9/25/2019
1
LOG
O
Chương 3:
Hàm khả vi
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Khái niệm
§2. Định lý giá trị trung bình
§4. Công thức Taylor
§5. Ứng dụng
§3. Đạo hàm cấp cao
2
§1. Khái niệm
3
I. Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0.Đạo hàm (cấp một)của
hàm số f(x)tại x0, ký hiệu ,được
tính bởi
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
0 0
( ) ( )
y x f x
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x)được
gọi là khả vi tại x0.
( )
f x
4
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2
ln(1 )
khi 0
( )
0 khi 0
xx
f x x
x
tại
0
0.
x
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
5
Định lý 1.5:
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x L f x f x L
Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
1 , 1,
( )
(1 )(2 ), 1
x x
f x x x x
tại
0
1.
x
6
Định lý 1.6:
f(x) có đạo hàm tại x0f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2
( ) khi 0
( )
khi 0
x
e x x x
f x m x
có đạo hàm tại
0
0.
x
9/25/2019
2
7
Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b].
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có
đạo hàm tại mọi điểm xthuộc (a,b).
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có
đạo hàm trên (a,b) và có đạo hàm phải tại x= a và có
đạo hàm trái tại x= b.
II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2
( . ) .
( )
( . ) . .
. .
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
( ) ( ). ( )
y x u x y u x
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có
( ), ( )
u u x v v x
9
Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
arctan
y x
b)
2
(arcsin )
y x
c)
2
arctan ln 1
x x x
y e e e
d)
3
2
( 1)
x
y x
Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó
( ) ( )
F x f g x
( 2) 8,
f
( 2) 4,
f
(5) 3,
f
(5) 2,
g
(5) 6.
g
Tìm
(5).
F
III. Vi phân cấp một:
10
Vi phân (cấp một)của hàm số f(x) là
( ) ( )
df x f x dx
dy y dx
hay
Ví dụ 1.6. Cho Tính và
2
.
x
y e
( )
dy x
(1).
dy
11
Định lý 2.3. Nếu u,vlà các hàm khả vi thì
1) ( ) .
d u v du dv
2) ( . ) . .
d k u k du
3) ( . ) .
d u v vdu udv
2
4) .
u vdu udv
dvv
Ví dụ 1.7. Cho uvà vlà các hàm khả vi theo
biến x. Tìm biểu thức vi phân của các hàm số
sau
a)
2
u
y
v
b)
2 2
ln
y u v
12
Ví dụ 1.8. Tìm vi phân df nếu
a)
ln arctan(sin )
y x
b)
2
.sin
3
x
x
y e
9/25/2019
3
13
§2. Định lý giá trị trung bình
I. Định lý Rolle:
14
Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a) = f(b)
thì tồn tại sao cho .
( , )
c a b
Ýnghĩa hình học:Nếu hàm f(x)thỏa mãn các điều
kiện của định lý Rolle thì phải có ít nhất một điểm c
thuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với trục
hoành.
( ) 0
f c
15
Ví dụ 2.1: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa
mãn các điều kiện của định lý Rolle trên một
đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất cả các số
c thỏa mãn kết luận của định lý Rolle.
3 2
( ) 6 2, 0;3 .
f x x x x
II. Định lý giá trị trung bình:
16
Nếu f(x)liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)thì tồn tại
sao cho
( , )
c a b
Ýnghĩa hình học:Nếu hàm f(x)thỏa mãn các điều
kiện của định lý giá trị trung bình thì phải có ít nhất
một điểm cthuộc (a,b) sao cho tiếp tuyến tại đó song
song với đường thẳng nối hai đầu mút.
( ) ( ) ( ).( ).
f b f a f c b a
17
Ví dụ 2.2: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa
mãn các điều kiện của định lý giá trị trung bình
trên một đoạn cho trước không. Sau đó tìm tất
cả các số c thỏa mãn kết luận của định lý giá trị
trung bình.
( ) , 0;4 .
f x x
Ví dụ 2.3: Giả sử f(0) = -3 và .
Tìm giá trị lớn nhất mà f(2) có thể nhận được.
( ) 5,
f x x
18
§3. Đạo hàm cấp cao
9/25/2019
4
I. Đạo hàm cấp cao:
19
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp ncủa f(x) là
y
( ) ( )
y f x f x
( ) ( ) ( 1)
( ) ( )
n n n
y f x f x
Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
ba, cấp bốn, cấp ncủa hàm số
, .
kx
y e k const
20
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó
( ) ( ) ( )
0
( . )
n
n k k n k
n
k
u v C u v
Ví dụ 3.4. Tính của hàm số
2 2
.
x
y x e
(20)
y
Ví dụ 3.2. Cho hàm số Chứng
minh
sin .
y x x
2( sin ) 0.
xy y x xy
Ví dụ 3.3. Cho hàm số . Chứng
minh
2
2
y x x
3
4
) 1 0.
) 3 0.
a y y
b y y y
II. Vi phân cấp cao:
21
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp nthì vi phân cấp ncủa hàm số y=f(x) là
1 ( )
n n n n
d y d d y y dx
trong đó
. .... .
n
n
dx dx dx dx
22
Ví dụ 3.5. Tính vi phân cấp 2 của hàm số
x
y e
trong hai trường hợp:
a) xlà biến độc lập.
b) xlà hàm của một biến độc lập nào đó.
23
§4. Công thức Taylor
I. Công thức khai triển Taylor:
24
Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1
trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor
(khai triển Taylor)cấp ncủa f(x)tại x0là
( )
2
0 0 0
0 0 0 0
( 1)
1
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
1! 2! !
( ) ( )
( 1)!
n
n
n
n
f x f x f x
f x f x x x x x x x
n
fx x
n
c
trong đó clà một số nằm giữa xvà x0.
( 1)
1
0
( )
( ) ( ) :
( 1)!
n
n
n
f
R x x x
n
c
Phần dư Lagrange bậc n.
0
( ) ( ) :
n
n
R x o x x
Phần dư Peano bậc n.
9/25/2019
5
II. Công thức khai triển Maclaurin:
25
Là khai triển Taylor của hàm f(x)tại điểm
0
0 :
x
( ) ( 1)
2 1
(0) (0) (0) ( )
( ) (0) ...
1! 2! ! ( 1)!
n n
n n
f f f f
f x f x x x x
n n
c
hay
( )
2
(0) (0) (0)
( ) (0) ... ( )
1! 2! !
n
n n
f f f
f x f x x x o x
n
III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp:
26
Xem Bảng 3.
Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:
Cách 1: Tính rồi thế vào công thức.
( )
(0), (0),..., (0)
n
f f f
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến.Chú ý: đặt sao cho
Cách tìm khai triển Taylor đến cấp ntại x=x0:
( )
w g x
Cách 1: Tính rồi thế vào công thức
( )
0 0 0
( ), ( ),..., ( )
n
f x f x f x
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến.Chú ý: đặt
0
.
w x x
0 0.
x w
27
Ví dụ 4.1. Tính đạo hàm cấp ncủa hàm số
2
1
( ) .
2 8
f x x x
Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến
cấp n.
28
Ví dụ 4.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số
sau đến số hạng chứa
2
) ( )
x
a f x e
4
x
2
) ( ) cos
b f x x
1
) ( )
3
c f x
x
) ( ) ln(1 3 )
d f x x
Ví dụ 4.3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số
sau
) ( ) .ln 1
x
a f x e x
đến số hạng chứa
) ( )
1
x
x
b f x
e
đến cấp 4.
3
.
x
29
Ví dụ 4.4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau
đến cấp 3.
) ( )
x
a f x e
tại
0
2.
x
1
) ( )b f x
x
tại
0
3.
x
2 1
) ( )
1
x
c f x
x
tại
0
2.
x
30
§5. Ứng dụng