CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Chia sẻ: trungtran1

Tai liệu mang tính chất tham khảo, giúp các bạn đào sâu hơn về cách giải phương trình mũ và logarit.

Bạn đang xem 7 trang mẫu tài liệu này, vui lòng download file gốc để xem toàn bộ.

Nội dung Text: CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
I.Công thức lũy thừa và căn thức.
a m .a n  a m  n
a m  a n  a mn
m
n
a m
a n

n
a.n b  n
a.b
n
a m.n  a m
m n
a  m.n
a
II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
1) Đƣa về dạng cơ bản.
b  0
a f ( x )  b(0  a  1)  
 f ( x)  log a b
2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số.
Biến đổi phƣơng trình về dạng :
 f  x   a g ( x)

  f ( x)  g ( x)
0  a  1

Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))
a  x   0

a ( x) g ( x )  a ( x) f ( x )  
(a( x)  1)( f ( x)  g ( x))  0

3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ.
Đặt t= a f ( x ) chọn cơ số a thích hợp
Điều kiện t >0
Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t
Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0
Giải tiếp suy ra x
4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích.
-Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích
5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về.
 0  a  1 
Dạng a f ( x )  b g ( x )   
 0  b  1 
Lấy logarit cơ số a 2 vế
f ( x).log a a  g ( x) log a b
 f ( x)  g ( x).log a b
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu.
Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x)
Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu
Đoán nhận 1 nghiệm x= x0
Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x= x0
III.Một số ví dụ.
(0, 2) x 0,5
VD1:Giải phƣơng trình  5.(0, 04) x 1
5

Giải:
1
1 x  x 1
5 2
 1 
(1)   5.  
 25 
1
52
1 1
 x 
5 2 2
 5.52( x 1)
 5  x  5 2 x  3
  x  2 x  3
 x3
VD2: Giải phƣơng trình:

 
x  2 x2  4
2x x2  4
 5. 2 6  0
Giải:
Điều kiện x2  4  0  x  2 hoặc x  2

   
2 x  x2  4
(1)  2 x  x2  4
 5. 2 2 6  0

Đặt t= ( 2) x  x2  4
. Điều kiện t>0
t  4
5
 t  t  6   3
2

2 t 
 2
3
t (loai)
2
t=4  ( 2) x  x2  4
4
 x  x2  4  4  x2  4  4  x
0  4  x
 2
 x  4  16  8 x  x
2


x  4

 5
x  2

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
5
ĐS: x 
2
VD3.Giải phƣơng trình
8.3x  3.2x  24  6x (1)
Giải:
(1)  8.(3x  3)  2 x (3x  3)  (3x  3)(2 x  8)  0
3x  3  x  1
 x
2  8  x  3
ĐS: x=1;x=3
VD4.Giải phƣơng trình
3x 4  52 x (1)
2



Giải:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế
( x 2  4) log 3 3  2 x.log 3 5  x 2  4  2 x log 3 5
 x 2  2 x log 3 5  4  0

 x  log 5  log 2 5  4

3 3

 x  log 5  log 2 5  4
 3 3



VD5.Giải phƣơng trình
x
3 7
   2
x

5 5
Giải:
Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình
x
3 7
Đặt f ( x)     là hàm số giảm trên R
5 5
g ( x)  2 là hàm số tăng trên R
x


Mà f(1)=g(1)
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1
VD6. Giải phƣơng trình:
2x  3x  5x1  21 x  31 x  5 x
Giải:
Đặt f ( x)  2x  3x  5x 1 là hàm số tăng trên R
g ( x)  21 x  31 x  5 x là hàm số giảm trên R
1 1 1
Mà f    g   nên phƣơng trình có nghiệm x=
2  2 2
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
VD7 Giải phƣơng trình:
3.25x2  (3x  10).5x2  3  x  0(1)
Giải :
Đặt t= 5x2 (t>0)
 1
t
(1)  3t  (3x  10)t  3  x  0(2)   3
2

t  3  x
Với
1 1 1
t   5x  2   x  2  log 5
3 3 3
 x  2  log5 3

Với
t  3  x  5x2  3  x(3)
(3) có 1 nghiệm x=2
Đặt f ( x)  5x2 là hàm số tăng trên R
g ( x)  3  x là hàm số giảm trên R
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2
Vậy (1) có nghiệm : x=2 ; x  2  log5 3
IV.Một số bài tập:
Bài 1: Giải phƣơng trình: 4x1  2x4  2x2  16

Bài 2: Giải phƣơng trình: log 2 9 x  5.3x1  4 
    4
x x
Bài 3: Giải phƣơng trình: 2 3  2 3

Bài 4: Giải phƣơng trình: 4 x2  x.3x  3x1  2 x2 .3x  2 x  6
1 1 1
Bài 5: Giải phƣơng trình: 9  6  4  0
x x x




VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất.
I. Tìm m để phƣơng trình mũ:
F(x,m)=0 (1) có nghiệm x  D.
Cách giải:
-Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
-Chuyển điều kiện x  D thành điều kiện t  T.
-Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2).
*Cách 1.
-Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t  T.
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên.
-Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t  T điều này cũng tƣơng đƣơng
với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t)
-Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m.
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
*Cách 2.
-Ta có (1)  f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t)
-Để (1) có nghiệm x  D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t  T
Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T.
II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất
*Cách 1.
Điều kiện cần.
-Giả sử phƣơng trình có nghiệm x0. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị
tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x1 .
-Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1.
-Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m.
Điều kiện đủ.
-Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình.
-Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm
duy nhất.
Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn.
*Cách 2.
-Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m.
-Đặt y=f(t) với t  T
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T.
-Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ
có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t).
-Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm.
III.Một số ví dụ :
VD1: Định m để phƣơng trình:
 m 1 4x  2  m  3 2x  m  3  0 1 có nghiệm
Giải:
Đặt: t=2x (t>0)
1   m  1 t 2  2  m  3 t  m  3  0
 mt 2  2m  m  t 2  6t  3
 m  t 2  2t  1  t 2  6t  3
t 2  6t  3
m  2  t  0 
t 2  2t  1
t 2  6t  3
Đặt f  t   2 t  0
t  2t  1
4t 2  8t  12
f  t  
 t 2  2t  1
2



t  1
f   t   0  4t 2  8t  12  0  
t  3
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bảng biến thiên:




Để (1) có nghiệm x  R   2  có nghiệm t>0  Đƣờng thẳng y=m cớ điểm
chung với đồ thị y  f  x  .
3
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 3  m 
2
3
ĐS: 3  m 
2
Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:  x  316x   2m  1 4x  m  1  0 1
Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Đặt: t  4x  t  0  phƣơng trình (1) trở thành f  t    m  3 t 2   2m  1 t  m  1  0  2 
Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
x1  0  x2  4x1  40  4x2  t1  1  t2
 (2) có nghiệm t1, t2 thõa 0 < t1 < 1 < t2
a. f 1  0


a. f  0   0

 m  3 4m  3  0


 m  3 m  1  0

 3
3  m   4
 3
  1  m  
m  3
 4
 m  1

3
Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: . 1  m  
4
1
Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất: x 1
 3m  2 1
2
Giải:
Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
2
3m  2  0  m 
3
1 1
1  2 x 1   x  1  log 2
3m  2 3m  2
 x  1  log 2  3m  2 

 x  1  log 2  3m  2 

Phƣơng trình có nghiệm duy nhất
 1  log 2  3m  2   1  log 2  3m  2 
 log 2  3m  2   0  3m  2  1  m  1
IV.Một số bài tập:
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình  m  4 9x  2  m  2  3x  m  1  0 có nghiệm.
Bài 2: Tìm m để phƣơng trình m.2x  2 x  5  0 có 1 nghiệm duy nhất.
   3  2 2 
tgx tgx
Bài 3: Định m để phƣơng trình: 3  2 2 m
  
Có đúng 2 nghiệm trong   , 
 2 2
Bài 4:Tìm k để phƣơng trình  k  1 4 x   3k  2  .2 x1  3k  1  0
có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình m.3x  m.3 x  8

B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit.
I.Dạng cơ bản:
log a x  N  x  a N  a  0, a  1
log a a x  x, x; a loga x  x; x  0
Công thức đổi cơ số:
log a x
log a x  log a b logb x  logb x 
log a b
1
log x a  ; alog b c  clog b a
log a x
1
log a x  log a x

3
log a x3  log a x

II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit.
1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số
-Biến đồi phƣơng trình về dạng:
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
log a f  x   log a g  x  0  a  1
 f  x   0


  g  x   0


 f  x  g  x

2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:
-Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số.
3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích:
-Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích.
4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu.
-Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất.
 0  a  1
5.Dạng: log a f  x   a m  logb g  x   
 0  b  1
-Suy đoán nghiệm x0 và chứng minh nghiệm duy nhất.
 f  x0   a m

-Nghiệm duy nhất x0 thõa: 
 g  x0   a
n

6.Dùng phƣơng pháp đối lập.

A  B
 A  m
A  m  
B  m B  m

7.Dạng: log a x  f  x   log a x  g  x 
a  x   0

a  x   1

 f  x  0
f x g x
    
III.Một số ví dụ:
1 1
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: log 2
 x  3  log 4  4 x 1
2 4
Giải:
x  0
ĐK: 
x  1
1 1
1  log 2  x  3  . .8log 2 x  1  log 2  4 x 
4 2
 log 2  x  3 x  1  log  4 x 
 x  3 x  1   4 x  2 
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
 Nếu 0< x 1




ĐS: x  3; x  3  2 3
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
1 2
  11
4  lg x 2  lg x
Giải:

x  0 x  0
 
ĐK: lg x  4   x  104
lg x  2 
 x 
1
 100
Đặt: t  lg x  t  4  t  2 
1 2
1   1
4t 2t
 2  t  2  4  t    4  t  2  t 
 10  t  8  4t  2t  t 2
 t 2  3t  2  0
t  1

t  2

 t  1  lg x  1  x  10
 t  2  lg x  2  x  102  100

ĐS: x=10; x=100
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:
 
log3 x  log 2 1  x 1
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Giải: Điều kiện: x  0
Đặt: t  log 2 x  x  3t
1  t  log 2 1  3t 
 3
t
 2t  1 
t
1  3
t

      1 2 
2  2  
Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2)
Vế trái là hàm số giảm.
Vế phải là hàm số hằng.
Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là t  2  log3 x  2  x  32  9
ĐS: x=9
IV.Một số bài tập:
Bài 1: Giải phƣơng trình
      
log 2 x2  x  1  log 2 x2  x  1  log 2 x 4  x 2  1  log 2 x 4  x 2  1 
x 24
Bài 2: Giải phƣơng trình: log 2 x 1 1
2x 1
Bài 3: Giải phƣơng trình: log32 x    
2 x 2  9 x  9  log3 x 4 x 2  12 x  9  4  0
9
Bài 4: Giải phƣơng trình: log x  x  1  lg 0
2
1
Bài 5: Giải phƣơng trình: log 2  3x  1   2  log 2  x  1
log x 3 2
VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất:
I.Tìm m để phƣơng trình: F  x, m   0 1 có nghiệm x  D
-Đặt ẩn số phụ: t  log a x thích hợp.
-Chuyển điều kiện x  D  t T
-Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng:
f t   m  2
-Tính f   t  , t  T . Lập bảng biến thiên
-Để (1) có nghiệm trên D  (2) có nghiệm trên T.
-Dựa vào bảng biến thiên  điều kiên của m
II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất:
Cho phƣơng trình ( chứa logarit )
F  x, m   0 1
-Đặt: t  p  x 
-Tìm điều kiện của t  T
-Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng:
f t   m  2
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
-Tính f   t  với t  T
-Lập bảng biến thiên trên T
-Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất
 (2) có nghiệm duy nhất trên T.
-Dựa vào bảng biến thiên  Đk của m.
 Cách khác:
Phƣơng trình (1)  (2) là phƣơng trình bậc hai với x  
Để (1) có nghiệm duy nhất   2  có 1 nghiệm kép
b
x1  x2     hoặc có 2 nghiệm x1    x2
2a
  0

 b hoặc af    0
  2a  

III.Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình:
lg  x 2  2mx   lg  x  1  0 1 có nghiệm.
Giải:
Ta có: 1  lg  x 2  2mx   lg  x  1
x 1  0
 2
 x  2mx  x  1
x  1

   x2  x  1
  m  2
 2x
 x2  x  1
Đặt: f  x    x  1
2x
2 x 2  2
f  x   0 vì x>1
4x2
Bảng biến thiên:
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1
(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1  m  
2
Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình:
 m  1 log 2  x  4   2m  1 log 1  x  4   m  2  0 1
1
2 2
Có 2 nghiệm x1, x2 thõa mãn: 4 < x1 < x2 < 6
Giải:
Đặt: t  log 1  x  4 
2
Điều kiện:
4 x 6 0 x4 2
 t  log 1  x  4   log 1 2  1
2 2

1  f t    m 1 .t 2   2m  1 .t  m  2  0  2
(1) có 2 nghiệm thõa mãn : 4  x1  x2  6
  2  có 2 nghiệm t1 , t2 thõa 1  t1  t2
 
  0   9  0
 
 af  1  0   m  1 4m  2   0
S  4m  1
 1  0  0
2  2m  2
 1
m   2  m  1
 1
  m    m 1
m  1  m  1 2

 4
1
Vậy: m    m  1
2
IV.Một số bài tập
 
2
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình 4 log 2 x  log 1 x  m  0
2

có nghiệm thuộc khoảng  0,1
Bài 2: Giải và biện luận phƣơng trình theo m
2log3 x  log3  x  1  log3 m  0
 
Bài 3: Tìm m để phƣơng trình lg 2 x 2  mx  lg 2  x  3  0 có nghiệm.

 
Bài 4: Cho phƣơng trình: log 2 mx3  5mx 2  6  x  log 2 m 3  x  1 1  
Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi m  0
Bài 5: Với giá trị nào của a thì phƣơng trình: log a a  a  x    2
log x a
Có nghiệm duy nhất.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán |  Đáp án đề thi tốt nghiệp |  Đề thi Đại học |  Đề thi thử đại học môn Hóa |  Mẫu đơn xin việc |  Bài tiểu luận mẫu |  Ôn thi cao học 2014 |  Nghiên cứu khoa học |  Lập kế hoạch kinh doanh |  Bảng cân đối kế toán |  Đề thi chứng chỉ Tin học |  Tư tưởng Hồ Chí Minh |  Đề thi chứng chỉ Tiếng anh
Theo dõi chúng tôi
Đồng bộ tài khoản