1
bµi tËp ch−¬ng 1: ®iÖn tr−êng trong ch©n kh«ng
Bµi 1.1: Trong h×nh 1.1, hai qu¶ cÇu A vµ B dÉn ®iÖn, gièng nhau vµ t¸ch biÖt
nhau vÒ ph−¬ng diÖn ®iÖn, ®−îc ®Æt c¸ch nhau (tõ t©m nµy ®Õn t©m kia) mét
kho¶ng a lín so víi kÝch th−íc cña c¸c qu¶ cÇu. Qu¶ cÇu A cã
®iÖn tÝch d−¬ng +Q, qu¶ cÇu B trung hoµ ®iÖn vµ
míi ®Çu kh«ng cã lùc tÜnh ®iÖn gi÷a c¸c qu¶ cÇu.
a) Gi¶ thiÕt c¸c qu¶ cÇu ®−îc nèi víi nhau trong
mét lóc bëi mét d©y dÉn m¶nh. Hái lùc tÜnh ®iÖn
gi÷a c¸c qu¶ cÇu sau khi bá d©y nèi.
b) Sau ®ã, gi¶ thiÕt qu¶ cÇu A ®−îc nèi ®Êt trong
chèc l¸t råi th«i. Hái lùc tÜnh ®iÖn gi÷a c¸c qu¶
cÇu lóc nµy.
H×nh 1.1
Bµi 1.2: Bèn ®iÖn tÝch d−¬ng b»ng nhau, mçi ®iÖn tÝch cã gi¸ trÞ b»ng
q = 2,1 × 10-9 C ®−îc ®Æt t¹i bèn ®Ønh cña mét h×nh vu«ng c¹nh a. CÇn ph¶i ®Æt
mét ®iÖn tÝch b»ng bao nhiªu vµ ë ®©u ®Ó c¸c lùc t¸c dông lªn mçi ®iÖn tÝch
b»ng kh«ng ?
Bµi 1.3: Trªn h×nh 1.2 lµ mét s¾p xÕp cña 6 h¹t tÝch ®iÖn cè ®Þnh, trong ®ã a
= 2 cm vµ
θ
=30°.TÊt c¶ 6 h¹t cã ®iÖn tÝch cïng ®é lín q = 3 × 10-6 C, dÊu cña
chóng chØ trªn h×nh 1.2. Hái lùc tÜnh ®iÖn F1
→ t¸c dông lªn q1 do c¸c ®iÖn tÝch
kia.
H×nh 1.2
Bµi 1.4: §iÖn tÝch q1 = 3,5 × 10-4 C ®−îc ph©n bè ®Òu trªn mét thanh kim lo¹i
máng dµi l = 8 cm t¸c dông mét lùc F = 1,2 × 10-4 N lªn ®iÖn tÝch q2 ®Æt t¹i mét
®iÓm trªn ®o¹n kÐo dµi cña thanh kim lo¹i vµ c¸ch ®iÓm gi÷a mét ®o¹n r = 6
cm. X¸c ®Þnh ®é lín cña q2.
Bµi 1.5: Cho hai ®iÖn tÝch q vµ 2q ®Æt c¸ch nhau 10 cm. Hái t¹i ®iÓm nµo trªn
®−êng nèi hai ®iÖn tÝch Êy ®iÖn tr−êng triÖt tiªu.
A
B
a
0
+Q
q2 q1 q6 q4
2a a a
a a
θ
θ
q3 q5
y
x
2
Ghi chó: Trong c¸c bµi tËp nÕu kh«ng x¸c ®Þnh râ m«i tr−êng th× khi tÝnh to¸n
cã thÓ coi c¸c ®iÖn tÝch ®−îc ®Æt trong ch©n kh«ng.
Bµi 1.6: H×nh 1.3 cho thÊy c¸c b¶n lµm lÖch cña mét m¸y in phun mùc cïng víi
c¸c trôc to¹ ®é. Mét giät mùc víi khèi l−îng m = 1,3 × 10-10 kg vµ víi ®iÖn tÝch
©m cã ®é lín Q = 1,5 × 10-13 C ®i vµo miÒn gi÷a hai b¶n, míi ®Çu chuyÓn ®éng
däc theo trôc x víi vËn tèc vx = 18 m/s.
ChiÒu dµi L cña c¸c b¶n b»ng 1,6 cm. C¸c b¶n
®−îc tÝch ®iÖn vµ do ®ã t¹o ra mét ®iÖn tr−êng
ë tÊt c¶ c¸c ®iÓm gi÷a chóng. Gi¶ thö ®iÖn
tr−êng E
→ h−íng tõ trªn xuèng d−íi lµ ®Òu vµ
cã ®é lín b»ng 1,4 × 106 N/C. H·y x¸c ®Þnh ®é
lÖch th¼ng ®øng cña giät ë mÐp xa cña c¸c b¶n.
(Träng l−îng cña giät lµ nhá so víi lùc tÜnh
®iÖn t¸c dông lªn giät vµ cã thÓ bá qua).
H×nh 1.3
Bµi 1.7: Mét thanh th¼ng rÊt m¶nh cã chiÒu dµi 2a ®−îc tÝch ®iÖn víi mËt ®é
®iÖn dµi kh«ng ®æi
λ
vµ ®−îc ®Æt trong ch©n kh«ng. TÝnh gi¸ trÞ cña c−êng ®é
®iÖn tr−êng cho nh÷ng ®iÓm n»m trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi thanh vµ ®i
qua t©m cña thanh theo kho¶ng c¸ch r tÝnh tõ t©m cña thanh. XÐt tr−êng hîp a
→
∞
.
Bµi 1.8: Víi thanh ë bµi 1.7, h·y tÝnh c−êng ®é ®iÖn tr−êng t¹i nh÷ng ®iÓm
n»m trªn trôc, ë ngoµi thanh vµ c¸ch t©m cña thanh mét kho¶ng r.
Bµi 1.9: TÝnh c−êng ®é ®iÖn tr−êng E ë t©m mét b¸n cÇu cã b¸n kÝnh R. B¸n
cÇu ®−îc tÝch ®iÖn víi mËt ®é ®iÖn mÆt kh«ng ®æi
σ
.
Bµi 1.10: Hai qu¶ cÇu nhá tÝch ®iÖn gièng nhau cã khèi l−îng mçi qu¶ b»ng m
®−îc treo trªn cïng mét ®iÓm trªn c¸c sîi d©y lôa m¶nh cã ®é dµi b»ng l.
Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c qu¶ cÇu x << l. T×m tèc ®é hao hôt cña ®iÖn tÝch dq
dt cña
mçi qu¶ cÇu, nÕu nh− vËn tèc xÝch l¹i gÇn cña chóng thay ®æi theo ®Þnh luËt
v = a
x, trong ®ã a lµ h»ng sè.
Bµi 1.11: H·y x¸c ®Þnh c−êng ®é ®iÖn tr−êng t¹i ®iÓm cã ®iÖn tÝch
b»ng 0,50 µC. §iÖn tÝch nµy chÞu mét lùc t¸c dông cña ®iÖn tr−êng b»ng
Fij
→→→
× = ( 3,0 - 5,0 ) 10 N
-3 .
Bµi 1.12: T×m c−êng ®é ®iÖn tr−êng t¹i t©m cña nöa vßng trßn tÝch ®iÖn
b¸n kÝnh a, nÕu nh− mËt ®é ®iÖn dµi
λ
cña
nã ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc
λ
=
λ
0sin
θ
víi gãc
θ
®−îc vÏ trªn h×nh 1.4. So s¸nh víi
tr−êng hîp mËt ®é ®iÖn dµi
λ
kh«ng ®æi.
E
0
x
x
=
L
m,Q
λ
=
λ
0sin
θ
a
θ
3
H×nh 1.4
Bµi 1.13: Mét vßng d©y b¸n kÝnh R = 5 cm tÝch ®iÖn Q ph©n bè ®Òu trªn vßng,
vßng ®Æt trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng. Qu¶ cÇu nhá m = 1 g tÝch ®iÖn q = Q
®−îc treo vµo ®iÓm cao nhÊt cña vßng d©y b»ng sîi chØ m¶nh c¸ch ®iÖn.
ë vÞ trÝ c©n b»ng, qu¶ cÇu n»m trªn trôc cña vßng
d©y (H×nh 1.5). ChiÒu dµi cña sîi chØ lµ l = 7,2
cm. TÝnh Q.
Bµi 1.14: Mét pr«t«n tõ rÊt xa bay ®Õn víi vËn
tèc v0 = 2 km/s, vÒ phÝa mét ion d−¬ng cã ®iÖn
tÝch lín
H×nh 1.5
gÊp 3 ®iÖn tÝch cña pr«t«n ®ã. Hái pr«t«n ®ã cã thÓ ®Õn gÇn ion d−¬ng ®øng yªn
nãi trªn ë kho¶ng c¸ch nhá nhÊt b»ng bao nhiªu ?
Bµi 1.15: H×nh 1.6 cho thÊy ba côc nhùa tÝch
®iÖn vµ mét ®ång xu trung hoµ ®iÖn. TiÕt diÖn
cña hai mÆt Gauss ®−îc chØ ra. Hái th«ng
l−îng cña ®iÖn tr−êng qua mçi mÆt ®ã nÕu q1
= +3,1 nC, q2 = -5,9 nC vµ q3 = -3,1 nC.
Bµi 1.16: TÝnh ®iÖn tr−êng cña mét vËt dÉn
h×nh trô dµi v« h¹n víi mËt ®é ®iÖn mÆt
σ
t¹i
®iÓm A (ë bªn ngoµi h×nh trô) vµ ®iÓm B (ë
bªn trong h×nh trô).
H×nh 1.6
Bµi 1.17: C−êng ®é cña ®iÖn tr−êng trung b×nh th−êng cã trong bÇu khÝ quyÓn
ngay trªn mÆt qu¶ ®Êt vµo kho¶ng 150 N/C; ®iÖn tr−êng h−íng tõ trªn xuèng
d−íi. Hái ®iÖn tÝch mÆt tæng céng cña qu¶ ®Êt. Gi¶ thiÕt qu¶ ®Êt lµ mét vËt dÉn
víi mËt ®é ®iÖn tÝch mÆt ®Òu.
Bµi 1.18: H×nh 1.7 cho thÊy c¸c phÇn cña hai
b¶n réng kh«ng dÉn ®iÖn, mçi b¶n víi mét ®iÖn
tÝch ®Òu cè ®Þnh trªn mçi phÝa. §é lín cña c¸c
mËt ®é ®iÖn tÝch mÆt b»ng
σ
(+) = 6,8 µC/m2 cho
b¶n tÝch ®iÖn d−¬ng vµ
σ
(-) = 4,3 µC/m2 cho b¶n
tÝch ®iÖn ©m. TÝnh ®iÖn tr−êng
E
→: (a) ë bªn tr¸i
cña c¸c b¶n, (b) gi÷a c¸c b¶n vµ (c) ë bªn ph¶i
cña c¸c b¶n.
H×nh 1.7
Bµi 1.19: Bªn trong mét qu¶ cÇu mang ®iÖn víi mËt ®é ®iÖn khèi
ρ
cã mét hèc
h×nh cÇu kh«ng cã ®iÖn tÝch. T©m cña hèc c¸ch t©m cña qu¶ cÇu mét kho¶ng lµ a.
T×m vect¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng trong hèc.
Bµi 1.20: §Æt mét ®iÖn tÝch ®iÓm q gÇn mét thµnh kim lo¹i ph¼ng ®· nèi ®Êt
vµ c¸ch thµnh nµy mét kho¶ng lµ a. X¸c ®Þnh mËt ®é ®iÖn mÆt
σ
cña c¸c ®iÖn
R
l
A
q
O
Q
d
S1
Xu
q1
q2
q3
S2
σ
(+)
σ
(-)
4
tÝch c¶m øng xuÊt hiÖn trªn thµnh theo kho¶ng c¸ch x tÝnh tõ ch©n ®−êng
th¼ng vu«ng gãc h¹ tõ ®iÖn tÝch xuèng thµnh kim lo¹i.
Bµi 1.21: Mét qu¶ cÇu cã m = 1 g, q = 5 × 10-8 C dÞch chuyÓn tõ ®iÓm A cã ®iÖn
thÕ 600 V ®Õn ®iÓm B cã ®iÖn thÕ b»ng kh«ng. T×m vËn tèc cña qu¶ cÇu t¹i A
nÕu vËn tèc cña nã t¹i B b»ng 0,4 m/s.
Bµi 1.22:
a) H×nh 1.8a cho thÊy hai ®iÓm i vµ f trong mét ®iÖn tr−êng ®Òu
E
→. C¸c ®iÓm
®ã n»m trªn cïng mét ®−êng søc (kh«ng vÏ trªn h×nh) vµ c¸ch nhau mét
kho¶ng d. T×m thÕ hiÖu Vf - Vi b»ng c¸ch dÞch chuyÓn mét ®iÖn tÝch thö
d−¬ng q0 tõ i ®Õn f däc theo mét ®−êng song song víi chiÒu cña ®iÖn tr−êng.
b) Sau ®ã, t×m thÕ hiÖu Vf - Vi b»ng c¸ch lµm dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch thö d−¬ng
q0 tõ i ®Õn f theo ®−êng icf chØ trªn h×nh 1.8b.
a) b)
H×nh 1.8
Bµi 1.23: Tõ kho¶ng c¸ch r1 = 4 cm ®èi víi mét sîi d©y dµi v« h¹n, mét ®iÖn
tÝch q = 6,66 × 10-10 C dÞch chuyÓn d−íi t¸c dông cña ®iÖn tr−êng vµo kho¶ng
c¸ch r2 = 2 cm. Khi ®ã ®iÖn tr−êng thùc hiÖn c«ng A = 50 × 10-7 J. T×m mËt ®é
®iÖn dµi cña sîi d©y.
Bµi 1.24: Víi thanh ë bµi 1.7, h·y tÝnh ®iÖn thÕ t¹i mçi ®iÓm n»m trªn trôc vµ
ë ngoµi thanh c¸ch t©m cña thanh mét kho¶ng r.
Bµi 1.25: Víi b¸n kÝnh cÇu ë bµi 1.9, h·y tÝnh ®iÖn thÕ ë t©m cña b¸n cÇu.
Bµi 1.26: §iÖn thÕ t¹i t©mcña mét ®Üa trßn tÝch ®iÖn ®Òu b¸n kÝnh R = 3,5 cm
lµ V0 = 550 V.
a) §iÖn tÝch tæng céng q cña ®Üa b»ng bao nhiªu ?
b) TÝnh ®iÖn thÕ t¹i ®iÓm n»m trªn trôc cña ®Üa vµ c¸ch t©m ®Üa mét kho¶ng z
= 5R.
q0 d
d
E
ds
45
°
45
°
E
ds
ds
i i
q0
E
C
q0
5
R
Bµi 1.27: Ng−êi ta ®Æt mét ®iÖn tÝch ®iÓm Q t¹i trung ®iÓm cña trôc ®i
qua t©m cña mét h×nh trô cã ®−êng
kÝnh ®¸y b»ng chiÒu cao cña nã
(H×nh 1.9). H·y tÝnh th«ng l−îng
®iÖn tr−êng cña ®iÖn tÝch Q göi qua
mÆt bªn cña h×nh trô.
H×nh 1.9
Bµi 1.28 (15). Hai l¸ cña mét ®iÖn nghiÖm gåm hai d©y dµi 6o cm, mçi ®Çu mót
cña hai thanh cã g¾n mét khèi nÆng 25 g. Khi tÝch ®iÖn cho ®iÖn nghiÖm, hai l¸
cña ®iÖn nghiÖm lÖch nhau mét gãc 600. TÝnh gi¸ trÞ cña mçi mét ®iÖn tÝch. (
§.S : 4,8 10-6 C).
Bµi 1.29(19).
Hai qu¶ cÇu nhá tÝch ®iÖn ®−îc treo
trªn hai sîi d©y cã chiÒu dµi b»ng l
(H×nh 1.10) t¹o víi ph−¬ng th¼ng ®øng
t−¬ng øng c¸c gãc θ1 vµ θ2. X¸c ®Þnh tû
sè θ1/θ2 trong c¸c tr−êng hîp sau:
1. Q1= Q, Q2= 2Q, vµ m1 = m2 = m
2. Q1 = Q, Q2 = 2Q, m1 = m, m2 =2m
3. X¸c ®Þnh kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c qu¶
hai qu¶ cÇu nhá tÝch ®iÖn trong mçi
tr−êng hîp.
H×nh 1.10
(§S: 1) θ1/θ2=1, 2) θ1/θ2=2, 3) TH1:
3/1
2
0
4⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
mg
lQ
ε
;TH2:
3/1
2
0
3⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
mg
lQ
ε
)
Bµi 1.30(36). Hai ®iÖn tÝch b»ng nhau vµ b»ng Q ®−îc ®Æt t¹i c¸c ®iÓm
(x=l,y=0) vµ (x=-l,y=0).
1. H·y x¸c ®Þnh ®iÖn tr−êng t¹i c¸c ®iÓm n»m trªn trôc y cã to¹ ®é lµ (0,y).
2. Chøng minh r»ng ®iÖn tr−êng nµy ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i t¹i ®iªm (0, 2/l±).
(§S: 1.
()
2/3
22
0
4
2
yl
Qy
+
πε
h−íng theo trôc y
( TÝnh ®¹o hµm E theo y cho b»ng kh«ng sÏ thu ®−îc kÕt qu¶.)
Q
l = 2R
θ1
θ2
1 2