PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
I.Công thức lũy thừa và căn thức.
.
.
.
..
m n m n
m n m n
m
nmn
n n n
nm n m
mn m n
a a a
a a a
aa
a b a b
aa
aa

II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
1) Đƣa về dạng cơ bản.
() 0
(0 1) ( ) log
fx
a
b
a b a f x b
2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số.
Biến đổi phƣơng trình về dạng :
()
( ) ( )
01
gx
f x a f x g x
a


Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ( ) 1)( ( ) ( )) 0
g x f x ax
a x a x a x f x g x

3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ.
Đặt t=
()fx
a
chọn cơ số a thích hợp
Điều kiện t >0
Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t
Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0
Giải tiếp suy ra x
4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích.
-Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích
5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về.
Dạng
( ) ( ) 01
01
f x g x a
ab b



Lấy logarit cơ số a 2 vế
( ).log ( )log
( ) ( ).log
aa
a
f x a g x b
f x g x b

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu.
Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x)
Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu
Đoán nhận 1 nghiệm x=
0
x
Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x=
0
x
III.Một số ví dụ.
VD1:Giải phƣơng trình
Giải:
1
11
2
1
2
11
2( 1)
22
23
51
(1) 5. 25
5
5 5.5
55
23
3
xx
xx
xx
xx
x









VD2: Giải phƣơng trình:
2
224
4
2 5. 2 6 0
xx
xx

Giải:
Điều kiện
24 0 2xx
hoặc
2x
2
224
4
(1) 2 5. 2 2 6 0
xx
xx

Đặt t=
24
( 2)xx
. Điều kiện t>0
2
4
563
22
t
tt t
24
22
22
3( ai)
2
t=4 ( 2) 4
4 4 4 4
04
4 16 8
4
5
2
xx
t lo
x x x x
x
x x x
x
x



PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
ĐS:
5
2
x
VD3.Giải phƣơng trình
8.3 3.2 24 6
x x x
(1)
Giải:
(1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0
3 3 1
2 8 3
x x x x x
x
x
x
x
ĐS: x=1;x=3
VD4.Giải phƣơng trình
242
35
xx
(1)
Giải:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế
22
3 3 3
2
3
( 4) log 3 2 .log 5 4 2 log 5
2 log 5 4 0
x x x x
xx
2
33
2
33
log 5 log 5 4
log 5 log 5 4
x
x
VD5.Giải phƣơng trình
37
2
55
x
x




Giải:
Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình
Đặt
37
() 55
x
fx 



là hàm số giảm trên R
( ) 2x
gx
là hàm số tăng trên R
Mà f(1)=g(1)
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1
VD6. Giải phƣơng trình:
1 1 1
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
Giải:
Đặt
1
( ) 2 3 5
x x x
fx
là hàm số tăng trên R
11
( ) 2 3 5
x x x
gx
là hàm số giảm trên R
Mà
11
22
fg
nên phƣơng trình có nghiệm x=
1
2
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
VD7 Giải phƣơng trình:
22
3.25 (3 10).5 3 0(1)
xx
xx

Giải :
Đặt t=
2
5x
(t>0)
(1)
2
3 (3 10) 3 0(2)t x t x
1
3
3
t
tx

Với
2
5
5
1 1 1
5 2 log
3 3 3
2 log 3
x
tx
x
Với
2
3 5 3 (3)
x
t x x
(3) có 1 nghiệm x=2
Đặt
2
( ) 5x
fx
là hàm số tăng trên R
( ) 3g x x
là hàm số giảm trên R
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2
Vậy (1) có nghiệm : x=2 ;
5
2 log 3x
IV.Một số bài tập:
Bài 1: Giải phƣơng trình:
1 4 2
4 2 2 16
x x x
Bài 2: Giải phƣơng trình:
1
2
log 9 5.3 4
xx

Bài 3: Giải phƣơng trình:
2 3 2 3 4
xx
Bài 4: Giải phƣơng trình:
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6
x x x
x x x x
Bài 5: Giải phƣơng trình:
111
9 6 4 0
xxx
VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất.
I. Tìm m để phƣơng trình mũ:
F(x,m)=0 (1) có nghiệm x
D.
Cách giải:
-Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
-Chuyển điều kiện x
D thành điều kiện t
T.
-Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2).
*Cách 1.
-Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t
T.
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên.
-Để (1) có nghiệm x
D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t
T điều này cũng tƣơng đƣơng
với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t)
-Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m.
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
*Cách 2.
-Ta có (1)
f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t)
-Để (1) có nghiệm x
D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t
T
Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T.
II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất
*Cách 1.
Điều kiện cần.
-Giả sử phƣơng trình có nghiệm x0. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị
tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x1.
-Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x0=x1.
-Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m.
Điều kiện đủ.
-Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình.
-Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm
duy nhất.
Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn.
*Cách 2.
-Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m.
-Đặt y=f(t) với t
T
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T.
-Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ
có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t).
-Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm.
III.Một số ví dụ :
VD1: Định m để phƣơng trình:
1 4 2 3 2 3 0 1
xx
m m m
có nghiệm
Giải:
Đặt: t=2x (t>0)
2
22
22
2
2
1 1 2 3 3 0
2 6 3
2 1 6 3
63
20
21
m t m t m
mt m m t t
m t t t t
tt
mt
tt


Đặt
2
2
63 0
21
tt
f t t
tt



2
2
2
2
4 8 12
21
1
0 4 8 12 0 3
tt
ft
tt
t
f t t t t

