Bài giảng Cơ học kết cấu: Chương 4

I/. Khái niệm

BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI ------------------- BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU

ThS. VÕ XUÂN THẠNH

Chương 4 1/. ðịnh nghĩa: Biến dạng là sự thay ñổi hình dạng, kích thước của các phân tố dưới tác dụng của tải trọng hoặc các tác ñộng của các nguyên nhân khác

CÁCH XÁC ðỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH ðÀN HỒI TUYẾN TÍNH

Biến dạng của một công trình là do kết quả biến dạng của các phân tố trong các cấu kiện của công trình

2/. Phân loại chuyển vị: K Chuyển vị là sự thay ñổi vị trí của các ñiểm trên công trình khi công trình bị biến dạng K’ Một phân tố trong công trình có 3 khả năng:

•Chuyển vị thẳng của một ñiểm •Chuyển vị xoay của tiết diện tại một ñiểm ñang xét

a/. Các nguyên nhân gây ra chuyển vị:

•Tải trọng tác dụng •Sự thay ñổi của nhiệt ñộ •Sự chuyển vị cưởng bức của các gối tựa •Không chuyển vị mà có biến dạng (xét phân tố A) •Có chuyển vị và có biến dạng (xét phân tố 2) •Có chuyển vị nhưng không có biến dạng (xét phân tố 3)

• II/. Vận dụng biểu thức thế năng ñể xác ñịnh Ví dụ : chuyển vị : P

. P =∆⇔∆

M −=

1 2

z • 1/.Cách tính trực tiếp từ biểu thức thế năng: • Cách tính nầy chỉ áp dụng tính chuyển vị tại vị l

* A

−=

−

∑∫

∑ ∫ υ

∑∫

M 2 EJ

Q 2 GF

N 2 EF

 −−=  

  

=∆

trí lực tập trung P 2 U P

∑ ∫

∫

2 P

M 2 EJ

2 P

( ) Pz − 2 EJ

Pl 3 EJ

  

 = 

=∆

∑∫

∑ ∫

N 2 EF

Q 2 GF

M 2 EJ

2 P

  

  

Vậy :

Ví dụ: xét ví dụ trước 2/. Cách xác ñịnh theo ñịnh lý Castiglinato: P

M −=

=∆ k

z l

=∆

. ds

)( −

) dzz

=∆ k

∑

Phát biểu ñịnh lý: ñạo hàm riêng thế năng biến dạng ñàn hồi theo lực Pk nào ñó sẽ bằng chuyển vị tương ứng với phương và vị trí của lực Pk ñó U ∂ P ∂ k

∑ ∫

∫

∑∫

M EJ

( Pz − EJ

Pl 3 EJ

M EJ

Q EG

N EF

  

 = 

M ∂ P ∂ k

  

  

M ∂ P ∂ k

Q ∂ P ∂ k

N ∂ P ∂ k

0>∆ k ngược lại

* Chú ý: III/. Công thức tổng quát xác ñịnh chuyển vị của hệ thanh ( công thức Maxwell-Morh 1874) • Nếu thì chuyển vị cùng chiều với Pk và

a/. Ký hiệu chuyển vị : Pk • Nếu tải trọng là lực phân bố có thể thay thế bằng lực tập trung ñể tính • Trường hợp Pk là mô men tập trung thì chuyển Trạng thái “k” vị tương ứng là chuyển vị xoay q

• Nếu cần tìm chuyển vị tại vị trí nào ñó thì có thể ñặt thêm lực Pk tại vị trí ñó. Sau khi xác ñịnh ñược chuyển vị thì cho Pk =0 sẽ ñược kết quả cần tìm Trạng thái “m”

jmZ

P k

+∆ km

. zR jk

∑

+ Là chuyển vị tại liên kết j ở trạng thái “m” 1/. Công thức

∑ ∫

∑∫

QQ mk GF

NN k EF

jmR

∑ ∫ ( t α

)

jmZ

dsNt cm k

dsM k

∑∫

∑ ∫

MM k EJ t − 1 m m h

+ Là phản lực tại liên kết j tương ứng với chuyển vị do lực Pk=1 gây ở “k”

jmZ Khi và

. jm ZR

>jm

jmR

, NQM

−=∆ km

. zR jk

∑

∑ ∫

∑∫

QQ mk GF

NN k EF

∑ ∫ ( t α

)

+ cùng chiều Chia 2 vế cho Pk , ta có : + Nội lực ở trạng thái “m”

, NQM

dsNt cm k

dsM k

∑∫

∑ ∫

MM k EJ t − 1 m m h

+ Nội lực ở trạng thái “k” do Pk =1 gây ra

≤

* Các chú ý

∆km

h r

+ nếu kết quả Thì chuyển vị cùng chiều với + công thức Morh chỉ áp dụng cho hệ gồm những thanh thẳng hoặc cong với ñộ cong bé 1 5 Pk ñã giả ñịnh và ngược lại +Khi tính hệ ở trạng thái ‘’k’’ chỉ cần ñặt lực Pk =1

+ nếu cần tìm chuyển vị thẳng thì Pk là lực tập trung

+ nếu tìm chuyển vị góc xoay thì Pk là mô men tập trung

2/. Vận dụng công thức Morh vào các bài toán chuyển vị

a/. Hệ dầm và khung chịu tải trọng

Ví dụ 2.1 : xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tại B . Cho biết ñộ cứng của thanh dầm E.J =const

Trong hệ dầm và khung chịu ảnh hưởng của biến dạng ñàn hồi dọc và trượt là rất nhỏ so với biến dạng uốn , nên trong tính toán thường cho phép bỏ qua ảnh hưởng của chúng , lúc nầy ta có

Giải :

Ví dụ 2.2 : xác ñịnh chuyển vị ngang tại B , cho biết ñộ cứng của các thanh là như nhau và EJ = const

b/. Hệ dàn khớp chịu tải trọng Trong hệ dàn , các thanh chỉ tồn tại lực dọc , nên:

F.E,N,N m

Các ñại lượng Thường bằng const ñối với từng thanh dàn . Suy ra:

Giải

Trạng thái “m” Xác ñịnh Nim. Kết quả thể hiện trong bảng

l i

Ví dụ 2.3: Xác ñịnh chuyển vị nằm ngang tại mắt dàn số 5, cho biết ñộ cứng trong các thanh dàn là như nhau và EF= const Trạng thái “k” Xác ñịnh Nik. Kết quả thể hiện trong bảng

∑=

NN ik EF i

c/. Hệ tĩnh ñịnh chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa:

∆ ∑ =

Nguyên nhân nầy không gây ra nội lực trong hệ tĩnh ñịnh nên N=M=Q= 0, nên :

( 11

) 0 >

l i

NN ik EF

d.p EF

.2 a

. ϕ

−

[ −−=

[ ] . .2 a −=∆

] −∆=∆−

ZR jk

−= ∑

Ví dụ 2.4: xác ñịnh ñộ võng tại B và góc xoay tại C

d/. Hệ tĩnh ñịnh chịu biến thiên nhiệt ñộ:

Nguyên nhân nầy cũng không gây ra nội lực trong hệ tĩnh ñịnh

t,h,

const

t, 1 mm

−

1021 .,(

o − h;C)

h;cm

=α

Ví dụ 2.5: xác ñịnh ñộ võng tại tiết diện k của hệ cho trên hình vẽ , cho biết Nếu trên từng ñoạn thì :

Ω

(

) ( N,M k

T2m ,t1m ,tcm là biến thiên nhiệt ñộ thớ dưới , thớ trên và thớ giữa của thanh

)k ) ( ,M Ω k trên từng ñoạn thanh

Ω

(

) ( ,M Ω k

) ( N,M k

Là diện tích của biểu ñồ (

lấy dấu theo dấu của biểu ñồ (

VI/. Tính chuyển vị theo phương pháp nhân biểu ñồ (Veraxaghin)

1/. Công thức tính chuyển vị :

)

)(

−=∆ km

. zR jk

) Mt +Ω− 1 m

2 m

( . MMNt α cm

+Ω k

)( ( NN m k

)( ( )m QQ k

∑

α ( t h

, NQM

Là các biểu ñồ nội lực do ñơn vị Pk=1 gây ra cho hệ trong trạng thái ”k”

N,Q,M

Là các biểu ñồ nội lực do riêng tải trọng (ñã cho) gây ra cho hệ trong trạng thái ”m”

t,h,

const

Giải

t, 1 mm

trên từng ñoạn thì:

Tích số :

. ω=

. MM k

Nghĩa là : nếu có một trong hai biểu ñồ có dạng ñường

Chú ý :

bằng tích của diện tích biểu ñồ

thẳng thì tích số

k MM .

có dạng bất kỳ

diện tích

Với tung ñộ y của biểu ñồ có

Các ñại lượng 1/EJ ; 1/EF ; 1/GF tuy không viết trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn tại, khi tính phải thêm các ñại lượng ñó vào

dạng ñường thẳng lấy tại vị trí tương ứng với trọng tâm của Diện tích ω

Trong biểu thức không viết dấu ∑ nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu ñồ trong toàn hệ

mk=1

Các tích số

Cũng tính tương tự

NNQQ ; m

Tính chuyển vị cho dầm, khung , ảnh hưởng của lực cắt và lực dọc thường rất nhỏ, có thể bỏ qua, do ñó

Pk=1

Chuyển vị xoay

Chuyển vị thẳng ñứng Chuyển vị ngang

∆

)(

(

MM= k

mk=1

Pk=1

mk=1

∆

)(

(

NN= k

Khi tính chuyển vị cho dàn ,vì M=0,Q=o nên

Pk=1

CV xoay tương ñối giữa 2 ñiểm

CV thẳng tương ñối giữa 2 ñiểm

2/. Cách tạo trạng thái k

3/. Cách nhân biểu ñồ

y.ω

ω Nếu biểu ñồ lấy diện tích có hai dấu thì có thể xem Diện tích là hiệu quả của hai diện tích và

2ω

1ω

Mang dấu dương nếu hai biểu ñồ cùng một phía của trục thanh . Ngược lại mang dấu âm

Những chú ý khi nhân biểu ñồ

1ω

2ω

1ω

4ω

2ω

3ω

5ω

y2 y3 y4

1ω Diện tích tam giác abc

−

ωωω 2

y 11

− ωωωωωω

−

y 33

y 11

y 55

y1 =

2ω Diện tích hình prabol ac

y − y ωωω 11 y 22

Giải

Ví dụ 3.1: Xác ñịnh ñộ võng tại B. chỉ xét biến dạng uốn . Cho biết EJ =const

Giải

2 3

Pl 4

5 24

1 EJ

Pl EJ

× lPl  2 

 − 

× l  2 

 = 

Ví dụ 3.2: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tại B. Chỉ xét biến dạng uốn. Cho biết EJ = const

P=1

L/2

l 4

=ω 1

Ví dụ 3.3: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng của ñiểm E. Biết EJ = const

ql 2 16

2 3

ql 32

2ω

l/2

ql 2 8

(

)

1ω

2 ××=× 3 l ×× 2

l 2 ql 32

2 3

l 8

ql 2 32

3ql 2 32

(

)

(

)

×ω 2

ql 8

l ×× 2

1 2

2 3

l 4

y =1

l 8

l 4 2 l ×= 43

∆

4 ql

(

)

×+×× y 1

ω 1

ω 2

y 2

5 EJ 384

1 EJ

Giải

. l

)

=∆ BD

)( ( . MM k

1 3

ql 2

1 4

2. 2

2 48

ql EJ

  

 × 

   

  = 

Ví dụ 3.4: xác ñịnh chuyển vị thẳng ñứng tương ñối giữa hai tiết diện B và D theo phương nối hai ñiểm ñó. Cho biết EJ = const và như nhau cho tất cả các thanh. Chỉ xét ảnh hưởng của biến dạng uốn.