Đề thi học sinh giỏi khối 12
Thời gian: 180 phút
Bài 1:
Cho hàm số: 0
3
4
2
3
123 xxxy
Câu1 (2,5đ): Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Câu2(2đ): Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm cực trị
của (C) và gốc
toạ độ
Bài 2: Giải các phương trình
Câu1(2đ) : 013sin12cos4cos8 2 xxx
Câu2(2đ) : 3
31221 xx
Bài 3:
Câu1(2đ) :Không dùng bảng số hoặc máy tính. Chứng minh rằng
tg550 >1,4
Câu2(2đ): Giải phương trình: 2004x + 2006x = 2. 2005x
Câu3(3đ): Tính tích phân sau
2
2
2
sin4
cos
dx
x
xx
I
Bài 4: (2đ)Trong mặt phẳng toạ độ {xoy}. Cho Elíp (E) có phương trình
1
4
9
22
yx và điểm M(1;1)
Một đường thẳng đi qua điểm M, cắt (E) tại P;Q. Các tiếp tuyến của
(E) tại
P; Q cắt nhau tại I. Tìm tập hợp các điểm I
Bài 5:(2,5đ) Trong không gian cho hệ toạ độ {oxyz}. Cho điểm A(a;0;0)
B(0;b;0) C(0;0;c)
và M(1;2;4) thuộc mặt phẳng ABC. Viết phương trình mặt phẳng
ABC để cho thể
tích của khối OABC nhỏ nhất.
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
Câu1
----------
Câu2
1/ Tập xác định: R
2 /Chiều biến thiên
a/ y'=x2+2x-2
-------------------------------------------------------------------------------
-
y'= 0 x2+2x-2= 0 31
2;1 x 324 y
---------------------------------------------------------------------------------
b/ y'' = 2x+2 = 0 x= -1 y = 4
---------------------------------------------------------------------------------
c/ Bảng biến thiên:
x - 31 - 1 31 +
y''
- 0 +
y
+
- 324 4 324
3/ Đồ thị
y
324
4
324
31 -1O 31 x
Ta có
0.5
0.5
0.5
0.5
22')1(
3
1 xyxy y'= 0 tại xi
y(xi) = - 2xi+2
------------------------------------------------------------------------------
Vậy:
(2)
(1)
022
22
2
ii
ii
xx
xy
--------------------------------------------------------------------------
Từ (1) và (2) ta có 048
2 ii yy (3)
Vậy phương trình đường tròn đi qua các điểm Cực trị có dạng
(y2- 8y+4) + (x2+2x-2) + t(y+2x-2) = 0
----------------------------------------------------------------------------
Vì đường tròn đi qua O(0;0) nên ta có
2 - 2t = 0 t = 1
Thay t = 1 Ta có
x2 + y2 +4x -7y = 0
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
Câu1
--------
Câu2
8cos 4x.cos22x + x3sin1 +1 = 0
4(1+cos4x)cos4x+ x3sin1 +1= 0
--------------------------------------------------------------------------------
(2cos4x+1)2 + x3sin1 = 0
13sin 2
1
4cos
03sin1
014cos2
x
x
x
x
------------------------------------------------------------------------------
13sin 2
1
sin.3sin
13sin 2
1
sin.3sincos3cos
x
xx
x
xxxx
vì sin3x = 1 nên cox3x = 0
sinx =
2
6
5
2
6
2
1
sin
lx
kx
x
3
31221 xx (1)
0.5
0.5
0.5
0.5
Đặt 312 xy Ta có 12
3 xy
(2)
xy
yx
21
)1(21
)1( 3
3
(x- y)(x2+ y2+ xy + 2) = 0
Vì x2+ y2+ xy + 2 > 0 mọi x nên x= y
------------------------------------------------------------------------------
Thay x=y vào phương trình (1). Ta có
x3 -2x+ 1 = 0
---------------------------------------------------------------------------------
2
51
1
x
x
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 3
Câu1
Ta có
xtgx 0 Hayx
cos
1
(x)f' x -tgxf(x)
2
x0 tg
2
2
)0()(
0
cos
cos1
1
0
2
2
fxf
x
x
x
x
xtgx
0
18
1
18
1
)
184
(550
2
t)-(1
2
(t) g'
t-1
t1
g(t)Goi
tg
tg
tgtg
Vậy hàm g(t) là hàm đồng biến
------------------------------------------------------------------------------
Từ
0.5
0.5
-------
Câu2
--------
Câu3
4,1)
6
1
()
18
(
)
18
()
18
(
1818
gg
gtgg
tg
------------------------------------------------------------------------------
Vậy
4,1)
18
(550
tggtg
-----------------------------------------------------------------------------
Ta có
2004x + 2006x = 2. 2005x 2006x - 2005x = 2005x - 2004x
Gọi x0 là mội nghiệm của phương trình
Ta có
0000
2004
2005
2005
2006
xxxx
Đặt
)2004()2005(
)1()(')1()( 1
0
1
0
0000
ff
txtxtftttf xxxx
-------------------------------------------------------------------------
Vì f(t) liên tục trên [2004;2005] nên [2004; 2005] để
20042005
)2004()2005(
)(
ff
f
--------------------------------------------------------------------------------
Vì
0
)
(
'
0
)
2004
(
)
2005
(
f
f
f
Suy ra 0)1()(' 1
0
1
0
00 xx xxf
-------------------------------------------------------------------------------
1
0
0)1(
0
0])1[(
0
0
11
0
11
000
00
x
xx
xxx
xx
-----------------------------------------------------------------------------------
Ta có
21
2
2
2
2
2
2
2
22 sin4
sin4sin4
cos
III
dx
x
cox
dx
x
x
dx
x
xx
I
------------------------------------------------------------------------------
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5