Kỹ thuật điều khiển tự động
BÀI 2: BIẾN ĐỔI LAPLACE
VÀ HÀM TRUYỀN
lt.sang@hutech.edu.vn
Giới Thiệu
• Các phần tử của hệ thống điều khiển được mô tả bởi một phương trình – thiết lập mối quan hệ về thời gian giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của phần tử. Những phương trình này là những hàm theo thời gian và thường gồm có những thành phần vi / tích phân. • Phép biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi phương trình vi phân thành phương trình đại số - là những hàm theo tần số. Khi phương trình đại số này được sắp xếp ở dạng tỷ lệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, thì kết quả được gọi là hàm truyền đạt của phần tử.
Phép biến đổi Laplace rất thuận tiện trong việc mô tả hệ thống cũng như trong quá trình phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển.
Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
Xác định phương trình vi phân mô tả hệ cơ khí gồm lò xo-khối lượng-giảm chấn có sơ đồ như hình (a).
Bộ giảm chấn (b) gồm 1 xy lanh dầu và một piston, một trong hai thành phần này được lắp cố định, còn phần kia di động. Khi có chuyển động tương đối giữa piston và xy lanh, dầu sẽ chảy từ buồng này sang buồng kia qua khe hở. Lực đẩy dầu qua khe hở có tác dụng cản trở chuyển động, gọi là lực ma sát nhớt.
Lực giảm chấn Fd ngược chiều và tỷ lệ với vận tốc v:
b: hệ số ma sát nhớt [N.s/m] Fd = b.v
Bộ giảm chấn cũng được biểu diễn đơn giản như hình (c) và (d)
Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
II Newton,
ta có
Theo định luật phương trình cân bằng lực:
Trong đó, tín hiệu vào: lực F(t) tác dụng từ bên ngoài [N]
Giả sử tại t=0, hệ đang ở trạng thái cân bằng.
tín hiệu ra: lượng di động y(t) của khối lượng m [m]
m: khối lượng [kg] b: hệ số ma sát nhớt [N.s/m] k: độ cứng lò xo [N/m]
: lực quán tính : lực giảm chấn : lực lò xo
Phương trình vi phân bậc 2 mô tả quan hệ vào-ra:
Thiết Lập Quan Hệ Input-Output
• Mạch điện RC
Đối với tụ điện
là hằng số thời gian của mạch điện
Với
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: làm phép biến đổi Laplace đối với hàm f(t) = K
Định nghĩa:
Với
Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản
Giả thiết là chỉ xét các hàm f(t) trong miền t ≥ 0 và điều kiện ban đầu f(t) = 0 khi t < 0
Hàm bậc thang đơn vị
Ảnh Laplace:
Hàm xung đơn vị
Hàm có tính chất
Ảnh Laplace:
Biến Đổi Laplace Các Hàm Cơ Bản
Hàm mũ
Hàm dốc đơn vị
Lấy tích phân từng phần
với u = t và
Ảnh Laplace
Hàm lượng giác Sử dụng công thức Euler: cos(ωt) ± jsin(ωt) = e(±jωt)
Bảng Biến Đổi Laplace
Time domain Frequency domain
Định Lý Của Phép Biến Đổi
Biến Đổi Laplace
1
2
3
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau:
Giải
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm trên khi có điều kiện ban đầu là:
Giải
Biến Đổi Laplace
Giải
Thí dụ: Biến đổi Laplace cho hàm sau với tất cả điều kiện ban đầu bằng 0:
Giải
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau
Giải
Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau
Giải
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Chứng minh biến đổi Laplace của các hàm sau
Đổi biến số:
Giải
TS. Ngô Hà Quang Thịnh, nhqthinh@hcmut.edu.vn
Biến Đổi Laplace
Trong đó
Thí dụ: Nếu f(t) là 1 hàm gốc, tuần hoàn với chu kỳ T, nghĩa là f(t) = f(t + T) với t >0 thì biến đổi Laplace của nó là
Giải
Theo định nghĩa, ta có
Đổi biến t = u + T
Biến Đổi Laplace
Do tính chất tuần hoàn f(u + T) = f(u) nên
Ta được
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Một phần tử có thời gian trễ được mô tả như sau: fi(t) = 4t và fo (t) = 4(t - 6), hãy biến đổi Laplace cho tín hiệu ra của phần tử.
Giải
• Biến đổi Laplace ngược
Chuyển đổi hàm theo tần số thành hàm theo thời gian. Trong phân tích hệ thống điều khiển, hàm trong miền tần số thường có dạng là phân số của hai đa thức.
Biến Đổi Laplace
Đặt vấn đề: Tìm hàm thời gian y(t) khi biết ảnh Laplace Y(s) Thông thường, ảnh Laplace Y(s) có dạng hàm hữu tỉ:
1) Mẫu số Y(s) chỉ có các nghiệm đơn
Biến Đổi Laplace
Tìm biến đổi Laplace ngược:
Biến Đổi Laplace
2) Mẫu số Y(s) có nghiệm bội
Biến Đổi Laplace
Hãy xác định hàm y(t) của ảnh Laplace
Biến Đổi Laplace
3) Mẫu số Y(s) có nghiệm phức
Biến Đổi Laplace
Xác định hàm y(t) khi biết ảnh Laplace
Biến Đổi Laplace
Biến Đổi Laplace
Thí dụ: Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược cho những hàm sau:
Giải
Biến Đổi Laplace
Biến Đổi Laplace
Biến Đổi Laplace
Hàm Truyền
Thí dụ: Xác định hàm truyền của mạch RC có phương trình theo thời gian như sau:
Hàm truyền của một phần tử là phân số giữa phép biến đổi Laplace của tín hiệu ra và phép biến đổi laplace của tín hiệu vào.
Giải
Thí dụ: Một van điều khiển có hàm truyền như sau như sau:
Hàm Truyền
Khảo sát đặc tính đáp ứng của van khi tín hiệu dòng điện (ngõ vào) tác động như sau:
Giải
• Giá trị xác lập: 8 (mm) • Dạng đáp ứng: dao động tắt dần
Hàm Truyền
Hàm Truyền
• Định lý giá trị đầu / cuối
Giúp xác định những giá trị xác lập nhanh chóng mà không cần thực hiện biến đổi Laplace ngược
Thí dụ: ứng dụng định lý giá trị đầu / cuối để kiểm chứng kết quả của thí dụ ở trên
Giải
Sơ Đồ Khối
Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối có 3 thành phần cơ bản là khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh.
Bộ tổng:
Điểm rẽ:
Khối chức năng:
Sơ Đồ Khối
Đại số sơ đồ khối là thuật toán biến đổi tương đương các sơ đồ khối
Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nhau nếu chúng có quan hệ giữa tín
hiệu vào, tín hiệu ra như nhau.
Để tìm hàm truyền của hệ thống có sơ đồ khối phức tạp, ta thường tìm cách biến đổi sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng kết nối đơn giản rồi lần lượt tính các hàm truyền tương đương theo nguyên tắc “rút gọn dần từ trong ra ngoài”.
1) Hệ nối tiếp
Sơ Đồ Khối
2) Hệ song song
3) Hệ hồi tiếp một vòng
Sơ Đồ Khối
4) Chuyển điểm rẽ ra trước một khối
5) Chuyển điểm rẽ ra sau một khối
6) Chuyển bộ tổng ra trước một khối
Sơ Đồ Khối
7) Chuyển bộ tổng ra sau một khối
8) Hoán vị, nhập hoặc tách các bộ tổng
9) Chuyển về dạng hồi tiếp đơn vị
Sơ Đồ Khối
Sơ Đồ Khối
Sơ Đồ Khối
Sơ Đồ Khối
Sơ Đồ Khối
Sơ Đồ Khối
Đáp Ứng Tần Số
Hai loại tín hiệu thường dùng để khảo sát đặc tính đáp ứng của phần tử: tín hiệu bậc thang và tín hiệu dao động điều hòa. Đặc tính đáp ứng của phần tử đối với tín hiệu dao động điều hòa được là đáp ứng tần số và được thể hiện qua biểu đồ Bode
• Hệ số khuếch đại và góc lệch pha
Biểu Đồ Bode
Đáp ứng tần số của một phần tử là một tập hợp các giá trị của hệ số khuếch đại và độ lệch pha khi tín hiệu dao động điều hòa biến thiên trên một dãy tần số.
Các bước xây dựng biểu đồ Bode: • Thế s = jtrong biểu thức hàm truyền • Biểu diễn hàm truyền ở dạng số phức, từ đó có thể biểu diễn ở dạng tọa độ cực. • Biên độ của số phức chính là hệ số khuếch đại của phần tử ở tần số . • Góc của số phức chính là góc lệch pha của phần tử ở tần số .
Biểu Đồ Bode
Đáp Ứng Tần Số
Thí dụ: xét thí dụ về bồn nước với biểu thức toán như sau:
Cho lưu lượng đầu vào ở dạng dao động điều hòa với biên độ trung bình là 0.0002 (m3/s) và tần số (f) là 0.0001592 (Hz). Cho G = 2000 (s/m2) và = 1590. Xác định biên độ và pha của tín hiệu ra (h).
Giải
và độ lệch pha là –57.8o
