Bài giảng Cơ lý thuyết 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ

*******

ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO

KS. HỒ NGỌC VĂN CHÍ

BÀI GIẢNG

CƠ LÝ THUYẾT 1

Quảng Ngãi, 05/2017

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU .....…………….…..……………………...................……………….. 4

PHẦN I. TĨNH HỌC

Chƣơng 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ÐỀ TĨNH HỌC

1.1. Các khái niệm cơ bản …………………...…………………...... . ... ………. 5

1.2. Hệ tiên đề tĩnh học ………………………………….......….........….……… 9

1.3. Liên kết và tiên đề giải phóng liên kết .............….…………......…………. 12

1.4. Momen của lực ……………………………...……………....…………….. 16

1.5. Bài toán xác định hệ lực ………….……...………….................………….. 20

Câu hỏi ôn tập……………………………………………..…….......…........…………23

Chƣơng 2. HỆ LỰC

2.1. Hai đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lực…….………..…….…...……… 24

2.2. Thu gọn hệ lực không gian bất kỳ …...……..……………............….….… 26

2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian …...………………........……... 30

2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng ………...………….............………... 31

2.5. Bài toán cân bằng tĩnh học …………….…...……….….............…………. 32

Câu hỏi ôn tập…………………………………………………….............…………… 37

Chƣơng 3. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

3.1. Bài toán đòn và bài toán vật lật ……………………...................….……… 38

3.2. Bài toán ma sát …………………...…........………….........………………. 41

3.3. Bài toán trọng tâm ……………………………………...........……………. 47

Câu hỏi ôn tập ……......………………………………………..……………………… 51

PHẦN II. ĐỘNG HỌC

Chƣơng 4. ÐỘNG HỌC CHẤT ÐIỂM

4.1. Các khái niệm động học ……......………………...........................….…… 53

4.2. Các phương pháp khảo sát chuyển động của chất điểm ……..........……… 54

4.3. Bài toán động học của chất điểm ……………...….......……….…....…….. 62

Câu hỏi ôn tập………….......……………………………………………………..…… 67

Chƣơng 5. CHUYỂN ÐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

5.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn ……………...…….................………… 68

5.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định …....….........….…. 69

5.3. Bài toán chuyển động cơ bản của vật rắn …………..........…....…..………. 76

Câu hỏi ôn tập……………………………………..…………….......………………… 79

Chƣơng 6. CHUYỂN ÐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ÐIỂM

6.1. Chuyển động phức hợp của chất điểm ……...….……...…........…....…….. 80

6.2. Các định lý hợp vận tốc và gia tốc của chất điểm ….……..…….........…… 82

6.3. Bài toán chuyển động tổng hợp ……………………...…….......…..……… 85

Câu hỏi ôn tập………………………………….……………..….........…….………… 97

Chƣơng 7. CHUYỂN ÐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

7.1. Định nghĩa và mô hình khảo sát ……..………………….........…..……….. 98

7.2. Khảo sát chuyển động của hình phẳng ………………...........................….. 99

7.3. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật (hình phẳng) ………….…….. 101

7.4. Bài toán chuyển động song phẳng …………………….......….…………. 107

Câu hỏi ôn tập………………………………………………........……………………116

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………….......……….….. 117

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ lý thuyết là môn khoa học cơ sở nghiên cứu chuyển động cơ học của vật rắn

và các quy luật tổng quát của chuyển động đó. Do vậy, nhiệm vụ Cơ lý thuyết là:

nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cân bằng của các vật thể dưới

tác dụng của lực đặt lên chúng. Hay nói cách khác, Cơ lý thuyết là khoa học về sự cân

bằng và chuyển động của vật thể.

Bài giảng Cơ lý thuyết 1 được biên soạn nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học

tập và nghiên cứu cho sinh viên bậc đại học ngành cơ khí tại Trường Đại học Phạm

Văn Đồng.

Nội dung bài giảng Cơ lý thuyết 1 gồm có hai phần, trong mỗi phần được chia

làm nhiều chương.

- Phần I: Tĩnh học (gồm 3 chương)

- Phần II: Động học (gồm 4 chương)

Bài giảng được biên soạn để giảng dạy với thời lượng là 45 tiết (3 tín chỉ). Do đó

nội dung bài giảng được biên soạn theo cách trình bày ngắn gọn, dễ hiểu và đảm bảo

tính logic của kiến thức. Bài giảng được biên soạn cho đối tượng là sinh viên bậc đại

học, tuy nhiên cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên bậc cao đẳng.

Mặc dù nhóm biên soạn cũng đã rất cố gắng để đáp ứng cho công tác dạy và học,

nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi các khiếm khuyết. Rất mong được sự đóng góp

các ý kiến quý báu để cho bài giảng ngày được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm

ơn!

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vể địa chỉ email: baoqng2006@gmail.com hoặc

chixddd09@gmail.com.

Quảng Ngãi, tháng 5/2017

Nhóm biên soạn

PHẦN I. TĨNH HỌC

Tĩnh học vật rắn khảo sát sự cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của một hệ lực

đã cho.

Tĩnh học giải quyết hai vấn đề chính trong tĩnh học là:

+ Thu gọn hệ lực.

+ Điều kiện cân bằng của hệ lực.

Về phương pháp nghiên cứu: áp dụng phương pháp tiên đề kết hợp phương pháp

mô hình.

Về ứng dụng: giải thích các hiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở để học môn

học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu.

Chƣơng 1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

A. MỤC TIÊU

- Hiểu được các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sở để giải các

bài toán tĩnh học.

- Nắm vững các phản lực liên kết và biểu diễn chúng tại các liên kết.

B. NỘI DUNG

1.1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1. Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của vật luôn luôn

không đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụng

của các vật khác.

Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với vật thể khác đều có biến dạng. Nhưng

biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cân bằng của

chúng.

Ví dụ: Khi dưới tác dụng của trọng lực dầm AB phải võng xuống (hình 1.1a),

thanh CD phải dài ra (hình 1.1b). Nhưng độ võng của dầm và độ võng của thanh rất

bé, ta có thể bỏ qua. Khi giải bài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh

không dãn mà kết quả vẫn đảm bảo chính xác và bài toán đơn giản hơn.

a) b)

Hình 1.1

Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được,

lúc đó ta cần phải kể thêm biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong

học phần Sức bền vật liệu.

Để đơn giản, ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối. Đó là đối tượng để chúng ta

nghiên cứu trong môn học này.

1.1.2. Lực

Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hổ cơ học của vật này với vật

khác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật.

Lực được xác định bởi ba yếu tố:

+ Điểm đặt lực

+ Phương, chiều của lực

+ Cường độ hay trị số của lực

Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N).

Ví dụ: Lực biểu diễn bằng véctơ lực (hình 1.2)

Phương chiều của véctơ biểu diễn phương chiều của lực

độ dài của vectơ theo tỉ lệ đã chọn biểu diễn trị số của lực, gốc vectơ biểu diễn điểm đặt của lực,

giá của vectơ biểu diễn phương tác dụng của lực.

Hình 1.2

1.1.3. Lực tập trung và lực phân bố

1.1.3.1. Lực tập trung

Lực tập trung là lực đặt tại một điểm nào đó trên vật rắn.

1.1.3.2. Lực phân bố

Lực phân bố là lực được đặt trên một phần nào đó của vật rắn như một đoạn

thẳng, một bề mặt hay một thể tích.

* Chú ý: Trong bài toán cân bằng của vật thể, người ta thay lực phân bố bằng

một lực tập trung. Một số trường hợp thường gặp như:

+ Lực phân bố đều trên một đoạn thẳng AB với cường độ q (N/m) (hình 1.3):

Hình 1.3

Hệ lực phân bố đều có thể được thay thế bằng lực đặt tại trung điểm của AB

có độ lớn Q = qa (cường độ của Q là diện tích hình chữ nhật có cạnh a và q).

+ Lực phân bố tam giác trên một đoạn thẳng AB (phân bố tuyến tính) với

cường độ q biến thiên từ 0 đến qmax (N/m) (hình 1.4):

Hình 1.4

Hệ lực phân bố đều có thể được thay thế bằng lực đặt tại trọng tâm của tam

giác ABC. Cường độ Q = ( Cường độ Q chính là diện tích của tam giác ABC).

1.1.4. Trạng thái cân bằng của vật

Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đối với

vật khác “làm mốc” một hệ trục tọa độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu.

Ví dụ như hệ tọa độ Descartes Oxyz chẳng hạn.

Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vật nằm yên so với trái đất.

1.1.5. Một số định nghĩa khác

1.1.5.1. Hệ lực

Hệ lực là tập hợp các lực tác dụng lên một chất điểm, một vật hay một hệ vật.

Kí hiệu: ( hoặc: với k = 1, 2, ..., n.

1.1.5.2. Hệ lực tương đương

Hai hệ lực tương đương nhau khi chúng có cùng tác dụng cơ học.

Kí hiệu: ( hoặc: ( (

( .

* Chú ý: Nếu hai hệ lực tương đương có thể thay thế được cho nhau. Để khảo sát

một hệ lực phức tạp người ta thường biến đổi tương đương về một hệ lực đơn giản hơn

gọi là dạng tối giản.

1.1.5.3. Hệ lực cân bằng

Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắn tự do ở trạng thái cân

bằng.

Kí hiệu:

1.1.5.4. Hợp lực

Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực

Kí hiệu: ; là hợp lực của .

1.1.5.5. Ngẫu lực

Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng cường độ và

không cùng đường tác dụng (hình 1.5).

Kí hiệu: ngẫu lực hoặc: nl .

Các yếu tố đặc trưng của ngẫu lực:

+ Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa hai lực thành phần

của ngẫu lực.

+ Chiều của ngẫu lực: là chiều quay của các lực khi nhìn vào mặt phẳng tác

dụng; ngẫu lực có chiều dương "+" khi lực quay ngược kim đồng hồ và chiều âm "-"

thì ngược lại.

+ Trị số momen của ngẫu lực: m = F.d = F’.d.

Trong đó: d là khoảng cách giữa hai lực thành phần gọi là cánh tay đòn của ngẫu

lực.

Đơn vị của của ngẫu lực là: Nm.

Hình 1.5

* Chú ý: Ngẫu lực còn có thể biểu diễn bằng vectơ momen của ngẫu lực:

1.2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Trên cơ sở thực nghiệm và nhận xét thực tế, người ta đã đi đến phát biểu thành

mệnh đề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm cơ sở cho môn học gọi là

tiên đề.

1.2.1. Tiên đề 1 (Hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có

cùng phương tác dụng, ngược chiều nhau và cùng trị số.

Trên hình 1.6, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lực và cân bằng.

Kí hiệu : ( (1.3) 0

Hình 1.6

Biểu thức trên là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực gồm có hai lực.

1.2.2. Tiên đề 2 (Thêm hoặc bớt một hệ cân bằng)

Tác dụng của một hệ lực tác dụng lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào

hay bớt đi hai lực cân bằng nhau.

Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàn

toàn tương đương nhau.

Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả:

* Hệ quả trượt lực: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi

ta dời điểm đặt lực trên phương tác dụng của nó.

Chứng minh: Giả sử ta có lực tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (hình 1.7).

Trên phương tác dụng của lực ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực và cân

bằng nhau, với .

Hình 1.7

Theo tiên đề 2 thì: (

Nhưng theo tiên đề 1 thì ta cũng có: ( 0, do đó ta có thể bỏ đi. Như vậy

ta có:

(

Điều đó chứng tỏ lực đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không đổi.

* Chú ý: Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn cứng tuyệt đối. Còn đối

với vật rắn biến dạng thì các tiên đề và hệ quả không còn đúng nữa.

1.2.3. Tiên đề 3 (Hợp lực hình bình hành)

Hai lực tác dụng tại một điểm tương đương với một lực tác dụng tại điểm đó và

có véctơ lực bằng vectơ chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai vectơ lực của các

lực đã cho (hình 1.8)

Hình 1.8

Về phương diện véctơ ta có:

Nghĩa là véctơ bằng tổng hình học của các véctơ .

Tứ giác OABC gọi là hình bình hành lực.

Về trị số:

(trong đó α là góc hợp bởi hai véctơ )

1.2.4. Tiên đề 4 (Tác dụng và phản tác dụng)

Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, bao giờ cũng có phản lực tác

dụng cùng trị số, cùng phương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau.

Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực thì ngược lại vật A tác dụng lên

vật B một lực . Hai lực này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng

không cân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau (hình 1.9).

Hình 1.9

1.2.5. Tiên đề 5 (Hóa rắn)

Vật bị biến dạng cân bằng thì khi hóa rắn lại nó vẫn cân bằng dưới tác dụng của

hệ lực đã cho.

Tiên đề này dùng để khảo sát vật thực bằng kết quả của khảo sát vật rắn tuyệt

đối.

1.3. LIÊN KẾT VÀ TIÊN ĐỀ GIẢI PHÓNG LIÊN KẾT

1.3.1. Các khái niệm về liên kết

Vật rắn không tự do được ngăn cản sự dịch chuyển bằng các vật khác. Vật rắn

không tự do gọi là vật bị liên kết, vật ngăn cản gọi là vật gây liên kết.

Liên kết là những điều kiện cản trở chuyển động của vật.

Lực liên kết là lực tác dụng qua lại giữa các vật không tự do. Lực liên kết do vật

gây liên kết tác dụng lên vật khảo sát và cản trở chuyển động được gọi là phản lực liên

kết, còn lực do vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết gọi là áp lực.

Các lực không phải là phản lực liên kết gọi là các lực hoạt động.

Ví dụ: Cho viên bi đặt trên mặt bàn (hình 1.10)

Hình 1.10

Viên bi là vật khảo sát, viên bi là vật chịu liên kết, mặt bàn là vật gây liên kết

P: áp lực; N: phản lực liên kết.

1.3.2. Các liên kết thƣờng gặp

1.3.2.1. Liên kết tựa

Liên kết tựa là liên kết hình thành khi vật tựa lên bề mặt của vật khác. Vật này

tựa lên vật khác theo điểm, đường hoặc bề mặt (hình 1.11).

a) b)

Hình 1.11

Giả thiết: không ma sát.

Phản lực: phản lực pháp

Đặc điểm:

+ Phương: vuông góc mặt tựa (đường tựa) hoặc phương chuyển động.

+ Chiều: hướng vào vật khảo sát (cản trở chuyển đông của vật)

+ Điểm đặt: tại điểm tiếp xúc.

1.3.2.2. Liên kết bản lề

a) Bản lề trụ

Liên kết bản lề trụ là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một trục cố định trong

không gian.

Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay đối với

nhau.

Phản lực là (hình 1.12) có đặc điểm:

+ Phương và chiều: đi qua tâm trục O và chưa được xác định.

+ Trị số: chưa xác định và phản lực được chia làm hai thành phần vuông góc

nhau theo hai trục tọa độ.

+ Điểm đặt: đặt tại điểm tiếp xúc.

a) b)

Hình 1.12

b) Bản lề cầu

Liên kết bản lề cầu là liên kết chỉ cho phép vật quay quanh một điểm cố định

trong không gian.

Bản lề cầu được hình thành nhờ một quả cầu gắn vào đầu vật gây liên kết (hình

1.13)

a) b)

Hình 1.13

Phản lực có đặc điểm:

+ Điểm đặt: tại tâm O của vỏ cầu

+ Phương và chiều: chưa xác định. Phản lực được chia làm ba thành phần

theo ba trục tọa độ.

* Chú ý:

1) Phương và chiều của các phản lực liên kết bản lề chưa xác định. Để tính toán

ta giả định cho nó một chiều nào đó, nếu kết quả phản lực liên kết mang dấu dương

"+" thì chiều giả định là đúng, nếu kết quả mang dấu âm "-" thì chiều thực ngược

chiều giả định.

2) Trong kỹ thuật có các mô hình liên kết gối đỡ dung để đỡ các dầm, khung. Có

hai dạng:

- Dạng 1: Gối đỡ di động (gối con lăn)

Có phản lực liên kết được xác định như liên kết tựa có một thành phần (hình

1.14a)

a) b)

Hình 1.14

- Dạng 2: Gối đỡ cố định

Có phản lực liên kết được xác định như liên kết trụ có hai thành phần (hình

1.14b).

1.3.2.3. Liên kết dây mềm

Giả thiết: dây mềm, thẳng không giãn bị kéo căng (hình 1.15).

Phản lực là sức căng dây có các đặc điểm:

+ Phương: dọc dây

+ Chiều: hướng ra ngoài vật khảo sát (cản trở chuyển động của vật)

+ Điểm đặt: tại điểm buộc dây.

Hình 1.15

1.3.2.4. Liên kết thanh

Liên kết thanh là liên kết mà vật khảo sát có liên kết bản lề với một thanh thẳng

hoặc cong (hình 1.16a)

a) b)

Giả thiết: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu và bỏ qua trọng lượng bản thân của

Hình 1.16

thanh.

Phản lực là ứng lực có đặc điểm:

+ Phương: đường thẳng nối hai đầu thanh.

+ Chiều: hướng vào thanh khi thanh chịu kéo và hướng ra khỏi thanh khi

thanh chịu nén (hình 1.16b).

+ Điểm đặt: tại điểm tác dụng của lực

1.3.2.5. Liên kết ngàm

Khi vật liên kết và vật bị liên kết liên kết cứng với nhau (như hàn cứng, chôn…)

thì đó là liên kết ngàm (hình 1.17).

Phản lực liên kết ngàm gồm và . Thành phần được xác định bởi hai

thành phần và .

Hình 1.17

1.3.3. Tiên đề 6 (Giải phóng liên kết)

Vật chịu liên kết cân bằng (hình 1.18a) được xem là vật tự do cân bằng (hình

1.18b) nếu thay liên kết bằng phản lực liên kết tương ứng.

a) b)

Hình 1.18

1.4. MOMEN CỦA LỰC

1.4.1. Mômen của lực đối với điểm

Định nghĩa: Mômen lực đối với điểm O là một véctơ đặt tại điểm O

có:

+ Phương: vuông góc với mặt phẳng ( 0) chứa lực và điểm cố định đó.

+ Chiều: nhìn từ ngọn vectơ thấy lực quay quanh O ngược chiều kim đồng

hồ.

+ Độ lớn: bằng tích số của độ lớn lực và chiều dài cánh tay đòn d của lực

đối với điểm O.

Do đó: (1.1)

Hay:

Do đó giá trị cường độ các hình chiếu lên các trục tọa độ được xác định như sau:

Với:

Hình 1.19

Ý nghĩa hình học: Độ lớn của véctơ có giá trị bằng hai lần diện tích của

tam giác OAB (hình 1.19):

Đơn vị của mômen là: Newton - mét (Nm).

* Chú ý:

1) Trong trường hợp các lực tác dụng lên vật cùng trong một mặt phẳng, ta coi

mặt phẳng chứa lực F và điểm O đã được xác định. Vì vậy, momen của lực đối với

điểm O trong mặt phẳng ấy là một đại lượng đại số (hình 1.20):

(1.2)

a) b)

Hình 1.20

+ F là trị số của lực.

+ d là khoảng cách thẳng góc từ O đến đường tác dụng của lực gọi là tay đòn

mômen.

+ Dấu “ + ” khi lực quay quanh O ngược chiều kim đồng hồ.

+ Dấu “ – “ khi lực quay quanh O cùng chiều kim đồng hồ.

2) Mômen của lực đối với một điểm không thay đổi nếu ta trượt lực đó trên

đường tác dụng của nó.

3) Mômen của lực đối với điểm O bằng không nếu đường tác dụng của lực đi qua

O. Lúc này, tác dụng của lực không làm vật quay mà chỉ gây ra phản lực tại O.

1.4.2. Mômen của lực đối với trục

Xét một vật rắn có thể quay quanh một trục z dưới tác dụng của lực đặt tại A.

Phân tích lực thành hai thành phần ( ) theo quy tắc hình bình hành.

Trong đó vuông góc với trục z, song song với trục z (hình 1.21).

1.4.2.1. Định nghĩa

Mômen lực đối với trục z [kí hiệu: ] là đại lượng đại số và bằng

mômen lực đối với điểm O.

Hình 1.21

Về độ lớn: (1.3)

Lấy dấu “+” nếu nhìn từ chiều dương của trục z xuống mặt phẳng thấy

đường tác dụng của lực quay ngược chiều kim đồng hồ quay trục z; lấy dấu “-”

trong trường hợp ngược lại.

Ý nghĩa của :

+ Ý nghĩa cơ học: đặc trưng cho tác dụng quay của vật quanh trục z do

lực gây ra.

+ Ý nghĩa hình học: bằng hai lần diện tích tam giác OAB:

* Chú ý: Khi đường tác dụng của lực song song hoặc cắt trục quay z thì

1.4.2.2. Định lý liên hệ mômen lực đối với một điểm và mômen lực đối với một

trục:

Định lý: Mômen lực đối với một trục bằng hình chiếu lên trục ấy của mômen lực

đối với điểm bất kì nằm trên trục ấy, nghĩa là:

(Hình chiếu lên trục z viết tắt là )

Từ định lý trên ta có thể biểu diễn mômen lực đối với một trục bằng giải tích:

1.5. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ LỰC

Có hai dạng bài toán xác định hệ lực:

- Dạng 1: Bài toán xác định hệ lực cân bằng tác dụng lên vật.

- Dạng 2: Xác định mômen của các lực đối với một tâm hay một trục bất kỳ.

1.5.1. Bài toán xác định hệ lực cân bằng tác dụng lên vật

Trình tự giải gồm ba bước:

1) Chọn vật khảo sát.

2) Xác định các lực tác dụng lên vật khảo sát

+ Các lực hoạt động: gồm các lực đã cho.

+ Các phản lực liên kết.

3) Viết hệ lực cân bằng.

Ví dụ 1.1: Treo một quả nặng đồng chất có trọng lượng P như hình 1.22.

Xác định hệ lực tác dụng lên quả cầu?

Giải:

Hình 1.22

Bước 1: Chọn vật khảo sát là quả cầu

Bước 2: Xác định các lực tác dụng

- Lực hoạt động:

- Các phản lực liên kết:

+ Tại A: có liên kết dây có phản lực là sức căng dây .

+ Tại B: có liên kết tựa có phản lực tựa .

Bước 3: Hệ lực cân bằng tác dụng lên quả cầu

Ví dụ 1.2: Xác định hệ lực tác dụng lên dầm như hình 1.23a và hình 1.23b.

a) b)

Hình 1.23

Giải:

a) Dầm hình 1.23a

Khảo sát sự cân bằng của dầm AC

Xác định các lực tác dụng

- Các lực hoạt động: - Các phản lực liên kết:

+ Tại A là gối đỡ cố định: phản lực là:

+ Tại B là gối đỡ di động: phản lực là:

Hệ lực cân bằng tác dụng lên dầm AC là:

b) Dầm hình 1.23b

Khảo sát sự cân bằng của dầm console MN.

Xác định các lực tác dụng:

- Lực hoạt động: - Các phản lực liên kết: Tại M là liên kết ngàm có các phản lực là:

Hệ lực cân bằng tác dụng lên dầm AC là:

1.5.2. Bài toán xác định mômen

Áp dụng các công thức đã trình bày trong mục 1.4 để xác định:

- Mômen của lực đối với một điểm.

- Mômen của lực đối với một trục.

Ví dụ 1.3: Cho một khung chịu lực như hình vẽ (hình 1.24). Biết a = 0,1m, F1 =

200N, F2 = 300N, F3 = F4 = F5 = 100N, α = 300.

Xác định mômen của từng lực đối với điểm O?

Hình 1.24

Giải:

Ta có:

(vì đường tác dụng của lực đi qua O)

Ví dụ 1.4. Tìm mômen của lực tác dụng lên tấm chữ nhật ABCD có cạnh axb

đối với các trục Ax, Ay, Az (hình 1.25). Biết song song với mặt phẳng (Ayz) và

hợp với cạnh CD một góc α.

Giải:

Phân tích như hình

với

Ta có: .

Trong đó: (vì )

Hình 1.25

Ta lại có:

Trong đó: (vì )

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là chất điểm, cơ hệ, vật rắn tuyệt đối, trạng thái cân bằng?

2. Lực là gì? Các yếu tố để xác định lực? Cách biểu diễn một lực?

3. Định nghĩa, ký hiệu các hệ lực?

4. Hai hệ lực cân bằng có tương đương với nhau không? Vì sao?

5. Khi nào hai lực trực đối cân bằng nhau?

6. Phát biểu các tiên đề tĩnh học?

7. Thế nào là liên kết và phản lực liên kết? Trình bày các liên kết thường gặp và cách

xác định các phản lực liên kết?

8. Thế nào là mômen của một lực đối với một điểm, đối với một trục?

Chƣơng 2.

HỆ LỰC

A. MỤC TIÊU

- Nắm vững các kiến thức về thu gọn hệ lực, các dạng thu gọn và các dạng cân

bằng của hệ lực.

- Lập được các phương trình cân bằng đối với các hệ lực cụ thể để xác định các

phản lực.

- Biết cách áp dụng để giải bài toán cân bằng của vật rắn và hệ vật rắn.

B. NỘI DUNG

2.1. HAI ĐẠI LƢỢNG ĐẶC TRƢNG CƠ BẢN CỦA HỆ LỰC

2.1.1. Véctơ chính của hệ lực

2.1.1.1. Định nghĩa

Giả sử cho một hệ lực tác dụng lên vật rắn, ta định nghĩa

véctơ chính của hệ lực như sau:

Véctơ chính của hệ lực là một véctơ bằng tổng hình học véctơ của lực thành phần

của hệ lực đó.

Ta gọi là véctơ chính của hệ lực, thì: (2.1)

Hình 2.1

2.1.1.1. Phương pháp xác định véctơ chính

Có hai phương pháp xác định véctơ chính

a) Phương pháp hình học (phương pháp đa giác lực)

Giả sử hệ lực gồm ba véctơ lực , hợp lực được biểu diễn bởi véctơ

khép kín của đa giác lực như sau:

Chọn một điểm O bất kì, từ O vẽ (tức là và là cùng phương

chiều và trị số); sau đó,từ A vẽ (tức là và là cùng phương chiều và trị

số); từ B vẽ . Đa giác OABC là đa giác lực của hệ lực là

véctơ khép kín của đa giác lực (hình 2.2)

Hình 2.2

* Tổng quát: đối với hệ lực ta vẽ tương tự như trên cho

đến véctơ lực cuối cùng

Hợp lực của hệ lực đồng quy được biểu diễn bằng véctơ khép kín của đa giác lực

đặt tại điểm đồng quy gọi là véctơ chính. Phương pháp này gọi là phương pháp vẽ đa

giác lực.

* Chú ý:

1) Nếu véctơ chính bằng 0 ( ) thì ngọn của véctơ cuối cùng sẽ trùng với

gốc (ta gọi là đa giác tự khép kín)

2) Phương pháp hình học thường được sử dụng đối với hệ phẳng, còn đối với hệ

không gian khó xác định, đa giác lực trong bài toán không gian gọi là đa giác ghềnh.

b) Phương pháp hình chiếu (phương pháp giải tích)

Chiếu biểu thức (2.1) lên ba trục tọa độ của hệ trục Oxyz ta được:

(2.2)

Trong đó:

lên các trục tọa độ Ox, Oy, + lần lượt là các hình chiếu véctơ

Oz.

+ lần lượt là hình chiếu của lực lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Vậy có:

- Trị số:

(2.3)

- Phương và chiều: hợp với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz các góc lần lượt thỏa:

(2.4)

2.1.2. Mômen chính của hệ lực

2.1.2.1. Định nghĩa

Mômen chính của hệ lực đối với một tâm O bằng một véctơ bằng tổng

véctơ mômen của các lực thành phần của hệ lực đối với tâm ấy.

(2.5)

2.1.2.2. Cách xác định mômen chính của hệ lực

Dùng phương pháp giải tích để xác định mômen chính của hệ lực.

Ta chiếu biểu thức (2.5) lên lên ba trục tọa độ của hệ trục Oxyz ta được:

(2.6)

Độ lớn mômen chính là:

(2.7)

2.2. THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN BẤT KỲ

2.2.1. Định lý dời lực song song

Khi dời một lực từ A đến O, tác dụng của lực lên vật rắn không đổi nếu ta

thêm vào một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực đặt ở điểm A đối với điểm

O (hình 2.3).

Tức là:

Chứng minh: Cho một lực F tác dụng lên một vật rắn tại A, ta cần dời lực F từ

điểm A đến điểm O. Lúc này ta thêm vào hai lực cân bằng và sao cho

. Theo tiên đề 2 thì .

Như vậy hệ bao gồm lực và ngẫu lực . Ngẫu lực này có

mômen .

Hình 2.3

2.2.2. Thu gọn hệ lực không gian về một tâm. Véctơ chính và mômen chính

2.2.2.1. Phương pháp thu gọn

- Cho hệ lực bất kỳ

- Chọn điểm O nằm trong mặt phẳng của hệ lực làm tâm thu gọn

- Dời song song các lực về tâm O. Theo định lý dời lực song song ta có:

(2.8)

Kết quả có hệ lực đồng quy đặt tại O và hệ ngẫu lực các

mômen

Theo tiên đề 3 thì ta có thể thay hệ lực đồng quy bằng một véctơ chính đặt tại

điểm O:

(2.9)

Theo cách hợp các ngẫu lực, thay ngẫu lực bằng một ngẫu lực tổng hợp:

(2.10)

Hình 2.4

2.2.2.2. Kết quả thu gọn hệ lực

Gọi: là véctơ chính của hệ lực

là mômen chính của hệ lực

Định lý: Khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm, ta được một lực và một ngẫu

lực. Lực ấy được biểu diễn bằng véctơ chính của hệ lực, còn ngẫu lực được biểu diễn

bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.

* Chú ý: Véctơ chính không phụ thuộc vào tâm thu gọn còn mômen chính phụ

thuộc vào tâm thu gọn.

2.2.3. Các dạng chuẩn thu gọn hệ lực không gian bất kỳ

Thu gọn hệ lực về một tâm ta có được một véctơ chính và một mômen

chính của hệ. Dạng chuẩn là dạng tối giản khi thu gọn hệ lực về một tâm. Để hiểu

rõ hơn tác dụng của hệ lực không gian, căn cứ vào và ta có các dạng chuẩn

như sau:

2.2.3.1. Hệ lực cân bằng

Khi vectơ chính và momen chính đối với một điểm bất kỳ triệt tiêu ( ):

( )

2.2.3.2. Hệ lực tương đương một ngẫu lực

Khi vectơ chính triệt tiêu ( ) còn mômen chính đối với một điểm bất kỳ

không triệt tiêu ( ):

với:

2.2.3.3. Hệ lực tương đương một hợp lực

Khi hệ lực có vectơ chính không triệt tiêu ( ) thì hệ lực bao giờ cũng có

hợp lực, ta có 2 trường hợp:

a) Khi và :

Hợp lực đặt tại tâm thu gọn O với vectơ lực bằng vectơ chính của hệ lực.

b) Khi và với vuông góc với :

Hệ lực thu về tâm O được một lực và một ngẫu lực , trường hợp này

và các lực của ngẫu lực nằm trong cùng một mặt phẳng. Áp dụng định lý dời lực

song song chúng tương đương với một lực đặt tại một điểm A khác O, đường tác dụng

cách O một đoạn d. Ta biến đổi:

với vectơ: và d = hợp lực đặt tại O’ (H. 2.5).

Hình 2.5

2.2.3.4. Hệ lực tương đương hai lực chéo nhau

Khi và với không vuông góc với , trường hợp

này và các lực của ngẫu lực không nằm trong cùng một mặt phẳng ta được một

hệ xoắn (hai lực chéo nhau).

và ( và chéo nhau)

* Chú ý: Đối với hệ lực phẳng không bao giờ có trường hợp là hai lực chéo nhau

(hệ lực xoắn).

2.3. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN

2.3.1. Điều kiện cân bằng

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là véctơ chính và

mômen chính của hệ đối với một điểm O bất kỳ bằng 0.

và (2.12)

2.3.2. Các phƣơng trình cân bằng của hệ lực không gian

Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là tổng hình chiều

của véctơ chính và mômen chính lên các trục tọa độ đều bằng 0.

(2.13)

2.3.3. Điều kiện cân bằng của các hệ lực khác

2.3.3.1. Hệ lực không gian song song

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng

hình chiếu các lực lên trục song song với chúng và tổng mômen lực đối với hai trục

còn lại bằng 0.

Chọn Oz song song với các lực của hệ, ta có công thức điều kiện cân bằng của hệ

lực không gian song song:

; (2.14) ;

2.3.3.2. Hệ lực không gian đồng quy

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là tổng

hình chiếu của các lực lên ba trục tọa độ bằng 0.

; ; (2.15)

2.4. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG

Ta chọn mặt phẳng Oxy chứa các lực và trục Oz vuông góc với mặt phẳng chứa

các lực.

2.4.1. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ

Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì được thể hiện như sau:

; ; (2.16)

2.4.2. Hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

Có ba dạng:

a) Dạng cân bằng thứ nhất:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên

hai trục tọa độ và tổng mômen của chúng đối với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng tác

dụng của hệ lực bằng 0.

; ; (2.17)

b) Dạng cân bằng thứ hai:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực đối với

hai điểm A và B bất kỳ và tổng hình chiếu lên trục Ox không vuông góc AB bằng 0.

; ; (2.18)

c) Dạng cân bằng thứ ba:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực đối với

ba điểm A, B, C không thẳng hàng nằm trong mặt phẳng tác dụng của lực bằng 0.

; ; (2.19)

2.4.3. Hệ phƣơng trình cân bằng của các hệ lực phẳng đặc biệt

2.4.3.1. Hệ lực phẳng đồng quy

Xét hệ lực gồm các lực có đường tác dụng gặp nhau tại một điểm

Chọn điểm đồng quy làm tâm thu gọn O.

Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy:

(2.20)

2.4.3.2. Hệ lực phẳng song song

Xét hệ lực gồm các lực có đường tác dụng song song nhau.

Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song:

(2.21)

(Trong đó AB là đoạn thẳng không song song với các lực)

2.5. BÀI TOÁN CÂN BẰNG TĨNH HỌC

2.5.1. Bài toán

Bài toán tĩnh học là bài toán khảo sát điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên

vật khảo sát. Vật khảo sát có thể là một điểm hay nút, một vật hay là một hệ vật. Từ

điều kiện cân bằng đó ta giải quyết các yêu cầu của bài toán.

Yêu cầu của bài toán cân bằng tĩnh học:

- Xác định phản lực liên kết

- Xác định điều kiện cân bằng của vật khảo sát (nghĩa là tìm điều kiện của lực

hoạt động hay các yếu tố hoạt động để vật khảo sát được cân bằng)

2.5.2. Các dạng bài toán

Có hai dạng bài toán:

- Dạng 1: Xác định điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên một điểm hoặc

một vật.

- Dạng 2: Xác định điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên một hệ vật.

2.5.3. Trình tự giải bài toán cân bằng tĩnh học

Bài toán tĩnh học có thể khảo sát đối tượng là một điểm, một vật hay hệ vật đang

ở trạng thái cân bằng, trình tự giải được tiến hành theo bốn bước sau:

1) Xác định vật khảo sát là một điểm, một vật hay hệ vật

2) Các lực tác dụng lên vật (hay hệ vật) khảo sát bao gồm:

+ Các lực hoạt động (các lực đã cho)

+ Các phản lực liên kết

Xác định loại hệ lực (hệ lực phẳng hay không gian; hệ lực bất kì hay đặc biệt)

3) Viết các phương trình cân bằng lực cho hệ lực tác dụng lên vật khảo sát.

4) Giải và biện luận kết quả tính được.

2.5.4. Bài toán cân bằng hệ vật

2.5.4.1. Bài toán

Bài toán hệ vật gồm nhiều vật nối với nhau bằng các liên kết và cần khảo sát sự

cân bằng đồng thời các vật ấy. Nếu một hệ vật cân bằng thì từng vật riêng lẻ cũng cân

bằng. Do đó một bài toán hệ vật là tập hợp một số bài toán một vật riêng lẻ.

Trong bài toán hệ vật, lực tác dụng được phân làm hai loại: ngoại lực và nội lực.

+ Ngoại lực : là những lực do các vật không thuộc hệ tác dụng lên các vật

thuộc hệ.

+ Nội lực : là những lực do các vật thuộc hệ khảo sát tác dụng tương hỗ

với nhau. Nội lực xuất hiện tại chỗ tiếp xúc giữa các vật thuộc hệ và chúng có từng đôi

một, cùng phương, ngược chiều và cùng trị số.

2.5.4.2. Các phương pháp giải bài toán hệ vật

a) Phương pháp tách vật

Ta tách và khảo sát sự cân bằng của từng vật riêng biệt. Đối với mỗi vật được

tách, cần đặt các lực tác dụng trực tiếp (gồm cả ngoại lực và nội lực) và lập hệ phương

trình cân bằng.

b) Phương pháp hoá rắn

Ta coi toàn hệ như một vật rắn chỉ chịu tác dụng của ngoại lực và thành lập các

phương trình cân bằng.

* Chú ý: Bài toán giải được khi số phương trình cân bằng lập được bằng số ẩn

cần tìm. Áp dụng phương pháp hóa rắn, nếu số phương trình cân bằng chưa đủ để giải

(ít hơn số ẩn), ta có thể tách một vài vật của hệ để thành lập thêm các phương trình

cân bằng còn thiếu.

2.5.5. Các ví dụ

Ví dụ 2.1: Hai thanh AC và BC không trọng lượng nối với nhau và với tường

bằng các bản lề A, B và C (hình 2.5). Tại C có treo vật nặng P.

Tìm các ứng lực của hai thanh AC và BC tác dụng vào bản lề C?

Bài giải:

- Khảo sát sự cân bằng của bản lề C

= 0 (đây là hệ lực phẳng đồng quy) - Hệ lực tác dụng

- Hệ phương trình cân bằng:

(a) (b)

Từ (b) => (c)

Thay (c) vào (a) ta được:

Hình 2.5

Vậy: .

Ví dụ 2.2: Dầm AB gắn bản lề tại gối tựa A, đặt trên con lặn tại đầu B (hình 2.6a). Tại điểm giữa của dầm có lực P = 2kN đặt nghiêng một góc α = 450 so với trục

dầm.

Tìm phản lực các gối tựa A, B? Biết a = 2m,

Bài giải:

- Xét thanh AB cân bằng.

- Thay liên kết bản lề A bằng hai thành phần phản lực và liên kết bản

lề B bằng

- Các lực tác dụng 0 (đây là hệ lực phẳng bất kỳ)

Hình 2.6

- Các phương trình cân bằng:

(a)

(b)

(c)

Từ (a)

Từ (c)

Từ (b)

Vậy:

Ví dụ 2.3: Tìm phản lực liên kết tại các gối đỡ A, B, C của dầm chịu lực như

hình 2.7a? Biết F1 = 20kN; F2 = 16kN; F3 = 6kN; a = 4m; b = 2m; c = 3m.

Bài giải:

* Áp dụng phương pháp hóa rắn.

- Xét hệ vật gồm hai thanh AD và CD là một vật rắn đang ở trạng thái cân bằng

(hình 2.7b).

- Các lực tác dụng 0 (đây là hệ lực phẳng bất kỳ)

- Các phương trình cân bằng:

(a)

(b)

(c)

Hình 2.7

Với hệ ba phương trình cân bằng đã lập trên chưa đủ để tìm bốn ẩn. Do đó ta

phải tách vật để thiết lập thêm một phương trình cân bằng. Ở đây ta tách thanh CD.

* Áp dụng phương pháp tách vật:

- Xét thanh CD cân bằng (hình 2.7c).

- Các lực tác dụng 0 (đây là hệ lực phẳng bất kỳ)

- Phương trình cân bằng:

(d)

Từ (d)

Từ (c)

Từ (b)

Từ (a) Vậy:

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực? và các phương pháp xác định các đại lượng

đó?

2. Phát biểu định lý dời lực song song và định lý thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm.

3. Các dạng chuẩn của hệ lực không gian bất kỳ.

4. Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực không gian? Trường

hợp đối với hệ lực không gian đặc biệt?

5. Điều kiện cân bằng và hệ phương trình cân bằng của hệ lực phẳng? Trường hợp

đối với hệ lực phẳng đặc biệt?

6. Trình tự giải bài toán cân bằng tĩnh học? Bài toán cân bằng hệ vật?

Chƣơng 3.

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

A. MỤC TIÊU

- Thiết lập được điều kiện cân bằng để giải các bài toán đòn và vật lật.

- Nắm vững mô hình vật khảo sát khi có ma sát và điều kiện cân bằng phù hợp

trong bài toán ma sát.

- Nhớ các công thức xác định tọa độ trọng tâm và vận dụng phương pháp xác

định tọa độ trọng tâm cho phù hợp trong bài toán trọng tâm.

B. NỘI DUNG

3.1. BÀI TOÁN ĐÕN VÀ BÀI TOÁN VẬT LẬT

3.1.1. Sự cân bằng của đòn

Đòn là vật rắn (thường là một thanh thẳng hoặc cong) quay được quanh một trục

cố định. Ngoài phản lực tại trục quay, trên đòn còn có hai lực tác dụng: lực hoạt động

và lực cản (hình 3.1). Đường tác dụng của hai lực và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với trục quay. Nếu gọi a và b là hai cánh tay đòn của và đối với trục

quay thì, điều kiện cần và đủ để đòn cân bằng là:

Hình 3.1

3.1.2. Sự cân bằng của đòn

Bài toán đòn được áp dụng để nghiên cứu bài toán vật lật trong kỹ thuật. Dưới

tác dụng của một hệ lực đã cho, vật rắn có thể xảy ra hiện tượng mất liên kết và bị lật

quanh một điểm hay một trục.

Chẳng hạn, như cột có vai cột làm việc như hình 3.2, nếu tải trọng quá lớn thì

cột có khả năng lật quanh điểm A. Căn cứ vào xu hướng lật (quanh A) có thể phân lực

hoạt động thành lực giữ và lực lật

Tổng mômen các lực giữ quanh điểm lật A được gọi là mômen giữ (Mg); tổng

mômen các lực lật quanh điểm lật được gọi là mômen lật (Ml).

Đối với bài toán cột bậc (hình 3.2), ta có ; .

Điều kiện cân bằng của vật lật là: Mg ≥ Ml

Hay: (3.1)

Trong đó là hệ số ổn định; nếu = 1 thì vật ở trạng thái cân bằng giới hạn;

thường chọn = 1,5 - 2.

Hình 3.2

Ví dụ 3.1: Cho một bức từng bằng đá, một bên được đắp đất với áp lực p =

30kN/m đặt cách mép dưới 1/3 chiều cao của tường (hình 3.3).

Tính chiều dày cần thiết để tường không lật? Biết trọng lượng riêng của đá là

20kN/m3, kích thước của tường là a x h x l, hệ số ổn định kôđ = 1,5.

Bài giải:

- Vật khảo sát: Bức tường đá có kích thước a x h x l = dày x cao x dài (m).

- Lực đã cho:

+ Trọng lượng tường đá: Q = 20.a.h.l (kN).

+ Áp lực đất tác dụng lên tường: P = 30.l (kN).

- Phản lực liên kết: Áp lực của đất tác dụng lên tường N

Hệ lực tác dụng lên tường đá: .

Xét vật khi bị lật quanh A thì: N = 0.

Hình 3.3

. - Momen giữ quanh A:

- Momen lật quanh A:

Ta có điều kiện cân bằng:

Vậy: Bề dày cần thiết để tường không lật là

Ví dụ 3.2: Cho cần trục đang làm việc có trọng lượng bản thân , chịu tác dụng

của tải trọng , đối trọng như hình 3.4.

a) Xác định tải trọng P3 để cần trục có kôđ = 1,5? Biết

b) Lúc cần trục không làm việc thì cần trục có bị lật hay không?

Bài giải:

a) Xác định tải trọng P3

Cần trục có xu hướng lật quanh B, ta có điều kiện cân bằng:

(a)

Với:

Từ (a):

Hình 3.4

b) Khi cần trục không làm việc (tức là không có )

Cần trục có xu hướng lật quanh điểm A.

Ta có điều kiện cân bằng ổn định: Mg ≥ Ml

Với:

Ta thấy: Mg = 45kN.m ≥ Ml = 37,5kN.m.

Vậy: Cần trục cân bằng (không bị lật).

3.2. BÀI TOÁN MA SÁT

3.2.1. Khái niệm về ma sát

Hiện tượng hai vật tựa lên nhau, cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động

tương đối của vật này trên bề mặt vật kia ở chỗ tiếp xúc được gọi là ma sát.

Những lực xuất hiện do ma sát giữa hai vật được gọi là lực ma sát.

Tùy theo tính chất giữa hai bề mặt tiếp xúc, trạng thái tương đối hay trạng thái

chuyển động giữa hai vật, mà ma sát có các loại: ma sát khô, ma sát ướt, ma sát tĩnh,

ma sát động, ma sát trượt, ma sát lăn.

Ma sát nói chung có hại, vì gây mất mát công suất, làm mòn bề mặt, … Tuy

nhiên nó cũng có lợi và nhờ ma sát mà người và phương tiện di chuyển mới đi lại

được.

Trong kỹ thuật, bài toán ma sát là bài toán rất phức tạp, phương pháp nghiên cứu

chủ yếu bằng thực nghiệm. Lực ma sát là phản lực liên kết xuất hiện khi một vật có xu

hướng chuyển động trên bề mặt của vật khác. Trong phần này chỉ đưa ra những nội

dung cơ bản nhất được nghiên cứu bằng thực nghiệm.

3.2.2. Ma sát trƣợt

3.2.2.1. Định nghĩa

Ma sát trượt là phản lực liên kết, nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến chung của mặt

phẳng tiếp xúc, cản trở xu hướng trượt hay chuyển động trượt của vật khảo sát.

3.2.2.2. Tính chất của ma sát trượt

- Giá trị cực đại của lực ma sát trượt phụ thuộc vào trạng thái của bề mặt tiếp xúc

(như độ nhẵn và độ bôi trơn…) và bản chất vật liệu của vật đang khảo sát.

- Giá trị cực đại của ma sát trượt không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa hai

vật.

- Giá trị cực đại của ma sát trượt tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến N và được

xác định bằng công thức:

(3.2)

Với: f là hệ số ma sát trượt được xác định bằng thực nghiệm.

N là phản lực pháp tuyến của mặt tiếp xúc.

- Điều kiện cân bằng ma sát trượt:

(3.3)

3.2.2.3. Góc ma sát trượt

Xét vật rắn cân bằng ở trạng thái tới hạn (hình 3.5).

Vật chịu tác dụng của lực ma sát trượt (với điều kiện ) và

phản lực pháp tuyến

Áp dụng quy tắc hợp lực ta có phản lực toàn phần:

Gọi là góc hợp bởi phản lực toàn phần với phản lực pháp tuyến

Mà nên góc có điều kiện

(với nghiệm đúng: )

Lúc đó ta gọi là góc ma sát trượt.

Phản lực toàn phần tạo thành một hình nón tròn xoay gọi là hình nón ma sát.

Hình 3.5

3.2.3. Ma sát lăn

3.2.3.1. Định nghĩa

Trong các bài toán ta thường giả thiết mặt tiếp xúc của vật khảo sát với mặt tựa là

rắn và nhẵn (hình 3.6a). Nhưng trong thực tế, mặt tiếp xúc của hai vật luôn bị biến

dạng, nên tại đây xuất hiện nhiều phản lực tác dụng (hình 3.6b). Thu gọn các phản

lực về điểm tiếp xúc lý thuyết A, ta được một lực và một ngẫu lực với

mômen Ml (hình 3.6c).

Hình 3.6

Do đó, ma sát lăn được biểu diễn qua mômen ngẫu lực ma sát lăn Ml, nó có xu

hướng cản trở lăn hay chuyển động lăn.

3.2.3.2. Tính chất của mômen ngẫu lực ma sát lăn

Mômen ngẫu lực ma sát lăn Ml có các tính chất sau:

- Giá trị cực đại phụ thuộc vào độ biến dạng của mặt tiếp xúc giữa vật khảo sát

và mặt tựa.

- Giá trị cực đại của mômen ngẫu lực ma sát tỷ lệ thuận với phản lực pháp tuyến

N và được xác định bằng công thức:

Với: k (đơn vị độ dài) là hệ số ma sát lăn được xác định bằng thực nghiệm.

N: phản lực pháp tuyến của mặt tiếp xúc.

- Điều kiện cân bằng ma sát lăn:

(3.4)

3.2.4. Bài toán ma sát

3.2.4.1. Các phương pháp giải bài toán ma sát

a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức

Đặt lực ma sát ở giá trị bất kì, khi đó điều kiện ma sát là:

- Điều kiện cân bằng ma sát trượt:

- Điều kiện cân bằng ma sát lăn:

* Chú ý: Kết quả bài toán là một khoảng giá trị, do vậy khi có kết quả ta cần

biện luận điều kiện không trượt và không lăn.

b) Phương pháp 2: Phương pháp trạng thái tới hạn (Giá trị cực hạn)

Đặt ma sát ở giá trị cực đại, khi đó điều kiện cân bằng của ma sát là:

- Điều kiện cân bằng ma sát trượt:

- Điều kiện cân bằng ma sát lăn:

* Chú ý: Kết quả bài toán là giá trị biên của miền cân bằng (vật bắt đầu trượt

hoặc bắt đầu lăn)

3.2.4.2. Trình tự giải bài toán ma sát

Để giải bài toán ma sát ta tiến hành theo bốn bước như sau:

1) Chọn vật khảo sát

2) Xác định hệ lực cân bằng gồm:

+ Các lực hoạt động (các lực đã cho)

+ Các phản lực liên kết

+ Các lực ma sát: ma sát trượt (nếu vật có xu hướng trượt) và ma sát lăn

(nếu vật có xu hướng lăn).

3) Lập hệ phương trình cân bằng kết hợp điều kiện cân bằng ma sát (sử dụng một

trong hai phương pháp đã trình bày ở mục 3.2.2.1)

4) Giải hệ phương trình và biện luận kết quả (nếu cần)

3.2.4.3. Các ví dụ

Ví dụ 3.3: Cho mặt phẳng OA có thể quay quanh O và lập với mặt phẳng nằm

ngang một góc α. Trên thanh đặt một vật nặng có trọng lượng P, tăng dần góc α.

Hỏi góc nghiêng α là bao nhiêu để cho vật bắt đầu trượt? Biết hệ số ma sát trượt

giữa vật và mặt OA là f.

Hình 3.7

Bài giải: (Phương pháp trạng thái tới hạn)

Khảo sát vật có trọng lượng P.

Hệ lực tác dụng lên vật gồm:

+ Trọng lượng:

+ Phản lực liên kết:

+ Lực ma sát trượt:

Hệ lực

Hệ các phương trình cân bằng:

Điều kiện cân bằng ma sát trượt:

(c)

Từ (b)

Từ (a)

Thay giá trị vào (c):

Vậy: Để vật bắt đầu trượt thì: (góc ma sát)

Ví dụ 3.4: Cho một con lăn có bán kính R có trọng lượng P đặt lên mặt phẳng

nghiêng một góc α.

Xác định góc α là bao nhiêu để con lăn cân bằng? Biết rằng hệ số ma sát trượt và

lăn lần lượt là f và k.

Hình 3.8

Bài giải: (Sử dụng bất đẳng thức)

Khảo sát sự cân bằng của con lăn.

Hệ lực tác dụng lên con lăn gồm:

+ Trọng lượng:

+ Phản lực liên kết:

+ Lực ma sát trượt:

+ Mômen ngẫu lực ma sát lăn:

Hệ lực

Hệ các phương trình cân bằng:

Điều kiện cân bằng ma sát:

Từ (a)

Từ (b)

Từ (c)

- Điều kiện cho con lăn không trượt:

Thay giá trị vào (d), ta có:

- Điều kiện cho con lăn không lăn:

Thay giá trị vào (e), ta có:

Vì: nên ta có bảng biện luận điều kiện cân bằng như sau:

0 arctan arctan f

Trượt Không trượt Không trượt Trượt

Lăn Không lăn Lăn Lăn

Điều kiện vật Khg trượt - Khg lăn Lăn - Khg trượt Lăn + Trượt

Vậy: Để con lăn cân bằng (không lăn, không trượt) thì:

3.3. BÀI TOÁN TRỌNG TÂM

3.3.1. Tâm của hệ lực song song

Cho hệ lực song song ( cùng chiều và có cường độ không đổi

lần lượt đặt tại A1, A2, A3, …, An. Nếu ta xoay hệ lực quanh điểm đặt của từng lực thì

ta được một hệ lực mới ( cũng song song và cùng chiều. Cả hai

hệ lực này đều đi qua một điểm C cố định. Điểm C này gọi là tâm hệ lực song song đã

cho.

Hình 3.9

Công thức xác định tọa độ trọng tâm của hệ lực song song:

; ;

Trong đó: xk, yk, zk là tọa độ của các điểm đặt lực A1, A2, A3, …, An

3.3.2. Trọng tâm của vật rắn

Bất kỳ vật nào cũng chịu tác dụng của trọng lực có phương chiều thẳng đứng

hướng xuống mặt đất. Đối với các vật có đường kính bé so với đường kính quả đất thì

ta có thể xem trọng lực các phân tố của vật không thay đổi khi ta xoay vật. Trong

trường hợp đó ta gọi là trường hợp trọng lực đồng nhất.

Giả sử ta có một vật rắn có n phân tố nhỏ, mỗi phân tố có trọng lượng lần lượt là

). Gọi ta có công thức tính tọa độ trọng tâm của vật rắn: (

; ; (3.5)

Trong đó: xk, yk, zk là tọa độ của các điểm đặt lực Pk của phân tố thứ k (với

* Chú ý: Ta có công thức xác định tọa độ trọng tâm trong các trường hợp cụ thể

như:

1) Đối với vật rắn đồng chất

(3.6)

2) Đối với vật rắn là tấm phẳng đồng chất

(3.7)

3) Đối với vật rắn là thanh đồng chất

(3.8)

3.3.3. Các phƣơng pháp xác định trọng tâm của vật rắn

3.3.3.1. Phương pháp đối xứng

Nếu vật đồng chất có mặt phẳng đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng thì trọng

tâm của vật nằm trên mặt phẳng đối xứng, một trục hoặc tâm đối xứng.

3.3.3.2. Phương pháp chia vật (vật ghép)

Một vật có thể phân chia thành n phần tử sao cho vị trí trọng tâm của các phần tử

đó có thể xác định một cách dễ dàng, lúc này tọa độ trọng tâm sẽ được xác định theo

công thức (3.5)

Ví dụ 3.5: Cho một bản đồng chất có kích thước như hình 3.10.

Hãy xác định trọng tâm của bản?

Bài giải:

Hình 3.10

Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxy và chia hình trên thành ba phần. Tọa độ trong

tâm và diện tích của chúng được thể hiện trong bảng:

x , cm y , cm S , cm Phần

I - 1 1 4

II 1 4 16

III 4 7 8

Diện tích của bản là cm2

Tọa độ trọng tâm của hình:

Vậy: C

3.3.3.3. Phương pháp bù trừ (vật khuyết)

Phương pháp này là trường hợp riêng của phương pháp phân chia được sử dụng

riêng cho vật có lỗ khuyết.

Ví dụ 3.6: Xác định tọa độ trọng tâm của bản tròn có bán kính R, có lỗ khuyết

bán kính r (hình 3.11), biết khoảng cách C1C2 = a.

Bài giải:

Hình 3.11

Trọng tâm hình khuyết nằm trên trục đối xứng C1C2. Ta dựng hệ trục C1xy.

Dùng phương pháp vật khuyết. Lúc này ta xem hình gồm hai phần:

- Phần I: toàn bộ bản tròn

- Phần II: lỗ khuyết bán kính r

x y S Hình

I 0 0

II a 0

Vậy:

3.3.3.3. Phương pháp thực nghiệm

Ngoài ba phương pháp đã nêu ở trên, ta có thể sử dụng phương pháp thực

nghiệm (bằng cách treo, cân…) để xác định tọa độ trọng tâm của các vật có hình dạng

phức tạp.

Ví dụ 3.7: Người ta muốn xác định tọa độ trọng tâm của chiếc máy bay ta đặt lần

lượt các bánh xe lên bàn cân nhằm xác định M1, M2 (tức là xác định được phản lực N1,

N2 như hình 3.12)

Hình 3.12

Ta có phương trình:

* Hoặc ta cũng có thể xác định trọng tâm của vật bằng cách dùng dây treo,

phương của dây là phương của trọng lực, ta treo vài điểm trên vật để tìm điểm giao

nhau của phương sợi dây của các lần đo, giao điểm đó là trọng tâm của vật.

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Điều kiện cân bằng của bài toán đòn và bài toán vật lật? Phương pháp giải?

2. Ma sát là gì? Có mấy loại ma sát? Cho ví dụ.

3. Các tính chất về ma sát trượt và ma sát lăn?

4. Khi nào lực ma sát có trị số lớn nhất, khi nào bằng không? Khi nào mômen ma sát

lăn có trị số lớn nhất, khi nào bằng không?

5. Điều kiện để vật cân bằng không lăn, không trượt?

6. Phương pháp giải bài toán cân bằng của vật rắn khi có ma sát (trượt và lăn)?

7. Vì sao ở những ổ trục người ta thường đặt vòng bi và thường xuyên bôi dầu?

8. Viết và giải thích công thức xác định toạ độ trọng tâm của hệ lực song song và

trọng tâm của vật rắn?

9. Trình bày các phương pháp xác định trọng tâm của vật rắn?

PHẦN II. ĐỘNG HỌC

Động học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động vật thể mà không

quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực tác dụng và khối lượng).

Đối tượng khảo sát của động học là động điểm (chất điểm chuyển động) và vật

rắn.

Nội dung khảo sát chuyển động của vật thể gồm các vấn đề chính:

+ Lập phương trình chuyển động.

+ Xác định các đặc trưng của chuyển động (vận tốc, gia tốc).

+ Tìm quan hệ giữa vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật, với chuyển động của

vật.

Kết quả nghiên cứu trong phần động học sẽ được ứng dụng để phát triển ở phần

Động lực học và các học phần Nguyên lý máy, Thiết kế máy, Cơ học kết cấu, ...

Chƣơng 4.

ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM

A. MỤC TIÊU

- Hiểu được các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động và các đại

lượng đặc trưng của động học.

- Nhớ các công thức xác định các đại lượng đặc trưng của chuyển động và mối

quan hệ giữa chúng để giải các bài toán kỹ thuật.

B. NỘI DUNG

4.1. CÁC KHÁI NIỆM ĐỘNG HỌC

Chuyển động của chất điểm là sự thay đổi vị trí của chất điểm trong không gian

theo thời gian. Ta có các khái niệm động học sau:

a) Tọa độ: là các thông số xác định vị trí của chất điểm (các thông số định vị).

b) Phương trình chuyển động: là các tọa độ viết dưới dạng phương trình tham số

c) Phương trình quĩ đạo: là phương trình khử t trong phương trình chuyển động.

d) Vận tốc: là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tọa độ theo thời gian.

e) Gia tốc: là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc theo thời gian.

Tọa độ, vận tốc, gia tốc là các đặc trưng động học của chất điểm. Xác định

chuyển động của chất điểm là xác định các đại lượng này.

4.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

Động học điểm nghiên cứu chuyển động bằng bốn phương pháp: Phương pháp

véctơ, phương pháp tọa độ Descartes, phương pháp tọa độ tự nhiên và phương pháp

tọa độ cực. Dưới đây ta chỉ nghiên cứu ba phương pháp đầu.

4.2.1. Phƣơng pháp véctơ

4.2.1.1. Phương trình chuyển động của chất điểm

Hình 4.1

Khảo sát chất điểm M trong hệ quy chiếu cố định Oxyz. Tại mỗi thời điểm, vị trí

của điểm M được xác định bởi véctơ định vị Khi M chuyển động thì véctơ

biến thiên cả hướng, độ dài và nó là hàm của thời gian t:

(4.1) Biểu thức (4.1) là phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng véctơ và

đồng thời cũng là phương trình quỹ đạo của điểm M trong hệ Oxyz.

4.2.1.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm

Hình 4.2

Vận tốc là một đại lượng véctơ đặc trưng cho sự biến đổi của véctơ định vị

theo thời gian.

Giả sử tại thời điểm t, vị trí của chất điểm M được xác định bằng véctơ định vị:

Tại thời điểm lân cận: t1 = t +Δt, chất điểm ở vị trí lân cận M1 được xác định

bởi véctơ định vị:

Véctơ dịch chuyển: mô tả gần đúng hướng dịch chuyển và

đoạn đường dịch chuyển của điểm M trong khoảng thời gian nhỏ: Δt = t1 – t.

Gọi vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian Δt là: mô

tả gần đúng hướng đi và độ nhanh chậm của chuyển động.

Khi Δt → 0, sẽ tiến đến vận tốc tức thời của điểm M tại thời điểm t:

(4.2)

Vậy: Vận tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của

véctơ định vị

Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h.

Phương của vận tốc của điểm luôn cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo

chuyển động.

4.2.1.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm

Hình 4.3

Gia tốc của điểm là một đại lượng véctơ đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo

thời gian.

Tại thời điểm t, động điểm M có vận tốc là Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt,

động điểm M có vận tốc là:

(hình 4.3). Gia tốc Sau khoảng thời gian: Δt = t1 – t vận tốc biến đổi:

trung bình của động điểm trong khoảng thời gian Δt là: .

Khi Δt → 0, sẽ tiến đến gia tốc tức thời của điểm M tại thời điểm t:

(4.3)

Vậy: Gia tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của

vận tốc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của véctơ định vị

Đơn vị đo gia tốc: m/s hay km/h .

* Chú ý: Về mặt hình học: véctơ luôn hướng về phần lõm của quỹ đạo

đường cong.

4.2.1.4. Tính chất chuyển động

Căn cứ vào tích có thể xác định tính chất chuyển động: nếu động điểm

chuyển động nhanh dần thì tăng, do đó: tăng, từ đó suy ra:

Kết quả:

động điểm chuyển động nhanh dần.

động điểm chuyển động chậm dần.

động điểm chuyển động đều.

4.2.2. Phƣơng pháp tọa độ Descartes

4.2.2.1. Phương trình chuyển động của động điểm

Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Oxyz được xác định bởi các

tọa độ x, y và z. Khi điểm M chuyển động thì các tham số x, y, z biến đổi liên tục theo

thời gian t. Cho nên:

(4.4)

Phương trình (4.4) là phương trình của động điểm trong hệ tọa độ Descartes.

Hình 4.4

Khi khử biến số thời gian t trong các phương trình chuyển động, ta có phương

trình quỹ đạo.

4.2.2.2. Vận tốc chuyển động của điểm

Gọi là các véctơ đơn vị của ba trục x, y, z và hình chiếu của véctơ vận tốc

lên ba trục tọa độ lần lượt là vx, vy, vz. Ta có liên hệ:

(4.5)

Mặt khác: (4.6)

Chiếu biểu thức (4.6) lên ba trục tọa độ ta có:

(4.7)

Vậy: Hình chiếu của véctơ vận tốc lên một trục tọa độ nào đó bằng đạo hàm bậc

nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng.

Ta cũng dễ dàng xác định được độ lớn cũng như hướng của véctơ vận tốc theo

các hình chiếu vx, vy, vz:

(4.8)

Gọi α, β, γ là góc hợp giữa với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có:

(4.9)

4.2.2.3. Gia tốc chuyển động của điểm

Hoàn toàn tương tự như xác định vận tốc. Gọi hình chiếu của véctơ gia tốc lên

ta có các trục tọa độ là wx, wy, wz và dựa vào kết quả của phần trước:

được:

(4.10)

Vậy: Hình chiếu véctơ gia tốc lên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo

thời gian của hình chiếu vận tốc lên trục đó hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian

của phương trình động theo trục tương ứng.

Trị số của véctơ gia tốc được xác định theo công thức:

(4.11)

với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có: Gọi α1, β1, γ1 là góc hợp giữa

(4.12)

4.2.2.4. Tính chất chuyển động

Căn cứ vào tích: ta xác định tính chất chuyển động,

kết quả cụ thể:

động điểm chuyển động nhanh dần.

động điểm chuyển động chậm dần.

động điểm chuyển động đều.

4.2.3. Phƣơng pháp tọa độ tự nhiên

Phương pháp tọa độ tự nhiên dùng để nghiên cứu chuyển động của điểm khi biết

đường cong quỹ đạo của nó.

Hệ trục có ba trục:

+ Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với véctơ đơn vị

+ Trục pháp tuyến chính (trục n): nằm trong mặt phẳng đường cong và hướng

về phía lõm đường cong với véctơ đơn vị

+ Trục trùng pháp tuyến (trục b): có véctơ đơn vị tạo với trục τ và trục n

thành một tam diện thuận

4.2.3.1. Phương trình chuyển động của động điểm

Hình 4.5

Hệ trục tọa độ tự nhiên: trên đường cong phẳng chọn gốc O và chiều dương

đường cong như hình 4.5.

Vị trí điểm M được xác định bằng cung (s được gọi là tọa độ cong hay

hoành độ cong của điểm M). Khi điểm M chuyển động thì tọa độ cong s biến thiên

theo thời gian:

s = s(t) (4.13)

Phương trình (4.13) là phương trình chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa

độ tự nhiên.

* Chú ý: tọa độ cong s có thể dương hoặc âm tùy vào chiều chuyển động.

4.2.3.2. Vận tốc của điểm

Để xác định vận tốc của điểm ta dựa vào sự biến thiên của tọa độ cong s.

Giả sử ở thời điểm t, động điểm ở M được xác định bởi tọa độ cong OM = s.

Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm ở tại M1 có tọa độ cong OM1 = s1 = s

+ Δs.

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian Δt:

Khi Δt → 0, của điểm M tại thời điểm t: sẽ tiến đến vận tốc tức thời

(4.14)

Vậy: Giá trị vận tốc tại thời điểm t nào đó bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian

của tọa độ cong s trên quỹ đạo.

Hình 4.6

Phương chiều véctơ vận tốc luôn hướng theo tiếp tuyến của đường cong quỹ

đạo tại M, do đó chiều của véctơ phụ thuộc vào dấu của giá trị

+ Nếu : hướng theo chiều dương quỹ đạo

+ Nếu : hướng theo chiều âm quỹ đạo

Nên: (4.15)

4.2.3.3. Gia tốc của điểm

Ta có: (4.16)

Mà trong hệ tọa độ tự nhiên, Xerơ – Frênê đã chứng minh được:

Trong đó: ρ là bán kính cong của đường cong tại điểm M.

Nên:

Do đó:

Với: (4.17)

Vậy: Gia tốc của điểm trong hệ tọa độ tự nhiên bao gồm hai thành phần tiếp

tuyến và pháp tuyến chính:

+ gọi là gia tốc tiếp, nằm trên tiếp tuyến của quỹ đạo, đặc

trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian.

+ gọi là gia tốc pháp, luôn nằm trên pháp tuyến chính của quỹ đạo,

đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc.

Vì: và nên:

(4.18)

4.2.3.4. Tính chất của chuyển động

Về mặt hình học, ta có . Căn cứ vào ta có thể biết được

tính chất chuyển động của điểm, cụ thể như sau:

- Chuyển động có: là chuyển động thẳng ( và

- Chuyển động có: là chuyển động đều: và

+ Nếu là chuyển động thẳng đều.

+ Nếu là chuyển động cong đều.

- Chuyển động có: và :

+ Nếu chuyển động của điểm là nhanh dần.

+ Nếu chuyển động của điểm là chậm dần.

4.2.3.5. Các dạng chuyển động đặc biệt của chất điểm

a) Chuyển động đều

Chuyển động đều là chuyển động có vận tốc là hằng số (v = const, ).

Phương trình chuyển động đều:

(4.19)

Trong đó: s0 là tọa độ ban đầu (t = 0).

b) Chuyển động biến đổi đều

Chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc tiếp không đổi ( =

const). Vận tốc và đoạn đường được xác định bởi công thức:

(4.20)

Trong đó:

+ s0 là tọa độ ban đầu (t = 0).

+ v0 là vận tốc ban đầu (t = 0).

+ > 0 khi chuyển động là nhanh dần đều.

+ < 0 khi chuyển động là chậm dần đều.

4.3. BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM

4.3.1. Các loại bài toán

Ta có hai loại bài toán động học của chất điểm:

- Bài toán 1: Biết phương trình chuyển động. Tìm các đặc trưng chuyển động

như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động của chất điểm?

- Bài toán 2: Biết một số điều kiện của chuyển động. Tìm phương trình chuyển

động và các đặc trưng chuyển động?

4.3.2. Một số nội dung của bài toán động học chất điểm

Khi giải bài toán cần chú ý một số nội dung sau:

1) Chọn phương pháp để giải:

- Phương pháp vectơ dùng để nghiên cứu lý thuyết bài toán chuyển động.

- Để giải cụ thể bài toán chuyển động ta sử dụng hai phương pháp: toạ độ

Descartes và toạ độ tự nhiên. Phương pháp toạ độ tự nhiên được dùng khi ta biết quỹ

đạo của chất điểm.

2) Tìm phương trình chuyển động:

Căn cứ vào các điều kiện chuyển động của chất điểm để thiết lập phương trình.

3) Tìm quĩ đạo:

Các phương trình chuyển động đã cho là những phương trình tham số. Để xác

định phương trình quĩ đạo ta cần khử t và thiết lập quan hệ giữa các toạ độ.

* Chú ý: Đối với phương trình dạng lượng giác để khử t ta thường dùng các

công thức của lượng giác như: .

4) Tìm vận tốc và gia tốc:

Tùy theo phương pháp phù hợp ta dùng công thức tương ứng để tính.

5) Tìm tính chất của chuyển động:

Để xác định tính chất một chuyển động cụ thể ta căn cứ vào dấu hiệu là tích vô

hướng:

- Trong toạ độ Descartes:

- Trong toạ độ tự nhiên:

Ta có tính chất chuyển động của các dạng chuyển động trong bảng Tính chất

chuyển động của các dạng chuyển động.

6) Tìm bán kính cong của quĩ đạo:

Theo công thức: 

Tính chất chuyển động của các dạng chuyển động

Tính Dạng quĩ đạo chuyển động

chất Dấu hiệu chuyển Thẳng Cong

động

Nhanh

dần

Chậm

dần

Đều

Ví dụ 4.1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm:

(x,y: m, t: s).

Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tính chất của chuyển động?

Bài giải:

- Xác định quỹ đạo:

Ta có:

Từ (a)

Thay (c) vào (b), ta được:

Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường thẳng có phương trình:

- Xác định vận tốc:

(m/s)

- Xác định gia tốc:

(m/s2)

- Tính chất chuyển động:

> 0

Mà w = 10m/s2 = const

Nên chất điểm chuyển động nhanh dần đều.

Ví dụ 4.2. Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật:

(x, y: m, t: s).

Với vo là vận tốc ban đầu của viên đạn; α là góc bắn hợp với phương ngang của

viên đạn. Tìm:

a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn?

b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao

và tầm xa đạt giá trị cực đại?

Bài giải:

Hình 4.7

a) Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn

- Xác định quỹ đạo:

Rút t từ (a) ta được:

Thay (c) vào (b):

Vậy quỹ đạo là một parabol có phường trình:

- Xác định vận tốc:

(m/s)

- Xác định gia tốc:

(m/s2)

Gia tốc luôn có chiều ngược chiều với Oy và có độ lớn w = g (g là gia tốc trọng

trường).

b) Xác định độ cao, tầm xa,

- Xác định độ cao:

Viên đạn đạt độ cao khi

Nghĩa là thời điểm để viên đạn đạt độ cao khi

Thay vào (b) ta được độ cao:

H =

- Xác định tầm xa:

Viên đạn đạt tầm xa khi

Nghĩa là thời điểm để viên đạn đạt tầm xa khi

Thay vào (a) ta được tầm xa:

L =

- Xác định α để độ cao đạt giá trị cực đại:

Như đã giải ở trên ta có độ cao: H =

Độ cao H đạt giá trị cực đại Hmax khi:

- Xác định α để tầm xa đạt giá trị cực đại:

Như đã giải ở trên ta có tầm xa: L =

Tầm xa L đạt giá trị cực đại Lmax khi:

Vậy: ; ; .

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm

bằng phương pháp vectơ?

2. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm

bằng phương pháp tọa độ Descartes?

3. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm

bằng phương pháp tọa độ tự nhiên?

4. Một số chuyển động đặc biệt?

Chƣơng 5.

CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

A. MỤC TIÊU

- Nắm vững những tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến.

- Nắm vững các đặc trưng của vật quay quanh trục cố định và các công thức xác

định chúng.

- Nắm vững công thức liên hệ đặc trưng chuyển động của vật và điểm thuộc vật.

B. NỘI DUNG

5.1. CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN

5.1.1. Định nghĩa chuyển động tịnh tiến

Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho hai điểm

bất kỳ thuộc vật luôn luôn chuyển động song song với chính nó.

Ví dụ: Toa tàu hỏa đang chuyển động trên đường ray, trong quá trình chuyển

động ta luôn có đoạn thẳng AB // A1B1 // Δ (hình 5.1). Thanh AB chuyển động nhờ cơ

cấu bốn khâu, trong quá trình chuyển động ta luôn có thanh AB // A1B1 // Δ (hình 5.2).

Hình 5.1 Hình 5.2

5.1.2. Tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến

Định lý: Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, mọi điểm thuộc vật sẽ chuyển

động giống hệt nhau, nghĩa là quỹ đạo của mọi điểm trùng khít lên nhau, tại mỗi thời

điểm vận tốc và gia tốc các điểm đều bằng nhau.

Chứng minh: Xét đoạn thẳng AB thuộc vật rắn đang chuyển động tịnh tiến trong

hệ quy chiếu Oxyz (hình 5.3). Theo định nghĩa chuyển động tịnh tiến ta có AB // A1B1

= const). // … // AnBn (tức là

Theo hình 5.3, ta có: (5.1)

Lần lượt đạo bậc nhất và bậc hai hàm biểu thức (5.1) theo thời gian ta được:

Hình

Hình 5.3

Nhận xét:

+ Nghiên cứu vật rắn chuyển động tịnh tiến thì ta chỉ cần nghiên cứu một điểm

bất kỳ thuộc vật. Vận tốc, gia tốc của điểm đó gọi vận tốc và gia tốc của vật.

+ Nếu một vật rắn chuyển động tịnh tiến thì ta có thể xem là một chất điểm

chuyển động.

5.2. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

5.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Vật rắn chuyển động quay quanh một trục là chuyển động mà trong

suốt quá trình chuyển động luôn có hai điểm cố định.

Ví dụ: Cách cửa quay quanh trục đi qua hai bản lề (hình 5.4). Tấm phẳng quay

quanh trục AB (hình 5.5).

Hình 5.4 Hình 5.5

5.2.2. Khảo sát chuyển động quay của vật rắn

5.2.2.1. Phương trình chuyển động

Giả sử vật rắn quay quanh trục Oz (hình 5.6). Tại thời điểm t, ta chọn mặt phẳng

(P0) làm mặt phẳng gốc, đồng thời gắn vào vật mặt phẳng (P) chứa trục quay. Khi vật

quay mặt phẳng (P) cũng quay theo và vị trí của nó xác định vị trí của vật. Góc hợp

bởi hai mặt phẳng (P0) và (P) là φ. Khi vật quay góc φ luôn biến đổi theo thời gian:

φ = φ(t) (5.2)

Biểu thức (5.2) là phương trình chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố

định.

Hình 5.6

Qui ước dấu: Để xác định chiều quay của vật, ta quy ước:

+ φ > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều kim

đồng hồ.

+ φ < 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim

đồng hồ.

Đơn vị của góc quay φ là radian (rad). (rad là góc phẳng chắn trên đường tròn

một cung bằng bán kính). 1 rad = = 570 17’ 44,8”.

* Chú ý: Trong kỹ thuật góc quay còn được tính theo số vòng quay N

(5.3)

5.2.2.2. Vận tốc góc (ω)

Trong chuyển động quay, góc φ là một hàm số phụ thuộc vào thời gian. Để đặc

trưng cho chiều quay và tốc độ nhanh chậm của chuyển động, người ta dùng khái niệm

vận tốc góc ω.

Giả sử trong khoảng thời gian Δt = t1 - t, góc quay biến đổi một lượng Δφ = φ1 -

φ.

Ta gọi: là vận tốc góc trung bình của vật rắn.

Khi Δt → 0, ωtb → ω. ω gọi là vận tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t:

(5.4)

Vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo

hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay φ.

Quy ước dấu của ω:

+ ω > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều

kim đồng hồ.

+ ω < 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim

đồng hồ.

Đơn vị tính vận tốc góc là: rad/s hoặc 1/s hoặc s-1.

Vectơ vận tốc góc : Để biểu thị độ nhanh chậm, chiều quay, trục quay thì ta

dùng véctơ :

+ Phương ở trên trục quay

+ Chiều dương sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều

kim đồng hồ.

+ Trị số

* Chú ý: trong kỹ thuật người ta còn biểu diễn vận tốc góc bằng số vòng quay

trong một phút, kí hiệu là n (vòng/phút). Biểu thức liên hệ giữa n và ω là:

(rad/s) (5.5)

5.2.2.3. Gia tốc góc (ε)

Để đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc góc theo thời gian ta có khái niệm gia

tốc góc.

Giả sử trong khoảng thời gian: Δt = t1 - t, vận tốc góc biến đổi một lượng: Δω =

ω1 - ω.

Ta gọi: là gia tốc góc trung bình của vật rắn.

Khi Δt → 0, εtb → ε . ε là gia tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t:

(5.6)

Vậy: Gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo

hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của

góc quay.

Đơn vị tính gia tốc góc là: rad/s2 hoặc 1/s2 hoặc s-2.

Vectơ gia tốc góc : Gọi . Khi là véctơ đơn vị của trục quay z, ta có

đó: . Vậy có:

+ Phương: ở trên trục quay

+ Chiều dương: sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều

kim đồng hồ.

+ Trị số:

5.2.2.4. Tính chất của chuyển động quay

- Nếu ε = 0: chuyển động quay đều.

- Nếu ε = const , ta xét dấu:

+ Nếu ω.ε > 0: chuyển động quay nhanh dần đều

+ Nếu ω.ε < 0: chuyển động quay chậm dần đều.

5.2.2.5. Các chuyển động quay đặc biệt

a) Chuyển động quay đều

Vật rắn chuyển động quay đều khi ε = 0 và ω = const, phương trình chuyển động:

φ = φ0 + ω0t

Trong đó: φ0 là góc quay ban đầu lúc t = 0.

φ là góc quay tại thời điểm t lúc khảo sát.

b) Chuyển động quay biến đổi đều

Vật rắn chuyển động quay biến đổi đều khi ε = const

Vận tốc góc của vật rắn: ω = ω 0 + εt

Phương trình chuyển động:

Trong đó: φ0, ω0 lần lượt là góc quay và vận tốc góc ban đầu.

ε là gia tốc của vật đang xét

ε > 0: vật chuyển động nhanh dần đều.

ε < 0: vật chuyển động chậm dần đều.

5.2.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật

5.2.3.1. Quỹ đạo và phương trình chuyển động

Giả sử xét vật rắn chuyển động quay quanh một trục z cố định. Ta lấy một điểm

M bất kỳ trên vật cách trục quay một đoạn CM = r. Khi chuyển động quay chất điểm

M vạch ra quỹ đạo là một đường tròn tâm C (hình 5.7).

Hình 5.7

Vậy: Các điểm trên vật quay có quĩ đạo là những đường tròn vuông góc với trục

quay có tâm nằm trên trục quay, có bán kính là khoảng cách từ các điểm đó tới trục

quay.

Chọn điểm O trên đường tròn tâm C bán kính r làm gốc, chiều dương ngược

chiều với kim đồng hồ. Điểm M được xác định bởi cung:

OM = s = r.φ(t) (5.7)

Phương trình (5.7) là phương trình chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay

quanh một trục cố định.

5.2.3.2. Vận tốc của điểm

Ta có: (5.8)

Vậy: Vận tốc của điểm có trị số bằng tích của vận tốc góc của vật rắn và khoảng

cách từ điểm đó đến trục quay.

Vận tốc của điểm có:

+ Phương: vuông góc với bán kính

+ Chiều: cùng chiều với vận tốc góc ω.

+ Trị số:

* Chú ý:

1) Xét các điểm nằm trên cùng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận

tốc và khoảng cách từ các điểm đó đến trục quay là bằng vận tốc góc ω. Chẳng hạn

như hình 5.8 ta có:

2) Trên cùng một vật rắn chuyển động quay, khoảng cách từ điểm đến trục quay

càng lớn thì giá trị vận tốc của điểm càng lớn và ngược lại (hình 5.8).

Hình 5.8

3) Vận tốc của điểm trên vật quay còn có thể tính theo công thức:

v = r. = r.

Hay: (5.9)

5.2.3.3. Gia tốc của điểm

Gia tốc của điểm M được chia thành hai thành phần: gia tốc pháp tuyến và gia

tốc pháp tuyến:

(5.10)

- Gia tốc tiếp có:

+ Phương: vuông góc với bán kính của quỹ đạo.

+ Chiều: cùng với chiều quay của vật rắn

+ Trị số:

- Gia tốc tiếp có:

+ Phương: theo bán kính của quỹ đạo.

+ Chiều: hướng vào tâm quay.

+ Trị số: .

- Gia tốc toàn phần: có trị số:

(5.11)

* Chú ý:

1) Xét các điểm nằm trên cùng một vật rắn đang chuyển động quay, tỉ số của vận

tốc và khoảng cách từ các điểm đó đến trục quay bằng hệ số . Chẳng hạn

như hình 5.9 ta có:

Hình 5.9

2) Gọi α là góc hợp bởi gia tốc toàn phần với phương bán kính của quỹ đạo,

ta có: tanα =

5.3. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

5.3.1. Các dạng bài toán

Có hai dạng bài toán:

- Dạng 1: Biết phương trình chuyển động hoặc các điều kiện của chuyển động

quay của vật rắn (hoặc điều kiện chuyển động của điểm thuộc vật). Xác định các yếu

tố động học của toàn vật hoặc của điểm thuộc vật

- Dạng 2: Bài toán truyền động (sẽ được nghiên cứu trong học phần Nguyên lý

máy).

5.3.2. Các ví dụ

Ví dụ 5.1. Trục một động cơ trong giai đoạn khởi động máy chuyển động biến

đổi đều. Sau 5 phút đạt vận tốc n =120 vòng/phút.

Tính gia tốc góc của trục và số vòng quay được trong thời gian đó?

Bài giải:

Gia tốc góc của trục động cơ:

Với: t = 5 phút = 300s, t0 = 0.

rad/s

(lúc khởi động máy).

Do đó: rad/s2 > 0

Trục động cơ quay nhanh dần đều.

Phương trình chuyển động quay của trục:

rad

Số vòng trục động cơ quay được: vòng.

Vậy: vòng.vvvvvbbbbnnnn

Ví dụ 5.2. Một vô lăng đang quay với vận tốc n = 60 vòng/phút thì chuyển động

quay chậm dần đều và sau 16s thì dừng hẳn.

Tìm gia tốc góc của vô lăng và số vòng vô lăng quay được trong 18s đó?

Bài giải:

Gia tốc góc của vô lăng:

Với: t = 16s; t0 = 0;

(lúc vô lăng dừng hẳn).

Do đó: rad/s2 < 0

Vô lăng quay chậm dần đều

Phương trình chuyển động quay của trục:

rad.

Số vòng trục động cơ quay được: vòng.

Vậy: vòng.

Ví dụ 5.3. Một thanh OA quay quanh trục đi qua O theo quy luật (t: s,

φ: rad).

a) Xác định thời gian để thanh OA quay được 32 vòng.

b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng.

c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A tại thời điểm

thanh quay được 32 vòng. Biết OA = 10cm.

Hình 5.10

Bài giải:

a) Thời gian để thanh OA quay được N = 32 vòng:

Góc quay: φ = 2 = = 64 rad.

Ta có:

Vậy: Sau t = 8s thanh OA quay được N = 32 vòng

b) Tính chất chuyển động ở thời điểm thanh quay được 32 vòng:

Theo câu a, thời điểm thanh quay được 32 vòng là t = 8s

Ta có: (rad/s).

(rad/s2).

Thanh OA quay nhanh dần đều

c) Tìm vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp và gia tốc toàn phần của A

- Vận tốc của A:

- Gia tốc tiếp của A có:

+ Phương: theo OA

+ Chiều: hướng vào tâm quay O

+ Trị số: cm/s2.

- Gia tốc pháp của A có:

+ Phương: vuông góc OA

+ Chiều: theo chiều quay của ω (ngược chiều kim đồng hồ như hình 5.10)

+ Trị số: cm/s2.

- Gia tốc toàn phần của A :

Ta có: ,được xác định:

+ Phương: hợp với OA một góc α thỏa:

tanα =

+ Chiều: theo chiều quay (ngược chiều kim đồng hồ như hình 5.10)

+ Trị số của gia tốc toàn phần:

Vậy:

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Khái niệm chuyển động tịnh tiến? tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến?

2. Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc góc, gia tốc góc của vật rắn quay

quanh một trục cố định?

3. Phương trình chuyển động của vật rắn quay đều, quay biến đổi đều?

4. Trình bày phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, gia tốc

toàn phần của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định?

Chƣơng 6.

CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM

A. MỤC TIÊU

- Nắm vững các khái niệm chuyển động (tương đối, tuyệt đối, kéo theo) và các

đặc trưng động học của nó.

- Nhớ công thức xác định các đại lượng đặc trưng động học của các chuyển

động (vận tốc, gia tốc, ...).

B. NỘI DUNG

6.1. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM

6.1.1. Đặt vấn đề

Chương trước ta đã nghiên cứu chuyển động của chất điểm đối với một hệ quy

chiếu cố định. Trong thực tế, ta phải giải quyết trường hợp chất điểm chuyển động đối

với một hệ quy chiếu mà bản thân hệ này lại chuyển động so với hệ quy chiếu khác

xem là cố định. Chuyển động của điểm khi đó gọi là chuyển động phức hợp.

Điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz. Hệ quy chiếu Oxyz cùng điểm M

chuyển động so với hệ quy chiếu (hình 6.1).

Hình 6.1

Hệ quy chiếu Oxyz gọi là hệ quy chiếu di động (hệ động).

Hệ quy chiếu gọi là hệ quy chiếu cố định (hệ cố định).

Khảo sát chuyển động của điểm M đối với hệ cố định và hệ động.

6.1.2. Các chuyển động

6.1.2.1. Chuyển động tương đối

Định nghĩa: Chuyển động tương đối của điểm M là chuyển động của nó so với

hệ quy chiếu động .

Véctơ định vị: (6.1)

Trong đó: là các véctơ đơn vị ứng với ba trục Ox, Oy, Oz.

Vận tốc tương đối: (6.2)

Gia tốc tương đối: (6.3)

6.1.2.2. Chuyển động kéo theo

Định nghĩa: Chuyển động theo (hay chuyển động kéo theo) của điểm M là

chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz (mang theo điểm M) so với hệ quy chiếu cố

định .

Để xác định được véctơ định vị, vận tốc kéo theo, gia tốc kéo theo, ta cần xác

định trùng điểm M*. Trùng điểm M* là điểm cố định thuộc hệ động Oxyz mà tại thời

điểm khảo sát điểm M chuyển động đến trùng với nó.

Véctơ định vị: (6.4)

Trong đó: là các véctơ đơn vị ứng với 3 trục Ox, Oy, Oz.

x, y, z là tọa độ của trùng điểm (x, y, z là các hằng số).

Vận tốc kéo theo:

(6.5)

Gia tốc kéo theo:

(6.6)

6.1.2.3. Chuyển động tuyệt đối

Định nghĩa: Chuyển động tuyệt đối của điểm M là chuyển động của nó so với hệ

quy chiếu cố định .

Vận tốc và gia tốc của điểm M trong hệ qui chiếu cố định gọi là vận tốc

tuỵệt đối và gia tốc tuỵệt đối (vấn đề này được trình bày ở mục 6.2).

6.2. CÁC ĐỊNH LÝ HỢP VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CỦA CHẤT ĐIỂM

6.2.1. Định lý hợp vận tốc

Định lý: Tại mỗi thời điểm vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học vận tốc

tương đối và vận tốc theo:

(6.7)

Chứng minh: Gọi:

+ là véctơ chỉ phương (đơn vị) của hệ động.

+ (x, y, z): là tọa độ của điểm M trong hệ động.

+ : là véctơ định vị của M trong hệ trục tọa độ cố định là với:

(6.8)

+ : là véctơ định vị của M trong hệ trục tọa độ động Oxyz, theo (6.1):

Hình 6.2

Đạo hàm hai vế của (6.8):

Mà:

Vậy:

6.2.2. Định lý hợp gia tốc

6.2.2.1. Định lý

Định lý: Tại mỗi thời điểm gia tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng hình học gia tốc

tương đối, gia tốc theo và gia tốc Coriolis:

(6.9)

Trong đó: được gọi là gia tốc Coriolis: , với: là véctơ vận

tốc góc của hệ động.

(Gaspard - Gustave de Coriolis_nhà toán học, vật lý học người Pháp)

Chứng minh: Đạo hàm bậc nhất ta được gia tốc tuyệt đối:

Với:

) (Áp dụng công thức Euler:

Vậy:

6.2.2.2. Xác định gia tốc Coriolis

Ta có: (6.10)

là véctơ vuông góc với mặt phẳng tạo thành tam diện thuận

Trị số của gia tốc Coriolis: (với: là góc hợp bởi

và ).

Ta có bốn trường hợp:

a) Trường hợp 1: Hệ động chuyển động tịnh tiến

Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến (tức là ) nên;

b) Trường hợp 2: thì Nếu nên:

Đối với trường hợp 1 và 2 thì công thức (6.9) sẽ là:

c) Trường hợp 3:

Ta xác định chiều của như sau: Nhìn từ ngọn của , ta quay trong mặt

phẳng vuông góc với một góc ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (hình 6.3)

ta sẽ được chiều của và có trị số:

(6.11)

d) Trường hợp 4: hợp với một góc

Hình 6.3. Hình 6.4.

Ta phân tích: và , sau đó nhìn từ ngọn của với:

, ta quay ngược chiều kim đồng trong mặt phẳng vuông góc với một góc

hồ như hình vẽ (hình 6.4) ta sẽ được chiều của và trị số là:

(6.12)

6.3. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP

6.3.1. Các dạng bài toán

Có hai dạng bài toán:

- Bài toán tổng hợp chuyển động: Biết chuyển động tương đối và chuyển động

theo. Xác định chuyển động tuyệt đối?

- Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối. Xác định chuyển

động tương đối và chuyển động theo?

6.3.2. Trình tự giải

Để giải bài toán chuyển động phức hợp ta thực hiện các bước:

1) Xác định điểm chuyển động và các hệ quy chiếu.

2) Phân tích chuyển động: chuyển động nào là chuyển động tương đối, chuyển

động theo, chuyển động tuyệt đối?

3) Tính toán: áp dụng công thức để tính.

6.3.3. Các ví dụ

Ví dụ 6.1: Một xe ôtô đi trong trời đang mưa với vận tốc . Trạm

quan trắc Quảng Ngãi đo được vận tốc mưa là (hạt mưa rơi thẳng đứng

so với mặt đất).

Xác định vận tốc của hạt mưa đối với xe ôtô, góc nghiêng của hạt mưa so với

phương thẳng đứng?

Giải:

Hình 6.5

- Xác định:

+ Ta coi hạt mưa là một chất điểm thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Mặt đường là hệ cố định.

+ Xe ôtô là hệ động.

- Các chuyển động:

+ Chuyển động của hạt mưa đối với xe ôtô là chuyển động tương đối: .

+ Chuyển động của xe ôtô đối với mặt đường là chuyển động kéo theo:

= 40km/h.

+ Chuyển động của hạt mưa đối với mặt đường là chuyển động tuyệt đối:

= 30km/h.

- Áp dụng định lý hợp vận tốc ta có:

Vì:

Khi đó, người ngồi trên xe ôtô nhìn thấy hạt mưa rơi so với phương thẳng đứng

một góc α thỏa: .

Vậy:

Ví dụ 6.2: Một con thuyền từ A muốn sang điểm B bên kia sông (hình 6.6). Vận

tốc của nước là , vận tốc của thuyền so với nước là , chiều

rộng của sông là AB = 250m. Hãy xác định:

a) Góc lập bởi phương đi của thuyền và AB?

b) Vận tốc tuyệt đối của thuyền và thời gian để thuyền đến điểm B?

Giải:

Hình 6.6

- Xác định:

+ Ta coi thuyền như một chất điểm, thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Bờ sông là hệ cố định.

+ Nước sông là hệ động.

- Các chuyển động:

+ Chuyển động của thuyền so với nước là chuyển động tương đối: .

+ Chuyển động của thuyền so với bờ là chuyển động tuyệt đối.

+ Chuyển động của nước so với bờ (coi thuyền không chuyển động so với

nước) là chuyển động theo: .

AB là quĩ đạo tuyệt đối của thuyền.

a) Góc lập bởi phương đi của thuyền và AB?

Ta có:

b) Vận tốc tuyệt đối và thời gian để thuyền đến điểm B ?

Gọi t là thời gian sang sông và thuyền chuyển động đều:

Vậy: ; ;

Ví dụ 6.3: Thanh AB chuyển động trong khớp trượt C với gia tốc wAB = 15cm/s2.

Cam là khối tam giác DEF chuyển động ngang sang bên phải. Mặt dẫn EF nghiêng

một góc (hình 6.7).

Tìm gia tốc tương đối của thanh AB đối với cam DEF và gia tốc của cam DEF

đối với nền ngang?

Bài giải:

Thanh AB chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng so với nền ngang. Nên

gia tốc của thanh AB cũng chính là gia tốc của một điểm bất kỳ nằm trên thanh (xét

điểm A):

- Xác định:

+ Điểm khảo sát là điểm A, thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Nền ngang và khớp trượt C làm hệ quy chiếu cố định.

+ Cạnh EF (cùng với cam DEF) làm hệ động.

Hình 6.7

- Phân tích chuyển động:

+ Điểm A dọc theo EF là chuyển động tương đối.

+ Cam DEF chuyển động tịnh tiến sang phải là chuyển động kéo theo.

+ Chuyển động tịnh tiến thẳng đứng là chuyển động tuyệt đối:

- Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

Trong đó: cm/s2

(vì chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến)

Ta có:

Gia tốc của cam DEF đối với nền ngang :

Gia tốc tương đối của thanh AB đối với cam DEF:

Vậy:

Ví dụ 6.4: Một tấm hình chữ nhật ABCD có cạnh a x b = 20cm x 15cm quay

quanh trục thẳng đứng theo quy luật (hình 6.8). Điểm M chuyển động dọc

theo BC theo quy luật s = BM = (s: cm, t: s).

Tìm vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M tại thời điểm t = 2s.

Giải:

- Xác định:

+ Khảo sát điểm M, thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Chọn tấm ABCD là hệ động.

+ Chọn Oxyz (mặt đất) là hệ cố định.

- Phân tích chuyển động:

+ Điểm M chuyển động trên BC là chuyển động tương đối (chuyển động

thẳng)

+ Chuyển động tròn của tấm ABCD (có cả M) quay quanh Oz là chuyển động

theo.

+ Chuyển động của M so với Oxyz là chuyển động tuyệt đối.

Hình 6.8

- Vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của M:

+ Vận tốc tuyệt đối của M:

Do đó:

+ Gia tốc tuyệt đối của M:

Với:

Vậy: ; .

* Chú ý: Nếu M chuyển động trên AB thì có không?

Ví dụ 6.5: Đĩa tròn bán kính R, quay đều quanh A với vận tốc góc . Điểm M

chuyển động theo vành đĩa với vận tốc u = const.

Tìm gia tốc tuyệt đối của điểm M tại vị trí như hình vẽ (hình 6.9a).

Giải:

- Xác định:

+ Khảo sát điểm M, thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Chọn đĩa tròn là hệ động.

+ Chọn điểm A là hệ cố định.

a) b)

Hình 6.9

- Phân tích chuyển động:

+ Điểm M chuyển động trên vành đĩa là chuyển động tương đối (chuyển động

tròn)

+ Chuyển động tròn của đĩa (có cả M) quay quanh A là chuyển động theo.

+ Điểm M chuyển động đối với điểm A là chuyển động tuyệt đối.

- Gia tốc tuyệt đối của M tại vị trí điểm B:

Xác định như hình 6.9b.

Ta có:

Do đó:

Chiếu lên 2 trục:

. Do đó:

. Vậy:

Ví dụ 6.6: Trên xe đang chuyển động từ trái sang phải với gia tốc w0 = 40cm/s2,

đặt một động cơ điện có rôto quay theo quy luật (φ: rad, t: s) quanh trục nằm

ngang vuông góc với phương chuyển động. Bán kính rôto r = 20cm.

Xác định gia tốc tuyệt đối của một điểm tên vành rôto tại vị trí A tại thời điểm t =

1s?

Giải:

- Xác định:

+ Khảo sát điểm A thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Chọn toa xe là hệ động.

+ Chọn mặt đất là hệ cố định.

Hình 6.10

- Phân tích chuyển động:

+ Chuyển động của điểm A so với toa là chuyển động tương đối (cùng rôto

quay quanh O).

+ Chuyển động của toa xe (mang theo điểm A) đối với mặt đất là chuyển động

theo.

+ Chuyển động của điểm A đối với mặt đất là chuyển động tuyệt đối.

- Gia tốc của điểm A:

Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

(a)

Trong đó:

(vì chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến: )

Chiếu (a) lên hệ trục tọa độ Oxyz ta được :

Vậy: .

Ví dụ 6.7: Điểm M chuyển động trên thanh OA theo phương trình

(x: cm), thanh OA quay đều quanh O với vận tốc góc trong mặt

phẳng thẳng đứng.

Xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm M tại thời điểm t?

Hình 6.11

Giải :

- Xác định:

+ Điểm M thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Chọn tay quay OA là hệ động.

+ Chọn điểm O gắn với mặt đất là hệ cố định.

- Phân tích chuyển động:

+ Chuyển động của điểm M dọc theo tay quay OA là chuyển động tương đối:

+ Chuyển động quay của tay quay OA quanh trục O là chuyển động theo:

+ Chuyển động của điểm M đối với điểm O (gắn với mặt đất) là chuyển động

tuyệt đối.

- Vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối của điểm M:

+ Vận tốc tuyệt đối của M:

Áp dụng định lý hợp vận tốc:

Vì: , ta có:

+ Gia tốc tuyệt đối của M:

- Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

(a)

Chiếu (a) lên Oxy:

Do đó: .

Vậy:

Ví dụ 6.8: Cho cơ cấu tay quay culit (hình 6.12). Tay quay OA quay đều với vận

tốc góc ω0 = 6rad/s làm con chạy A trượt theo culit O1B ở thời điểm OA nằm ngang α = 300. Biết OA = 10cm. Xác định:

a) Vận tốc tuyệt đối, tương đối và kéo theo của con chạy A và vận tốc góc của

culit O1B?

b) Gia tốc tuyệt đối, tương đối, kéo theo và Coriolis của con chạy A và gia tốc

góc của culit O1B?

Giải:

- Xác định:

+ Khảo sát con chạy A thực hiện chuyển động phức hợp.

+ Chọn culit O1B là hệ động.

+ Chọn trái đất (bao gồm các điểm cố định O và O1) là hệ cố định.

Hình 6.12

- Phân tích chuyển động:

+ Chuyển động của con chạy A so với culit O1B là chuyển động tương đối.

+ Chuyển động của culit O1B quay quanh O1 (O1 gắn với trái đất) là chuyển

động kéo theo.

+ Chuyển động của con chạy A quay quanh O (O gắn với trái đất) là chuyển

động tuyệt đối.

a) Vận tốc của con chạy A và vận tốc góc của culit O1B?

Áp dụng định lý hợp vận tốc ta có:

Như hình 6.13, ta có:

cm/s

rad/s Vận tốc góc của culit O1B là:

b) Gia tốc của con chạy A và gia tốc góc của culit O1B?

- Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

(a)

- Vì chuyển động tuyệt đối là chuyển động quay đều của con chạy A quay O

nên: , do đó: .

có: + Phương: OA

+ Chiều: từ A đến O

+ Trị số: cm/s2

- Vì chuyển động kéo theo của culit O1B là chuyển động quay quanh O1 nên:

Với:

có: + Phương: O1B

+ Chiều: từ A đến O1

+ Trị số: cm/s2

có: + Phương: vuông góc O1B

+ Chiều: Giả thiết theo chiều dương (hình 6.13)

+ Trị số: chưa biết (cần tìm)

- Vì chuyển động tương đối là chuyển động tịnh tiến của con chạy A dọc theo

O1B nên:

có: + Phương: O1B

+ Chiều: Giả thiết theo chiều dương (hình 6.13)

+ Trị số: chưa biết (cần tìm)

- Gia tốc Coriolis có:

+ Phương chiều: dọc theo chiều dương trục z (hình 6.13)

+ Trị số: cm/s2

- Chiếu hai vế biểu thức (a) lên trục tọa độ Ay ta được:

cm/s2

ngược chiều giả thiết)

Chiếu (a) lên trục tọa độ Az ta được:

cm/s2

Gia tốc góc của culit O1B là:

rad/s2 (có chiều như hình 6.13)

Hình 6.13

Vậy:

a) cm/s; cm/s; cm/s; rad/s.

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là chuyển động tuyệt đối, chuyển động tương đối và chuyển động theo?

2. Phát biểu định lý hợp vận tốc?

3. Phát biểu định lý hợp gia tốc?

4. Thế nào là gia tốc Coriolis? Xác định gia tốc Coriolis?

5. Các dạng bài toán và trình tự giải bài toán chuyển động phức hợp?

Chƣơng 7.

CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

A. MỤC TIÊU

- Nắm vững phương pháp phân tích chuyển động song phẳng là một chuyển động

tổng hợp gồm chuyển động tịnh tiến cùng điểm cực và quay quanh cực.

- Vận dụng phương pháp xác định tâm vận tốc tức thời để giải các bài toán về

vận tốc.

- Nắm vững công thức về quan hệ vận tốc, gia tốc giữa hai điểm để giải các bài

toán liên quan đến chuyển động của một số cơ cấu, bộ phận của máy, thiết bị có

chuyển động song phẳng.

B. NỘI DUNG

7.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ MÔ HÌNH KHẢO SÁT

7.1.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà mỗi điểm

thuộc vật luôn luôn chuyển động song song trong một mặt phẳng với mặt phẳng qui

chiếu cố định.

Ví dụ: Bánh xe chuyển động lăn không trượt là chuyển động song phẳng (hình

7.1a). Cơ cấu tay quay - thanh truyền là chuyển động song phẳng (hình 7.1b).

(a) (b)

Hình 7.1

7.1.2. Mô hình khảo sát chuyển động song phẳng

Xét một vật rắn (K) chuyển động song phẳng. Lấy đoạn thẳng AB bất kỳ trên vật

rắn sao cho AB vuông góc với mặt phẳng (π0) cố định. Khi vật rắn chuyển động thì A,

B luôn chuyển động trên hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (π0). Do đó AB luôn

song song với vị trí ban đầu của nó mà AB = const nên AB sẽ chuyển động tịnh tiến.

Gọi M là giao điểm của đoạn AB và mặt phẳng (π), chuyển động tịnh tiến của AB

được đặc trưng bởi chuyển động của điểm M (hình 7.2a). Vật rắn (K) là tập hợp của

nhiều đoạn thẳng AB nên chuyển động song phẳng của vật rắn (K) được đặc trưng bởi

chuyển động của hình phẳng (S) là tiết diện của vật rắn (K) và mặt phẳng (π).

Như vậy việc khảo sát vật rắn chuyển động song phẳng trong không gian được

quy về khảo sát chuyển động của hình phẳng (S) trong mặt phẳng (π) (hình 7.2b).

a) b)

Hình 7.2

7.2. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA HÌNH PHẲNG

7.2.1. Phân tích chuyển động song phẳng thành hai chuyển động cơ bản

Xét chuyển động của hình phẳng (S) trong mặt phẳng (π). Chọn hệ trục cố định

O1x1y1 (hình 7.3).

Hình 7.3

Chọn AB trên hình phẳng. Vị trí của đoạn AB được xác định bởi tọa độ điểm A

(xA, yA) và góc φ. Gắn vào AB hệ động Axy sao cho Ax // O1x1; Ay // O1y1. Lúc này

chuyển động của hình phẳng được phân tích thành hai chuyển động thành phần:

- Chuyển động tịnh tiến của hệ động Axy đối với hệ cố định O1x1y1.

- Chuyển động quay quanh A của hình phẳng (S) đối với hệ động Axy.

7.2.2. Phƣơng trình chuyển động của hình phẳng

Từ sự phân tích trên, ta thấy vị trí của hình phẳng (S) luôn được xác định bởi:

- Tọa độ điểm A(xA, yA) để xác định được vị trí của hệ động Axy đối với hệ cố

định O1x1y1.

- Góc φ xác định vị trí của hình phẳng (có chứa AB) quay quanh A.

Mà những yếu tố trên đều biến thiên theo thời gian, nên phương trình chuyển

động song phẳng của vật rắn là:

(7.1)

Phương trình (7.1) là phương trình chuyển động song phẳng của vật rắn.

* Chú ý: Qua phân tích ở trên ta nhận thấy:

1) Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định là trường hợp riêng

của chuyển động song phẳng.

2) Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn thì chỉ có chuyển động tịnh tiến

phẳng mới là trường hợp riêng của chuyển động song phẳng.

7.2.3. Các thông số động học của hình phẳng

Hệ động Axy có chuyển động tịnh tiến nên đặc trưng động học của nó xác định

qua chuyển động của cực A bởi các yếu tố động học là: vận tốc cực A và gia tốc

cực A .

Còn chuyển động quay của hình phẳng quanh cực A được xác định bởi các yếu

tố động học là: vận tốc góc và gia tốc góc .

Các đại lượng là các thông số động học của vật rắn chuyển động

song phẳng. Trong đó phụ thuộc việc chọn cực A còn không phụ thuộc

100

vào việc chọn cực A.

7.3. KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM THUỘC VẬT (HÌNH PHẲNG)

7.3.1. Vận tốc của điểm thuộc vật

7.3.1.1. Định lý quan hệ vận tốc giữa hai điểm

Định lý: Vận tốc của điểm bất kỳ trên vật chuyển động song phẳng bằng tổng

hình học vận tốc của cực và vận tốc của điểm đó trong chuyển động quay quanh điểm

cực.

Với A là cực, vận tốc của điểm B là:

(7.2)

là vận tốc của điểm B quay quanh cực A.

Hình 7.4

Chứng minh: Như đã phân tích ở mục trên, chuyển động song phẳng của hình

phẳng (S) bao gồm hai chuyển động là chuyển động quay tương đối của hình phẳng

(S) quay cực A và chuyển động tịnh tiến của hình phẳng (S) cùng với cực A. Khi đó

, vận tốc của điểm vận tốc của B đối với hệ cố định O1x1y1 là vận tốc tuyệt đối

B đối với cực A là vận tốc tương đối .

Với có: + Phương: vuông góc AB.

+ Chiều: cùng chiều với ω

+ Trị số:

Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến cùng với cực A nên

Theo định lý hợp vận tốc ta có:

101

hay (7.2)

7.3.1.2. Định lý hình chiếu vận tốc

Định lý: Hình chiếu vận tốc của hai điểm A, B thuộc hình phẳng lên phương nối

hai điểm đó thì bằng nhau.

(7.3)

Chứng minh:

Hình 7.5

, Vận tốc của hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng là

Gọi α, β lần lượt là góc hợp bởi vận tốc với phương AB (hình 7.5)

Theo công thức (7.2) ta có:

Chiếu đẳng thức trên lên phương AB ta được:

Mà hình chiếu của lên AB là bằng không, nghĩa là

7.3.1.3. Tâm vận tốc tức thời

Định nghĩa: Tâm vận tốc tức thời là một điểm P nào đó thuộc mặt phẳng của

hình phẳng (S) mà thời điểm khảo sát vận tốc bằng không.

Chứng minh sự tồn tại của tâm vận tốc tức thời:

Xét tại thời điểm t, vận tốc của cực A là , quay phương đường thẳng chứa

một góc 900 ta có phương Ax (hình 7.6). Trên Ax ta lấy điểm P sao cho ,

102

khi đó ta có nên: (7.4)

Biểu thức (7.4) chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời P tại

mỗi thời điểm khảo sát.

Vậy: Vật rắn chuyển động song phẳng thực chất có thể coi như quay liên tục

quanh những tâm tức thời khác nhau.

Hình 7.6

* Chú ý: Trường hợp tại thời điểm khảo sát, thì P , nghĩa là hình

phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời.

7.3.1.4. Phân bố vận tốc của điểm thuộc hình phẳng

Từ kết luận trên, việc xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song

phẳng hoàn toàn giống như vận tốc của điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố

định.

Xét hai điểm M, N thuộc vật rắn chuyển động song phẳng có tâm vận tốc tức thời

P (hình 7.7).

Hình 7.7

103

Với: nhưng: nên:

Mà: nên:

Vậy: Vận tốc của của điểm trên hình phẳng chuyển động song phẳng tỉ lệ với

khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức thời P.

7.3.1.5. Phương pháp thực hành xác định tâm vận tốc tức thời

Phương pháp tìm tâm vận tốc tức thời P dựa trên tính chất cơ bản là tâm vận tốc

tức thời P phải nằm trên đường thẳng vuông góc với phương vận tốc của điểm thuộc

hình phẳng và giá trị của vận tốc tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến tâm vận tốc tức

thời.

Ta có bốn trường hợp cơ bản sau:

a) Trường hợp 1: Biết phương vận tốc của hai điểm bất kỳ A và B.

Tâm vận tốc tức thời P là giao điểm của đường thẳng vẽ từ các điểm đó và vuông

góc với phương các vận tốc (hình 7.8).

Hình 7.8

b) Trường hợp 2: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ và vận tốc các điểm vuông

góc với đường thẳng AB.

104

Hình 7.9

Tâm vận tốc tức thời được xác định dựa vào tính chất tỉ lệ: đường thẳng nối đầu

mút hai vận tốc sẽ cắt đường thẳng AB tại P (hình 7.9).

c) Trường hợp 3: Biết vận tốc hai điểm A, B bất kỳ mà

Tâm vận tốc tức thời ở vô cùng, lúc đó hình phẳng chuyển động tịnh tiến tức thời

(ω = 0). Tại thời điểm đang xét, mọi điểm thuộc hình phẳng có vận tốc như nhau (hình

7.10).

Hình 7.10

d) Trường hợp 4: Bánh xe lăn không trượt trên mặt tựa.

Bánh xe lăn không trượt thì tâm vận tốc tức thời là điểm tiếp xúc của vật với mặt

tựa (hình 7.11).

Hình 7.11

7.3.2. Gia tốc của điểm thuộc vật

7.3.2.1. Định lý quan hệ gia tốc giữa hai điểm thuộc vật

Định lý: Gia tốc của một điểm B thuộc hình phẳng bằng tổng hình học của gia

tốc cực A và gia tốc của B khi hình phẳng quay quanh cực A (hình 7.12).

105

(7.5)

Hình 7.12

Chứng minh: Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc hình phẳng (S) chuyển động song

phẳng, giả sử ta chọn A làm cực có gia tốc , lúc này điểm B đồng thời thực hiện hai

chuyển động thành phần (hình 7.12):

+ Chuyển động tịnh tiến cùng với điểm A (gắn với hệ động Axy).

+ Chuyển động quay quanh cực A với vận tốc góc ω, gia tốc góc ε.

Theo định lý hợp gia tốc (ở chương 6) ta có:

Trong đó:

gia tốc của điểm B.

gia tốc của cực A (cực A với với hệ động Axy chuyển động tịnh tiến)

gia tốc của điểm B trong chuyển động tương đối của hình phẳng (S)

quay quanh cực A.

vì hệ động Axy chuyển động tịnh tiến.

Do đó:

Với:

có: + Phương: AB.

+ Chiều: cùng chiều với ε

+ Trị số:

có: + Phương: AB.

+ Chiều: từ B đến A

106

+ Trị số:

7.4. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG

7.4.1. Các dạng bài toán

Trong chuyển động song phẳng có hai dạng bài toán cơ bản:

- Bài toán tìm vận tốc: Biết vận tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm

đang xét. Tìm vận tốc của các điểm khác thuộc vật, vận tốc góc của vật tại thời điểm

đó.

- Bài toán tìm gia tốc: Biết gia tốc của một điểm thuộc vật tại một thời điểm đang

xét. Tìm gia tốc của các điểm khác thuộc vật, gia tốc góc của vật tại thời điểm đó.

7.4.2. Phƣơng pháp giải

a) Bài toán tìm vận tốc

Có hai cách:

- Tìm tâm vận tốc tức thời P.

- Áp dụng định lý quan hệ vận tốc hoặc định lý về hình chiếu vận tốc.

b) Bài toán tìm gia tốc

Có hai cách:

- Tìm tâm gia tốc tức thời Q.

- Áp dụng định lý quan hệ gia tốc gồm các bước sau:

+ Chọn một điểm thuộc vật đã biết gia tốc làm cực.

+ Viết biểu thức quan hệ gia tốc đối với điểm chọn làm cực.

+ Vẽ và tính các vectơ gia tốc (giả thiết chiều của vectơ gia tốc nếu chưa biết).

+ Giải phương trình vectơ (có thể dùng phương pháp chiếu biểu thức vectơ lên

một trục thích hợp).

* Chú ý:

1) Cực O được chọn tuỳ ý, nên trong bài toán cụ thể cần chọn cực sao cho các

đặc trưng chuyển động đã biết hoặc xác định một cách đơn giản.

2) Chuyển động tịnh tiến tức thời xảy ra (khi hình phẳng có ), thì của các

điểm bằng nhau nhưng của chúng khác nhau .

3) Khi xác định vận tốc, chỉ được xem (S) quay quanh tâm P và khi xác định gia

tốc chỉ được xem (S) quay quanh tâm Q.

4) Để giải bài toán gia tốc, thường dùng định lý quan hệ gia tốc hai điểm chứ ít

107

dùng tâm Q.

5) Nếu vận tốc góc của hình phẳng thì .

Đặc biệt, khi đĩa tròn bán kính R lăn không trượt trên đường cố định, tâm đĩa có

vận tốc là thì:

7.4.3. Các ví dụ

Ví dụ 7.1: Cho cơ cấu hai con trượt (hình 7.13). Biết rằng con trượt A trượt trên

phương y với vận tốc vA = 20cm/s, con trượt B trượt trên phương x. Cho AB = 40cm, α = 600.

Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB?

Giải:

Hình 7.13

- Xét cơ cấu hai con trượt:

+ Con trượt A, B chuyển động tịnh tiến.

+ Thanh AB chuyển động song phẳng.

- Tìm vận tốc của điểm B và vận tốc góc của thanh AB:

Tâm vận tốc tức thời P được xác định bằng phương pháp thực hành (hình 7.13)

Ta có: (a)

Với: AP = AB. cosα = 40.cos600 = 20cm

108

BP = AB. sinα = 40.sin600 = cm

Từ (a) cm/s

Vậy: cm/s;

Ví dụ 7.2. Một bánh xe lăn không trượt trên một đường ray thẳng có bán kính r =

0,5m (hình 7.14). Ở thời điểm khảo sát, vận tốc của tâm O là vo = 2m/s và gia tốc wo = 2m/s2. Hãy xác định:

a) Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc của các điểm M1, M2, M3, M4?

b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của các điểm M1, M2, M3, M4?

Hình 7.14

Giải:

a) Vận tốc góc của bánh xe ωbx và vận tốc của M1, M2, M3, M4.

Bánh xe lăn không trượt nghĩa là bánh xe đang chuyển động song phẳng

Tâm vận tốc tức thời P là vị trí tiếp xúc của bánh xe với mặt đường ray (hình

7.15).

109

Hình 7.15

Vận tốc góc của bánh xe:

Vận tốc của điểm M1 là:

Vận tốc của điểm M2 là:

Vận tốc của điểm M3 là:

Vận tốc của điểm M4 là:

b) Gia tốc góc của bánh xe và gia tốc của M1, M2, M3, M4.

Hình 7.16

Ta có gia tốc góc của bánh xe được xác định bởi công thức:

Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

Với:

110

- Gia tốc tại M1:

- Gia tốc tại M2:

- Gia tốc tại M3:

- Gia tốc tại M4:

Vậy: a)

Ví dụ 7.3: Cho cơ cấu tay quay - con trượt (hình 7.17). Tay quay OA = 20cm

quay quanh O theo quy luật φ = 10t (t tính bằng giây) làm cho con chạy B chuyển

động theo đường thẳng đứng nhờ thanh AB = 100cm.

Tìm vận tốc và gia tốc của điểm B, vận tốc góc và gia tốc góc của thanh AB tại

thời điểm tay quay và hợp với phương ngang góc α = 450.

Hình 7.17

Giải:

- Khảo sát cơ hệ:

+ Tay quay OA chuyển động quay quanh O

111

+ Con trượt B chuyển động tịnh tiến theo phương thẳng đứng

+ Thanh AB chuyển động song phẳng.

* Xác định vận tốc của điểm B, vận tốc góc của thanh AB:

- Xét tay quay OA chuyển động quay quanh O, ta có:

và

có: + Phương: AB

+ Chiều: từ A đến B (hình 7.18a)

+ Trị số:

- Xác định tâm vận tốc tức thời P (sử dụng phương pháp thực hành).

a) b)

Hình 7.18

Từ A và B kẻ hai đường thẳng lần lượt vuông góc với và giao điểm P của

hai đường thẳng là tâm vận tốc tức thời (hình 7.18a)

Khi đó, ta có: (a)

Với:

112

Từ (a)

* Xác định gia tốc của điểm B, gia tốc góc của thanh AB

- Ta chọn A làm cực, giả thiết chiều (hình 7.18b)

- Gia tốc của điểm B được xác định bởi biểu thức:

(b)

Trong đó:

) (vì

có: + Phương: OA

+ Chiều: từ A đến O (hình 7.18b)

+ Trị số:

có: + Phương: vuông góc AB.

+ Chiều: cùng chiều (hình 7.18b)

+ Trị số:

có: + Phương: AB

+ Chiều: từ B đến A (hình 7.18b)

+ Trị số:

- Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ax, ta được:

- Chiếu hai vế biểu thức (b) lên Ay, ta được:

113

Vậy:

Ví dụ 7.4. Cho cơ cấu tay quay - con trượt có tay quay OA = 30cm quay đều với vận tốc góc ω0 = 2rad/s. Tại vị trí thanh AB hợp với phương ngang một góc α = 300

(hình 7.19). Tìm:

a) Vận tốc, gia tốc của điểm A?

b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB?

Hình 7.19

Giải:

a) Vận tốc, gia tốc của điểm A

Tay quay OA quay đều quanh quanh O, con chạy B chuyển động tịnh tiến, AB

chuyển động song phẳng.

Hình 7.20

Vận tốc tại A:

Gia tốc tại A:

Với:

114

b) Vận tốc, gia tốc của điểm B và gia tốc góc của thanh AB.

Xét thanh AB chuyển động song phẳng.

Tâm vận tốc tức thời P được xác định như hình vẽ.

Vì P → ∞ nên thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời (hình 7.20)

* Tìm

Hình 7.21

- Chọn A làm cực. Áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

(vì ω = const) Mà:

(vì thanh AB chuyển động tịnh tiến tức thời có )

(a)

Trong đó:

có: + Phương: OA,

+ Chiều: từ A đến O (hình 7.21)

+ Trị số:

có: + Phương: vuông góc AB

+ Chiều: cùng chiều (hình 7.21)

115

+ Trị số:

có: + Phương: ngang BO

+ Chiều: giả thiết như hình 7.21.

+ Trị số: chưa biết.

- Chiếu biểu thức (a) lên trục x ta được:

Chiều của ngược chiều với giả thiết

- Chiếu biểu thức (a) lên trục y ta được:

Mà:

Vậy: a) .

b) .

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Thế nào là chuyển động song phẳng? Cho ví dụ?

2. Mô hình khảo sát chuyển động song phẳng?

3. Phương trình chuyển động song phẳng của hình phẳng?

4. Biểu thức xác định vận tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng? Định lý

hình chiếu vận tốc?

5. Tâm vận tốc tức thời là gì? Trình bày bốn trường hợp xác định tâm vận tốc tức thời

bằng phương pháp thực hành?

116

6. Biểu thức xác định gia tốc của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng?

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phan Văn Cúc - Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây

dựng – Hà Nội (2003).

Ninh Quang Hải, Cơ học lý thuyết, Nxb. Xây dựng - Hà Nội (1999).

Trần Trọng Hỉ - Đặng Thanh Tân, Giáo trình Cơ học lý thuyết, Nxb.

Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh (2010).

Vũ Duy Cường, Giáo trình Cơ lý thuyết, Nxb. Đại học Quốc gia TP. Hồ

Chí Minh (2003).

X. M. Targ, Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết (dịch), Nxb. ĐH &

THCN - Hà Nội (1979).

Nguyễn Quốc Bảo, Đỗ Minh Tiến, Bài giảng Cơ lý thuyết (Cao đẳng),

117

Trường ĐH Phạm Văn Đồng - Tài liệu lưu hành nội bộ (2016).

Bài giảng Cơ lý thuyết 1 - ĐH Phạm Văn Đồng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ

*******

ThS. NGUYỄN QUỐC BẢO

KS. HỒ NGỌC VĂN CHÍ

BÀI GIẢNG

CƠ LÝ THUYẾT 1

Quảng Ngãi, 05/2017

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

PHẦN I. TĨNH HỌC

Chƣơng 1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

Chƣơng 2.

HỆ LỰC

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

Chƣơng 3.

CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT CỦA TĨNH HỌC

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

PHẦN II. ĐỘNG HỌC

Chƣơng 4.

ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

Chƣơng 5.

CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

Chƣơng 6.

CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA CHẤT ĐIỂM

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

Chƣơng 7.

CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

A. MỤC TIÊU

B. NỘI DUNG

C. CÂU HỎI ÔN TẬP

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok