Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

150
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến trình bày các nội dung: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phép tính vi phân hàm nhiều biến

Các nội dung chính PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 Hàm nhiều biến 2 Đạo hàm riêng Ts. Lê Xuân Trường 3 Vi phân toàn phần 4 Bài toán tối ưu không ràng buộc 5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 2 / 36 Hàm nhiều biến Hàm nhiều biến z = f (x, y ) PHẦN 1 HÀM NHIỀU BIẾN Ví dụ: z = f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số f (0, 1) = 3, f (−2, 1) = 11. Tập xác định: D = (x, y ) ∈ R2 : f (x, y ) có nghĩa Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 3 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 / 36
Hàm nhiều biến Đồ thị của hàm hai biến z = f (x, y ) Gf = {(x, y , f (x, y )) : (x, y ) ∈ D } PHẦN 2 ĐẠO HÀM RIÊNG Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 6 / 36 Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Nhận xét: Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên tập mở D và (x0 , y0 ) ∈ D. Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến. Đạo hàm riêng theo x Ta có ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = zx (x0 , y0 ) ∆x + 0 (∆x ) zx (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂x ∆x →0 ∆x f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) = zy (x0 , y0 ) ∆y + 0 (∆y ) Đạo hàm riêng theo y ∂f f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) zy (x0 , y0 ) ≡ (x0 , y0 ) := lim ∂y ∆y →0 ∆y Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau (nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn) f (x, y ) = 2x 2 y 3 + x −y 2x +1 g (x, y , z ) = xy sin (y + 2z ) Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 7 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 8 / 36
Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Biên tế riêng Biên tế riêng Ví dụ: - Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng) Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) U = U (x1 , x2 ) . Biên tế của z theo x Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi ∂U ∂U ∂f MUx1 = và MUx2 = . Mzx (x0 , y0 ) := (x0 , y0 ) ≈ f (x0 + 1, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂x1 ∂x2 ∂x - Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất Biên tế của z theo y Q = Q (K , L) , ∂f Mzy (x0 , y0 ) := (x0 , y0 ) ≈ f (x0 , y0 + 1) − f (x0 , y0 ) với Q là sản lượng, K là lượng vốn và L là lượng lao động. Sản lượng ∂y biên theo vốn và theo lao động được cho bởi ∂Q ∂Q MPK = và MPL = . ∂K ∂L Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 9 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 10 / 36 Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Hệ số co dãn riêng Hệ số co dãn riêng Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) Ví dụ: Cho hàm cầu Hệ số co dãn riêng theo x Q = 100 − 2P + PA + 0, 1Y , x0 ∂z % thay đổi của z trong đó P = 10, PA = 12 và Y = 1000.Tìm Ezx (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ≃ z (x0 , y0 ) ∂x % thay đổi của x - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá, P. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá của sản phẩm liên quan, PA . Hệ số co dãn riêng theo y - Hệ số co dãn của lượng cầu theo thu nhập, Y . Nếu thu nhập tăng y0 ∂z % thay đổi của z 5% thì lượng cầu tăng bao nhiêu phần trăm? Ezy (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ≃ z (x0 , y0 ) ∂x % thay đổi của y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 11 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 12 / 36
Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 1: Các đạo hàm riêng cấp 3: ∂3 f ∂3 f zx (x, y ) = ∂f (x, y ) và zy (x, y ) = ∂f (x, y ) ∂x 3 ∂x 2 ∂y ··· ∂x ∂y Các đạo hàm riêng cấp 2: Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số ∂2 f h i f (x, y ) = x 3 + x 2 y 3 − 2y 2 zxx (x, y ) = ∂x 2 (x, y ) := ∂ ∂x ∂f ∂x (x, y ) y g (x, y ) = x arctan ∂2 f h i x zxy (x, y ) = ∂x ∂y (x, y ) := ∂ ∂y ∂f ∂x (x, y ) Theorem ∂2 f h i zyx (x, y ) = ∂y ∂x (x, y ) := ∂ ∂x ∂f ∂y (x, y ) Giả sử hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục trong một hình tròn tâm (x0 , y0 ) với bán kính ε (bé tùy ý) thì ta có ∂2 f h i zyy (x, y ) = ∂y 2 (x, y ) := ∂ ∂f (x, y ) ∂y ∂y fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ) . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 13 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 14 / 36 Vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0 , y0 ) PHẦN 3 Vi phân toàn phần của f tại (x0 , y0 ) VI PHÂN TOÀN PHẦN df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy Nếu các đạo hàm riêng fx và fy liên tục tại (x0 , y0 ) thì ∆f (x0 , y0 ) = f (x0 + dx, y0 + dy ) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) dx + fy (x0 , y0 ) dy + 0 (ρ) (dx )2 + (dy )2 . q trong đó ρ = Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 15 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 16 / 36
Vi phân toàn phần Vi phân toàn phần Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến Khi x − x0 và y − y0 bé, ta có Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến f (x, y ) − f (x0 , y0 ) ≈ fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) (y − y0 ) Ví dụ: Xét hàm hai biến Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas x 3 + y 3 + 8. p z = f (x, y ) = 2/3 1/3 Q = 3K L , - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại (1, 3). trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động. - Từ kết quả đó, hãy tính gần đúng giá trị f (1, 8; 2, 6). - Viết biểu thức vi phân toàn phần của Q khi K = 1000 và L = 216. - Tính gần đúng mức sản lượng thay đổi khi ta tăng 1, 5 đơn vị vốn và giảm 1 đơn vi lao động. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 17 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 18 / 36 Cực trị tự do Cực trị địa phương và cực trị toàn cục PHẦN 4 CỰC TRỊ TỰ DO Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 19 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 20 / 36
Cực trị tự do Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Bước 1: Tìm các điểm dừng mà tọa độ là nghiệm của hệ phương trình Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm hai biến  fx = 0 z = f (x, y ) = x 3 − 3x + xy 2  fy = 0 Giải  Bước 2: Giả sử M (a, b ) là một điểm dừng của f . Xét ma trận Hessian Tìm các điểm dừng √ A B  3x 2 − 3 + y 2 = 0  fx (x, y ) = 0 x = 0, y = ± 3    H= B C ⇔ ⇔ fy (x, y ) = 0 2xy = 0 x = ±1, y = 0   trong đó A = fxx (a, b ) , B = fxy (a, b ) , C = fyy (a, b ). A > 0, det (H ) = AC − B 2 > 0 ⇒ f đạt cực tiểu tại M Do đó ta có 4 điểm dừng A < 0, det (H ) = AC − B 2 > 0 ⇒ f đạt cực đại tại M √ √ det (H ) = AC − B 2 = 0 ⇒ f không đạt cực trị tại M 0, 3 , 0, − 3 , (1, 0) , (−1, 0) . Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 21 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 22 / 36 Cực trị tự do Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Phân loại các điểm dừng Tập hợp lồi fxx = 6x, fxy = 2y , fyy = 2y √ - 0, − 3 không là cực trị √ - 0, 3 không là cực trị - (−1, 0) là điểm cực đại địa phương - (1, 0) là điểm cực tiểu địa phương Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau A, B ∈ S z = f (x, y ) = x 3 + y 3 − 12xy Tập hợp lồi : ⇒ λA + (1 − λ) B ⊂ S λ ∈ [0, 1] 2 2 2 w = g (x, y , z ) = x + y + 3z + xz + yz − y Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 23 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 24 / 36
Cực trị tự do Cực trị tự do Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Hàm số lồi, hàm số lõm: Cho z = f (x, y ) xác định trên tập lồi S Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục zxx (x, y ) zxy (x, y ) Ký hiệu: H (x, y ) = (ma trận Hessian) zyx (x, y ) zyy (x, y ) Theorem Giả sử (a, b ) ∈ S là một điểm dừng của hàm z = f (x, y ). Khi đó Nếu f là hàm lồi trên S thi f đạt cực tiểu toàn cục tại (a, b ). Nếu f là hàm lõm trên S thi f đạt cực đại toàn cục tại (a, b ) . Ví dụ: Tìm cực tiểu toàn cục của hàm số z = f (x, y ) = x 2 + y 2 + xy + 3 Hàm lồi Hàm lõm  zxx (x, y ) > 0  zxx (x, y ) < 0   , ∀ (x, y ) , ∀ (x, y ) det (H (x, y )) > 0 det (H (x, y )) > 0   Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 25 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 26 / 36 Cực trị tự do Cực trị tự do Một số áp dụng trong kinh tế Ví dụ 1: Một công ty sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm Một số áp dụng trong kinh tế cầu lần lượt là Ví dụ 2: Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất. 2 1 1 2 Giả sử sản lượng Q tại các mức nguyên liệu x1 , x2 được xác định bởi Qd1 = 280 − P1 + P2 , Qd2 = 420 + P1 − P2 , 5 5 5 5 Q (x1 , x2 ) = 12x11/3 x21/2 và hàm tổng chi phí được xác định bởi giá của hai loại nguyên liệu là p1 , p2 và giá bán sản phẩm là q.Tìm C (Q1 , Q2 ) = 40Q1 + 180Q2 + Q12 + Q1 Q2 + Q22 . mức nguyên liệu x1 , x2 để lợi nhuận thu được lớn nhất nếu sản phẩm được bán hết. Tìm mức sản lượng để công ty thu được lợi nhuận tối đa với giả thiết sản phẩm làm ra được bán hết. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 27 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 28 / 36
Cực trị có ràng buộc Bài toán: Tìm cực trị địa phương (hoặc toàn cục) của hàm số z = f (x, y ) với điều kiện PHẦN 4 ϕ (x, y ) = M. CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC Phương pháp giải: Bước 1: Lập hàm Lagrange L (x, y , λ) = f (x, y ) + λ [ ϕ (x, y ) − M ] . Bước 2: Giải hệ phương trình ∂L ∂L ∂L = = =0 ∂x ∂y ∂λ Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 29 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 30 / 36 Cực trị có ràng buộc Cực trị có ràng buộc Phương pháp giải: Bước 3: (kiểm tra điều kiện đủ) Giả sử (x0 , y0 , λ0 ) là một nghiệm của hệ trên. Lưu ý: 0 ϕx ϕy Nếu (x0 , y0 , λ0 ) là một nghiệm của hệ phương trình   Đặt H (x, y , λ) =  ϕx Lxx Lxy  ϕy Lyx Lyy ∂L ∂L ∂L = = =0 ∂x ∂y ∂λ Theorem thì ta nói (x0 , y0 ) là một điểm dừng ứng với nhân tử Lagrange λ. det H (x0 , y0 , λ0 ) > 0 ⇒ (x0 , y0 ) là điểm cực đại địa phương ! Ý nghĩa của nhân tử Lagrange: det H (x0 , y0 , λ0 ) < 0 ⇒ (x0 , y0 ) là điểm cực đại địa phương ! det H (x, y , λ) > 0, ∀ (x, y ) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0 , y0 ) là ! λ ≈ độ thay đổi của giá trị tối ưu khi M tăng 1 đơn vị điểm cực đại toàn cục det H (x, y , λ) < 0, ∀ (x, y ) , ∀λ ∈ (λ − ε, λ + ε) ⇒ (x0 , y0 ) là ! điểm cực tiểu toàn cục Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 31 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 32 / 36
Cực trị có ràng buộc Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Ví dụ 2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và phân bố trên hai thị trường tách biệt. Hàm cầu đối với sản phẩm đó Một số ví dụ: trên mỗi thị trường được cho bởi Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị địa 1 phương của hàm số với các điều kiện tương ứng Qd1 = 310 − P1 , Qd2 = 235 − P2 2 z = x 2 − 3xy + 12x, 2x + 3y = 6 trong đó Pi là giá bán sản phẩm trên thị trường thứ i. Hàm tổng chi phí được xác định như sau z = x +y x2 + y2 =1 C (Q ) = Q 2 + 30Q + 20, với Q là tổng sản lượng. Trong trường hợp xí nghiệp sản xuất 80 sản phẩm, hãy tính sản lượng sẽ phân phối cho từng trường để thu được lợi nhuận lớn nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 33 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 34 / 36 Cực trị có ràng buộc Cực trị có ràng buộc Một số ví dụ: Một số ví dụ: Ví dụ 3: Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền tệ để mua hai loại Ví dụ 4: Để sản xuất một loại sản phẩm người ta sử dụng hai loại hàng có giá lần lượt là P1 = 4 và P2 = 6. Biết hàm hữu dụng của hai nguyên liệu có thể thay thế cho nhau. Mức sản lượng được xác định loại hàng trên là bởi Q = 3x 2/3 y 1/3 , U (x1 , x2 ) = (x1 + 2) (x2 + 1) trong đó x là lượng nguyên liệu thứ nhất, y là lượng nguyên liệu thứ trong đó x1 , x2 lần lượt là khối lượng hai loại hàng. Xác định x1 , x2 để hai. Giá của hai loại nguyên liệu này lần lượt là P1 = 2 và P2 = 1. hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất. Tính x, y để chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản lượng là thấp nhất. Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 35 / 36 Ts. Lê Xuân Trường () PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 36 / 36