8 Chủ đề Hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Chia sẻ: Mentos Pure Fresh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:232

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo 8 Chủ đề Hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT để hệ thống kiến thức cũng như nâng cao khả năng giải bài tập toán hình chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em thi tốt!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 8 Chủ đề Hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Trang 1 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Contents A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ..................................................... 5 . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ........... 5 . Lý thuyết .......................................................................................................................... 5 . Bài tập ............................................................................................................................... 5 . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN .................................................................. 13 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 13 . Bài tập ............................................................................................................................. 14 . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ......... 19 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 19 . Bài tập ............................................................................................................................. 19 . GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ........... 21 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 21 . Bài tập ............................................................................................................................. 21 . MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ..................................................................................... 24 B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN ............................................................................................... 30 . GÓC Ở TÂM .................................................................................................................... 30 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 30 . Bài tập ............................................................................................................................. 32 . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG....................... 34 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 34 . Bài tập. ............................................................................................................................ 36 . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN ...................... 41 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 41 . Bài tập. ............................................................................................................................ 42 . MỘT SỐ BÀI TẬP .......................................................................................................... 43 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . 43
Trang 2 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1 .......................................................................................... 47 DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN .... 53 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2 .......................................................................................... 55 C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN . 61 . TỨ GIÁC NỘI TIẾP ....................................................................................................... 61 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 61 . Bài tập ............................................................................................................................. 63 . CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN ................. 70 . Lý thuyết ........................................................................................................................ 70 . Bài tập. ............................................................................................................................ 70 . BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) ............................................................................. 73 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau 73 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 ................................................. 74 Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện ..... 76 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ...................................................... 76 Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn .......................................... 77 D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC ................................ 79 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC .................................... 81 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU ............................................... 81 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau ........................................................................ 81 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt ........................................... 84 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. ............ 85 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. ........................... 86 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … ........................................... 87 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ ................................................................ 88 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng ......................................................................... 88 3. Đường trung bình. .......................................................................................................... 88 4. Định lý Talet:.................................................................................................................... 89
Trang 3 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. ................................................................... 90 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác..................................................................... 91 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. .......................................................................... 92 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn. ...................................................................................... 93 . PHẦN BÀI TẬP. .............................................................................................................. 94 E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG ....................... 114 10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng ........................................................... 115 Ví dụ minh họa ...................................................................................................................... 115 Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) ........................................................................................................................ 115 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn ......................... 116 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. ........................... 117 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. ................................................................... 118 Một số bài tập. ........................................................................................................................ 124 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ......................................................... 136 Bài tập có giải ......................................................................................................................... 137 Một số bài tập tự rèn: ............................................................................................................ 151 F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC ........................................ 152 A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. ............................................................... 153 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học: ............................................................... 153 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: ....................................................................... 153 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . .................................................. 153 B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. ...................................... 154 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. .................... 154 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. ..................................... 158
Trang 4 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. ......................................................... 160 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai ............................................................ 161 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si . ..................................................................................... 163 6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ............................................................................................. 166 C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn....................................................................... 169 D. Bài tập tự luyện ................................................................................................................ 187 E. Rèn luyện tổng hợp .......................................................................................................... 192 H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .......................................................................................... 202 . HÌNH TRỤ ...................................................................................................................... 203 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 203 . Bài tập ........................................................................................................................... 203 . HÌNH NÓN ..................................................................................................................... 212 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 212 . Bài tập ........................................................................................................................... 213 . HÌNH CẦU ...................................................................................................................... 221 . Lý thuyết ...................................................................................................................... 221 . Bài tập ........................................................................................................................... 222 . BÀI TẬP TỔNG HỢP .................................................................................................. 229 Tài liệu được tổng hợp – sưu tầm từ nhiều nguồn. Sử dụng dạy ôn 10 – Mức độ: KHÁ
Trang 5 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Chủ đề HỆ THỨC LƯỢNG 1 TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 1. AB 2  BH .BC hay c 2  ac ' A 2 2 AC  CH .BC hay b  ab ' c b 2. HA 2 = HB.HC hay h 2  c ' b ' h 3. AB. AC  BC. AH hay cb  ah B c' H b' C 1 1 1 1 1 1 4. 2  2  2 hay 2  2  2 . a AH AB AC h c b 5. BC 2  AB2  AC 2 (Định lí Pitago) . Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. HB 9 HB HC HB  HC 20 Ta có      HC 16 9 16 9  16 25 9.20 16.20 Suy ra HB   7, 2 (cm); HC   12,8 (cm) 25 25 Xét ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AB 2  BC.BH  20.7, 2  144  AB = 12 (cm); AC 2  BC.CH  20.12,8  256  AC = 16 (cm). 1 1 Vậy diện tích ABC là S  ABAC  12.16  96 (cm2). 2 2
Trang 6 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cách giải khác: Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: AH 2  HB.HC (hệ thức 2). AH 2  7, 2.12,8  92,16  AH = 9,6 (cm). 1 1 Diện tích ABC là S  BCAH   20.9,6  96 (cm2). 2 2 Bài 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: BC 2  AB 2  AC 2  32  4 2  25  BC  5 cm A Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BA2 32 9 4 2 BA  BH .BC  BH   BH   BH  (cm) 3 BC 5 5 2 CA2 42 16 CA  CH .CB  CH   CH   CH  (cm) B H C CB 5 5 9 16 12 AH 2  HB.HC  AH 2  .  AH  (cm) 5 5 5 1 1 1 (Có thể tính đường cao AH bởi công thức 2  2  ) AH AB AC 2 Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại O. Biết OA  2 3 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB. Hướng dẫn giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D. B Ta có D   90    90 AOD  B 1 2 B mà B  nên   AOD  D 1 2 Do đó AOD cân tại A. Suy ra AD  AO  2 3 (cm). Vẽ AH  OD thì HO = HD.
Trang 7 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ta đặt HO  HD  x thì BD  2 x  2. Xét ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có AD 2  BD.HD. Suy ra (2 3)2  x(2 x  2) Từ đó ta được phương trình: 2 x 2  2 x – 12  0  (x – 2)(x + 3) = 0  x = 2 hoặc x = 3. Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = 3 bị loại. Do đó BD  2  2  2  6 (cm). Suy ra AB  6 2  (2 3)2  24  2 6 (cm). Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải 1 Ta có S ABH  AHBH  54 2 Suy ra AH .BH  108 . (1) 1 SACH  AH.CH  96 Suy ra AH .CH  192 . (2) 2 Từ (1) và (2) ta được: AH 2 .BH .CH  108.192. Mặt khác AH 2  BH .CH (hệ thức 2). Suy ra AH 4  124  AH = 12 (cm). 1 1 Ta có S ABC  54  96  150 (cm2) mà S ABC  BCAH nên BCAH  150 2 2 150.2 Suy ra BC   25 (cm). 12 Bài 2: Cho hình thang ABCD, A  D   900 Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm. a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN.
Trang 8 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC. * Trình bày lời giải a)  Xét ABD vuông tại A có AO  BD nên OA2  OB.OD (hệ thức 2). Do đó OA2  5, 4.15  81  OA = 9 (cm).  Xét ACD vuông tại D có OD  AC nên OD 2  OA.OC (hệ thức 2). OD 2 152  OC    25 (cm). OA 9 Do đó AC  25  9  34 (cm); BD  5, 4  15  20, 4 (cm). ACBD 34.20, 4 Diện tích hình thang ABCD là: S    346,8 (cm2). 2 2 OM AO b) Xét ADC có OM // CD nên  (hệ quả của định lí Ta-lét). (1) CD AC ON BN Xét BDC có ON // CD nên  (hệ quả của định lí Ta-lét). (2) CD BC AO BN Xét ABC có ON // AB nên  (định lí Ta-lét). (3) AC BC OM ON Từ (1), (2), (3) suy ra  CD CD Do đó OM = ON. 1 1 1 Xét AOD vuông tại O, OM  AD nên 2   (hệ thức 4). OM OA OD 2 2 1 1 1 Do đó 2  2  2  OM  7, 7 (cm). OM 9 15 Suy ra MN  7, 7.2  15, 4 (cm).
Trang 9 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia 1 1 AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức P   AM AN 2 2 Hướng dẫn giải * Tìm cách giải 1 1 1 1 1 Biểu thức 2  2 gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) 2  2  2 để giải. Muốn vậy AM AN h b c phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN. * Trình bày lời giải Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.  B ADE và ABM có D   90 AD = AB;   ).  (cùng phụ với DAM A1  A2 Do đó ADE  ABM  g .c.g  . Suy ra AE = AM. 1 1 1 Xét AEN vuông tại A có AD  EN nên 2  2  AE AN AD 2 Mặt khác AE  AM ; AD  1 nên  1 AM 2 AN 2 Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh 1 1 1 rằng : 2  2  BK BC 4 AH 2 Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức 1 1 1 lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức 2  2  2 ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam h b c giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.
Trang 10 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT * Trình bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Vì  ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến  BH = HC. Xét  BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC ) D  CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ). A Nên AH là đường trung bình của  BCD K 1  AH = AH  BD  BD = 2AH. (1) 2 B H C   900 ; BK  CD ( K  CD ) Xét  BCD có DBC 1 1 1  2  2  (2) BK BC BD 2 1 1 1 Từ (1) và (2)  2  2  (đpcm) BK BC 4 AH 2 Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1: Cho hình thang ABCD, Aˆ  Dˆ  90  hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD. Hướng dẫn giải ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC 2  AD 2  DC 2  12 2  16 2  400 . Suy ra AC = 20 (cm). ADC vuông tại D, DO là đường cao nên AD.DC  AC.DO (hệ thức 3). ADDC 12.16 Suy ra OD    9,6 (cm). AC 20
Trang 11 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT AD 2 122 Ta lại có AD 2  AC . AO (hệ thức 1) nên OA    7, 2 (cm). AC 20 Do đó OC  20 – 7, 2  12,8 (cm). Xét ABD vuông tại A, AO là đường cao nên AO 2  OB.OD (hệ thức 2). AO2 7, 22  OB    5, 4 (cm). OD 9,6 Bài 2: (Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. ) A Hướng dẫn giải *Cách 1: Ta có ABC vuông tại A nên : BC  AB 2  AC 2  82  6 2  10(cm ) (Định lý Pytago) C B H AB. AC ABC vuông tại A, AH  BC, nên AH .BC  AB. AC  AH   4,8(cm) BC *Cách 2: ABC vuông tại A, AH  BC, nên: 1 1 1 2 AB 2 . AC 2 64.36 2  2  2  AH  2 2  AH   4.8(cm) AH AB AC AB  AC 100 *Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có BC 2  AB 2  AC 2  82  6 2  100 nên suy ra BC=10cm. AB 2 ABC vuông tại A nên: BH .BC  AB 2  BH   6.4(cm) . Mà HC  BC  BH  3, 6 (cm) BC ABC vuông tại A, AH  BC, nên: AH 2  BH .HC  4.82  AH  4.8(cm)
Trang 12 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT *Cách 4: Gọi M là trung điểm BC. A 1 Ta có : BM  AM  BC  5cm 2 + Tính được BH=6.4cm C B + Nên MH  BH  BM  6, 4  5  1(cm) H M Áp dụng định lý Pitago vào HAM vuông tại H: AH  AM 2  MH 2  52  1, 42  4,8(cm) Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp. A c b h B c' H b' C a Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức 1  (5) Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng: Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức. Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao. Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh. Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
Trang 13 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . Lý thuyết 1. Định nghĩa c¹nh ®èi c¹nh kÒ  sin    cos   c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn c¹nh ®èi c¹nh kÒ  tan    cot   c¹nh kÒ c¹nh ®èi Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác đều dương và sina  1; cosa  1. 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia. 3. Một số hệ thức cơ bản sin  cos  tan   (1); cot   (2); cos  sin  tan  . cot   1 (3); sin 2   cos 2   1 (4). 4. So sánh các tỉ số lượng giác Cho  ,  là hai góc nhọn. Nếu    thì  sin   sin  ; tan   tan  ;  cos   cos  ; cot   cot  . Bảng lượng giác một số góc đặc biệt 00 300 450 60 0 900 1 2 3 1 sin 0 2 2 2 3 2 1 0 cos 1 2 2 2 3 || tan 0 1 3 3 3 0 cot || 3 1 3
Trang 14 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. Hướng dẫn giải Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có B BC  AC 2  AB 2  92  122  15 (dm) 12 AC 9 3 Vậy sin B    BC 15 5 C A 9 AB 12 4 AC 9 3 AB 12 4 Cos B    ; tan B    ; cot B    BC 15 5 AB 12 4 AC 9 3 Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên: 3 4 3 4 Sin B  cos C  ; Cos B  sin C  ; tanB  cot C  ; cotB  tan C  5 5 4 3 . Bài tập Bài 1: Chứng minh các hệ thức: 1 1 a) 1  tan 2   b) 1  cot 2   cos 2  sin 2  Hướng dẫn giải 2 2  sin   sin 2  cos 2   sin 2  1 a) Ta có 1  tan   1     1 2  2   cos   cos  cos  cos 2  2 2  cos   cos 2  sin 2   cos 2  1 a) Ta có 1  cot   1     1  2  2   sin   sin  sin  sin 2  Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại. Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.
Trang 15 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 2: Cho  là một góc nhọn. Chứng minh rằng: a) sin   tan  ; b) cos   cot  . Hướng dẫn giải AC AC AC AC a) Ta có sin   tan   mà BC > AB nên  BC AB BC AB Do đó sin   tan  ; AB AB AB AB b) Ta có cos   cot   mà BC > AC nên  BC AC BC AC Do đó cos   cot  Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác. Bài 3: Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ a b c với sin của các góc đối diện:   sin A sin B sin C Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao. * Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH. CH Xét ACH vuông tại H ta có: sin A  (1) AC CH Xét BCH vuông tại H ta có: sin B  (2) BC sin A CH CH BC a a b Từ (1) và (2) suy ra  :   . Do đó  sin B AC BC AC b sin A sin B b c Chứng minh tương tự ta được  sin B sin C a b c Vậy   sin A sin B sin C   90 thì ta vẫn có: a b Lưu ý: Nếu ABC có C  sin A sin B
Trang 16 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Bài 4: Tìm góc x, biết rằng: a) tan x  3cot x; b) sin x  cos x  2 Hướng dẫn giải 3 1 a) tan x  3cot x; . Suy ra tan x  (vì cot x  ). tan x tan x Do đó tan 2 x  3  tan x  3  tan 60 Vậy x  60o. b) sin x  cos x  2 Bình phương hai vế ta được: sin 2 x  2 sin x.cos x  cos 2 x  2  2sin x.cos x  1  2 (vì sin 2 x  cos 2 x  1 )  2sin x.cos x  1  1 – 2sin x.cos x  0  sin 2 x  2 sin x.cos x  cos 2 x  0 2   sin x – cos x   0 . Do đó sin x  cos x  sin x  sin (90o – x) (vì cos x  sin (90o – x) ) Dẫn tới x  90o – x  2 x  90o  x  45o. Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó Bài 5: Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí: a) P  sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3    sin 2 88  sin 2 89 b) Q  tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750 20 c) Biết cos   Tính sin  , tan  và cot  . 29 Hướng dẫn giải Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang góc kia, ta có: a) P  sin 2 1  sin 2 2  sin 2 3    sin 2 88  sin 2 89        sin 2 1  sin 2 89  sin 2 2  sin 2 88  ....  sin 2 44  sin 2 46  sin 2 45        sin 2 1  cos 21  sin 2 2  cos 2 2  ....  sin 2 44  cos 2 44  sin 2 45
Trang 17 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 2  2 = 1  1  1  ...  1     44,5  2  b) Q  tan150.tan 250.tan 350.tan 450.tan 550.tan 650.tan 750   tan150. tan 750  .  tan 250.tan 650  .  tan 350.tan 550  .tan 450   tan150.cot150  .  tan 250.cot 650  .  tan 350.cot 350  . tan 450  1.1.1.1  1 2  20  441 c) Ta có sin 2  cos 2  1  sin 2   1  cos 2   1      29  841 21 sin  21 20 21 20 Do đó sin   tan    :  cos   29 cos  29 29 20 21 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B , sin C biết rằng: a) AB = 13 và BH = 5; b) BH = 3 và CH = 4. Hướng dẫn giải a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao A AH ta có AB 2 132 AB 2  BH .BC  BC    33,8 13 BH 5 Áp dụng định lý Pytago trong tam giác 5 vuông ABC ta có: AC  BC 2  AB 2  31, 2 C B H AC 31, 2 12 SinB    BC 33,8 13 AB 13 5 SinC    BC 33,8 13 A b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có AH 2  BH .CH  3.4  AH  2 3 Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có AB  HB 2  AH 2  32  12  21 4 3 C B H AH 2 3 2 SinB    AB 21 7
Trang 18 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Tam giác ABC vuông, BC  BH  HC  3  4  7 Theo định lý Pytago ta có AC  BC 2  AB 2  49  21  28  2 7 AB 21 SinC   BC 7 Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có AC  AH 2  HC 2  12  16  28 AH 12 3 21 SinC     AC 28 7 7 Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.  ABC AC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan  2 AB  BC Hướng dẫn giải Vẽ đường phân giác BD của  ABC ( D  AC ). AD AB AD DC Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có :    DC BC AB BC AD AD  DC AD AC     . AB AB  BC AB AB  BC A   900  tan  AD Xét  ABD có BAD ABD  D AB  ABC AC  tan  C 2 AB  BC B  ABC AC Vậy tan  2 AB  BC
Trang 19 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết 1. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:  Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;  Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. Trong hình vẽ bên thì: b  a.sin B  a.cos C ; c  a.sin C  a.cos B ; b  c.tan B  c.cot C ; c  b.tan C  b.cot B ; 2. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). . Bài tập Bài 1:   35 ; C Giải tam giác ABC biết B   50 và đường cao AH = 5,0cm. Hướng dẫn giải Ta phải tìm A AB, AC và BC.   180  (B A   C)   95  Xét ABH vuông tại H ta có: AH 5, 0 AH  AB.sin B  AB    8, 7(cm) sin B sin 35 BH  AH .cot B  5, 0.cot 35o  7,1 (cm).  Xét ACH vuông tại H ta có AH 5, 0 AH  AC.sin C  AC    6,5(cm) sin C sin 50 CH  AH .cot C  5, 0.cot 50o  4, 2 (cm). Do đó BC  BH  CH  7,1  4, 2  11, 3 (cm). Vậy Aˆ  95 ; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm.
Trang 20 | 8 Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: BH  AB.cos B ; CH  AC.cos C. Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn. Bài 2:   40o. Tính độ dài BC. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và B Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC. * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH  AB.sin B  14.sin 40o  9, 0 (cm). BH  AB.cos B  14.cos 40o  10, 7 (cm). Xét AHC vuông tại H có: HC  AC 2  AH 2  112  92  6,3 (cm).  Nếu H nằm giữa B và C thì BC  BH  HC  10, 7  6,3  17 (cm).  Nếu C' nằm giữa B và H thì BC '  BH – HC '  10, 7  6, 3  4, 4 (cm). Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài toán có 2 nghiệm hình Bài 3:   70 Tính độ dài BC. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH  AB.sin B  3, 2.sin 70o  3, 0 (cm). BH  AB.cos B  3, 2.cos 70o  1,1 (cm). Xét AHC vuông tại H có: HC  AC 2  AH 2  5, 02  3, 02  4, 0 (cm).