§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
52 / 64
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
52 / 64
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng
Thiết lập phương trình
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
53 / 64
Xét hình phẳng S như hình vẽ.
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng
Áp dụng định lý chuyển động khối tâm (cid:40) (57) (cid:88) (cid:126)F e m(cid:126)aC =
k ⇒
m¨xC = (cid:80) F e kx m¨yC = (cid:80) F e ky
Áp dụng định lý biến thiên mômen động lượng
(cid:17) (cid:88) = (cid:16) (cid:126)F e (58) (cid:126)mC
k
(cid:17) (cid:17) (cid:88) (cid:88) = d(cid:126)LC dt (cid:16) (cid:126)F e (cid:16) (cid:126)F e (59) mCz mCz ⇒ JCz ¨ϕ =
k
k
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
54 / 64
dLCz dt
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng
(Do LCz = JCz ω = JCz ˙ϕ). Kết hợp các phương trình (57) và (59):
(60) (cid:17) (cid:16) (cid:126)F e m¨xC = (cid:80) F e kx m¨yC = (cid:80) F e ky JCz ¨ϕ = (cid:80) mCz
k
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
55 / 64
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Nội dung
1 Mở đầu về các hệ cơ học
2 Định lý biến thiên động lượng
3 Mômen quán tính khối của vật rắn
4 Định lý biến thiên mômen động lượng
5 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
55 / 64
Thiết lập PTVPCĐ của vật rắn phẳng Thí dụ áp dụng
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Thí dụ 1
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
56 / 64
Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m bán kính r chuyển động trên mặt phẳng nghiêng nhám với góc nghiêng α (hình vẽ). Cho biết hệ số ma sát trượt tĩnh là µ0. Bỏ qua ma sát lăn. - Tìm gia tốc của tâm đĩa khi nó lăn không trượt. - Tìm liên hệ giữa α và µ0 để đĩa lăn không trượt.
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Thí dụ 1 - Lời giải
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
57 / 64
Xét đĩa tròn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng.
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
PTVPCĐ của đĩa: (61) m¨xC = mg sin α − F t ms
(62)
(63) m¨yC = N − mg cos α = 0 JC ¨ϕ = rF t ms
Trong đó JC = 1
ms là ma sát trượt tĩnh.
2 mr 2, F t
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
58 / 64
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Do đĩa lăn không trượt, ta có điều kiện ràng buộc
(64) ˙xC = r ˙ϕ ⇒ ¨ϕ = ¨xC r
Từ (61), (63) và (64) ta suy ra
= g sin α m¨xC = mg sin α − JC r 2 ¨xC ⇒ ¨xC = 2 3 g sin α 1 + JC mr 2
Từ (61) ta tính được
mg sin α (65) F t ms = m (g sin α − ¨xC ) = 1 3
Từ đó ta suy ra để cho đĩa lăn không trượt thì hệ số ma sát trượt tĩnh µ0 phải thoả mãn điều kiện sau
= = tg α (66) F t ms (cid:54) µ0N ⇒ µ0 (cid:62) F t ms N
1 3 mg sin α mg cos α
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
59 / 64
1 3
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Thí dụ 2
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
60 / 64
Một thanh đồng chất AB khối lượng m, dài 2a đặt trong mặt phẳng thẳng đứng. Đầu A và B lần lượt tựa vào các mặt nhẵn thẳng đứng và nằm ngang. Giữ cho thanh đứng yên tạo với mặt phẳng ngang một góc ϕ0 rồi thả cho thanh chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Xác định: - phản lực do tường và nền tác dụng vào thanh theo góc ϕ và các đạo hàm của nó. - vận tốc góc, gia tốc góc của thanh dưới dạng hàm của góc ϕ. - góc ϕ khi đầu A của thanh rời khỏi tường.
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Thí dụ 2 - Lời giải
PTVPCĐ của thanh AB (67) m¨xC = NA
(68) m¨yC = NB − mg
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
61 / 64
(69) JC ¨ϕ = NAa sin ϕ − NB a cos ϕ
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Các phương trình liên kết:
(70) xC = a cos ϕ, yC = a sin ϕ
Đạo hàm biểu thức (70) theo thời gian ta được
˙xC = −a ˙ϕ sin ϕ, ¨xC = −a ¨ϕ sin ϕ − a ˙ϕ2 cos ϕ
˙yC = a ˙ϕ cos ϕ, ¨yC = a ¨ϕ cos ϕ − a ˙ϕ2 sin ϕ
Thế các biểu thức trên vào các phương trình (67) và (69) ta có
(71)
(72) NA = −ma (cid:0) ¨ϕ sin ϕ + ˙ϕ2 cos ϕ(cid:1) NB = mg + ma (cid:0) ¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ2 sin ϕ(cid:1)
Thế (71) và (72) vào (69) và chú ý rằng JC = 1
mga ¨ϕ = − cos ϕ (73)
3 ma2, ta được g 3 a 4
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
62 / 64
JC + ma2 cos ϕ = −
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
mga ¨ϕ = − cos ϕ 3 4 g a
JC + ma2 cos ϕ = − Nhân hai vế của (73) với dϕ và tích phân hai vế phương trình kết quả ta được
¨ϕdϕ = dϕ = d (cid:0) ˙ϕ2(cid:1) = − cos ϕdϕ (74) 1 2 3 4 g a d ˙ϕ dt
˙ϕ (cid:90)
ϕ (cid:90)
cos ϕdϕ d (cid:0) ˙ϕ2(cid:1) = − 3 2 g a
0
ϕ0
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
63 / 64
˙ϕ2 = − (75) (sin ϕ − sin ϕ0) = (sin ϕ0 − sin ϕ) 3g 2a 3g 2a
§5. Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn phẳng
Thí dụ áp dụng
Khi đầu A của thanh rời khỏi tường thì NA = 0,
(cid:20) (cid:21) ma − = 0 cos ϕ1 sin ϕ1 − (sin ϕ1 − sin ϕ0) cos ϕ1 3 4 g a 3g 2a
Do cos ϕ1 (cid:54)= 0, ta suy ra giá trị góc ϕ1 khi đầu A rời khỏi tường là
Cơ học kỹ thuật (ME3010)
Chương 2. Các phương pháp động lượng
2014
64 / 64
3 sin ϕ1 − 2 sin ϕ0 = 0 ⇒ ϕ1 = arcsin( sin ϕ0) 2 3
