đƣờng thẳng khác mà cắt nhau cùng nằm

trong mp(ADM) và cùng vuông góc BC ).

( Huy động luận cứ để chỉ ra BC vuông góc với 2 đƣờng thẳng cắt nhau cùng

nằm trong mp(ADM) ).

Ta loại bỏ chứng minh trƣờng hợp 2, trƣờng hợp 3 ( vì phức tạp).

Việc chỉ ra dễ dàng hơn.

Ta tổng hợp và có lời giải

Tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC nên BC AM (1)

Tam giác BCD cân tại D, có M là trung điểm của BC nên BC DM (2)

Mà AM cắt DM tại M và AM, DM mp(ADM) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BC (ADM) (Đccm).

Hoặc viết lời giải thu gọn hơn

Hai tam giác ABC và BCD là các tam giác cân thứ tự tại A và D

Mà M là trung điểm của BC BC AM, BC DM hơn nữa AM DM =M

BC (ADM) (đpcm).

+ Chứng minh DH (BCD) có phân tích và tổng hợp tƣơng tự nhƣ trên

Ta có lời giải thu gọn

Theo câu (a): BC (ADM), DH (ADM) DH BC (4)

mà theo giả thiết: DH AM, BC AM= M (5)

Từ (4) và (5) suy ra DH (BCD) (Đccm).

- Nhận xét: Ta đã chứng minh BC (ADM) bằng quy tắc suy luận lôgic

Ví dụ 2.3.3. Cho hìn

khoảng cách từ A đến (SBC).

* Phân tích bài toán:

KL Tính .

- Luận đề: Tính .

- Luận cứ: là các khái niệm nhƣ: , đƣờng cao của hình

chóp, thể tích khối chóp, hình vuông, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông,

trung điểm của đoạn thẳng, tính chất đƣờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam

giác cân, khái niệm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng, đƣờng thẳng vuông

góc với mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khi đó:

- Luận chứng:

(PP gián tiếp)

(PP trực tiếp)

(PP gián tiếp)

(PP tọa độ)

Tìm M: AM cắt

Tìm điểm M sao

+) Chọn hệ trục

(SBC) tại I và tính

cho AM// (SBC)

Ta phân tích ngƣợc yêu cầu tính .

Oxyz

và tính đƣợc

đƣợc

mp(SBC)

+) Tìm tọa độ A,

biết đƣợc

PT mp(SBC)

Tìm hình chiếu H của A trên

( Ta loại bỏ PP thứ nhất (vì phức tạp, không khả thi ). Các PP 2, PP 3, PP 4, PP 5

đều khả thi ).

- Sau đây là cách làm theo PP 2 và PP 4

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có

Cách 1: Chọn hệ trục Oxyz sao cho:

+) O là giao điểm của AC và BD

+) Tia Ox trùng với tia OC

+) Tia Oy trùng với tia OB

+) Tia Oz trùng với tia OS

Khi đó ta có:

PT mp(SBC) là

Vậy .

Cách 2:

Ta có A, O, C thẳng hàng và C (SBC), suy ra .

Gọi M là trung điểm BC thì (1)

Gọi K là hình chiếu của O trên SM, suy ra OK SM (2)

Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD) suy ra SO BC (3)

Từ (1) và (3) ta có BC (SOM) suy ra BC OK (4)

Từ (2) và (4) ta có OK (SBC) suy ra

Trong SOM ta có:

Vậy .

Ví dụ 2.3.4. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật

. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng

với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng

(A’BD) theo a.

Phân tích bài toán:

Lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD

GT là hình chữ nhật

+) A‟O (ABCD), với

a) Tính .

KL b) Tính .

- Luận đề: Tính và Tính .

- Luận cứ: Các khái niệm: khối lăng trụ, thể tích khối lăng trụ, hình chữ nhật,

tam giác cân, tam giác vuông, trung điểm của đoạn thẳng, tính chất đƣờng trung

tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân, khái niệm hình chiếu của một điểm trên một

mặt phẳng, đƣờng cao của lăng trụ, đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, giao

tuyến của hai mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng, đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng. Khi đó:

- Luận chứng:

+ Tính .

Gọi O là giao điểm của AC với BD. Khi đó theo giả thiết thì A‟O (ABCD)

và .

Ta có .

Tìm A‟O ; ta khai thác giả thiết .

+) Xác định giao tuyến b của (ADD‟A‟); (ABCD)

Ta phân tích ngƣợc để xác định góc giữa hai mặt phẳng:

+) Tìm d (ADD‟A‟) sao cho d b

+) Tìm d‟ (ABCD) sao cho d‟ b Tìm 2 đƣờng thẳng d, d‟ lần lƣợt vuông góc với mp(ADD‟A‟) ; mp(ABCD)

(ABCD) = AD

-) Gọi E là hình chiếu của O trên AD ta có:

+) A‟E (ADD‟A‟) và A‟E AD.

+) OE (ABCD) và OE AD.

-) Ta có (ADD‟A‟)

-) Tìm vị trí của E ?.

Ta loại bỏ cách 1 (vì phức tạp), huy động luận cứ để chỉ ra đúng vị trí của E trên AD.

Ta tổng hợp và có lời giải:

Gọi E là trung điểm của AD. Khi đó OE AD (1) và .

Từ A‟O (ABCD) suy ra A‟O AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD A‟E

Vậy ta có

Suy ra

Trong ta có .

Vậy .

+ Tính

Ta Phân tích:

(PP gián tiếp)

(PP trực tiếp) (PP gián tiếp) (PP gián tiếp)

Tìm hình chiếu Tìm M sao cho Tìm điểm M sao

H của B‟ trên B‟M cắt (A‟BD) cho B‟M// (A‟BD)

mp(A‟BD). tại I và tính đƣợc và tính đƣợc

, .

biết đƣợc

Ta loại bỏ PP tọa độ và PP 1, PP 2, PP 3 ( vì phức tạp, không khả thi ), huy

động luận cứ để tìm điểm M sao cho B‟M// (A‟BD) ).

Ta tổng hợp và có lời giải:

Ta có A‟B‟CD là hình bình hành nên B‟C// A‟D B‟C//(A‟BD).

Suy ra .

Trong có ; CD= a

Vậy là tam giác đều cạnh a.

Gọi H là trung điểm của OD thì (3)

Do A‟O (ABCD) nên A‟O CH (4)

Từ (3), (4) ta có CH (A‟BD).

Vậy .

Chú ý: Ta có thể tính dựa vào thể tích nhƣ sau:

Mà

Thứ ba: GV cần có ý thức phát hiện và sửa chữa những sai lầm của HS trong

giải toán chứng minh. Khi sửa chữa những sai lầm đó của HS thì GV cần chỉ rõ sai

lầm đó (sai lầm đã vi phạm yêu cầu nào trong 3 yêu cầu trên). Sau đó GV trình bày

lại lời giải của bài toán theo đúng thứ tự lôgic.

Ví dụ 2.3.5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a,

góc và SA= SC=a, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO (ABCD) b) AC (SBD)

- Lời giải sai của HS như sau:

+) S.ABCD là hình chóp, có ABCD hình

GT thoi tâm O cạnh a, .

+) SA= SC=a, SB = SD.

KL Chứng minh rằng: a) SO (ABCD).

b) AC (SBD).

a) Chứng minh: SO (ABCD)

Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do SA= SC nên SAC cân đỉnh S suy ra SO AC (1)

Mặt khác ta có AC (ABCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO (ABCD).

b) Chứng minh: AC (SBD)

Vì ABCD là hình thoi nên AC BD (3)

Mặt khác ta có BD (SBD) (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC (SBD).

- Nhận xét: Rõ ràng lời giải trên là sai vì:

+) Hoặc đƣa ra luận cứ không chính xác. HS đã hiểu lầm rằng: “Nếu một đƣờng

thẳng a vuông góc với đƣờng thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì a (P)”.

+) Hoặc suy luận thiếu lôgic: vì để chứng minh a (P) ta cần chứng minh a

vuông góc với 2 đƣờng thẳng b, c cắt nhau nằm trong mp(P). Ở đây HS mới chỉ ra “a

vuông góc một đƣờng thẳng b nằm trong mp(P)”.

Luận cứ đúng của bài toán này là định lý về đƣờng thẳng vuông góc với mặt

phẳng (Định lý ở trang 99, SGK Hình học 11)[14]: “Nếu một đƣờng thẳng vuông góc

với hai đƣờng thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt

phẳng ấy”.

- Lời giải đúng:

a) Theo giả thiết ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, BD và

AC BD tại O. (1)

Vì SA = SC nên SAC cân đỉnh S suy ra SO AC (2)

Vì SB = SD nên SBD cân đỉnh S suy ra SO BD (3)

Ta lại có AC, BD cắt nhau và nằm trong (ABCD) (4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra SO (ABCD).

b) Theo phần (a) ta có SO AC (5)

Mặt khác BD, SO cắt nhau và nằm trong (SBD) (6)

Từ (1), (5) và (6) suy ra AC (SBD).

Ví dụ 2.3.6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

, AB= a. Các cạnh bên của hình chóp đều hợp với mặt đáy một góc bằng

.Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

- Khi giải bài toán thì HS thƣờng giải nhƣ sau:

Trong ABC ta có

Ta có diện tích xung quanh:

Kẻ SH mp (ABC) khi đó ta có:

Kẻ HN AB, HE BC, HM AC theo định lý ba đƣờng vuông góc ta có

SN AB, SE BC, SM AC.

Nên .

+ Tính SN, SE, SM theo a.

Đến đây HS không làm đƣợc nữa và cho là bài toán thiếu dữ kiện.

- Nguyên nhân: là do HS chƣa khai thác hết giả thiết của bài toán nên vẽ hình

sai. (Hình vẽ bên không thuận lợi cho HS chứng minh bài toán, không có gợi ý một

liên hệ nào giúp cho HS thực hiện việc tính toán). Trƣớc khi vẽ hình cần chú ý đến

"giả thiết" của bài toán là cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau

H là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác

ABC (vuông tại A) H là trung điểm BC. Khi đó hình vẽ mới đúng.

- Sai lầm HS mắc phải “Dựa vào luận cứ không chính xác”.

-Vậy ta có lời giải đúng nhƣ sau:

+) S.ABC là hình chóp, có ABC vuông tại A,

GT , AB= a.

+) SA, SB, SC đều hợp mp(ABC) một góc .

KL = ?

Trong ABC ta có:

Ta có diện tích xung quanh:

Kẻ SH mp (ABC) khi đó ta có: .

+) Tìm vị trí của H:

Do H là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp

tam giác ABC (vuông tại A) H là trung điểm BC.

+) Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm AC, AB. Khi đó HM AC, HN AB theo

định lý ba đƣờng vuông góc ta có: SN AB, SM AC.

Suy ra .

+) Tìm SH, SM, SN.

Trong SBC ta có SH vừa là đƣờng cao vừa là đƣờng trung tuyến nên SBC

cân tại S mà nên .

Trong SHM vuông tại H, có .

Suy ra .

Trong SHN vuông tại H, có .

Suy ra .

Vậy .

Ví dụ 2.3.7. Cho khối chóp S.ABCD có SA (ABCD) và ABCD là hình chữ

nhật tâm O, . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, biết góc

giữa 2 mp( SBD) với mp(ABCD) bằng .

Cho khối chóp S.ABCD có:

GT +) SA (ABCD);

+) Đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,

+) .

KL Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

- Lời giải sai của HS như sau:

Do SA (ABCD) nên SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD nên ta có:

+) Tính

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có

+) Tính SA

Do SA (ABCD) nên góc giữa 2 mặt phẳng ( SBD) và (ABCD) là góc .

Trong ACD vuông tại D, có

Trong SAO vuông tại A, ta có

Vậy .

- Nhận xét: lời giải trên có vẻ hợp lý, lôgic. Nhƣng có một chỗ mà HS đã vội

kết luận ngay là “góc giữa 2 mặt phẳng ( SBD) và (ABCD) là góc ”, điều này

không đúng vì: AO không vuông góc với BD (do ABCD là hình chữ nhật).

+) Sai lầm HS mắc phải “luận cứ không đúng”

- Vậy ta có lời giải đúng là:

Do SA (ABCD) nên SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD nên ta có

+) Tính

Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có

+) Tính SA

Trong ACD vuông tại D có

Trong AOD có OA=OD=a và AD=a nên AOD đều cạnh a.

Gọi H là trung điểm của DO thì AH DO và .

Ta có

Vậy ta có và tam giác SAH vuông tại A

Nên góc giữa 2 mặt phẳng ( SBD) và (ABCD) là

Trong SAH vuông tại A có

Vậy .

Ví dụ 2.3.8. (Bài 6 trang 26, SGK Hình học 12) Cho hai đƣờng thẳng chéo

nhau d và d‟. Đoạn thẳng AB có độ dài a trƣợt trên đƣờng thẳng d, đoạn thẳng CD

có độ dài b trƣợt trên đƣờng thẳng d‟. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể

tích không đổi.

+) d và d‟ là hai đƣờng thẳng chéo nhau.

GT +) A, B d sao cho AB = a.

+) C, D d‟ sao cho CD = b.

KL Chứng minh rằng: là hằng số.

- Lời giải sai của HS như sau:

Do d và d‟ là hai đƣờng thẳng cố định và chéo nhau nên khoảng cách giữa

chúng không đổi, giả sử khoảng cách giữa chúng bằng h (h > 0) hay .

Ta có .

Do A, B thuộc đƣờng thẳng d nên ta có .

Suy ra .

Do d, d‟ chéo nhau và nên

Vậy (giá trị này không đổi).

Suy ra Đccm.

- Nguyên nhân sai lầm:

+) HS đã đồng nhất khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng chéo nhau quy về khoảng

cách từ một điểm thuộc đƣờng thẳng này đến đƣờng thẳng kia (kết quả này chỉ đúng

khi 2 đƣờng thẳng song song).

+) Từ d, d‟ chéo nhau và không có căn cứ nào để suy ra

+) Sai lầm HS mắc phải là “sai lầm về luận cứ không đúng”

-Lời giải đúng:

+) Trong mp(BCD) ta dựng hình bình hành BCDE. Khi đó ta có

Suy ra

+) Ta chứng minh không đổi

Do d và d‟ là hai đƣờng thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa chúng không đổi và

góc giữa chúng không đổi . Ta đặt

+) Ta có CD//BE nên CD// mp(ABE) và ta có

+) Ta có BE// CD nên

Ta có

Vậy

Suy ra (Không đổi). Suy ra Đccm.

Ví dụ 2.3.9. Trong mặt phẳng Oxy, cho và . Lập PT

đƣờng thẳng d qua C và cách đều 2 điểm A, B.

- Lời giải sai của HS như sau:

Lời giải sai 1 Lời giải sai 2

Do đƣờng thẳng d cách đều 2 điểm Đƣờng thẳng d cách đều 2 điểm A, B nên d là

A, B nên đƣờng thẳng d là trung trung trực của đoạn AB hoặc d // AB

trực của đoạn AB +) Khả năng 1: đƣờng thẳng d là trung trực của

Ta có đƣờng thẳng d đi qua trung đoạn AB. Khi đó đƣờng thẳng d đi qua trung

điểm của đoạn AB và điểm của đoạn AB và có VTPT

có VTPT suy ra PT suy ra PT d : .

Dễ thấy điểm C=(1;2) thuộc d nên đƣờng thẳng d : .

là đƣờng thẳng cần tìm. Dễ thấy điểm C=(1;2) thuộc d nên

+) Khả năng 2: đƣờng thẳng d song song với AB là đƣờng thẳng cần

Khi đó đƣờng thẳng d đi qua điểm C=(1;2) và tìm

có VTCP suy ra PT đƣờng thẳng d

: .

Kết luận: có 2 PT đƣờng thẳng d cần tìm là

và .

- Nhận xét:

+ Với Lời giải sai 1: Do đƣờng thẳng d cách đều 2 điểm A, B nên những HS

nghĩ ngay đến đƣờng trung trực của đoạn AB, sau đó lập PT đƣờng trung trực của

đoạn AB rồi kiểm tra thấy điểm C thuộc d (nghĩa là d là đƣờng thẳng cần tìm) và bài

toán đã có lời giải nên kết luận ngay. Nhƣ vậy, nếu điểm C không thuộc đƣờng thẳng

d thì HS này thiếu ngay một kết quả đúng.

+ Với Lời giải sai 2: Những HS này đã có cách nhìn rộng hơn và đã chỉ ra 2 khả

năng. Với khả năng 1 vẫn mắc sai lầm nhƣ tình huống thứ nhất và khả năng thứ 2 vẫn

sai lầm (Khả năng thứ 2 phải là đƣờng thẳng d đi qua C và nhận làm VTCP, vì

A, B vẫn có thể thuộc đƣờng thẳng d). Nhƣ vậy, nếu điểm 3 điểm A, B, C thẳng hàng

thì HS này thiếu ngay một kết quả đúng.

- Nguyên nhân sai lầm:

+ HS không lƣờng trƣớc đƣợc các khả năng có thể xảy ra nên suy luận sai (thiếu

lôgic). Hơn nữa bài toán cho điểm C đặc biệt (C thuộc trung trực của đoạn AB) nên

HS nghĩ đơn giản và không kiểm tra lại cách suy luận của mình mà chỉ kiểm tra kết

quả. Sai lầm HS mắc phải là “luận chứng thiếu lôgic”.

Chú ý:

+) Để tránh sai lầm thì HS nên “phác họa hình vẽ”, xét sự cùng phía, khác phía

của hai điểm A, B với đƣờng thẳng d đi qua điểm C nào đó.

+) Yêu cầu bài toán là lập PT đƣờng thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều

kiện cho trƣớc thì ta thƣờng có cách làm trực tiếp để tìm tọa độ của VTPT (giả sử

đƣờng thẳng cần lập có VTPT , ( ), dựa vào dữ kiện của đề bài ta

tìm đƣợc mối quan hệ giữa a, b từ đó suy ra PT đƣờng thẳng cần lập).

- Bài giải đúng

Cách 1 : Ta chia ra 2 trƣờng hợp

+) Trƣờng hợp 1: d đi qua C và qua trung điểm I của đoạn AB.

+) Trƣờng hợp 2: d đi qua C và nhận làm VTCP.

Cách 2: Giả sử đƣờng thẳng d có VTPT ( )

+ Do d đi qua C=(1;2) nên PT đƣờng thẳng d là

+) Do đƣờng thẳng d cách đều 2 điểm A, B nên

Với ta có (vì ).

Vậy có 2 PT đƣờng thẳng cần tìm là: và .

Ví dụ 2.3.10. Trong hệ trục Oxy, cho và đƣờng thẳng

có PT: . Tìm tọa độ điểm M để MA + MB ngắn nhất.

- Lời giải sai của HS

+) Tìm tọa độ A‟ là điểm đối xứng của của A qua đƣờng thẳng .

Gọi d là đƣờng thẳng qua A và vuông góc với . Khi đó PT .

Gọi H =(x;y ) là hình chiếu của A trên đƣờng thẳng thì nên

Ta có H là trung điểm của AA‟ nên tọa độ A‟ là .

+) Tìm tọa độ M

Ta có ta có MA=MA‟. là trung trực đoạn AA‟ nên

Khi đó

Vậy để MA + MB ngắn nhất thì M, A‟, B thẳng hàng hay .

Đƣờng thẳng A‟B qua có VTCP nên có PT

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ PT

Vậy .

- Nhận xét:

+) Nếu đọc qua thì thấy lời giải đúng, lý luận chặt chẽ. +) Nếu kiểm dài: tra độ ta có , thật vậy

. Nhƣ vậy, HS càng

khẳng định lời giải trên đúng. - Nguyên nhân sai lầm

+) Dấu „=‟ trong bất đẳng thức không xảy ra . Dấu „=‟ chỉ xảy

ra khi A, B nằm về 1 phía của đƣờng thẳng

+) Thực tế với bài toán dạng: „Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B nằm

về cùng phía đối với đƣờng thẳng . Tìm tọa độ điểm M để MA + MB ngắn

nhất‟ thì các thầy (cô) thƣờng đƣa ra các bƣớc giải cho bài toán dạng này là:

Bƣớc 1: Tìm tọa độ A‟ là điểm đối xứng của của A qua đƣờng thẳng .

Bƣớc 2: Tìm tọa độ M

Ta có

Vậy để MA+ MB ngắn nhất thì M, A‟, B thẳng hàng hay

+ Khi gặp bài toán dạng trên HS áp đặt ngay các bƣớc mà thầy (cô) dạy mà

không nhớ chính xác rằng: PP giải ở trên chỉ dành cho bài toán có 2 điểm A, B nằm

về một phía đối với đƣờng thẳng (sai lầm HS mắc phải là do máy móc dập khuôn,

“sai lầm về luận cứ không đúng”).

- Lời giải đúng:

+) Xét sự cùng phía, khác phía của 2 điểm A, B đối với đƣờng thẳng

Đặt .

Ta có

suy ra A, B về cùng một nửa mặt phẳng với bờ là đƣờng thẳng

(cùng một phía đối với ).

+) Tìm tọa độ điểm M:

Do A, B nằm về 2 phía của đƣờng thẳng nên

Vậy để MA + MB ngắn nhất thì M, A, B thẳng hàng hay

Đƣờng thẳng AB qua có VTCP nên có PT :

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ PT

Vậy .

Kết luận chƣơng 2

Nội dung của Chƣơng 2 là đề xuất ba PP chủ đạo trong việc phòng ngừa, sửa

chữa các sai lầm của HS THPT khi giải toán chứng minh hình học, góp phần quan

trọng vào việc lĩnh hội tri thức- đổi mới thi và kiểm tra trắc nghiệm, hơn nữa nó còn

góp phần hoàn thành nhiệm vụ giáo dục toàn diện trong giai đoạn hiện nay.

Để có ba PP đó, chúng tôi đã nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn giảng

dạy, cơ sở điều tra khoảng 200 lời giải của HS THPT về đề tài này.

Các quan điểm đã đƣợc hiện thực hóa một cách cụ thể và có ý nghĩa ứng dụng

trong dạy và học giải toán chứng minh hình học.

Chƣơng 3.

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành để kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả

thuyết khoa học, kiểm nghiệm tính khả thi, tính hiệu quả của ba biện pháp sƣ phạm

đã đề xuất trong luận văn, đồng thời kiểm tra năng lực giải toán chứng minh hình học

của HS THPT.

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

+ Thiết kế giáo án đã đề ra và tổ chức giờ dạy thực nghiệm tại trƣờng THPT

Cầu Xe – huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng.

+ Kiểm tra và đánh giá kết quả thực nghiệm thông qua thái độ, khả năng nhận

thức của HS và bài kiểm tra.

3.2. Nôi dung thực nghiệm.

Trong quá trình nghiên cứu tìm sai lầm phổ biến của HS trong giải toán chứng

minh hình học, chúng tôi thấy sai lầm phổ biến của HS trên 2 phƣơng diện là : “Sai

lầm về luận cứ không đúng” và “Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic”. Các

biện pháp trong Chƣơng 2 nhằm giúp HS có đủ kiến thức cần thiết, nhận thức đúng,

đầy đủ về bản chất, nội dung các khái niệm, định lý Hình học và giúp HS biết phân

tích bài toán hình (luận đề, luận cứ, luận chứng), vẽ hình đúng cho bài toán. Trên

cơ sở đó giúp HS có lời giải đúng cho bài toán chứng minh hình học, ngoài ra còn

giúp HS tự phòng tránh và sửa chữa sai lầm phổ biến “Ngộ nhận, luận cứ không

đúng, luận chứng không lôgic”, từ đó góp phần hoàn thiện hơn lý luận DH môn toán.

Vì vậy, chúng tôi chọn những bài dạy trong chƣơng trình chuẩn (trong bộ sách

giáo khoa cơ bản) thuận lợi cho việc nghiên cứu sai lầm về luận cứ và sai lầm về luận

chứng không hợp lôgic. Từ đó, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm 4 tiết (2 tiết lý

thuyết và hai tiết bài tập).

Hai tiết lý thuyết là :

Khối Tên bài Thứ tự tiết trong phân phối chƣơng trình

10 Tiết 29

12 Tiết 33 Chương 3 TRONG MẶT PHẲNG §1. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (tiết 3) Chương 3 TRONG KHÔNG GIAN §

Hai tiết bài tập ( tiết bài tập tự chọn) là:

Khối Tên bài Thứ tự tiết trong phân phối chƣơng trình

BÀI TẬP: 10 Tiết tự chọn 26 .

12 Tiết tự chọn 30 BÀI TẬP: ứng dụng phƣơng pháp tọa độ trong không gian.

3.3. Tổ chức thực nghiệm.

3.3.1. Đối tượng thực nghiệm:

a) Địa điểm thực nghiệm: Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành tại Trƣờng THPT

Cầu Xe – huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng.

b) Thời gian thực nghiệm: Thời gian thực nghiệm đƣợc tiến hành từ ngày 02 tháng 2

đến ngày 20 tháng 3 năm 2017

c) Đối tượng thực nghiệm: Thực nghiệm đƣợc tiến hành trên 2 khối, (khối 10 và khối 12).

*) Khối 10

+ Lớp thực nghiệm: 10D có 44 HS;

+ Lớp đối chứng: 10 C có 44 HS;

GV dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Văn Tuấn.

GV dạy lớp đối chứng: Thầy giáo Phạm Văn Mạnh.

*) Khối 12

+ Lớp thực nghiệm: 12A có 40 HS;

+ Lớp đối chứng: 12B có 40 HS;

GV dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Văn Hiến.

GV dạy lớp đối chứng: Thầy giáo Nguyễn Văn Tuấn.

Đƣợc sự đồng ý của Ban Giám hiệu Trƣờng THPT Cầu Xe, chúng tôi đã tìm

hiểu kết quả học tập về môn Toán bốn lớp 10C, 10 D và 12A, 12B nhƣ sau:

+) Căn cứ vào số lƣợng HS trong mỗi lớp ;

+) Căn cứ vào kết quả học kỳ I;

+) Căn cứ vào kết quả khảo sát trƣớc thực nghiệm (đề kiểm tra trong phần phụ lục).

Bảng 3.1. Kết quả học kỳ I (môn Toán)

Giỏi Khá Trung bình Yếu Học lực Số Số Số Số Lớp % % % % lƣợng lƣợng lƣợng lƣợng

TN 10D (44 HS) 16 36,4 18 40,9 10 22,7 0 0

ĐC 10C (44 HS) 15 34,1 19 43,2 10 22,7 0 0

TN 12A (40 HS) 17 42,5 19 47,5 4 10,0 0 0

ĐC 12B (40 HS) 15 37,5 20 50,0 5 12,5 0 0

Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra trƣớc thực nghiệm

Điểm Số

1 2 3 4 5 6 7 9 10 lƣợng 8

Lớp bài

TN 10D 0 0 0 6 12 8 9 44 5 2 2

ĐC 10C 0 0 0 7 11 8 8 44 6 3 1

TN 12A 0 0 0 3 7 12 10 40 4 2 2

ĐC 12B 0 0 0 3 9 9 12 40 3 2 2

Trong đó:

Điểm trung bình lớp 10D và 10C lần lƣợt là: , .

Điểm trung bình lớp 12A và 12B lần lƣợt là: ,

Vậy, có thể khẳng định: trình độ chung về môn Toán của hai lớp 10C và 10 D là

tƣơng đƣơng, trình độ chung về môn Toán của hai lớp 12A, 12B là tƣơng đƣơng.

Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất đƣợc thực nghiệm tại lớp 10D, 12A và lấy

lớp 10C, 12B làm lớp đối chứng.

Ban giám hiệu Trƣờng và các thầy (cô) dạy 10C , 10D, 12A , 12B chấp nhận

đề xuất này và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi tiến hành thực nghiệm.

Việc giảng dạy đƣợc tiến hành giảng dạy theo kế hoạch bài dạy đã đƣợc thiết

kế theo định hƣớng đổi mới PPDH nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá

trình giải toán hình học.

3.3.2. Tiến trình thực nghiệm

- Thiết kế bài soạn và tiến hành giảng dạy theo thứ tự sau:

STT Khối Thứ tự tiết trong phân phối chƣơng trình -Tên bài

10 Tiết tự chọn 26 BÀI TẬP: 1

10 Tiết 29 §1. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (tiết 3) 2

12 Tiết 33 § 4) 3

Tiết tự chọn 30 BÀI TẬP: ứng dụng phƣơng pháp tọa độ trong 12 4 không gian

Bài soạn của mỗi tiết dạy đảm bảo các nội dung:

- Xác định rõ trọng tâm, kĩ năng cần đạt đƣợc của bài và nội dung kiến thức,

phƣơng thức truyền đạt thể hiện việc vận dụng ba PP đề xuất trong chƣơng 2;

- Tính phù hợp về thời gian và trình độ nhận thức chung của HS về nội dung bài

dạy (theo phân phối chƣơng trình);

- Các câu hỏi và gợi ý sử dụng trong quá trình DH giúp HS phát triển năng lực

phân tích, tổng hợp và giải quyết vấn đề về chứng minh Hình học. Đặc biệt các câu

hỏi ở phần kiểm tra bài cũ để củng cố kiến thức và là tiền đề tiếp cận với bài học, là

Luận cứ đƣợc sử dụng trong bài.

- Các tiết soạn đều căn cứ theo:

(1) Cấu trúc của Bộ sách cơ bản;

(2) Phân phối chƣơng trình và cách chia tiết dạy của Bộ GD&ĐT và sở GD&ĐT

Hải Dƣơng năm học 2016 – 2017 );

(3) Phân phối chƣơng trình và cách chia tiết dạy của trƣờng THPT Cầu Xe năm

học 2016 – 2017.

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm

3.4.1. Phân tích định tính

Qua quá trình thực nghiệm, khi quan sát các lớp học chúng tôi nhận thấy: HS tỏ

ra học tập tích cực ngay từ tiết dạy thực nghiệm đầu tiên và đến tiết thực nghiệm thứ

2 thì HS học tập sôi nổi hơn rất nhiều, HS chủ động đƣa ra những nhận xét đánh giá

về lời giải của các bạn. HS dễ dàng nhận ra sai lầm về luận đề, luận cứ hay luận

chứng của mỗi bài toán.

Khi trao đổi với GV dự giờ, GV dạy theo giáo án thực nghiệm thì các GV này

đều cho biết: các tiết dạy thực nghiệm này giúp họ hiểu và giải thích chính xác hơn

những sai lầm của HS về chứng minh hình học

Những nhận xét trên đƣợc thể hiện rõ hơn qua phiếu điều tra sau khi thực

nghiệm nhƣ sau:

*) Kết quả điều tra qua phiếu hỏi của GV

Câu 1

(TNSP)?

Câu 2: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính khả thi của tiết dạy TNSP?

Câu 3: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính hiệu quả của giáo án TNSP?

Câu 4: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính hiệu quả của tiết dạy TNSP?

Bảng 3.3. Kết quả điều tra qua phiếu hỏi của GV

Rất khả thi Khả thi Ít khả thi Không khả thi

(Rất hiệu quả) (Hiệu quả) ( Ít hiệu quả) (Không hiệu quả) Câu

Tỷ lệ % Tỷ lệ % Tỷ lệ % Tỷ lệ %

3/7 42,86 3/7 42,86 1/7 14,28 0/7 0 1

3/7 42,86 3/7 42,86 1/7 14,28 0/7 0 2

3/7 42,86 2/7 28,57 2/7 28,57 0/7 0 3

3/7 42,86 2/7 28,57 2/7 28,57 0/7 0 4

*) Kết quả điều tra qua phiếu hỏi của HS

Câu 1: Trong các tiết dạy thực nghiệm, khả năng hiểu bài của em ở mức độ nào?

Câu 2: Việc ghi giả thiết, kết luận và vẽ hình minh họa cho bài toán hình học có cần

thiết không?

Câu 3: Việc phân tích mối liên hệ giữa giả thiết, kết luận cho bài toán hình học để từ

đó tìm ra lời giải cho bài toán có cần thiết không?

Câu 4: Việc phân tích và sửa chữa các sai lầm mà HS mắc phải trong quá trình giải

bài toán hình học có cần thiết không?

Câu 5: Trong quá trình giảng dạy hình học, việc thầy cô nhấn mạnh bản chất nội

dung của các Khái niệm, Định lý hình học có cần thiết không?

Câu 6: Trong quá trình giảng dạy hình học, việc thầy cô đƣa ra một số chú ý, một số

sai lầm mà HS thƣờng mắc có cần thiết không?

Bảng 3.4. Kết quả điều tra qua phiếu hỏi của HS

Rất hiểu bài Hiểu bài Khó hiểu bài Bình thƣờng (Rất cần thiết) (Cần thiết) (Không cần thiết) Câu

Tỷ lệ % Tỷ lệ % Tỷ lệ % Tỷ lệ %

30/84 35,7 44/84 52,4 10/84 11,9 0/84 0 1

5/84

20/84 23,8 39/84 46,4 20/84 23,8 6,0 2

1/84

44/84 52,4 29/84 34,5 10/84 11,9 1,2 3

3/84

20/84 23,8 41/84 48,8 20/84 23,8 3,6 4

2/84

25/84 29,8 30/84 35,7 27/84 32,1 2,4 5

0/84

50/84 59,5 22/84 26,2 12/84 14,3 0 6

3.4.2. Phân tích định lượng

Việc phân tích định lƣợng dựa vào kết quả bài kiểm tra tại lớp thực nghiệm

(TN) và lớp đối chứng (ĐC) nhằm bƣớc đầu kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả của

đề tài nghiên cứu.

- Kết quả làm bài kiểm tra của HS lớp TN (10D) và HS lớp ĐC (10C) đƣợc

phân tích theo điểm số nhƣ sau:

Bảng 3.5. (Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất) (khối 10).

Lớp Lớp TN (10D) Lớp ĐC (10C)

Tần số Tần suất(%) Tần số Tần suất(%)

Điểm 3 0 0 1 2,3

4 0 0 5 11,3

5 8 18,2 10 22,7

6 5 11,3 8 18,2

7 13 29,5 9 20,5

8 9 20,5 6 13,6

9 4 9,1 3 6,8

10 5 11,4 2 4,6

Cộng 44 100% 44 100%

Ta có biểu đồ tƣơng ứng sau:

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ tần số về điểm thực nghiệm (khối 10)

Ta có bảng các tham số đặc trƣơng tƣơng ứng:

Bảng 3.6. (Bảng các tham số đặc trƣng) (khối 10)

Tham số (đ) (đ) (đ) Lớp

TN (10D) 7,25 2,369 1,539

ĐC (10C) 6,34 2,861 1,691

- Kết quả làm bài kiểm tra của HS lớp TN (12A) và HS lớp ĐC (12B) đƣợc

phân tích theo điểm số nhƣ sau:

Bảng 3.7. (Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất) (khối 12).

Lớp Lớp TN (12A) Lớp ĐC (12B)

Điểm Tần số Tần suất(%) Tần số Tần suất(%)

3 0 0 0 0

4 0 0 6 15,0

5 6 15,0 10 25,0

6 9 22,5 8 20,0

7 12 30,0 7 17,5

8 5 12,5 5 12,5

9 4 10,0 2 5,0

10 4 10,0 2 5,0

Cộng 40 100% 40 100%

Ta có biểu đồ tƣơng ứng sau:

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ tần số về điểm thực nghiệm (khối 12)

Ta có bảng các tham số đặc trƣơng tƣơng ứng:

Bảng 3.8. (Bảng các tham số đặc trƣng) (khối 12)

Tham số (đ) (đ) (đ) Lớp

TN (12A) 7,10 2,241 1,497

ĐC (12B) 6,23 2,724 1,651

Từ kết quả trên cho thấy:

- Tỷ lệ HS ở lớp thực nghiệm đạt TB trở lên cao hơn so với lớp đối chứng. Tỷ

lệ HS khá giỏi lớp thực nghiệm cũng cao hơn lớp đối chứng.

- Phƣơng sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm thấp hơn lớp đối chứng,

chứng tỏ rằng lớp đối chứng có độ phân tán (độ phân tán về điểm) cao hơn so với lớp

thực nghiệm.

- Có đƣợc kết quả ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Đó là do lớp thực

nghiệm HS đƣợc rèn luyện các biện pháp khắc phục khó khăn, sửa chữa sai lầm và rèn

luyện kĩ năng giải toán chứng minh hình học thông qua ba biện pháp đã đề xuất trong

chƣơng 2, nên các em có thể hoàn thành bài kiểm tra tốt hơn.

Nhƣ vậy, căn cứ vào kết quả kiểm tra (đã đƣợc xử lí thông qua các bảng trên),

có thể bƣớc đầu nhận thấy đƣợc rằng học lực môn Toán của các lớp thực nghiệm

(10D, 12A) là cao hơn và đều hơn so với lớp đối chứng (10C, 12B). Điều này đã phản

ánh một phần nào hiệu quả của việc thực hiện ba giải pháp mà chúng tôi đã đề xuất

trong chƣơng 2 và thực hiện trong quá trình thực nghiệm.

3.5. Kết luận chung về thực nghiệm

Kết quả thu đƣợc trong quá trình thực nghiệm sƣ phạm về mặt định tính, định

lƣợng cũng nhƣ trong việc xử lý các số liệu đã giúp chúng tôi có đủ cơ sở chắc chắn

để khẳng định về tính khả thi và hiệu quả của đề tài, khẳng định tính đúng đắn của giả

thuyết khoa học. Thực hiện các biện pháp (trình bày trong chƣơng 2) giúp HS tránh

đƣợc các sai lầm, phát hiện và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán chứng minh

hình học, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở

trƣờng THPT.

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu đƣợc những kết quả chính sau đây:

1. Luận văn làm sáng tỏ các sai lầm phổ biến của HS khi giải toán chứng minh

Hình học (sai lầm về luận cứ không đúng, sai lầm về luận chứng không hợp lôgic) .

Những sai lầm này đƣợc nhìn nhận từ góc độ DH chứng minh hình học, đồng thời

phân tích những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến các khó khăn và sai lầm đó (chẳng hạn

không nắm vững khái niện cơ bản, không nắm vững định lý, không nắm vững quy tắc

suy luận);

2. Đã đề xuất đƣợc ba PP chủ đạo nhằm phòng tránh và giúp HS có đủ kiến thức

cần thiết, nhận thức đúng- đầy đủ về bản chất- nội dung các khái niệm, định lý, bài

toán. Nhằm giúp HS có cái nhìn tổng quát về bài toán hình. Nhằm giúp HS tìm hiểu

đúng luận đề, luận cứ, luận chứng trong các bài toán có lời giải. Trên cơ sở đó giúp

HS tránh những sai lầm: “Ngộ nhận”, luận cứ không đúng, lập luận thiếu lôgic và tìm

ra lời giải đúng;

3. Đã tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của

những biện pháp đƣợc đề xuất: HS lớp thực nghiệm có khả năng tự phòng tránh sửa

chữa sai lầm cao hơn so với lớp dạy không thực nghiệm;

4. Nhƣ vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã đƣợc thực hiện,

nhiệm vụ nghiên cứu đã đƣợc hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận đƣợc;

5. Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho GV Toán THPT.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Nguyên An, Nguyễn Văn Hoàng (2016), Tập hợp và lôgic Toán, NXB

Đại Học Thái Nguyên.

2. BERND MEIER, Nguyễn Văn Cƣờng, Lí luận dạy học hiện đại, NXB Đại học

sƣ phạm

3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang, Sai lầm phổ biến khi

giải Toán, NXB Giáo dục.

4. Gpolya, Giải một bài toán nhƣ thế nào, NXB Giáo dục

5. G.Polya, Toán học và những suy luận có lý, NXB Giáo dục

6. G.Polya, Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh,

Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB giáo dục Việt Nam.

8. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn

Đoành, Trần Đức Huyên, Hình học 10, NXB giáo dục Việt Nam.

9. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh,

Trần Đức Huyên, Hình học 12, NXB giáo dục Việt Nam.

10. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán, NXB

Giáo dục.

11. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý

học sư phạm, NXB thế giới (2008)

12. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sƣ

phạm, Hà Nội.

13. Nguyễn Ngọc Long, Nguyễn Hữu Vui (Đồng chủ biên), Giáo trình Triết học

MÁC-LÊNIN, NXB chính trị Quốc gia.

14. Nguyễn Quang Long (2014), “Một số biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa

sai lầm trong dạy học PT ở môn toán THPT ". Luận Văn Thạc sỹ PPDH Toán,

Trƣờng ĐHSP Thái Nguyên

15. Lê Thống Nhất (1996), “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông

trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm khi giải toán”, luận

án Phó Tiến sĩ Khoa học sƣ phạm – Tâm lý.

16. Hoàng Phê (Chủ biên), Bùi Khắc Việt, Chu Bích Thu, Đào Thản, Hoàng Tuệ,

Hoàng Văn Hoành, Lê Kim Chi, Nguyễn Minh Châu, Nguyễn Ngọc Châm,

Nguyễn Thanh Nga, Nguyễn Thúy Khanh, Nguyễn Văn Khang, Phạm Hùng

Việt, Trần Cẩm Vân, Trần Nghĩa Phƣơng, Vũ Bảo Ngọc,Vƣơng Lộc (2006), Từ

điển tiếng việt 2006 viện ngôn ngữ học. NXB Đà Nẵng.

17. Trần Phƣơng, Nguyễn Đức Tấn , Những sai lầm trong giải toán phổ thông.

18. Nguyễn Thế Thạch (Chủ Biên), Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chƣơng, Nguyễn

Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu (2010),

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kỹ năng môn toán 11, NXB Giáo dục Việt Nam

19. Nguyễn Thế Thạch (Chủ Biên) Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chƣơng, Nguyễn

Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu (2010),

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kỹ năng môn toán 12, NXB Giáo dục Việt Nam.

20. Nguyễn Thế Thạch (Chủ Biên), Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chƣơng, Nguyễn

Trung Hiếu, Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Quý Sửu (2010),

Hướng dẫn thực hiện chuẩn kỹ năng môn toán 10, , NXB Giáo dục Việt Nam.

21. Chu Cẩm Thơ (2015), Phát triển tư duy thông qua dạy học môn Toán ở trường

phổ thông, NXB Đại học Sƣ phạm

22.

– sai

23. Hứa Anh Tuấn (2014),“Phát triển năng lực vận dụng kiến thức hình học vào

thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông”. Luận Văn Thạc sỹ PPDH Toán,

Trƣờng ĐHSP Thái Nguyên

24. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), Nguyễn Văn Lũy, Đinh Văn Vang, Giáo trình

tâm lý học đại cương, NXB Đại học sƣ phạm

PHỤ LỤC 1

PHIẾU ĐIỀU TRA GV

(Dành cho GV dạy khối 10, 12 trường THPT Cầu Xe trước khi thực nghiệm)

Xin thầy (cô) vui lòng hợp tác tìm hiểu và trả lời các câu hỏi sau (trả lời các câu

hỏi bằng cách đánh dấu (X) vào ô thích hợp). Phiếu điều tra này chỉ có mục đích

nghiên cứu khoa học không dùng để đánh giá xếp loại GV.

Câu 1: Trong quá trình dạy học Hình học thì HS có thƣờng mắc sai lầm không ?

Có Không

Câu 2: Những nguyên nhân nào sau đây làm cho HS thƣờng mắc phải sai lầm khi

giải toán hình học.

Ghi chép không cẩn thận, tính toán nhầm.

Không hiểu về các khái niệm, định lý.

Nhớ sai công thức, tính chất.

Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, khi kết luận không kết hợp với điều kiện.

Xét thiếu trƣờng hợp.

Biểu diễn hình sai.

Suy luận không lôgic.

Diễn đạt kém.

Những nguyên nhân khác.

Xin chân thành cảm ơn thầy (cô)!

PHỤ LỤC 2

PHIẾU ĐIỀU TRA GV

(Dành cho GV dạy khối 10, 12 trường THPT Cầu Xe sau khi thực nghiệm)

Xin thầy (cô) vui lòng hợp tác tìm hiểu và trả lời các câu hỏi sau (trả lời các câu

hỏi bằng cách đánh dấu (X) vào ô thích hợp). Phiếu điều tra này chỉ có mục đích

nghiên cứu khoa học không dùng để đánh giá xếp loại GV.

Câu 1

(TNSP)?

Rất khả thi Ít khả thi

Khả thi Không khả thi

Câu 2: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính khả thi của tiết dạy TNSP?

Rất khả thi Ít khả thi

Khả thi Không khả thi

Câu 3: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính hiệu quả của giáo án TNSP?

Rất hiệu quả Ít hiệu quả

Hiệu quả Không hiệu quả

Câu 4: Thầy (cô) đánh giá thế nào về tính hiệu quả của tiết dạy TNSP?

Rất hiệu quả Ít hiệu quả

Hiệu quả Không hiệu quả

Xin chân thành cảm ơn thầy (cô)!

PHỤ LỤC 3

PHIẾU ĐIỀU TRA HS

(Dành cho HS lớp 10, 12 trường THPT Cầu Xe trước thực nghiệm)

Em vui lòng hợp tác tìm hiểu và cho biết ý kiến của mình (bằng cách đánh dấu

X vào ô thích hợp). Phiếu điều tra này chỉ có mục đích nghiên cứu khoa học không

dùng để đánh giá xếp loại HS.

Câu 1: Em có thích học hình học không?

Rất thích Bình thƣờng

Thích Không thích

Câu 2: Khi giải một bài toán hình học, các thầy cô có tóm tắt bài toán hoặc ghi giả

thiết và kết luận của bài toán không?

Luôn luôn Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên Không bao giờ

Câu 3: Khi giải một bài toán hình học, các thầy cô có vẽ hình minh họa cho bài toán

không?

Luôn luôn Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên Không bao giờ

Câu 4: Khi giải một bài toán hình học, các thầy cô có phân tích mối liên hệ giữa giả

thiết, kết luận của bài toán và từ đó tìm ra lời giải cho bài toán không?

Luôn luôn Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên Không bao giờ

Câu 5: Khi giải một bài toán chứng minh hình học, các thầy cô có phân tích các bƣớc

trong chứng minh, các quy tắc suy luận lôgic đƣợc sử dụng trong chứng minh không?

Luôn luôn Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên Không bao giờ

Câu 6: Khó khăn của em đối với một bài toán chứng minh hình học là gì?

Đọc hiểu đề bài Trình bày lời giải

Phân tích bài toán Ý kiến khác

Vẽ hình

Xin Chân thành cảm ơn các em đã hợp tác!

PHỤ LỤC 4

PHIẾU ĐIỀU TRA HS

(Dành cho HS lớp 10, 12 trường THPT Cầu Xe sau khi thực nghiệm)

Em vui lòng hợp tác tìm hiểu và cho biết ý kiến của mình (bằng cách đánh dấu

X vào ô thích hợp). Phiếu điều tra này chỉ có mục đích nghiên cứu khoa học không

dùng để đánh giá xếp loại HS.

Câu 1: Trong các tiết dạy thực nghiệm, khả năng hiểu bài của em ở mức độ nào?

Rất hiểu bài Bình thƣờng

Hiểu bài Khó hiểu bài

Câu 2: Việc ghi giả thiết, kết luận và vẽ hình minh họa cho bài toán hình học có cần

thiết không?

Bình thƣờng Rất cần thiết

Không cần thiết Cần thiết

Câu 3: Việc phân tích mối liên hệ giữa giả thiết, kết luận cho bài toán hình học để từ

đó tìm ra lời giải cho bài toán có cần thiết không?

Bình thƣờng Rất cần thiết

Không cần thiết Cần thiết

Câu 4: Việc phân tích và sửa chữa các sai lầm mà HS mắc phải trong quá trình giải

bài toán hình học có cần thiết không?

Bình thƣờng Rất cần thiết

Không cần thiết Cần thiết

Câu 5: Trong quá trình giảng dạy hình học, việc thầy cô nhấn mạnh bản chất nội dung

của các Khái niệm, Định lý hình học có cần thiết không?

Bình thƣờng Rất cần thiết

Không cần thiết Cần thiết

Câu 6: Trong quá trình giảng dạy hình học, việc thầy cô đƣa ra một số chú ý, một số

sai lầm mà HS thƣờng mắc có cần thiết không?

Bình thƣờng Rất cần thiết

Không cần thiết Cần thiết

Xin Chân thành cảm ơn các em đã hợp tác!

PHỤ LỤC 5

Nội dung các đề kiểm tra trước thực nghiệm

Đề 1: (khối 10) – Đề kiểm tra 40 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề bài : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết

a) Tìm tọa độ của vectơ biết .

b) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm M thuộc đƣờng thẳng x= 2 sao cho: d) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. e) Tìm tọa độ C‟ là hình chiếu của C trên đƣờng thẳng AB

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Đáp án Điểm Phần

. biết

0,5 Tìm độ dài của vectơ Ta có

0,5 a (2,0đ) 0,5

0,5

Vậy Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác ABC

*) Gọi . Ta có 0,5

Vậy tọa độ trung điểm I của đoạn AC là 0,5

b (2,0đ) *) Gọi . Ta có 0,5

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 0,5

Tìm M thuộc đƣờng thẳng x= 2 sao cho: Do M thuộc đƣờng thẳng x= 2 nên tọa độ M có dạng M=(2;y ) 0,5

0,5

c (2,0đ) 0,5

0,5 +) Với y = -1 ta có +) Với y = -9 ta có Vậy

Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gọi tọa độ trực tâm H =(x;y);

0,5 Ta có

d (2,0đ)

0,5

Do H là trực tâm tam giác ABC nên

0,5

e) Tìm tọa độ C‟ là hình chiếu của C trên đƣờng thẳng AB

0,5 . Đƣờng thẳng AB có VTPT

Ta có Suy ra PT đƣờng thẳng AB: Do C‟ thuộc đƣờng thẳng AB nên tọa đọ của nó có dạng

0,5

Ta có Do C‟ là hình chiếu của C trên đƣờng thẳng AB nên e) (20đ) 0,5

0,5

Vậy

Ghi chú: HS làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa từng phần và toàn

bài.

Đề 2: (khối 12) – Đề kiểm tra 40 phút (không kể thời gian giao đề)

, tam giác có

Câu 1 (6 điểm): Cho hình chóp giác đều cạnh . Biết là tam , gọi M, N lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của A lên

a) Tính thể tích khối chóp b) Tính thể tích khối chóp .

Câu 2(4 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A=(2;-1;3), B=(4;0;1),

a) Lập phƣơng trình mặt phẳng trung trực đoạn AC. b) Lập phƣơng trình mặt phẳng (ABC).

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Thang điểm

1,0

a) Do nên SA là chiều cao hình chóp S.ABC

0,5 Theo bài ra ta có Câu 1a ( 3,0 điểm)

Ta có: 0,5

Do tam giác là tam giác đều cạnh nên 0,5

Vậy 0,5

b) Ta có 0,5

Mặt khác theo công thức tỉ số thể tích ta có:

0,5

Tam giác SAB vuông tại A có AM là chiều cao nên:

0,5

Câu 1b ( 3,0 điểm)

Tƣơng tự có 0,5

Thay vào (2) có:

0,5

0,5 Thay vào (1):

0,5 0,5

của AC 0,5 Câu 2a (2,0 điểm)

làm VTPT

Ta có Tọa độ trung điểm I của AC là Mặt phẳng trung trực đoạn AC đi qua trung điểm và nhận PT: 0,5

0,5

làm VTPT Câu 2a (2,0 điểm) 0,5

Mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận PT mp(ABC) : 0,5

Ghi chú: HS làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa từng phần

và toàn bài.

PHỤ LỤC 6

(Các đề khảo sát để thống kê sai lầm )

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 10 lần 1)

Câu 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của

các cạnh AD, BC.

a) Hãy tính (độ dài các vectơ):

b)Chứng minh rằng:

(2)

c) Chứng minh rằng: (1)

Câu 2. Cho tam giác ABC. G

trên cạnh AC thỏa mãn AC= 3AN.

a) Phân tích mỗi vectơ theo hai vectơ .

b) Tìm tập hợp những điểm I thỏa mãn

Đáp án

Câu 1a)

Câu 1b) ta có AMCN là hình bình hành nên

(luôn đúng) Câu 1c)

*) (luôn đúng)

Câu 2a) Phân tích các vectơ theo hai vectơ

Câu 2b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Ta có:

Vậy (1)

Mặt khác ta có M, G là 2 điểm cố định (2)

Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích I là đƣờng trung trực của đoạn MG

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 12 lần 1)

a) Hình chóp S.ABC có SA (ABC).

Câu 1: Hãy xác định góc giữa cạnh bên SB với mặt đáy của các hình chóp sau:

b) Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAC)

(ABC) và SAC là tam giác đều.

(yêu cầu HS vẽ hình và xác định chính xác góc cần tìm)

a) Hình chóp S.ABC có SC (ABC), tam giác ABC vuông tại A.

Câu 2: Hãy xác định góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy của các hình chóp sau:

b) Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SCD)

(ABCD) và SCD là tam giác đều,

ABCD là hình chữ nhật.

(yêu cầu HS vẽ hình và xác định chính xác góc cần tìm)

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA

(ABCD), góc giữa mp(SBD) với mặt đáy bằng .

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính khoảng cách từ D đến mp(SBC). Từ đó tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).

c) Gọi C‟ là trung điểm của SC. Gọi là mặt phẳng đi qua A, C‟ và song song với

BD, giả sử mp cắt SB tại B‟ và cắt SD tại D‟. Tính thể tích khối chóp S.AB‟C‟D‟.

Đáp án

Câu 1: a) Do SA (ABC) tại A và B (ABC) nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Khi đó

b) Gọi H là trung điểm AC

Do SAC là tam giác đều nên SH AC (1)

Mặt khác (SAC) (ABC) nên SH (ABC)

Khi đó HB là hình chiếu của SB trên mp(ABC)

suy ra

Câu 2:

Đáp án câu 2a Đáp án câu 2d

( Với H là trung điểm CD; E là trung điểm AB)

Câu 3

. a) Do SA (ABCD) nên ta có

+) Ta có

+) Ta có BD AO( do ABCD là hình vuông tâm O )

BD SA( do SA (ABCD))

Suy ra BD SO

Khi đó

Trong tam giác SAO

ta có .

Vậy .

b) Tìm d(D,(SBC))

ta có AD// BC ( do ABCD là hình vuông) nên AD//(SBC).

Khi đó

+)Kẻ AH SB tại H (1)

+ Do ABCD là hình vuông và SA (ABCD) nên BC (SAB) BC AH (2)

Từ (1) và (2) ta có: AH (SBC) suy ra

Trong SAB có

Vậy .

+ Ta có A, O, C thẳng hàng, C mp(SBC) và

Suy ra

c) Tìm .

Trong SAC vuông, ta có AC‟ và SO là hai đƣờng trung tuyến.

Gọi G là giao điểm của AC‟ với SO.

Do mp đi qua A, C‟ và song song với BD,

mp cắt SB tại B‟ và cắt SD tại D‟

nên trọng tâm G thuộc mp

và .

- Phân chia chóp tứ giác

ta có

Ta có

-Nhận xét:

+ Với những HS xác định góc sai, GV cần củng cố lại kiến thức về PP xác định

góc giữa đƣờng thẳng với mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

+ Với những HS xác định sai khoảng cách, GV cần củng cố lại kiến thức về PP

xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

+ Đặc biệt GV cần nhấn mạnh công thức tỷ số thể tích chỉ vận dụng đƣợc khi nó

là hình chóp tam giác.

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 10-lần 2).

Câu 1: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có phƣơng trình các cạnh là:

a) Tìm tọa độ điểm A và độ dài đƣờng cao AH của ABC .

b) Tính số đo góc A của tam giác ABC.

c) Chứng minh rằng: Trong các đƣờng cao của tam giác ABC thì đƣờng cao hạ từ

đỉnh A có độ dài ngắn nhất.

Câu 2: Trong hệ trục Oxy, cho và hai đƣờng thẳng

lần lƣợt có phƣơng trình là

a) Tìm m để đƣờng thẳng tạo với một góc .

b) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua cách đều hai điểm A, B.

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc sao cho NA+ NO ngắn nhất.

Đáp án Câu 1:

a) Ta có suy ra tọa độ của A là nghiệm của hệ PT

Độ dài đƣờng cao AH chính là khoảng cách từ A đến đƣờng thẳng BC

Ta có

Vậy .

b) Ta có

Từ giả thiết ta tìm được:

Ta có :

Mà

Suy ra

Vậy .

c) Cách 1: Tính khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến các đƣờng thẳng BC, CA, AB

rồi so sánh rồi rút ra kết luận.

Cách 2: Gọi lần lƣợt là độ dài đƣờng cao hạ từ đỉnh A, B, C.

Ta có

Theo phần (b) thì tam giác ABC tù tại A nên BC >AC, BC >AB.

Suy ra và .Vậy đƣờng cao hạ từ đỉnh A có độ dài ngắn nhất.

Đáp án Câu 2:

a) Điều kiện để là phƣơng trình của đƣờng thẳng là:

(*)

+ Đƣờng thẳng có VTPT .

Đƣờng thẳng có VTPT

+) Do đƣờng thẳng một góc nên tạo với

Từ (*) và (**) ta có giá trị của m cần tìm là .

b) Cách 1: Vận dụng công thức khoảng cách

Cách 2: Đƣờng thẳng d cách đều 2 điểm A, B nên có 2 khả năng sau:

+) Khả năng 1: Đƣờng thẳng d đi qua điểm làm và nhận

VTCP. Khi đó đƣờng thẳng d có PT: .

+) Khả năng 2: Đƣờng thẳng d đi qua và đi qua trung điểm I của AB

Ta có tọa độ trung điểm I của đoạn AB là

Đƣờng thẳng d đi qua và có VTPT suy ra PT d: .

Kết luận: có 2 PT đƣờng thẳng d cần tìm là . và

c) Dễ thấy A, O nằm về hai nửa mặt phẳng với bờ là đƣờng thẳng (nằm về hai phía

của đƣờng thẳng )

- Tìm tọa độ điểm N

Do A, O nằm về 2 phía của đƣờng thẳng nên với mọi N thuộc ta có

Vậy để NA+NO ngắn nhất thì N, A, O thẳng hàng hay .

+ Lập đƣờng thẳng AO:

Ta có đƣờng thẳng OA

Suy ra đƣờng thẳng OA có PT: .

Khi đó tọa độ của N là nghiệm của hệ PT

Vậy .

SAU ĐÂY LÀ ĐỀ KHẢO SÁT (Khối 12- lần 2)

, Câu 1: Trong hệ trục Oxyz, cho

và .

a) Chứng minh rằng: không đồng phẳng.

b) Lập PT mp (P) chứa đƣờng thẳng AB và song song CD.

c) Có tồn tại mp(Q) chứa hai điểm A, B và song song với đƣờng thẳng CE không?.

Nếu có thì hãy viết PT mp(Q).

Câu 2: Trong hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu (S)

a) Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Tìm m để khoảng cách từ I đến mp nhỏ hơn 4.

là PT của mp . Chứng minh rằng mp vuông b) Nếu

góc với mp .

Đáp án Câu 1:

a) Để chứng minh không đồng phẳng ta chứng minh

Ta có:

(1) Suy ra

(2)

Từ (1) và (2) suy ra không đồng phẳng (Đccm).

b) Theo phần ( a) thì A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện nên tồn tại mp(P) thỏa mãn yêu cầu

Ta có

Suy ra PT mp(P) là:

c) Ta có nên đồng phẳng suy ra

A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.

Kết luận: không tồn tại mp(Q) thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án Câu 2:

a) Điều kiện để là PT của mặt phẳng là:

+ Với có VTPT ta có mp

mp có VTPT

Xét

Vậy khi thì mp luôn vuông góc với mp .

b) Điều kiện để (S) là PT của mặt cầu là:

(*)

Khi đó mặt cầu (S) có tâm

Ta có

Theo giả thiết ta có:

(**)

Từ (*) và (**) ta có giá trị của m cần tìm là .

PHỤ LỤC 7

Nội dung các đề kiểm tra sau khi thực nghiệm

Đề 1: (khối 10) – Đề kiểm tra 45 phút

Câu 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho có phƣơng trình các cạnh AB, AC, BC lần

lƣợt là

a) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C.

b) Tìm diện tích

c) Tính số đo góc C của

Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho có và phƣơng trình đƣờng cao hạ

từ đỉnh B là (d1 ): , phƣơng trình đƣờng trung tuyến hạ từ C là (d2):

. Hãy xác định tọa độ B và C.

Đáp án và biểu điểm

Đáp án Câu

Thang điểm

1a 0,5 ( 2,0

điểm)

Tìm tọa độ 0,5

Tìm tọa độ ; 0,5

Tìm tọa độ . 0,5

0,5

0,5 1b

(2,0 0,5 điểm)

Vậy (đvdt). 0,5

Ta có 0,5

(1,5 0,5

điểm)

suy ra 0,5

0,5

*) Tìm tọa độ C Ta có

-) Lập PT đƣờng thẳng AC 0,5

Ta có đƣờng thẳng AC Câu2

( 4,5 nên PT AC có dạng +) Do AC (d1): 0,5

điểm) +) Do AC đi qua nên ta có

0,5

Vậy PT AC

+) suy ra tọa độ C là nghiệm của hệ PH

0,5

Vậy .

*) Tìm tọa độ B 0,5 +) Ta có nên tọa độ B có dạng

+) Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Khi đó tọa độ M là

0,5

là đƣờng trung tuyến qua C nên M thuộc +) Do (d2):

0,5 (d2). Khi đó ta có

Vậy 0,5 ; Kết luận :

Ghi chú:HS làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa từng phần và toàn

bài

Đề 2: (khối 12) kiểm tra 45 phút

Câu 1:Cho hình lập phƣơng

a)Chứng minh rằng mp //mp có cạnh bằng 1.

b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD đều có đáy ABCD là hình vuông tâm O, .

Các cạnh bên đều tạo với đáy góc

a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Gọi I là trung điểm SC. Khi đó góc có phải là góc giữa hai mặt phẳng

không ? . Hãy chứng minh khẳng định đó là đúng.

Đáp án và biểu điểm

Đáp án Câu

Thang điểm

1,0 ( 5,5

điểm)

HS có thể vận dụng PP tổng hợp để giải . Khi đó biểu điểm

( hình vẽ: 0,5điểm ; phần (a) 2,0 điểm; phần (b) 2,5 điểm)

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho A O; A‟ Oz; B Ox ; D Oy.

Khi đó và 1,0

Ta có

0,5

Suy ra mp(AB‟D‟) có pt : 0,5

0,5

Suy ra mp(C‟BD) có pt : 0,5

ta có tỷ lệ nên mp(AB‟D‟)//mp(C‟BD) 0,5

b) Tính

0,5 ta có mp(AB‟D‟) // mp(C‟BD)

0,5

0,5 ( 2,0

điểm)

HS có thể vận dụng PP tọa độ để giải

0,5 Do ABCD là hình vuông cạnh nên

Do hình chóp S.ABCD đều có đáy là hình vuông ABCD tâm O

nên SO (ABCD)

+) Tính SO

0,5 Do các cạnh bên đều tạo với đáy nên

vuông tại O , có Xét

Nên

0,5 Vậy

Góc không phải là góc giữa hai mặt phẳng mp(SBC) và 0,25 mp(SDC)

Thật vậy

Trong vuông tại O có:

Suy ra các cạnh bên và các cạnh đáy của hình chóp đều bằng nhau

0,5 nên là các tam giác đều cạnh

Do I là trung điểm SC nên (1) và

(2,5

điểm) (2) Mà

0,25

Từ (1) và (2) ta có

*) Ta chứng minh lớn hơn

Trong có ; 0,5

BD= AC = 2a

Áp dụng định lý côsin ta có:

0,5 Vậy góc không phải là góc giữa hai mặt phẳng mp(SBC) và

mp(SDC)

Ghi chú: HS làm theo cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa từng phần

và toàn bài.

Về kết quả sơ bộ: Qua quan sát thái độ của HS trong khi làm bài và sau khi

kết thúc giờ kiểm tra. Đồng thời sau khi chấm bài kiểm tra của các em, chúng tôi có

nhân xét rằng: với lớp thực nghiệm, nói chung các em nắm vững kiến thức cơ bản

của bài học và chất lƣợng bài làm của HS là khá tốt. Còn với lớp đối chứng thì có

phần kém hơn.

PHỤ LỤC 8

(Dƣới đây là các giáo án thực nghiệm)

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 1

(giáo án thể hiện việc áp dụng biện pháp 2, biện pháp 3)

Dụng ý của bài soạn: Trong bài soạn này chúng tôi đã yêu cầu HS ghi giả thiết, kết

luận và vẽ hình minh họa cho bài toán. Mục đích của hoạt động này là để HS xác

định đúng luận đề và phần luận cứ quan trọng của bài toán, còn hình vẽ để xác định

cách giải chính xác cho bài toán. Bài soạn còn đƣa ra lời giải sai để HS xác định đúng

luận cứ và luận chứng của bài toán.

Bài soạn 1: Lớp 10

Tiết tự chọn 26 BÀI TẬP:

I) Mục tiêu:

1. Kiến thức: Củng cố VTPT, VTCP đƣờng thẳng, PT tổng quát của đƣờng thẳng.

2. Kĩ năng: Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của một tam giác khi biết tọa độ một đỉnh và

PT các đƣờng cao, đƣờng trung tuyến.

hoạt động học tập.

p, giải quyết vấn đề.

Máy chiếu

III) Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: có PT dạng nhƣ thế nào?.

Đáp án: PT đƣờng thẳng (d) .

. Câu hỏi 2: Cho đƣờng thẳng (d1) vuông góc với

Khi đó PT đƣờng thẳng (d1) có dạng nhƣ thế nào ?.

Đáp án:

+) GV: Ngoài ra để giải quyết các bài tập của tiết học hôm nay chúng ta cần nhớ:

thì . (1) Nếu điểm

(2) Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì

Hoạt động 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho có và phƣơng trình

. , (d2):

các đƣờng cao hạ từ đỉnh B, C lần lƣợt là (d1 ): Hãy xác định tọa độ B và C.

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

+) GV: Hãy nêu giả thiết và kết luận . Cho có: A=(1;3);

+) HS: Nêu giả thiết và kết luận GT +) Đƣờng cao qua B (d1):

+) GV: Nhấn mạnh lại giả thiết và kết . +) Đƣờng cao qua C (d2):

luận. Để giải quyết bài toán này thì KL Xác định tọa độ B và C .

chúng ta nên phác họa hình học (thể

hiện các đƣờng cao trong );

(không cần thiết phải vẽ đúng PT (d1 );

(d2) trên hệ Oxy).

+) HS: tiếp thu và vẽ hình minh họa

+) GV: PP tìm tọa độ B; C là nhƣ nhau. *) Tìm tọa độ B Ta đi tìm tọa độ B trƣớc. Điểm B là Ta có giao điểm của 2 đƣờng thẳng nào ?

-) Lập PT đƣờng thẳng AB +) HS: (từ hình vẽ trực quan)

Ta có đƣờng thẳng AB

+) GV: Vậy để tìm tọa độ B thì ta cần

+) Do AB (d2): nên PT lập PT đƣờng thẳng nào?. Nêu cách lập

AB có dạng PT đƣờng thẳng đó?

+) Do AB đi qua A=(1;3) nên ta có +) HS: lập PT AB

+) GV: nhận xét và nhấn mạnh lại PP Vậy PT AB

thực hiện Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ PT

Kết luận:

*) Tìm tọa độ C

Kết quả GV: Hãy tìm tọa độ C

(tƣơng tự nhƣ việc tìm tọa độ B)

HS: lên bảng thực hiện

GV: Chỉnh sửa và kết luận.

GV: Để giải quyết bài toán trên ta đã sử dụng những khái niệm nào? định lý nào ? (luận

cứ của bài?).

HS: ta đã sử dụng các khái niệm: đƣờng cao của tam giác, PT tổng quát của đƣờng

thẳng, VTPT, VTCP của đƣờng thẳng, điểm thuộc đƣờng thẳng, dạng PT đƣờng thẳng

vuông góc với một đƣờng thẳng có PT cho trƣớc.

Hoạt động 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho có và phƣơng trình

, phƣơng trình đƣờng trung tuyến hạ từ đƣờng cao hạ từ đỉnh B là (d1 ):

. Hãy xác định tọa độ B và C. C là (d2):

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

Cho có: ;

+) GV: Hãy nêu giả thiết và kết luận . GT

+) HS: Nêu đƣợc giả thiết và kết luận. +) Đƣờng cao qua B (d1): +) Đƣờng trung tuyến qua C (d2):

KL Xác định tọa độ B và C . +) GV: Để giải quyết bài toán này thì

chúng ta nên phác họa hình học (thể

hiện đƣờng cao, đƣờng trung tuyến

trong ); (không cần thiết phải vẽ

đúng PT (d1 ); (d2) trên hệ Oxy).

+) HS: tiếp thu và vẽ hình minh họa.

*) Tìm tọa độ C

+) GV: việc tìm tọa độ điểm C thuận lợi Ta có

hơn (đã có PP làm). Ta đi tìm tọa độ C. -) Lập PT đƣờng thẳng AC

Hãy nhắc lại cách tìm tọa độ C ?.

Tacó đƣờng thẳng AC

+) HS: (từ hình vẽ trực quan) nên PT +) Do AC (d1):

AC có dạng

+) Do AC đi qua nên ta có lập PT AC

Vậy PT AC là : . +) GV: HS thực hiện

Suy ra tọa độ C là nghiệm của hệ PT

Vậy tọa độ điểm C là .

GV: Hãy tìm sai lầm trong lời giải sau:

(Mục đích để HS tập luyện việc xác định đúng luận cứ và luận chứng của bài toán )

*)Tìm tọa độ B Ta có

-) Lập PT đƣờng thẳng AB

Tacó đƣờng thẳng AB

. +) Do AB (d2): nên PT AB có dạng

+) Do AB đi qua nên ta có

Vậy PT AB là : .

Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ PT

Vậy tọa độ B là .

HS 1: Lời giải trên đúng, vì trung tuyến d2: đi qua trung điểm

của cạnh AB.

HS 2: Lời giải trên sai, vì giả thiết cho đƣờng thẳng d2 là trung tuyến qua C chứ d2

không không phải là đƣờng cao qua C nên d2 đi qua trung điểm M của AB và

vuông góc với AB; ( khi ABC cân tại C).

GV: nhận xét kết luận của HS và nhấn mạnh lời giải trên là sai mặc dù kết quả có thể

đúng (ở bài này kết quả là đúng) và lời nhận xét của HS 2 hoàn toàn

đúng.

GV: Hãy nêu cách tìm tọa độ của điểm B ?. Ta có lập trực tiếp đƣợc PT cạnh AB

không ?.

*) Tìm tọa độ B

+) GV: Ta không lập trực tiếp đƣợc PT

AB. Hãy sử dụng hình vẽ trực quan nêu +) Ta có nên tọa độ B

hƣớng làm ?. có dạng .

Đƣờng trung tuyến liên quan đến trung +) Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Khi đó

điểm của cạnh đối diện. Vậy nếu M là

tọa độ M là . trung điểm của AB thì M thuộc (d2).

Hãy biểu thị tọa độ M theo tọa độ A, B là đƣờng trung +) Do (d2):

?. tuyến qua C nên M thuộc (d2). Khi đó ta có

+) HS:

Vậy . +) GV nhấn mạnh lại PP thực hiện.

Kết luận: ; .

V) Củng cố: PP tìm tọa độ các đỉnh còn lại của một tam giác khi biết tọa độ một

đỉnh và biết

(a) PT hai đƣờng cao.

(b) Biết PT một đƣờng cao và một đƣờng trung tuyến.

Bài tập 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho có A=(2;2) và phƣơng trình các đƣờng

. Hãy xác cao qua đỉnh B, C lần lƣợt là (d1 ): ; (d2):

định tọa độ đỉnh B và C .

Bài tập 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho có và phƣơng trình đƣờng

, phƣơng trình đƣờng trung tuyến hạ từ C là cao hạ từ đỉnh A là (d1 ):

. Hãy lập phƣơng trình đƣờng thẳng AC . (d2):

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 2

(Giáo án thể hiện việc áp dụng biện pháp 1, biện pháp 2)

Dụng ý của bài soạn: Trong bài soạn này chúng tôi cung cấp đầy đủ, chính xác

những kiến thức về góc giữa hai đƣờng thẳng, công thức tính khoảng cách từ một

điểm đến một đƣờng thẳng và đƣa ra một số trƣờng hợp mà HS thƣờng mắc phải.

Trong quá trình giảng dạy chúng tôi có vẽ hình minh họa để HS dễ tiếp thu kiến thức

và không mắc sai lầm.

Bài soạn 2: Lớp 10

Tiết 29 PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG (tiết 3)

6. Góc giữa hai đƣờng thẳng

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng

I)Mục tiêu:

1. Kiến thức: Củng cố VTPT của đƣờng thẳng, PT tổng quát của đƣờng thẳng. HS

nắm đƣợc công thức xác định góc giữa 2 đƣờng thẳng, công thức tính khoảng cách từ

một điểm đến một đƣờng thẳng.

2. Kĩ năng: Tìm côsin của góc giữa 2 đƣờng thẳng, tính khoảng cách từ một điểm đến

một đƣờng thẳng.

Máy chiếu.

III) Kiểm tra bài cũ:

1) Mục tiêu câu hỏi 1, câu hỏi 2: để củng cố công thức tính góc giữa hai véctơ, củng

cố PT tham số của đƣờng thẳng. Trên cơ sở đó để HS tránh nhầm lẫn với công thức

góc giữa 2 đƣờng thẳng và tiếp cận với bài học mới.

Câu hỏi 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho . Nêu công thức tính

. Đáp án:

Câu hỏi 2: Trong hệ tọa độ Oxy. Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua

và có VTCP . Đáp án :

+) GV: Ngoài ra để tiếp cận với kiến thức của tiết học hôm nay chúng ta cần nhớ:

1) Góc giữa hai véctơ bất kỳ luôn quy về góc giữa hai véctơ chung gốc, miền

góc giữa hai véctơ là từ đến .

2) ( hay với ).

3) VTPT của đƣờng thẳng là véctơ có giá vuông góc với đƣờng thẳng .

(Dạy hết mục 6, mục 7).

Hoạt động 1: Xây dựng công thức tính góc giữa hai đƣờng thẳng

+) GV: Trong mặt phẳng, giữa 2 đƣờng thẳng bất kỳ luôn có 3 vị trí tƣơng đối: cắt

nhau, song song và trùng nhau.

Khi 2 đƣờng thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng

Khi 2 đƣờng thẳng cắt nhau thì chúng tạo ra 4 góc (hai cặp góc đối đỉnh)

và góc nhỏ nhất trong 4 góc đó đƣợc gọi là góc giữa 2 đƣờng thẳng.

Trƣờng hợp 1: Trƣờng hợp 2: Trƣờng hợp 3: cắt

bằng Góc giữa bằng Góc giữa bằng Góc giữa

Từ đó ta có định nghĩa góc giữa hai đƣờng thẳng.

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

6. Góc giữa hai đƣờng thẳng

+) HS đọc định nghĩa SGK. a. Định nghĩa góc giữa hai đƣờng thẳng

+) GV nhấn mạnh và khẳng định (SGK- 79)

miền giá trị của góc giữa 2 đường +) Góc giữa hai đƣờng thẳng đƣợc kí

thẳng. hiệu hoặc đƣợc kí hiệu .

+) Đặt ta có

khi hoặc

khi

b) Công thức xác định góc

+) GV: Đặc trƣng của PT tổng quát

của đƣờng thẳng là VTPT của nó.

Vậy hãy tìm mối quan hệ góc giữa 2

đƣờng thẳng với góc giữa 2 VTPT

tƣơng ứng ? Trong hệ tọa độ Oxy cho

+) GV: Vẽ hình minh họa (luôn gắn

2 VTPT chung gốc)

+) Đặt

( Thể hiện biện pháp 2) ta có

Vậy ta có

GV: Vậy ; kết

hợp với công thức phần kiểm tra bài

cũ thì ta có công thức ?

HS:

Hoạt động 2: Vận dụng công thức tính góc giữa hai đƣờng thẳng

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

Ví dụ 1 Tìm côsin góc giữa hai đƣờng thẳng

GV: hƣớng dẫn vận dụng công thức sau. Từ đó suy ra số đo góc giữa chúng.

Bài giải

+) HS thực hiện Ta có đƣờng thẳng có VTPT lần lƣợt

+GV chú ý nếu không có dấu “| |” (dấu

giá trị tuyệt đối ) thì

(kết quả này sai) ( suy ra =450)

( suy ra =900) b)HS làm tƣơng tự

GV: Ta có

Chú ý:

(1) GV: (2) Nếu PT của lần lƣợt là

ta có:

Thì ta có Từ đó ta có chú ý

(3) Nếu lần lƣợt là VTCP của

thì ta có

Hoạt động 3: Xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng

+) GV: Khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng:

Nếu tại H thì đoạn là khoảng cách

từ tới đƣờng thẳng

+) GV: Đƣờng thẳng : có VTPT .

Nếu d đi qua và d vuông góc với thì d nhận làm

VTCP, khi đó đƣờng thẳng d có PT tham số là ? (đây là phần đã kiểm tra bài cũ )

+) HS: PT d là

+) GV: Nếu H thuộc d thì tọa độ H dạng: (với là tham số

ứng với điểm H).

Gọi H là giao điểm của d và . Hãy biểu thị theo a, b, c,

+) HS: Ta có H thuộc nên tọa độ H thỏa mãn PT

+) GV: Ta có

Suy ra

Mà

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm

đến một đƣờng thẳng

Công thức trên chính là công thức

tính khoảng cách từ điểm

đến đƣờng thẳng

HS: tiếp nhận kiến thức và đọc định

lý a) Định lý (SGK-79) (SGK-79)

Trong mp Oxy cho điểm và

đƣờng thẳng : . Khi đó GV: hƣớng dẫn HS vận dụng CT

Hãy xác định và

b) Ví dụ : Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) (có thể chỉ cần tìm ở ngoài giấy nháp) Từ đó suy ra và O(0;0) đến đƣờng thẳng

Bài giải Ta có

Hoạt động 4: Nhấn mạnh công thức khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng. Đƣa ra

một số khả năng mà HS có thể bị mắc sai lầm (từ đó HS có thể tránh đƣợc sai lầm

về luận cứ). Nêu công thức liên quan.

Hoạt động của GV&HS

+)GV: Chú ý: dấu “| |” ( dấu giá trị tuyệt đối), biểu thức mẫu ;

+)GV một số trƣờng hợp HS nhớ sai CT (*) là

(1)( thiếu c):

(2) (thiếu dấu| |):

(3)(thiếu dấu căn):

+) GV: Một số trƣờng hợp đặc biệt

*) Chú ý: Nếu thì

Ví dụ : Với hình chữ nhật ABCD

Ta có

V) Củng cố: Công thức xác định góc giữa 2 đƣờng thẳng, công thức tính khoảng

cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng.

+ BTVN: Bài 7,8,9 trang 81.

Bài tập: Trong hệ Oxy, cho

a) Tính khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng .

b) Tính góc giữa .

c) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 đƣờng thẳng .

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 3

(giáo án thể hiện việc áp dụng biện pháp 1)

Dụng ý của bài soạn: Trong bài soạn này chúng tôi cung cấp đầy đủ, chính xác

những kiến thức về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,

khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song và đƣa ra một số trƣờng hợp mà HS thƣờng

mắc phải.

Bài soạn 3: Lớp 12 Chương 3

Tiết 33 §

I) Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Củng cố PT tổng quát của mặt phẳng. Củng cố định nghĩa khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng.

- HS nắm đƣợc công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

2. Kĩ năng: Tính đƣợc khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

3. Tƣ duy- Thái độ: Tích cực, lôgic cẩn thận trong tính toán.

4. Phát triển năng lực: Trình bày toán, tính toán. Năng lực phân tích và giải quyết vấn

đề, năng lực tƣ duy độc lập, sáng tạo.

: Máy chiếu

III) Kiểm tra bài cũ:

1) Mục tiêu câu hỏi 1: để củng cố PT tổng quát của mặt phẳng và các trƣờng hợp

riêng của PT mặt phẳng. Đặc biệt củng cố dạng PT mặt phẳng song song trục oz

) để HS tránh nhầm lẫn (coi dạng PT này là PT của (

đƣờng thẳng).

2) Mục tiêu câu hỏi 2: để củng cố biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng của hai véctơ,

trên cơ sở đó tiếp cận với bài học mới .

Câu hỏi 1 Đáp án

-Nêu định nghĩa PT tổng quát - PT tổng quát của mặt phẳng là PT có dạng:

của mặt phẳng. ( );

-Nếu mp (P) song song với trục ; x; y; z là ẩn.

oz thì PT của nó có dạng nhƣ - mp(P) // trục oz thì PT mp(P) dạng :

thế nào ?. ); ; x; y (

là ẩn.

Câu hỏi 2 Đáp án

Cho mp +) mp có VTPT

và điểm +) Nếu thì .

+) mp có VTPT =?

+) Nếu thì ta có biểu thức ? Ta có

+) Với điểm Hãy tính

. theo A, B, C, D và

Gv: Nếu theo định nghĩa tích có hƣớng của hai véctơ thì ta có

(2)

(3) +) Nếu cùng phƣơng thì

Vậy từ (1), (2), (3) ta có:

Công thức trên xuyên suốt tiết học này của chúng ta === > vào bài mới

Dạy hết phần IV

Hoạt động 1: Hoàn thiện công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

+) GV: Nhắc lại định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (Để củng

cố lại khái niệm khoảng cách từ điểm đến mp (học ở lớp 11))

Trong không gian: Cho điểm và . Gọi M1 là

hình chiếu của trên . Khi đó: độ dài đoạn

đƣợc gọi là khoảng cách từ đến và đƣợc kí hiệu

Vậy

+) GV: Nhấn mạnh “khoảng cách là độ dài đoạn ngắn nhất”

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một

+) GV: Trong không gian với hệ trục mặt phẳng:

tọa độ Oxyz, cho điểm

và

Gọi

là hình

chiếu của trên Khi đó: độ

dài đoạn đƣợc gọi là gì ? Nêu

công thức tính ?.

+) HS: Theo phần kiểm tra bài cũ và

cách dẫn dắt- trình bày của thầy (cô) thì

đoạn đƣợc gọi là khoảng cách

từ đến và

Định lý: (SGK- 78 ). Trong không gian +) GV: Vì sao lại có công thức trên ?. với hệ Oxyz, cho điểm +) HS : vì và và

khi M1 là hình chiếu của

trên thì cùng Ta có phƣơng.

+) GV: Nhấn mạnh lại khẳng định trên

và kết luận:

+) HS: Đọc định lý SGK và ghi nội

dung định lý.

+) GV: nhấn mạnh công thức trên.

Hoạt động 2: Vận dụng tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

*) Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz. Tính

thức để tính khoảng cách khoảng từ điểm đến . Biết

, a)

+) GV hƣớng dẫn cụ thể và làm phần a b)

c) Hãy xác định và Bài giải

(có thể chỉ cần tìm ở ngoài giấy nháp). a) ta có và Từ đó suy ra ?.

Vậy

+) HS: Làm phần b, c tƣơng tự nhƣ

phần a.

+) GV: Hãy nhận xét bài làm của bạn. b) +) HS: Nêu nhận xét bài làm của bạn.

+) GV: Nhận xét và kết luận. c)

Hoạt động 3: Nhấn mạnh công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Đƣa ra

một số khả năng mà HS có thể bị mắc sai lầm (từ đó HS có thể tránh đƣợc sai lầm

về luận cứ). Nêu công thức liên quan.

Hoạt động của GV&HS

+) GV: Ở phần (b), nếu HS viết

thì vẫn coi là sai (mặc dù kết quả đúng).

Chú ý: ; có HS viết (sai )

+) GV: Nhớ rằng biểu thức ở mẫu của công thức tính khoảng cách là

+) GV một số trƣờng hợp HS nhớ sai CT (*) là:

(1) ( thiếu D):

(2) (thiếu dấu| |):

(3) (thiếu dấu căn):

+) GV: Một số trƣờng hợp đặc biệt

+) GV: Công thức (*) tƣơng tự nhƣ công thức nào trong hệ tọa độ Oxy ?

+) HS : Công thức (*) tƣơng tự nhƣ công thức tính khoảng cách từ điểm đến đƣờng

thẳng trong hệ tọa độ Oxy.

Trong hệ Oxy, cho đƣờng thẳng và điểm

ta có

*) GV: Ta đã biết khoảng cách giữa 2 đối tƣợng là cự ly ngắn nhất giữa 2 đối tƣợng

đó. Vậy nếu 2 đối tượng có điểm chung thì khoảng cách giữa chứng đều bằng 0.

Cụ thể: Nếu hoặc hoặc hoặc cắt

hoặc cắt

thì

*) Chú ý: Nếu // thì

Nếu // thì (**)

(trong công thức (**) thì điều ngƣợc lại không đúng )

thí dụ : Với hình lập phƣơng ABCD.A‟B‟C‟D‟

Ta có:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Hoạt động 4: Bài toán liên quan: (tính cách giữa 2 mặt phẳng song song)

Hoạt động của GV&HS

Nội dung ghi Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mp

song song ( ) và ( ) biết: GV: Tại sao

+) HS: vì

+) GV hãy chỉ ra 1 điểm thuộc mp( ) và b)

tính khoảng cách từ nó đến mp( ) Bài giải

+) HS: ta có a) Lấy M(0;0;-1) ( ).

+) GV với Khi đó:

+) HS: làm phần b tƣơng tự phần a

+) GV(giành cho HS khá-Giỏi) tổng quát b) Lấy M(8;0;0) ( ).

hóa và yêu HS chứng minh rằng: Nếu PT Khi đó:

của lần lƣợt là:

Thì

V) Củng cố: Công

giữa hai mặt phẳng song song.

+) Bài tập về nhà: Bài 9,10 trang 81.

Bài tập: Trong hệ Oxyz, cho

và mp

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 4

(giáo án thể hiện việc áp dụng biện pháp 2 và biện pháp 3)

Dụng ý của bài soạn: Trong bài soạn này chúng tôi đã yêu cầu HS ghi giả thiết,

kết luận và vẽ hình minh họa cho bài toán. Mục đích của hoạt động này là để HS xác

định đúng luận đề và phần luận cứ quan trọng của bài toán, còn hình vẽ để xác định

cách giải chính xác cho bài toán. Từ hình vẽ gợi cho HS cách giải khác “Dùng PP tọa

độ để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”. Bài soạn còn đƣa ra cách

chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho một số hình đa diện đặc biệt.

Bài soạn 4: Lớp 12

Tiết tự chọn 30 BÀI TẬP: Ứng dụng phƣơng pháp tọa độ trong không gian

I) Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Củng cố công thức thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. PP tính khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng.

- HS biết cách chọn hệ trục tọa độ để giải một số bài tập về hình học không gian.

2. Kĩ năng: Tính thể tích khối chóp, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng.

3. Tƣ duy - Thái độ: lôgic, biết quy lạ về quen, biết tƣơng tự hóa. Tích cực, cẩn thận

trong tính toán.

4. Phát triển năng lực: Năng lực phân tích, phán đoán và giải quyết vấn đề.

: Máy chiếu

III) Kiểm tra bài cũ: không

Hoạt động 1: Bài toán liên quan đến hình chóp:

Bài toán SA vuông góc với mp(ABC), SA=a. Đáy là tam

giác ABC vuông tại A, AB= c, AC= b.

a) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác nhọn.

b) T A (SBC) theo a, b, c.

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

GV: Hãy nêu giả thiết và kết luận ?. GT +) Hình chóp S.ABC

HS : Nêu thiết và kết luận. SA=a;

ABC vuông tại A có AB=c, AC= b.

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán ?. KL a) Chứng minh SBC nhọn.

( Hình vẽ quen thuộc ). b) Tính

GV: Tam giác SBC nhọn nghĩa là

nhƣ thế nào ?. Nêu cách chứng minh

SBC nhọn.

HS: Tam giác SBC nhọn khi và chỉ a)CMR: SBC nhọn

khi nó có 3 góc đều nhỏ hơn . Ta Ta chứng minh

chứng minh côsin của các góc S, B,

C đều dƣơng.

Ta có GV: Nêu công thức tính côsin của

các góc S, B, C theo a, b, c ?

Áp dụng định lý côsin cho SBC ta có

HS: Đây là bài toán giải tam giác

SBC khi biết độ dài 3 cạnh.

GV: Có thể chứng minh SBC nhọn

bằng cách khác không?.

HS: có ( SBC nhọn thì trực tâm H Vậy

nằm trong SBC ) nên SBC nhọn.

*) Tính b) Tính

GV: Hãy nêu một số PP tính khoảng

cách từ một điểm đến một mặt phẳng

(đã biết). Để giải quyết bài toán này

thì ta dung PP nào ?. kẻ AI BC tại I; Kẻ AH SI tại H (1)

ta có

HS: Chúng ta vận dụng PP trực tiếp (2)

GV: Nêu cách tìm vị trí của H là hình Mà BC, SI cắt nhau và (3)

chiếu của A trên mp(SBC) Từ (1), (2), (3) suy ra AH (SBC)

HS: Kẻ AI BC tại I Nên

Kẻ AH SI tại H *) Tính AH Khi đó +) Trong ABC ta có

GV: Hãy chứng minh

HS: Nêu cách chứng minh và chứng +) Trong SAI ta có

minh

GV: Kết luận.

GV: Hãy tính AH

Vậy HS: Xét ABC; SAI

Tính AI ; suy ra AH

GV: Dùng phần mềm GeoGebra

nhấn mạnh lại kết quả và cách vẽ

hình.

GV: Còn cách làm khác không?. Hãy

nêu cách làm đó.

HS:

Cách 2: Chọn hệ trục Oxyz sao cho:

GV: Ngoài cách trên ta còn cách khác A O; S Oz; B Ox ; C Oy.

( chỉ vào hình vẽ ). Nếu đặt hình chóp

S.ABC vào hệ trục Oxyz sao cho Khi đó và

A O; S Oz; B Ox ; C Oy

thì mp(SBC) có PT ?. Suy ra mp(ABC)

=?.

HS: Tiếp thu kiến thức và thực hiện

theo yêu cầu của GV thực hiện cách

GV: Chúng ta có cách 2 nhanh và

hiệu quả hơn. Vậy những bài toán

dạng nhƣ thế nào thì vận dụng đƣợc

PP tọa độ này ?. Cách chọn hệ trục

nhƣ thế nào cho tiện ?. Để trả lời câu

hỏi này ta sang hoạt động 2

Hoạt động 2: Một số chú ý khi chọn hệ trục Oxyz trong hình không gian (là cơ sở -

luận cứ để vận dụng PP tọa độ giải bài tập về hình không gian). Trên cơ sở đó HS ít

bị sai về luận chứng không hợp lôgic.

Ta có: vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình (hình đa

diện) chứa các cạnh vuông góc thì ta ƣu tiên chọn các đƣờng đó lần lƣợt thuộc các

trục tọa độ. Cụ thể:

Hoạt động của GV&HS

(GV: Trình chiếu một số cách chọn hệ trục tọa độ cụ thể)

(GV nhấn mạnh là phải chọn gốc tọa độ trƣớc, sau đó chọn đến các trục Ox, Oy,

Oz).

(1) Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

( hoặc hình chóp S.ABD có

ABD là tam giác vuông tại A và SA (ABD)

Ta có cách chọn hệ trục Oxyz:

+) Chọn gốc: O A;

+) Chọn trục: S Oz; B Ox ; D Oy.

(2) Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

(hoặc SA=SC;SB=SD ; ABCD là hình thoi)

Ta có cách chọn hệ trục Oxyz:

+) Chọn gốc: O I;

( I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC; BD)

+) Chọn trục: S Oz; C Ox ; D Oy.

(3)Với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

(hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’)

Ta có cách chọn hệ trục Oxyz:

+) Chọn gốc: O A;

+) Chọn trục: A‟ Oz; B Ox ; D Oy

(*) Một số trƣờng hợp khác ta xét sau)

Hoạt động 3: Bài toán liên quan đến hình hộp

Bài toán 2: M

a) Tính thể tích khối chóp

A .

Hoạt động của GV&HS Nội dung ghi

GV: Hãy nêu giả thiết và kết luận ?.

GT +) là hình lập

HS : Nêu thiết và kết luận. phƣơng

+) M

GV: Hãy vẽ hình cho bài toán ?. KL a) Tính

( Hình vẽ quen thuộc ). b) Tính

GV: Từ kết luận (luận đề) suy ra cách

chọn và đặt thứ tự đỉnh (dùng phần mềm

GeoGebra để vẽ hình)

+) GV: Phần (a) tính . Bài toán

tìm V quen thuộc. Hãy Nêu công thức

tìm , từ đó tìm các yếu tố liên

quan ?.

là hình lập phƣơng nên

suy ra AA’ là chiều cao +) HS: có AA‟ =1 khối chóp và AA’= 1

Tam giác AMD có diện tích bằng nửa Ta có diện tích hình vuông.

+) GV: Nhận xét và đƣa ra lời giải

Vậy

ta có PP +) GV: để tính b) Tính trực tiếp và một số PP gián tiếp. Ở bài Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho: này, nếu ta vận dụng PP trực tiếp (PP

tổng hợp) thì khó khăn cho việc tính toán O A; A‟ Oz; B Ox ; D Oy.

(GV phân tích cụ thể)

Vậy ta nên vận dụng PP gián tiếp để giải Khi đó và

và PP gián tiếp nào tốt hơn ?

HS: ta có là hình lập

phƣơng nên ta có thể vận dụng PP tọa độ

để giải. Ta có

GV: Hãy nêu cách chọn hệ Oxyz ?

HS: chọn O A; A‟ Oz; B Ox ; D

Oy.

Suy ra mp(A‟MD)

GV: Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D,

A‟ và tọa độ của M?. Lập PT

mp(A‟MD).

GV: Với PP tọa độ này ta có thể dễ dàng

tìm đƣợc .

Ta có thể tính dễ dàng

V) Củng cố: Công thức thể tích của khối chóp .Cách chọn hệ trục tọa độ để tính

khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài tập:

a) Tính thể tích khối chóp

A .

C’ .

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong chứng minh Hình học

Tags:

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục

Phương pháp dạy học môn Toán

Năng lực chứng minh hình học

Sai lầm trong chứng minh hình học

Cấu trúc của phép chứng minh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn Phạm Văn Hoàng

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

Chƣơng 1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập

Chƣơng 2.

MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG TRÁNH

CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT

TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC.

Kết luận chƣơng 2

Chƣơng 3.

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC 1

PHỤ LỤC 4

PHỤ LỤC 5

PHỤ LỤC 6

(Các đề khảo sát để thống kê sai lầm )

Câu 2. Cho tam giác ABC. G

Thang điểm

Thang điểm

PHỤ LỤC 8

Hoạt động 3: Xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Luận án Tiến sĩ: Bồi dưỡng cho học sinh năng lực thích nghi trí tuệ nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học không gian ở trường Trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Sử dụng bản đồ tư duy trong giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Xây dựng tiêu chuẩn đánh giá trình độ sức mạnh cho nam sinh viên chuyên sâu cầu lông trường Đại học Sư phạm Thể dục Thể thao Hà Nội

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Một số biện pháp tổ chức trò chơi lắp ghép - xây dựng nhằm phát triển tính sáng tạo cho trẻ 5-6 tuổi ở trường mầm non

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Hoạt động trải nghiệm trong dạy học chủ điểm Nhớ nguồn ở Sách giáo khoa tiếng Việt 5 (Tập hai)

Khóa luận tốt nghiệp: Thiết kế một số trò chơi học tập góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán lớp 1, lớp 2, lớp 3

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Tổ chức hoạt động khám phá thực vật cho trẻ mẫu giáo 5-6 tuổi theo hướng tích hợp

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Biện pháp dạy trẻ mẫu giáo 5-6 tuổi định hướng độ dài thời gian

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số hình thức tổ chức hoạt động khởi động nhằm tạo hứng thú học tập cho học sinh khi dạy học môn Toán 10

Một số biện pháp tạo động lực học tập cho học sinh trong dạy học nội dung “số nguyên” ở môn Toán lớp 6

Luận án Tiến sĩ Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học: Sử dụng mô hình lớp học đảo ngược trong đào tạo giáo viên Toán

Dạy học trải nghiệm với sự hỗ trợ của Geogebra: Trường hợp dạy học nội dung “Thể tích hình hộp chữ nhật” (Toán 5)

Cơ hội dạy học kết hợp (Blended learning) chủ đề Tọa độ Toán lớp 10 trung học phổ thông

Một số biện pháp nâng cao hiệu quả vận dụng dạy học hợp tác trong môn Toán ở tiểu học

Thực trạng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học môn Toán ở một số trường trung học cơ sở

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác và sử dụng có hiệu quả một số phần mềm vào kiểm tra đánh giá năng lực học sinh trong dạy học môn Toán lớp 10 ở trường THPT Quỳnh Lưu 4

Thiết kế kế hoạch dạy học môn Toán trung học cơ sở theo định hướng phát triển phẩm chất năng lực học sinh

Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục: Rèn luyện kỹ năng hợp tác giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 12 tại nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Hình thành phát phát triển năng lực tính toán cho học sinh thông qua bài tập hóa học vô cơ trường trung học cơ sở

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến quyết định sử dụng dịch vụ logistics chuỗi lạnh: Trường hợp Doanh nghiệp nông sản tại vùng Đông Nam Bộ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đầu tư phát triển sản xuất nông nghiệp ứng dụng công nghệ cao tại vùng đồng bằng sông Hồng

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đầu tư phát triển sản xuất nông nghiệp ứng dụng công nghệ cao tại vùng đồng bằng sông Hồng

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Chính sách phát triển bền vững rừng trồng sản xuất ở các tỉnh biên giới Đông Bắc Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Chính sách phát triển bền vững rừng trồng sản xuất ở các tỉnh biên giới Đông Bắc Việt Nam

Luận án Tiến sĩ Kinh tế: Ảnh hưởng của chính sách thuế đến phát triển bền vững doanh nghiệp nhỏ và vừa tại Việt Nam