intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng chuyên đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức - ThS. Phạm Văn Qúy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

11
lượt xem
2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chuyên đề "Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức" được biên soạn bởi ThS. Phạm Văn Qúy có mục đích giúp các em học sinh nắm được một số bất đẳng thức phụ thường dùng, làm quen với các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức. Vận dụng kiến thức được học để giải các bài toán thực tế. Mời các em cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức - ThS. Phạm Văn Qúy

  1. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606 1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca , a, b, c  R . an + bn  a + b  n 10)   ,với a, b  0 , n  N * . 2  2  a+b 2 2) a.b    , a, b  0  2  (a + b + c) 2 11) a + b + c 2 2 2  , a, b  R . 3  a+b+c 3 3) a.b.c    , a, b  0 12) ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) , a, b  R 2  3  1 1 13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  0 4) ( a + b )  +   4 , a, b > 0 a b 14) a 4 + b 4  ab ( a 2 + b 2 ) , a, b  0 1 1 4 5) +  , a, b > 0 15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  0 a b a+b 3( a + b ) 2 1 1 1 6) ( a + b + c )  + +   9 , a, b, c > 0 16) a + ab + b  2 2 , a, b  R a b c 4 1 1 1 9 a 2 − ab + b2 1 7) + +  , a, b > 0 17)  , a, b  R, a 2 + b2  0 a b c a+b+c a + ab + b 2 2 3 ( ) 2 a2 + b2  a + b  18) (1 + a)(1 + b)  1 + ab , a, b  0 2 8)   , a, b  R. 2  2  ( ) 3 19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  1 + 3 abc , a, b, c  0 a 3 + b3  a + b  3 9)   ,với a, b  0 . 2  2  1 1 2 20) +  , với ab  1. 1 + a 1 + b 1 + ab 2 2 2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1. Cho x , y , z  0 . Chứng minh rằng: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z ) Giải 3( a + b ) 2  Ta luôn có bất đẳng thức: a + ab + b  2 2 , a, b (*). 4 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  2. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Thật vậy (*)  4a 2 + 4ab + 4b 2  3 ( a 2 + 2ab + b 2 )  a 2 − 2ab + b 2  0  ( a − b )  0 (luôn đúng). 2 Dấu “=” xảy ra  a = b. 3( x + y ) 2 3  Áp dụng (*) ta có: x + xy + y  2 2 = ( x + y) 4 2 3 3 Tương tự ta có: y 2 + yz + z 2  ( y + z ) và z 2 + zx + x 2  ( z + x) 2 2 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 3 x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  ( 2x + 2 y + 2z ) = 3 ( x + y + z ) , (đpcm) 2 x = y  Dấu “=” xảy ra   y = z  x = y = z. z = x  1 2 3 Bài 2. Cho a , b , c  0 thỏa + +  1 . Chứng minh rằng: a b c b 2 + 2ab + 4a 2 4c 2 + 6bc + 9b 2 9a 2 + 3ac + c 2 + +  3 ab bc ca Giải b 2 + 2ab + 4a 2 4c 2 + 6bc + 9b 2 9a 2 + 3ac + c 2  Ta có VT = + + a 2b 2 b 2c 2 c2a2 1 2 4 4 6 9 9 3 1 = 2 + + 2+ 2+ + 2+ 2+ + 2 a ab b b bc c c ac a 1 2 3  Đặt x = ; y = ; z =  x, y, z  0. Ta có: VT = x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2 a b c Theo bài 1 ta có: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z )  1 2 3 Mặt khác 3 ( x + y + z ) = 3  + +   3.1 = 3. Do đó VT  3 = VP, (đpcm). a b c 1 2 3 a = 3 x = y = z = =   a b c 1 2 3 1  Dấu “=” xảy ra   1 2 3    = = =  b = 6. + +  a b c = 1 1 2 3  + + =1 a b c 3 c = 9  a b c  Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  3. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng: y 2 + 2x2 z2 + 2 y2 x2 + 2 z 2 + +  3 xy yz zx Giải (a + b + c) 2  Ta luôn có bất đẳng thức: a + b + c 2 2 2  , a, b (*). 3 ( Thật vậy (*)  3a 2 + 3b 2 + 3c 2  a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca )  ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 )  0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 (luôn đúng). 2 2 2 Dấu “=” xảy ra  a = b = c. ( y + x + x) 2  Áp dụng (*) ta có: y 2 + 2x2 y 2 + x2 + x2 3 1 y + 2x 1 yz + 2 xz =  = = xy xy xy 3 xy 3 xyz z2 + 2 y2 1 zx + 2 yx và x2 + 2 z 2 1 xy + 2 zy Tương tự ta có:   yz 3 xyz zx 3 xyz Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: y 2 + 2 x2 z2 + 2 y2 x2 + 2z 2 1  yz + 2 xz zx + 2 yx xy + 2 zy  1 3 ( xy + yz + zx ) 3xyz + +   + + = . = = 3 (đpcm). xy yz zx 3  xyz xyz xyz  3 xyz 3.xyz x = y y = z  Dấu “=” xảy ra    x = y = z = 3. z = x  xy + yz + zx = xyz Bình luận: Nếu không có giả thiết xy + yz + zx = xyz thì bất đẳng thức trở thành: y 2 + 2x2 z2 + 2 y2 x2 + 2 z 2 3 ( xy + yz + zx ) + +  . Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có xy yz zx xyz nhiều bài toán mới rất thú vị. 1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản. 3 ( xy + yz + zx ) 1 1 1 2) Hướng 2: Biến đổi = 3  + + . xyz x y z 1 1 1 9 3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ + +  x y z x+ y+z 4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như x + y + z  1; xyz  3;... Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  4. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương x, y, z thỏa + +  2020 . x+ y y+z z+x y 2 + 2 x2 z2 + 2 y2 x2 + 2 z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + . xy yz zx Giải (a + b + c) 2  Ta luôn có bất đẳng thức: a + b + c 2 2 2  , a, b (*). 3 ( Thật vậy (*)  3a 2 + 3b 2 + 3c 2  a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca )  ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( c 2 − 2ca + a 2 )  0  ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  0 (luôn đúng). 2 2 2 Dấu “=” xảy ra  a = b = c. ( y + x + x) ( y + 2x ) 2 2 y 2 + 2 x2 1 y + 2x 31 2  Áp dụng (*) ta có: y + 2 x = y + x + x 2 2 2 2 2  =   =  +  3 3 xy 3 xy 3 x y z2 + 2 y2 3 1 2 x2 + 2 z 2 31 2 Chứng minh tương tự ta có:   +  và   +  yz 3  y z zx 3  z x 31 2 1 2 1 2 P  + + + + +  3 x y y z z x 33 3 3 P  + +  3 x y z 1 1 1  P  3 + +  (1) x y z 1 1 4 1 11 1 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức +  . Hay   +  dấu “=” xảy ra khi a = b ta a b a+b a+b 4 a b  1 1 1 11 1 1 1 1 1 được 2020  + +   + + + + +  x+ y y+ z z+ x 4 x y y z z x 1 1 1 11 1 1 1 1 1  2020  + +   + +   + +  4040 ( 2) x+ y y+ z z+ x 2 x y z  x y z 4040 Từ (1) và ( 2)  P  4040 3 . Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  5. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 4040  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4040 3 , khi x = y = z = . 3 ( Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: x3 + y 3 + z 3  )  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  . 3 3 3     Giải +) Ta luôn có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*). 3 3 ( ) Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0 ( )  ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b. 2 +) Áp dụng (*) ta có:  x + y  xy( x + y) 3 3  y + z  yz( y + z) 3 3  z3 + x3  zx( z + x) ( ) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: 2 x3 + y 3 + z 3  xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx( z + x),(**). 1 1 1 1 1 1 1 3 +) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có: 3 + 3 + 3  33 3 3 3  3 + 3 + 3  , (***). x y z x y z x y z xyz 3 3 ( +) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có: 2 x + y + z  3 )  x1 + y1 + z1   xyz 3 3 3  xy( x + y) + yz ( y + z ) + zx( z + x) 3    1 1 1  3 y + z z + x x+ y   ( x3 + y 3 + z 3 )  3 + 3 + 3    + +  , (đpcm). x y z  2 x y z  +) Dấu “=” xảy ra  x = y = z. Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + +  x3 + y 3 + xyz y 3 + z 3 + xyz z 3 + x3 + xyz xyz Giải +) Ta luôn có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*). 3 3 ( ) Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0 ( )  ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = c. 2 +) Áp dụng (*) ta có: Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  6. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 z  x + y + xyz  xy ( x + y ) + xyz = xy ( x + y + z )  3  = 3 3 x + y + xyz xy ( x + y + z ) xyz ( x + y + z ) 3 1 x 1 y  Tương tự ta có:  và 3  y + z + xyz xyz ( x + y + z ) 3 3 z + x + xyz xyz ( x + y + z ) 3 1 1 1 x+ y+z 1 +) Khi đó + 3 3 + 3  = , (đpcm). x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz ( x + y + z ) xyz 3 3 3 +) Dấu “=” xảy ra  x = y = z. Bài 7. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: x3 + y 3 + 1 y3 + z3 + 1 z 3 + x3 + 1 + + 3 3 xy yz zx Giải +) Ta luôn có bất đẳng thức: a + b  ab(a + b), a, b  0 (*). 3 3 ( ) Thật vậy (*)  ( a + b ) a 2 − ab + b 2 − ab(a + b)  0  (a + b) a 2 − 2ab + b 2  0 ( )  ( a + b )( a − b )  0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra  a = b = c. 2 +) Áp dụng (*) ta có: x3 + y 3 + 1 xy ( x + y ) + 1 xy ( x + y ) + xyz xy ( x + y + z ) x+ y+z ▪  = = = xy xy xy xy xy y3 + z3 + 1 x+ y+z z 3 + x3 + 1 x+ y+z ▪ Tương tự ta có:  và  yz yz zx zx +) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có: x3 + y 3 + 1 y3 + z3 + 1 z 3 + x3 + 1  1 1 1  + +  x+ y+ z + +  xy yz zx  xy zx   yz +) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  1 1 1   1  x+ y+z + +   3 3 xyz .  3 3  = 3 3, (đpcm).  xy  xyz  yz zx    +) Dấu “=” xảy ra  x = y = z. Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  7. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 Bài 8. Cho x, y, z  0 và thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng: + + 1. x y z 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z Giải 1 1 4 +) Ta luôn có bất đẳng thức: +  , a, b > 0 (*). a b a+b a+b 4 Thật vậy (*)    (a + b)2  4ab  a 2 − 2ab + b2  0  (a − b)2  0, (luôn đúng). ab a+b Dấu “=” xảy ra  a = b. 1 1 1 4 1 1 1  +) Áp dụng (*) ta có: = = .   + . 2 x + y + z ( x + y) + ( x + z ) 4 ( x + y) + ( x + z ) 4  x + y x + z  1 1 1  1 4 4  1 1 1 1 1 1 2 1 1 Tiếp tục áp dụng (*) ta có:  + =  +   + + + =  + +  4  x + y x + z  16  x + y x + z  16  x y x z  16  x y z  1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Do đó:   + +  . Tương tự ta có:   + +  và   + +  2 x + y + z 16  x y z  x + 2 y + z 16  x y z  x + y + 2 z 16  x y z  1 1 1 1 4 4 4 +) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có: + +   + +  2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z  1 1 1 11 1 1 1 1 1  + +   + +  , mà theo giả thiết: + + = 4 . Do đó ta có bất 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4  x y z  x y z 1 1 1 đẳng thức trở thành:  + +  1, (đpcm). 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z Dấu “=” xảy ra  x = y = z. Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  8. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 4 5 3  3 2 1  Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức: + +  4 + + . x y z  x+ y y+z z+x Giải 1 1 4 +) Ta luôn có bất đẳng thức: +  , a, b > 0 (*). a b a+b a+b 4 Thật vậy (*)    (a + b)2  4ab  a 2 − 2ab + b2  0  (a − b)2  0, (luôn đúng). ab a+b Dấu “=” xảy ra  a = b. 3 3 4 31 1  +) Áp dụng (*) ta có:  = .   +  x+ y 4 x+ y 4 x y  2 2 4 2 1 1  = .   +  y + z 4 y + z 4 y z  1 1 4 11 1  = .   +  z + x 4 z + x 4 z x   3 2 1   3  1 1  2  1 1  1  1 1  Từ các kết quả trên ta có: 4  + +   4   +  +  +  +  +   x+ y y+z z+x  4  x y  4  y z  4  z x   3 2 1  4 5 3  4 + +   + + , (đpcm).  x + y y + z z + x  x y z Dấu “=” xảy ra  x = y = z. Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020) 1 a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng: a 2 − ab + 3b 2 + 1  ( a + 5b + 2 ) . 4 1 1 1 b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P= + + a 2 − ab + 3b2 + 1 b2 − bc + 3c 2 + 1 c 2 − ca + 3a 2 + 1 Giải 1 a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng: a 2 − ab + 3b 2 + 1  ( a + 5b + 2 ) , (*). 4 Ta có (*)  16 ( a 2 − ab + 3b2 + 1)  ( a + 5b + 2 )  15a 2 + 23b2 − 26ab − 4a − 20b + 12  0 . 2 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  9. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  13 ( a − b ) + 10 ( b − 1) + 2 ( a − 1)  0 (luôn đúng). 2 2 2 Dấu “=” xảy ra  a = b = 1. 1 1 1 b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P= + + a 2 − ab + 3b2 + 1 b2 − bc + 3c 2 + 1 c 2 − ca + 3a 2 + 1 4 4 4  Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: P  + + a + 5b + 2 b + 5c + 2 c + 5a + 2 1 1 4  Ta luôn có bất đẳng thức: +  , x, y > 0 (**). x y x+ y x+ y 4 Thật vậy (**)    ( x + y)2  4 xy  x 2 − 2 xy + y 2  0  ( x − y) 2  0, (luôn đúng). xy x+ y Dấu “=” xảy ra  x = y. Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 4 1 1  + a + 5b + 2 a + b + 2 4b (1) 4 1 1  + b + 5c + 2 b + c + 2 4c ( 2) 4 1 1  + c + 5a + 2 c + a + 2 4a (3)  1 1 1  11 1 1 Từ (1) , ( 2) , ( 3) ta có: P   + + +  + +  (***)  a+b+2 b+c+2 c+a+2 4 a b c  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: 1 1 1 1  1 1  1 1  1    +    + +  ( 4) a + b + 2 4  a + b 2  4 4  a b  2 1 1 1 1  1 1  1 1  1    +     + +  ( 5) b + c + 2 4  b + c 2  4 4  b c  2 1 1 1 1  1 1  1 1  1    +     + +  ( 6) c + a + 2 4  c + a 2  4 4  c a  2 3 1 1 1 3 3 3 3 Từ (***) , ( 4) , ( 5) , ( 6) ta được: P   + +  +  .3 + = . 8 a b c  8 8 8 2 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  10. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 3 Vậy giá trị lớn nhất của P là đạt được khi a = b = c = 1 . 2 Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c) Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + . 2a 3b 2a + 3c Giải 1 1 4  Ta luôn có bất đẳng thức: +  , x, y > 0 (*). x y x+ y x+ y 4 Thật vậy (**)    ( x + y)2  4 xy  x 2 − 2 xy + y 2  0  ( x − y) 2  0, (luôn đúng). xy x+ y Dấu “=” xảy ra  x = y.  3b + 3c   4a + 3c   12b − 12c   Ta có: P + 11 =  + 2 +  + 1 +  + 8  2a   3b   2a + 3c   1 1 4  = ( 4a + 3b + 3c)  + +   2a 3b 2a + 4c   4 4  16  Áp dụng (*) ta có: P + 11  (4a + 3b + 3c)  +   (4a + 3b + 3c) = 16  2a + 3b 2a + 3c  4a + 3b + 3c 3  Vậy P nhỏ nhất bằng 5 , dấu bằng xảy ra chẳng hạn (a, b, c) =  ,1,1 . 2  Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của a3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 P= 2 + + . a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Giải x 2 − xy + y 2 1  Ta luôn có bất đẳng thức:  , x; y; z  0 (*). x 2 + xy + y 2 3 x 2 − xy + y 2 1 Thật vậy (*) 2   3 ( x 2 − xy + y 2 )  x 2 + xy + y 2  2( x − y )2  0, (luôn đúng). x + xy + y 2 3 Dấu “=” xảy ra  x = y. Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  11. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức a3 + b3 a2 − ab + b2 1  Áp dụng (*) ta có: = ( a + b)  (a + b) . a2 + ab + b2 a2 + ab + b2 3 b3 + c3 1 c3 + a 3 1 Tương tự ta có:  (b + c ) và  (c + a) . b + bc + c 2 2 3 c + ca + a 2 2 3 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 2 Từ các kết quả trên ta có: P = + +  (a + b + c). a + ab + b b + bc + c c + ca + a 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (a + b + c)  .3 3 abc = .3 3 1 = 2  P  2. 3 3 3 a = b = c Dấu “=” xảy ra    a = b = c = 1. abc = 1 Vậy min P = 2 khi (a, b, c) = (1,1,1) . Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1. 1 1 Chứng minh rằng: + + 2020ab  2021 . 1+ a 1+ b Giải 1 1 2  Ta luôn có bất đẳng thức: +  , (*). 1 + a 1 + b 1 + ab 2+a+b Thật vậy (*)   2 (1 + a )(1 + b ) 1 + ab ( )  ( 2 + a + b ) 1 + ab  2 (1 + a )(1 + b )  2 + 2 ab + a + a ab + b + b ab  2 + 2a + 2b + 2ab ( ) ( ) (  2 ab − 2ab + a ab − a + b ab − b  0 ) ( )( ) 2  a− b ab − 1  0 (luôn đúng vì a , b  0 ; ab  1). 1 1 2  Áp dụng (*) ta có:  + + 2020ab  + 2020ab 1+ a 1+ b 1 + ab 2 Đặt ab = t ( 0  t  1) . Ta cần chứng minh + 2020t 2  2021 1+ t Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  12. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức  ( t − 1) ( 2020t 2 + 4040t + 2019 )  0 (luôn đúng) Dấu " = " xảy ra khi t = 1 hay a = b = 1 . BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 1 1  1 1 1  Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: + +  3 + +  a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  bc ac ab Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + 2 + 2 . a b + a c b a + b c c a + c 2b 2 2 2 Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 1 2021 a + b + b + c + c + a = 2021 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 + +  . b+c a +c a +b 2 2 Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 . x y 3z 2 6 Chứng minh + +  . x +5 2 y +5 2 ( 6 z2 + 5 ) 3 Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) xy 1 2 yz Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức + +  2. 1 + yz xy + yz 1 + xy Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất  1 1  của biểu thức: S = ( a + b )  + .  a − ab + 2b b 2 − ab + 2a 2  2 2 Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) 1 1 + a2 1 + b2 1 + c2 6 Cho −  a, b, c  . Chứng minh + +  . 3 1 + 3b + c 1 + 3c + a 1 + 3a + b 2 2 2 5 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  13. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 1 Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: + +  (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc  1. Chứng minh rằng: a b c 3 + +  b + ac c + ab a + bc 2 1 1 1 Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P= + + a 2 − ab + 3b2 + 1 b2 − bc + 3c 2 + 1 c 2 − ca + 3a 2 + 1 Bài 24. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2 3(a 2 + b2 + c2 ) + +  a+b b+c c+a a+b+c Bài 25. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x2 y2 z2 x+ y+z + +  8 x + 3 y + 14 xy 2 2 8 y + 3z + 14 yz 2 2 8 z + 3x + 14 xz 2 2 5 Bài 26. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 + 4a + 1 b2 + 4b + 1 c2 + 4c + 1 M= + + a2 + a b2 + b c2 + c a 3 + b3 b3 + c 3 c3 + a3 1 1 1 Bài 27. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh rằng: + +  + + ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c 2 2 2 2 2 2 ab bc ca Bài 28. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: + 5 5 + 5  1. a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 55 x3 y3 z3 1 1 1 1 Bài 29. Cho x, y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz .Chứng minh rằng: + +  . + +  . z+x x+ y 2 2 y+z 2 2 x y z Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  14. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a +1 b +1 c +1 thức: M = + 2 + 2 . a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2 x + 2 2 x2 y2 z2 Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x2 + y2 + z 2 = 3xyz . Chứng minh: + +  1. y+2 z+2 x+2 Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P= + 2 + 2 4 x − yz + 2 4 y − zx + 2 4 z − xy + 2 2 Hết Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  15. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606 1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a 2 + b 2 + c 2  ab + bc + ca , a, b, c  R . an + bn  a + b  n 10)   ,với a, b  0 , n  N * . 2  2  a+b 2 2) a.b    , a, b  0  2  (a + b + c) 2 11) a + b + c 2 2 2  , a, b  R . 3  a+b+c 3 3) a.b.c    , a, b  0 12) ( a + b + c )  3 ( ab + bc + ca ) , a, b  R 2  3  1 1 4) ( a + b )  +   4 , a, b > 0 13) a3 + b3  ab ( a + b ) , a, b  0 a b 14) a 4 + b 4  ab ( a 2 + b 2 ) , a, b  0 1 1 4 5) +  , a, b > 0 a b a+b 15) a5 + b5  a2b2 ( a + b ) , a, b  0 1 1 1 6) ( a + b + c )  + +   9 , a, b, c > 0 3( a + b ) 2 a b c 16) a + ab + b  2 2 , a, b  R 4 1 1 1 9 7) + +  , a, b > 0 a b c a+b+c a 2 − ab + b2 1 17)  , a, b  R, a 2 + b2  0 a + ab + b 2 2 3 a2 + b2  a + b  2   , a, b  R. . ( ) 8) 2 2  2  18) (1 + a)(1 + b)  1 + ab , a, b  0 a 3 + b3  a + b  ( ) 3 3 9)   ,với a, b  0 . 19) (1 + a)(1 + b)(1 + c)  1 + 3 abc , a, b, c  0 2  2  1 1 2 20) +  , với ab  1. 1 + a 1 + b 1 + ab 2 2 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  16. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG Bài 1. Cho x , y , z  0 . Chứng minh rằng: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + xz + x 2  3 ( x + y + z ) 1 2 3 Bài 2. Cho a , b , c  0 thỏa + +  1 . Chứng minh rằng: a b c b 2 + 2ab + 4a 2 4c 2 + 6bc + 9b 2 9a 2 + 3ac + c 2 + +  3 ab bc ca Bài 3. Cho x , y , z  0 và xy + yz + zx = xyz . Chứng minh rằng: y 2 + 2x2 z2 + 2 y2 x2 + 2 z 2 + +  3 xy yz zx 1 1 1 Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương x, y, z thỏa + +  2020 . Tìm x+ y y+z z+x y 2 + 2 x2 z2 + 2 y2 x2 + 2 z 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + . xy yz zx ( Bài 5. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: x3 + y 3 + z 3  )  x1 + y1 + z1   32  y +x z + z +y x + x +z y  . 3 3 3     Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + 3 3 + 3  x + y + xyz y + z + xyz z + x + xyz xyz 3 3 3 Bài 7. Cho x, y, z nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: x3 + y 3 + 1 y3 + z3 + 1 z 3 + x3 + 1 + + 3 3 xy yz zx 1 1 1 1 1 1 Bài 8. Cho x, y, z  0 và thỏa mãn + + = 4 . Chứng minh rằng: + + 1. x y z 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 4 5 3  3 2 1  Bài 9. Cho x, y, z  0. Chứng minh bất đẳng thức: + +  4 + + . x y z  x+ y y+z z+x Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020) 1 a) Cho a, b  0. Chứng minh rằng: a 2 − ab + 3b 2 + 1  ( a + 5b + 2 ) . 4 1 1 1 b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  17. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 P= + + a − ab + 3b + 1 2 2 b − bc + 3c + 1 2 2 c − ca + 3a 2 + 1 2 Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3(b + c) 4a + 3c 12(b − c) biểu thức P = + + . 2a 3b 2a + 3c Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá a3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 trị nhỏ nhất của P = 2 + + . a + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện ab  1. 1 1 Chứng minh rằng: + + 2020ab  2021 . 1+ a 1+ b 1 1 1  1 1 1  Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: + +  3 + +  a b c  a + 2b b + 2c c + 2a  bc ac ab Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + 2 + 2 . a b + a c b a + b c c a + c 2b 2 2 2 Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 1 2021 a + b + b + c + c + a = 2021 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 + +  . b+c a +c a +b 2 2 Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 5 . x y 3z 2 6 Chứng minh + +  . x2 + 5 y2 + 5 ( 6 z2 + 5 ) 3 Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho x, y, z  0 . Chứng minh bất đẳng thức : xy 1 2 yz + +  2. 1 + yz xy + yz 1 + xy Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương a và b thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất  1 1  của biểu thức: S = ( a + b )  + .  a − ab + 2b b 2 − ab + 2a 2  2 2 1 1 + a2 1 + b2 1 + c2 6 Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai) Cho −  a, b, c  . Chứng minh: + +  3 1 + 3b + c 1 + 3c + a 1 + 3a + b 2 2 2 5 ab bc ca 1 Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: + +  (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
  18. Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: abc  1. Chứng minh rằng: a b c 3 + +  b + ac c + ab a + bc 2 1 1 1 Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + +  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 1 1 1 P= + + a − ab + 3b + 1 2 2 b − bc + 3c + 1 2 2 c − ca + 3a 2 + 1 2 Bài 24. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng: a 2 + b2 b2 + c2 c2 + a 2 3(a 2 + b2 + c2 ) + +  a+b b+c c+a a+b+c Bài 25. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng: x2 y2 z2 x+ y+z + +  8 x + 3 y + 14 xy 2 2 8 y + 3z + 14 yz 2 2 8 z + 3x + 14 xz 2 2 5 Bài 26. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 + 4a + 1 b2 + 4b + 1 c2 + 4c + 1 M= + + a2 + a b2 + b c2 + c a 3 + b3 b3 + c 3 c3 + a3 1 1 1 Bài 27. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh rằng: + +  + + ab ( a + b ) bc ( b + c ) ac ( c + a ) a b c 2 2 2 2 2 2 ab bc ca Bài 28. Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng: + 5 5 + 5  1. a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 55 x3 y3 z3 1 1 1 1 Bài 29. Cho x, y, z  0 thỏa xy + yz + zx = 3xyz ..Chứng minh rằng: + +  . + +  . z+x x+ y 2 2 y+z 2 2 x y z Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu a +1 b +1 c +1 thức: M = 2 + 2 + 2 . a + 2a + 2 b + 2b + 2 c + 2 x + 2 x2 y2 z2 Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x2 + y2 + z 2 = 3xyz . Chứng minh: + +  1. y+2 z+2 x+2 Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P= + 2 + 2 4 x − yz + 2 4 y − zx + 2 4 z − xy + 2 2 Hết Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2