Nguyễn Công Phương

Lý thuyết trường điện từ

Điện môi & điện dung

Nội dung

I. Giới thiệu II. Giải tích véctơ III. Luật Coulomb & cường độ điện trường IV. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive V. Năng lượng & điện thế VI. Dòng điện & vật dẫn VII. Điện môi & điện dung VIII.Các phương trình Poisson & Laplace IX. Từ trường dừng X. Lực từ & điện cảm XI. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell XII. Sóng phẳng XIII.Phản xạ & tán xạ sóng phẳng XIV.Dẫn sóng & bức xạ

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

2

Điện môi & điện dung

1. Điện môi 2. Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng 3. Điện dung 4. Phương pháp đường sức – đẳng thế 5. Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

3

Điện môi (1)

–+

Q

d

–

+ E

E

p = Qd

• Mô men lưỡng cực: • Q: điện tích dương của lưỡng cực • d: véctơ hướng từ điện tích âm đến điện tích dương

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

4

Điện môi (2)

p = Qd • Mô men lưỡng cực: • Nếu có n lưỡng cực trong một đơn vị thể tích thì trong

Δv có:

n v 

p

p

i

tæng

 

i

1 

• Δv đủ lớn để chứa nhiều phân tử, đủ nhỏ để coi là sai

phân

• Nếu các lưỡng cực thẳng hàng, ptổng có thể tương đối lớn • Nếu chúng sắp xếp ngẫu nhiên, ptổng có thể bằng không

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

5

Điện môi (3)

• Lưỡng cực tổng của một thể tích Δv:

n v 

p

p

i

tæng

 

i

1 

• Định nghĩa véctơ phân cực:

n v 

P

p

i

lim 0 v  

1   iv

1 

• Đơn vị C/m2

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

6

Điện môi (4)

+

ΔS

+

E

Mật độ: n phân tử/m3

+

d  cos

d

cos

v  

S 

+ + –

+

–ΔS

+

θ

d  cos

+

+

–

+ – –

bQ nQ v  

1 2 1 2

–

d

–

 

S 

–

–

cos bQ nQd  d S . nQ  P nQ

d

Qp

bQ  Q b

d .

Q  

Luật Gauss:

 E P S

  0

tæng

  S

(Q: tổng điện tích tự do)

–  P S . d      P S d . S  d  E. S Q 0S Qtổng = Qb + Q  Q = Qtổng – Qb

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

7

Điện môi (5)

Q

d .

 E P S

  0

  S

D

E P 

0

Luật Gauss:

Q

   D S d . S

Định lý đive:

D S . d

dv

S

 

 D .

v

Q

v

V

 D .   v dv 

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

8

Điện môi (6)

• D = ε0E + P • Trong vật liệu đẳng hướng, E & P luôn song song với

nhau, không phụ thuộc vào hướng của trường

• P = χeε0E • χe : hệ số phân cực điện của điện môi, ký hiệu khác: kP • → D = ε0E + P = ε0E + χeε0E = (χe + 1)ε0E • εr = χe + 1: hằng số điện môi tương đối của vật liệu • → D = ε0εrE = εE • ε = ε0εr : hằng số điện môi

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

9

Điện môi (7)

• D = ε0E + P • Trong vật liệu dị hướng, E & P không song song với

nhau

• D = εE →:

Dx = εxxEx + εxyEy + εxzEz Dy = εyxEx + εyyEy + εyzEz Dz = εzxEx + εzyEy + εzzEz

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

10

Điện môi & điện dung

1. Điện môi 2. Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng 3. Điện dung 4. Phương pháp đường sức – đẳng thế 5. Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

11

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (1) Δw

Δh

Ett1

DN1

ΔS

0

Điện môi 1, ε1

Ett2

0

w  

  E L d  . E w E    tt 1 tt

2

DN2

2

1

E tt

1

2

1

E tt

1

E tt

2

Điện môi 2, ε2  1  2

2

D tt D tt

D tt  2

E   tt D tt   S  Q 

S

1

2

D   N

D N

 S

 

1

2

D   N

D N

N

N

2

1

Q D S D S    Không có điện tích tự do trên bề mặt → ρS = 0

N

1

E

E

1

 2

2

N

N

 

E E

N

2

 2  1

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

12

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (2) Δw

Δh

Ett1

DN1

ΔS

Điện môi 1, ε1

Ett2

DN2

Điện môi 2, ε2

: cường độ điện trường tiếp tuyến liên tục

E tt

1

E tt

2

1

: dịch chuyển điện tiếp tuyến rời rạc

D tt D tt

2

 1  2

: dịch chuyển điện pháp tuyến liên tục

1

2

D N

D N

N

1

: cường độ điện trường pháp tuyến rời rạc

E E

N

2

 2  1

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

13

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (3) Δw

Δh

Ett1

DN1

ΔS

Điện môi 1, ε1

Ett2

DN2

Điện môi 2, ε2

E tt

1

E tt

2

1

D tt D tt

2

 1  2

Nếu biết trường của một bên (VD E1 hoặc D1), có thể suy ra trường của bên kia (E2 & D2)

1

2

D N

D N

N

1

E E

N

2

 2  1

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

14

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (4)

D1

DN1

1

D N

D N

θ1

Dtt1

Điện môi 1, ε1

1

ε1 > ε2

cos

2 D  cos 1  2

ND ND

2

DN2

θ2

D2

cos

cos

D  2

1

 2

1 D 2 D 1

Điện môi 2, ε2

Dtt2

1

D tt D tt

2

1

2

1

1

2D

tg tg cos

cos

  1    2 2 D  2

1

D 1

 2

ttD ttD

2

 1  2 D  sin 1 D  sin 2 sin

sin

2  2

D 1

   1

1

D 2

 2

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

15

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (5)

D1

DN1

θ1

Dtt1

Điện môi 1, ε1

arctg tg

 2

 1

 2  1

  

  

ε1 > ε2

DN2

θ2

D2

2

Điện môi 2, ε2

2

2

Dtt2

cos

sin

D D  1

2

 1

 1

 2  1

   

  

2

2

2

sin

cos

E 2

E 1

 1

 1

 1  2

   

  

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

16

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (6)

Ví dụ

Cho vùng z < 0 chứa chất điện môi có εr1 = 3,2; D1 = –30ax + 50ay + 70az nC/m2. Vùng z > 0 có εr2 = 2. Tính DN1, Dtt1, Dtt1, θ1, DN2, Dtt2, D2, θ2 ?

2

70 nC/m

D N

z

1

D 1

2

D

a 30

a 50

nC/m

 

1

tt

x

y

2

2

2

D

50

58,3 nC/m

( 30) 

tt

D  tt 1

1

2

2

2

2

50

70

91,1 nC/m

( 30) 

D  1

D 1

o

1

arctg

arctg

39,8

  1

58,3 70

D tt D

1

N

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

17

Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng (7)

Ví dụ

Cho vùng z < 0 chứa chất điện môi có εr1 = 3,2; D1 = –30ax + 50ay + 70az nC/m2. Vùng z > 0 có εr2 = 2. Tính DN1, Dtt1, Dtt1, θ1, DN2, Dtt2, D2, θ2 ?

2

2

70 nC/m

a 70

nC/m

D N

D N

z

2

1

D N 2

1

tt

1

D

D

  

a ( 30 

tt

2

tt

1

a 50 ) y

x

D D

2 3, 2

D tt D tt

2

 1    2

tt

2

 1  2

 2  1

2

a 18, 75

a 31, 25

nC/m

 

x

y

2

D

a 18, 75

a 31, 25

a 70

nC/m

D D 

 

tt

N

x

z

y

2

2

2

arctg tg

o 27,5

 2

 1

2 3, 2

 2  1

 o arctg tg 39,8  

  

  

  

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

18

Điện môi & điện dung

1. Điện môi 2. Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng 3. Điện dung 4. Phương pháp đường sức – đẳng thế 5. Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

19

+

Điện dung (1)

+

Điện môi, ε

Điện dung:

C

+ + + + +Q Vật dẫn 2 +

+

d E. S

+ + +

–

+ + +

S

C  

– –

Q

–

E. L d

S

+ + + – – – – – – Q – – Vật dẫn 1 ––––––

   

V 0

Q V 0 d  E. S   d E. L

• V0 : công dịch chuyển một điện tích dương từ vật dẫn 1

đến vật dẫn 2

• C phụ thuộc kích thước vật lý của hệ vật dẫn & phụ

thuộc hằng số điện môi của chất điện môi

• Đơn vị: F (farad), C/V, thường dùng μF, nF, pF

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

20

Điện dung (2)

a

E

z = d

z

Mặt dẫn, –ρS

 S 

E

a S zD

z = 0

Mặt dẫn, +ρS

0

d−íi

dz

d E. L

0V

 

  d

trªn

 S d 

 S 

Q

C

S  d

C

S S Q V 0

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

21

Điện dung (3)

z = d

W E

 0

Mặt dẫn, –ρS

V

1   2

E

E

S

d

z = 0

Mặt dẫn, +ρS

dzdS

EW

0

0

2 E dv  S  2  S 2 

2

1 2

1 2 1 2

    2  S Sd 

2

C

W E

2 CV 0

QV 0

2 S d  S 2 d  S  d

1 2

1 2

1 2

Q C

d

V 0

 S 

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

22

ρ = a

ρ = b

Điện dung (4)

ρL

V

ln

ab

b a

 L 2 

L

Q

C

ln

C

2 L  b a

L L Q V

ab

V

ab

Q

Q 4 

1   a 

  

C  

a

C

4  1 1 b a

1 b Q V

b

ab

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

23

Điện dung (5)

Diện tích S

Mặt dẫn

E 2 2

V 0 D N

E d  1 1 D  N

1

2

ε2

d2

d

E d  2 2 E   1 1 V 0

E   1

ε1

d1

d

d 1

2

V 0

 1  2 E 1 1

   S

1

D 1

1

1

C

Q

1 

 S

1 C

2 S

1 C 1

2

d 1 S  1

d  2

C

d d 1 2    2 S S  1 S Q V 0

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

24

Điện dung (6)

Diện tích S

Mặt dẫn

1

1

C

ε2

d2

d

1 C

2 S

ε1

d1

2

1 C 1

d 1 S  1

d  2

Mặt dẫn

S 1 1

S 2 2

S1

S2

C

C C  1

2

d

 d

ε1

ε2

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

25

y

P(x, y, 0)

Điện dung (7)

R2

R1

(– a, 0, 0)

(a, 0, 0)

ln  V 1

x

– ρL

+ρL

z

ln

ln

 

ln  V 2  L 2    L 2 

V V V 1 2

R 02 R 2

  

  

R 01 R 1 R 02 R 2 

2

2

(

)

y

x a 

 L 2   L 2  R

R 01 R 1 R R 01 2 R R 02 1 R

01

02

ln

V  

2

2

 L 2 

(

2

2

(

)

y

x a 

R 1

) x a  2

y 2

ln 

2

2

( ) y x a  

(

)

y

x a 

2

2

R 2

ln 

 L 4  y ( 

26

x a )  Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

y

P(x, y, 0)

Điện dung (8)

R2

2

2

R1

( ) y x a  

(– a, 0, 0)

2

2

V ln 

(a, 0, 0)

x

– ρL

Giả sử V1 là một mặt đẳng thế, đặt:

+ρL

z

1

LV / 4 e  

K 1

2

2

y

(

)

x a 

2

2

ax

y

a

2

0

2 x  

K   1

2

2

1 1

 

y

(

)

x a 

K 1 K 1

2

2

 L 4  ( ) y x a  

2

2

x a y 

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

27

a K 1 1  K 1 K 1 K 1       1  1           

y

P(x, y, 0)

R2

1

R1

Giả sử V1 là một mặt đẳng thế, đặt

Điện dung (9) K 1

(– a, 0, 0)

/ 4 LV e    2

2

(a, 0, 0)

2

x

2

– ρL

x a y 

+ρL

z

• Mặt đẳng thế V = V1 không phụ thuộc z → mặt V là mặt trụ • Tương giao của mặt này với mặt xy là một đường tròn có bán kính

a K 1 1  K 1 K 1 K 1       1  1           

2

b 

h

a

và tâm tại (x = h, y = 0) với

1 1

 

a K 1 1 

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

28

K 1 K 1 K 1

y

h

Điện dung (10)

V1

V0 = 0

x

b

Tương giao của mặt đẳng thế V1 với mặt xy là một đường tròn có bán kính 2

z

b 

h

a

và tâm tại (x = h, y = 0) với

1 1

 

K 1 K 1

2

2

h

b

Biết h, b & V1

2

2

h

b

  L

K

xác định được a, ρL & K1

1

4 V  1 ln K 1

  a     

1

K 1

C

mÆt ph¼ng, trô

2 L  2

2

4 L  ln K 1

h

h

b

h b / 4 LV e   LL  V b )/ ] ln[( 1 Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

2 L  1  h b cosh ( / ) 29

a K 1 1  K 1

Điện dung (11) y

Điện tích đường tương đương

V0 = 0

Ví dụ Tìm vị trí & độ lớn của điện tích đường tương đương, vị trí mặt đẳng thế V2 = 50V.

2

2

2

2

a

h

b

13

5

12 m

x

2

2

h

b

h = 13 m

V1 = 100 V

K

5

1

b = 5 m

h b

13 12  5

K 

1

12

100

3, 46 nC/ m

   L

  L

4 8,854.10  ln 25

25 4 V  1 ln K 1

12

C

34, 6 pF/ m

mÆt ph¼ng, trô

2  1  cosh (

h b /

)

2 .8,854.10  1  cosh (13 / 5)

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

30

Điện dung (12) y

Điện tích đường tương đương

V0 = 0

Ví dụ Tìm vị trí & độ lớn của điện tích đường tương đương, vị trí mặt đẳng thế V2 = 50V.

/

V 4   L 2

K

e

2

9

x

12  4 .8,854.10 .50/3,46.10 

5, 00

e

h = 13 m

V1 = 100 V

b = 5 m

2

a K

13, 42 m

b   2

2

12

18 m

a

h 2

K 2 K K

2 1  1  1 

2.12 5 5 1  5 1  5 1 

2

25 V

29, 06 m,

31, 44 m

V 3

b   3

h 3

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

31

y

h

Điện dung (13)

V1

V0 = 0

C

mÆt ph¼ng, trô

2 L  2

2

x

b

ln[(

) /

]

h

h

b

b

z

b

h

y

mÆt ph¼ng, trô

mÆt ph¼ng, d©y

h

C C   

ln

2 L  2 h b

d©y, d©y

x

C  

z

ln

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

32

L  2 h b

Điện môi & điện dung

1. Điện môi 2. Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng 3. Điện dung 4. Phương pháp đường sức – đẳng thế 5. Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

33

Phương pháp đường sức – đẳng thế (1)

• Mặt dẫn biên giới là một mặt đẳng thế • Cường độ điện trường E & dòng điện dịch D luôn vuông

góc với các mặt đẳng thế

• E & D vuông góc với các mặt dẫn biên giới & có các

thành phần tiếp tuyến bằng zero

• Các đường biểu diễn dòng điện dịch (đường sức) bắt đầu & kết thúc trên điện tích, do đó trong chất điện môi đồng chất & không có điện tích tự do, các đường này bắt đầu & kết thúc trên các mặt dẫn biên giới

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

34

Phương pháp đường sức – đẳng thế (2)

1 

Cường độ điện trường E & dòng điện dịch D luôn vuông góc với các mặt đẳng thế

L  tt L  N

E 

1    L  tt  

1    L  tt V  L  N

B A

ΔLtt

E 

B’

ΔLN

A’

V  L  N

const   

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

35

1    V  L  tt L  N

Phương pháp đường sức – đẳng thế (3)

C 

Q V 0

Q

Q

Q N Q N     

 N V  V V 0

N 

C  

const 1   

Q N V  V 1   V   N

L  tt L  N

Q

Q

N

  C   

L  tt L  N N V

36

N V Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

Phương pháp đường sức – đẳng thế (4)

0

15

30

46

62

80

100 V

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

37

Điện môi & điện dung

1. Điện môi 2. Điều kiện bờ của điện môi lý tưởng 3. Điện dung 4. Phương pháp đường sức – đẳng thế 5. Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

38

Mật độ dòng điện & dịch chuyển điện

E

J

E D

    E  V  E  V 

I J. S d  

E . L d 

  S

  E . S d S

V 0  I

d

E . S 

0V 

d E . S 

Q

Q V 0 

     S    S  d E . L  

0V 

  E . L d    E . S d S   E . L d

RC  

   R      C    

Điện môi & điện dung - sites.google.com/site/ncpdhbkhn

39