Xây dựng mô hình mạng Nơron tế bào CNN giải phương trình khuếch tán phức tuyến tính ứng dụng trong ảnh xử lý ảnh

Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009<br /> <br /> Kĩ thuật – Công nghệ<br /> <br /> XÂY DỰNG MÔ HÌNH MẠNG NƠRON TẾ BÀO CNN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH<br /> KHUẾCH TÁN PHỨC TUYẾN TÍNH ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÝ ẢNH<br /> Phạm Đức Long - Cáp Thanh Tùng (Khoa Công nghệ thông tin - ĐH Thái Nguyên,<br /> Phạm Thượng Cát (Viện Công nghệ thông tin - Viện KH&CN Việt Nam)<br /> <br /> 1. Xử lý ảnh dùng PDE<br /> Những ý tưởng về ứng dụng PDE trong xử lý ảnh đã được nhắc đến từ khoảng đầu những<br /> năm 80 của thế kỷ 20. Trong khoảng 10 năm gần đây việc nghiên cứu về xử lý ảnh PDE được<br /> các nhà nghiên cứu quan tâm do có nhiều ưu điểm trong khi thực hiện. Xử lý ảnh dùng PDE cho<br /> phép thực hiện các nhiệm vụ chính là làm trơn (smoothing), tìm biên (edge detection), giảm<br /> nhiễu denoising) , phân vùng ảnh, phục hồi cấu trúc ảnh (reconstruction) trong nhiều lĩnh vực<br /> đặc biệt là trong xử lý ảnh y tế [5],[7], [8], [9], [10], [11], việc thực hiện được tiến hành trên cả<br /> phần mềm và phần cứng [6].<br /> Với một PDE biểu diễn quan hệ giữa độ sáng của ảnh I với các biến chẳng hạn vị trí, thời<br /> gian là I(x,y,t) thì nghiệm của nó khi giải với điều kiện khởi tạo I(x0,y0,t0) và điều kiện biên cụ<br /> thể chính là hình ảnh mới của I ở thời điểm t. Một ví dụ quen thuộc nhất là phương trình truyền<br /> nhiệt tuyến tính đẳng hướng, phương trình này có thể được ứng dụng để thực hiện làm giảm<br /> nhiễu và tìm biên. Chúng ta khảo sát phương trình truyền nhiệt như sau:<br /> I ( x, y, t )<br /> t<br /> <br /> c I ( x, y, t )<br /> <br /> trong đó<br /> <br /> I<br /> <br /> 2<br /> <br /> I<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> y2<br /> <br /> I<br /> <br /> (1)<br /> <br /> với c là hệ số dẫn. Trường hợp khi phương trình mô tả quá trình truyền nhiệt đẳng hướng c là<br /> một hằng số.<br /> 2. Mạng nơ ron tế bào CNN<br /> Trong khi giải các PDE theo phương pháp sai phân, việc chia các điểm của đường cong<br /> PDE càng dày thì độ chính xác khi giải càng cao nhưng dẫn tới khối lượng tính toán càng lớn, thời<br /> gian giải càng lâu, không đáp ứng thời gian giải nhất là khi số lượng biến số lớn. Mạng nơ ron tế<br /> bào CNN (Cellular Neural Network) được L.O. Chua và L.Yang phát minh ra năm 1988 [1, 2] đã<br /> cho phép giải các PDE trong khoảng thời gian vài phần triệu giây. Hình 1. cho xem một CNN một<br /> lớp đơn 2 chiều kích thước 3x3. Sơ đồ mạch điện của mỗi một cell C(i,j) như trong hình 2.<br /> <br /> Hình 1. CNN với hệ thống 3x3 láng giềng<br /> <br /> Hình 2. Mạch điện một cell CNN<br /> <br /> Trong sơ đồ vxij, vyij, vuij là ký hiệu các điện áp trạng thái, đầu ra và đầu vào của cell.<br /> Điện áp trạng thái vxij được giả định với điều kiện khởi tạo có độ lớn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Điện<br /> áp đầu vào vuij được giả định là hằng số với độ lớn nhỏ hơn hoặc bằng 1. Mỗi một cell C(i,j)<br /> chứa một nguồn điện áp độc lập Eij , một nguồn dòng độc lập I, một tụ tuyến tính C x, hai điện trở<br /> tuyến tính Rx và Ry. Ixy(i,j;k,l) và Ixu(i,j;k,l) là các nguồn dòng được điều khiển bằng điện áp<br /> <br /> 1<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009<br /> <br /> Kĩ thuật – Công nghệ<br /> <br /> tuyến tính có các đặc điểm Ixy(i,j;k,l) = Aij,klvykl và Ixu(i,j;k,l) = Bij,klvukl với mọi C(k,l)<br /> là bán kính ảnh hưởng của các cell láng giềng C(k,l) đến C(i,j) với:<br /> Nr(i,j) = {C(k,l)|max{|k-i|,|l-j|} r, 1 k M, 1 l N}.<br /> (2)<br /> <br /> Nr(i,j). r<br /> <br /> Phần tử phi tuyến trong mỗi một cell là một nguồn dòng được điều khiển bằng điện áp<br /> piecewise-linear Iyx = (1/Ry)f(vxij). Hệ số ghép cặp (coupling) Aij,kl và Bij,kl được gọi là các hệ số<br /> mẫu hồi tiếp và hệ số mẫu điều khiển. Tất cả các cell trong CNN được giả định rằng có các<br /> thông số bằng nhau theo các chiều (không gian bất biến và đẳng hướng). Thuật ngữ mẫu vô tính<br /> được sử dụng để nhấn mạnh thuộc tính bất biến này. Điều này có nghĩa là tập hợp 2(2r + 1)2 + 1<br /> con số thực Aij,kl và Bij,kl sẽ quyết định đầy đủ hành vi của một mảng CNN hai chiều bất kì. Các<br /> mẫu có thể được biểu diễn cô đọng trong dạng bảng hoặc ma trận. Hệ thống các phương trình mô<br /> tả động lực học của một cell CNN hai chiều tuyến tính như sau:<br /> Phương trình trạng thái<br /> Cx<br /> <br /> dvxij (t )<br /> dt<br /> <br /> 1<br /> v xij (t )<br /> Rx<br /> <br /> A(i, j; k , l )v ykl (t )<br /> <br /> B(i, j; k , l )vukl<br /> <br /> C ( k ,l ) Nr ( i , j )<br /> <br /> Phương trình đầu ra:<br /> <br /> I 1 i M ;1<br /> <br /> j<br /> <br /> N (3a)<br /> <br /> C ( k ,l ) Nr ( i , j )<br /> <br /> vyij(t) =<br /> <br /> 1<br /> ( v xij (t ) 1<br /> 2<br /> <br /> v xij (t ) 1 )<br /> <br /> 1 i M ;1<br /> <br /> j<br /> <br /> N<br /> <br /> (3b)<br /> <br /> 3. Mô hình CNN 1 lớp khuếch tán ứng dụng xử lý ảnh<br /> 3.1. Mô hình CNN khuếch tán tuyến tính: Trước khi đưa ra mô hình CNN do chúng tôi đề<br /> xuất, chúng tôi xin giới thiệu mô hình CNN khuếch tán đẳng hướng một lớp thực hiện giải<br /> phương trình truyền nhiệt 2D (trong xử lý ảnh chỉ cần tới PDE 2D) với hệ số khuếch tán không<br /> đổi theo các hướng [3]. Thực hiện rời rạc và xấp xỉ hóa (1) và (2):<br /> 2<br /> <br /> I<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> +<br /> <br /> 2<br /> <br /> I<br /> <br /> y<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> I i, j<br /> h2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4I i, j<br /> <br /> I i, j<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ii<br /> <br /> 1, j<br /> <br /> Ii<br /> <br /> (4)<br /> <br /> 1, j<br /> <br /> với h là bước lưới không gian theo 2 hướng x, y ( x = y = h).<br /> So sánh với phương trình trạng thái của CNN [1] chúng ta có bộ mẫu (template) cho<br /> CNN một lớp đơn giải phương trình (1) như sau:<br /> 1<br /> h2<br /> <br /> 0<br /> A<br /> <br /> 1<br /> h2<br /> 0<br /> <br /> 4<br /> h2<br /> <br /> 0<br /> 1<br /> R<br /> <br /> 1<br /> h2<br /> <br /> (5)<br /> <br /> 1<br /> , B 0, z 0<br /> h2<br /> 0<br /> <br /> Mô hình CNN này có thể thực hiện trên phần cứng.<br /> 3.2. Mô hình CNN khuếch tán phức tuyến tính<br /> Guy Gilboa [4] đã đưa giá trị phức vào quá trình khuếch tán. Một phương trình khuếch<br /> tán phức tuyến tính có thể được mô tả:<br /> I t cI xx , t 0 , x R I ( x,0) I 0 R , c, I C<br /> (6)<br /> j<br /> với I là tín hiệu và c = re . Quá trình khuếch tán tuyến tính phức này được điều khiển bằng hệ<br /> số khuếch tán phức c. Hãy xét phương trình khuếch tán sau:<br /> I<br /> t<br /> <br /> c I<br /> <br /> (7) Với các giá trị c và I phức: c<br /> <br /> cR<br /> <br /> jcI và I ( x, y )<br /> <br /> I R ( x, y)<br /> <br /> jI I ( x, y)<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009<br /> <br /> j2<br /> <br /> 1;<br /> <br /> 2<br /> <br /> là toán tử Laplace<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> c= rcos + jsin ; cR = rcos<br /> Thay vào (7) được:<br /> I<br /> r cos<br /> t<br /> r cos I R<br /> <br /> j sin<br /> sin<br /> <br /> II<br /> <br /> I<br /> t<br /> <br /> Mặt khác:<br /> <br /> IR<br /> <br /> jI I<br /> <br /> j r sin<br /> <br /> IR<br /> t<br /> <br /> j<br /> <br /> Kĩ thuật – Công nghệ<br /> <br /> . Với c=rej chúng ta có:<br /> <br /> ; cI = rsin<br /> <br /> r cos<br /> IR<br /> <br /> 2<br /> <br /> IR<br /> <br /> r cos<br /> <br /> jr sin<br /> <br /> (8)<br /> IR<br /> <br /> jr cos<br /> <br /> II<br /> <br /> j 2 sin<br /> <br /> II<br /> <br /> (9)<br /> <br /> II<br /> <br /> II<br /> (10). Từ (9) và (10) cuối cùng chúng ta có:<br /> t<br /> 2<br /> <br /> IR<br /> t<br /> <br /> r cos<br /> <br /> IR<br /> <br /> r sin<br /> <br /> II<br /> <br /> r cos<br /> <br /> II<br /> t<br /> <br /> r sin<br /> <br /> IR<br /> <br /> r cos<br /> <br /> II<br /> <br /> r sin<br /> <br /> IR<br /> x2<br /> <br /> 2<br /> <br /> IR<br /> x2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> IR<br /> y2<br /> <br /> r sin<br /> <br /> IR<br /> y2<br /> <br /> r cos<br /> <br /> 2<br /> <br /> II<br /> x2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> II<br /> x2<br /> <br /> II<br /> .<br /> y2<br /> <br /> II<br /> .<br /> y2<br /> <br /> (11)<br /> (12)<br /> <br /> Sự phân rã này sẽ có ích cho chúng ta khi xây dựng mô hình giải phương trình (7).<br /> Ý nghĩa trong xử lý ảnh: Nếu một quá trình xử lý ảnh có quy luật biến đổi là một PDE mà<br /> chúng ta phân tách được PDE đó thành hai thành phần thực và ảo như trên thì khi xử lý bằng<br /> khuếch tán phức sẽ thu được đồng thời hai kết quả của quá trình.<br /> Điều kiện biên được sử dụng: IR(t=0) = IR0 = I0 : ảnh ban đầu. II (t=0) = II0 =0.<br /> <br /> Hình 3. CNN 2 lớp 2D giải phương trình khuếch tán phức<br /> <br /> II và IR sẽ có giá trị trong quá trình lan truyền (khuếch tán) theo (11) và (12).<br /> Thành phần thực được xấp xỉ thành một hàm Gaus - mục 3.4 [4]. Thành phần ảo được<br /> xấp xỉ thành đạo hàm bậc hai của nó tỉ lệ với thời gian. Thành phần thực sẽ thực hiện quá trình<br /> giảm nhiễu và thành phần ảo sẽ thực hiện việc tìm biên. Kết quả xử lý ảnh gốc sẽ cho ra hai ảnh:<br /> một ảnh đã được giảm nhiễu, một ảnh cho thấy các biên (edge) và vẫn giữ được các chi tiết<br /> mỏng mảnh.<br /> Dựa vào các kết quả khai triển trong các phương trình (9), (10), (11) chúng tôi đưa ra một<br /> mô hình CNN hai lớp để giải phương trình (7) với c và I là số phức như trong hình 3.<br /> Lớp 1 của CNN hai lớp này thực hiện giải PDE với thành phần thực và lớp 2 thực hiện<br /> giải phần ảo. Liên kết giữa hai lớp thông qua các bộ mẫu quan hệ A21 và A12.<br /> Cụ thể các hệ số mẫu của CNN hai lớp này như sau:<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009<br /> <br /> A12 = rcos<br /> <br /> Kĩ thuật – Công nghệ<br /> <br /> 0<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 0<br /> 1 ; A21 = - rsin<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1 ,<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> (15)<br /> <br /> 4. Thực nghiệm<br /> - Khuếch tán tuyến tính: Quá trình thực hiện trên ảnh màu kích thước 256x216<br /> <br /> Hình 4. Khuếch tán tuyến tính thực trên ảnh màu<br /> <br /> - Khuếch tán tuyến tính phức<br /> <br /> (a)<br /> <br /> (b)<br /> Hình 5. Kết quả kép của khuếch tán tuyến tính phức trên ảnh màu.<br /> 6(a): Phần thực hiện quá trình làm giảm nhiễu; 6(b): phần áo thực hiện quá trình tìm biên.<br /> <br /> (a)<br /> <br /> 4<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ - Số 1(49)/năm 2009<br /> <br /> Kĩ thuật – Công nghệ<br /> <br /> (b)<br /> <br /> Hình 6. Khuếch tán tuyến tính phức trên ảnh nhị phân kích thước 300x300.<br /> 7(b): Phần ảo thực hiện quá trình tìm biên<br /> <br /> Nhận xét<br /> Quá trình khuếch tán thực hiện xử lý ảnh có thể tiến hành với cả ảnh nhị phân, ảnh màu<br /> và đa cấp xám. Quá trình khuếch tán tuyến tính thực chỉ cho ra được 1 kết quả - tương đương<br /> thực hiện trên CNN một lớp đơn trong khi quá trình khuếch tán phức tuyến tính cho kết quả<br /> kép cho phép quan sát bằng mắt thường (hoặc xử lý tự động nếu sử dụng hệ thống tính toán-xử<br /> lý) với cả hai kết quả đồng thời. Khi được thực hiện trên CNN hai lớp sẽ cho phép quan sát quá<br /> trình xử lý liên tục, thời gian thực. Thực nghiệm cho thấy kết quả đúng đắn của mô hình được<br /> đề xuất. Trên cơ sở này, mô hình có thể được cứng hóa bằng công nghệ CMOS hoặc FPGA.<br /> 4. Kết luận<br /> Xử lý ảnh PDE đã được quan tâm nghiên cứu mạnh trong khoảng 10 năm gần đây. Ứng dụng<br /> các quá trình khuếch tán (diffusion) tuyến tính và phi tuyến, đẳng hướng và không đẳng hướng đã<br /> cho phép thu được hiệu quả cao trong việc giảm nhiễu, tìm biên ảnh. Bằng việc áp dụng các giá trị<br /> phức với hệ số dẫn và với thành phần tín hiệu ảnh thay đổi trong các quá trình khuếch tán có thể cải<br /> thiện được quá trình làm giảm nhiễu và vẫn gìn giữ được biên và các chi tiết mang thông tin mỏng<br /> mảnh của ảnh. Một mô hình CNN hai lớp thực hiện ý tưởng này cung cấp cho chúng ta một công cụ<br /> tìm biên và giảm nhiễu trên CNN với tốc độ xử lý thời gian thực và mô hình CNN này hoàn toàn có<br /> thể thực hiện được bằng phần cứng trên nền tảng công nghệ CMOS hoặc FPGA<br /> Tóm tắt<br /> Xử lý ảnh bằng PDE đã được nghiên cứu phát triển mạnh trong thời gian gần đây với<br /> nhiều tác vụ thực hiện trên các máy tính hệ lệnh tuần tự. Bài viết của chúng tôi đã giới thiệu một<br /> mô hình CNN tự trị 2 lớp thực hiện quá trình giải PDE khuếch tán phức tuyến tính ứng dụng<br /> trong xử lý ảnh. Các kết quả mô phỏng và thực nghiệm cho thấy tính đúng đắn của mô hình được<br /> đề xuất.<br /> Summary<br /> Image processing by PDE is investigated recently for tasks in PC. In this paper we are<br /> presented a CNN two-layer autonomous model that is used for solving linear complex diffusion<br /> PDEs in image processing. The results of simulations are guaranteed that the perform of this<br /> model is correct.<br /> Tài liệu tham khảo<br /> [1]. Leon O. Chua and L. Yang (1988), "Cellular neural networks: Theory", IEEE Trans. Circuits<br /> Syst., vol.35, No 10, pp 1257-1272.<br /> <br /> 5<br /> <br />