TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
3
Chương
BIẾN NGẪU NHIÊN
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó
khăn toán học của tôi còn gấp bội – Albert Einstein
3.1 Biếnngẫunhiên.................................. 59
3.1.1 Địnhnghĩa ................................ 59
3.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Các quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Hàmmậtđộxácsuất........................... 67
57
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN NGẪU NHIÊN
3.3 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Kỳvọng.................................. 72
3.3.2 Phươngsai ................................ 78
3.3.3 Trungvị.................................. 82
3.3.4 Mode ................................... 85
3.3.5 Giátrịtớihạn............................... 86
3.4 Các luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.1 Phânphốinhịthức ............................ 88
3.4.2 Phânphốisiêubội ............................ 93
3.4.3 PhânphốiPoisson ............................ 95
3.4.4 Phânphốimũ............................... 96
3.4.5 Phânphốichuẩn ............................. 98
3.4.6 Phân phối Chi bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.7 PhânphốiStudent ............................ 105
3.4.8 PhânphốiFisher ............................. 107
3.5 Mối quan hệ giữa các phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Trang 58
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN NGẪU NHIÊN
3.6 Bàitậptựluận................................... 115
Mục tiêu: Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng giải quyết các vấn đề sau:
1) Hiểu và mô tả khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục.
2) Hiểu và tính toán được các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
3) Hiểu các quy luật phân phối xác suất của từng loại biến ngẫu nhiên.
4) Tính xác suất từ hàm khối lượng xác suất và hàm mật độ xác suất.
5) Hiểu và vận dụng được mối liên hệ giữa các loại biến ngẫu nhiên.
3.1 Biến ngẫu nhiên
3.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên (BNN) là một biến mà giá trị của nó được xác định bởi kết
quả của một phép thử ngẫu nhiên hay một sự kiện không thể dự đoán trước được. Ta thường
dùng các kí hiệu X, Y, Z, . . . để biểu thị cho BNN.
Trang 59
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN NGẪU NHIÊN
Ví dụ 3.1. Tung một con xúc sắc cân đối. Gọi Xlà số chấm xuất hiện ở mặt trên của con xúc
sắc. Ta thấy rằng Xlà BNN vì trong các kết quả của phép thử, Xchỉ có thể nhận các giá trị
sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ví dụ 3.2. Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm. Gọi Ylà khoảng
cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia. Ta cũng dễ thấy rằng Ylà BNN.
Chú ý 3.1. Mỗi giá trị của BNN có một xác suất tương ứng, và việc xác định xác suất này là
một phần quan trọng của mô tả biến ngẫu nhiên, kí hiệu P(X=x) = p.
3.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên
◆Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc, nếu các giá trị của BNN có thể lập thành một tập hữu
hạn hoặc vô hạn đếm được.
Ví dụ 3.3. Trong một lớp 40 sinh viên, trong đó có 30 nam và 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 sinh
viên để lập thành ban cán sự lớp. Gọi Xlà số sinh viên nữ được chọn. Xlà BNN rời rạc với
các giá trị có thể nhận được hữu hạn là: 0, 1, 2, 3.
◆Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục, nếu các giá trị của BNN có thể lấp đầy một khoảng
hay nhiều khoảng trên trục số thực.
Trang 60
TS. Hồ Vũ – Lưu hành nội bộ – 2024
BIẾN NGẪU NHIÊN
Ví dụ 3.4. Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào một tấm bia có đường kính 20 cm. Gọi Ylà khoảng
cách từ tâm đến vị trí viên đạn trên tấm bia. Ta cũng dễ thấy rằng Ylà BNN liên tục vì không
thể liệt kê tất cả các giá trị của nó, mà ta chỉ có thể nói rằng giá trị của nó nằm trong khoảng
(0; 20) trong trường hợp xạ thủ không bắn trượt tấm bia trên.
3.2 Các quy luật phân phối xác suất
◆Quy luật phân phối xác suất là hình thức biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của
BNN và xác suất tương ứng để BNN nhận các giá trị đó.
◆Một số phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất của BNN:
1) Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc).
2) Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho cả BNN rời rạc và BNN liên tục).
3) Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục)
3.2.1 Bảng phân phối xác suất
Xét BNN rời rạc Xnhận các giá trị có thể là x1, x2, . . . , xn(n≥2) với xác suất tương ứng
pi=P(X=xi). Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc Xcó dạng như sau:
Trang 61