Các nội dung chính
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1 Hàm nhiều biến
2 Đạo hàm riêng
3 Vi phân toàn phần
4 Bài toán tối ưu không ràng buộc
5 Bài toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
2 / 36
Ts. Lê Xuân Trường
Hàm nhiều biến
Hàm nhiều biến z = f (x, y )
PHẦN 1
HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: z = f (x, y ) = 2x 2 + 3y 2 là một hàm số theo hai biến số
f (0, 1) = 3, f ( 2, 1) = 11.
−
Tập xác định: D =
(x, y )
R2 : f (x, y ) có nghĩa
∈
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
3 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
4 / 36
(cid:9) (cid:8) PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Hàm nhiều biến
Đồ thị của hàm hai biến z = f (x, y )
D
(x, y , f (x, y )) : (x, y )
Gf =
∈
{
}
PHẦN 2
ĐẠO HÀM RIÊNG
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
5 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
6 / 36
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng Nhận xét:
D. Cho hàm số z = f (x, y ) xác định trên tập mở D và (x0, y0)
∈
Để tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem các biến còn lại là hằng số và sử dụng các quy tắc đã biết trong hàm một biến. Ta có Đạo hàm riêng theo x
f (x0 + ∆x, y0) f (x0, y0) = zx (x0, y0) ∆x + 0 (∆x ) f (x0, y0)
−
−
∆x
0
zx (x0, y0) f (x0 + ∆x, y0) ∆x ∂f ∂x
≡
(x0, y0) := lim →
f (x0, y0 + ∆y ) f (x0, y0) = zy (x0, y0) ∆y + 0 (∆y ) Đạo hàm riêng theo y
−
f (x0, y0)
−
∆y
0
zy (x0, y0) Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau f (x0, y0 + ∆y ) ∆y ∂f ∂y
≡
(x0, y0) := lim →
y − 2x+1
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
7 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
8 / 36
(nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn) f (x, y ) = 2x 2y 3 + x g (x, y , z) = xy sin (y + 2z)
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng
Biên tế riêng Ví dụ: Biên tế riêng - Lợi ích biên: Xét hàm lợi ích (hàm hữu dụng) Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0) U = U (x1, x2) .
Lợi ích biên theo x1 và x2 lần lượt được xác định bởi Biên tế của z theo x
. MUx1 = và MUx2 = Mzx (x0, y0) :=
(x0, y0)
f (x0 + 1, y0) f (x0, y0) ∂U ∂x1 ∂U ∂x2 ∂f ∂x
≈
−
- Sản lượng biên: Cho hàm sản xuất Biên tế của z theo y Q = Q (K , L) ,
Mzy (x0, y0) :=
(x0, y0)
f (x0, y0 + 1) f (x0, y0) ∂f ∂y
≈
−
với Q là sản lượng, K là lượng vốn và L là lượng lao động. Sản lượng biên theo vốn và theo lao động được cho bởi
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
9 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
10 / 36
. MPK = và MPL = ∂Q ∂K ∂Q ∂L
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng
Hệ số co dãn riêng Hệ số co dãn riêng Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0) Ví dụ: Cho hàm cầu
Hệ số co dãn riêng theo x Q = 100 2P + PA + 0, 1Y ,
−
trong đó P = 10, PA = 12 và Y = 1000.Tìm Ezx (x0, y0) =
(x0, y0)
∂z ∂x
≃
x0 z (x0, y0) % thay đổi của z % thay đổi của x
Hệ số co dãn riêng theo y - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá, P. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo giá của sản phẩm liên quan, PA. - Hệ số co dãn của lượng cầu theo thu nhập, Y . Nếu thu nhập tăng 5% thì lượng cầu tăng bao nhiêu phần trăm? Ezy (x0, y0) =
(x0, y0)
∂z ∂x
≃
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
11 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
12 / 36
y0 z (x0, y0) % thay đổi của z % thay đổi của y
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng
Đạo hàm riêng cấp cao Đạo hàm riêng cấp cao Các đạo hàm riêng cấp 3: Các đạo hàm riêng cấp 1:
∂3f ∂x 3
∂3f ∂x 2∂y
∂x (x, y )
∂y (x, y )
và zx (x, y ) = ∂f zy (x, y ) = ∂f
· · ·
∂f ∂x (x, y )
∂x 2 (x, y ) := ∂ ∂x
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số Các đạo hàm riêng cấp 2: 2y 2 f (x, y ) = x 3 + x 2y 3 zxx (x, y ) = ∂2f h i g (x, y ) = x arctan
− y x (cid:17)
∂x ∂y (x, y ) := ∂ ∂y
∂f ∂x (x, y )
(cid:16) zxy (x, y ) = ∂2f h i
∂y ∂x (x, y ) := ∂ ∂x
∂f ∂y (x, y )
zyx (x, y ) = ∂2f h i
Theorem Giả sử hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp hai fxy và fyx liên tục trong một hình tròn tâm (x0, y0) với bán kính ε (bé tùy ý) thì ta có
∂f ∂y (x, y )
∂y 2 (x, y ) := ∂ ∂y
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
13 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
14 / 36
zyy (x, y ) = ∂2f fxy (x0, y0) = fyx (x0, y0) . h i
Vi phân toàn phần
Vi phân toàn phần
Cho hàm số z = f (x, y ) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0, y0)
PHẦN 3
Vi phân toàn phần của f tại (x0, y0)
VI PHÂN TOÀN PHẦN
df (x0, y0) = fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy
Nếu các đạo hàm riêng fx và fy liên tục tại (x0, y0) thì
∆f (x0, y0) = f (x0 + dx, y0 + dy ) f (x0, y0)
−
= fx (x0, y0) dx + fy (x0, y0) dy + 0 (ρ)
(dx )2 + (dy )2.
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
15 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
16 / 36
trong đó ρ = q
Vi phân toàn phần
Vi phân toàn phần
Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến
Khi x x0 và y y0 bé, ta có Xấp xỉ tuyến tính hàm hai biến
− f (x, y )
− f (x0, y0)
fx (x0, y0) (x x0) + fy (x0, y0) (y y0) Ví dụ: Xét hàm hai biến
−
≈
−
−
Ví dụ: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas x 3 + y 3 + 8. z = f (x, y ) =
Q = 3K 2/3L1/3, p - Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại (1, 3).
trong đó K là lượng vốn và L là lượng lao động. - Từ kết quả đó, hãy tính gần đúng giá trị f (1, 8; 2, 6).
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
18 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
17 / 36
- Viết biểu thức vi phân toàn phần của Q khi K = 1000 và L = 216. - Tính gần đúng mức sản lượng thay đổi khi ta tăng 1, 5 đơn vị vốn và giảm 1 đơn vi lao động.
Cực trị tự do
Cực trị địa phương và cực trị toàn cục
PHẦN 4
CỰC TRỊ TỰ DO
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
19 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
20 / 36
Cực trị tự do
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Bước 1: Tìm các điểm dừng mà tọa độ là nghiệm của hệ phương trình Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của hàm hai biến
fx = 0 3x + xy 2 z = f (x, y ) = x 3
−
fy = 0 Giải Bước 2: Giả sử M (a, b) là một điểm dừng của f . Xét ma trận Hessian Tìm các điểm dừng
3x 2 3 + y 2 = 0
√3
x = 0, y = fx (x, y ) = 0 H =
−
±
A B B C (cid:21) (cid:20)
⇔
2xy = 0 x = 1, y = 0 fy (x, y ) = 0 ⇔ trong đó A = fxx (a, b) , B = fxy (a, b) , C = fyy (a, b).
±
Do đó ta có 4 điểm dừng B 2 > 0 B 2 > 0 , 0, 0, √3
√3
, (1, 0) , ( 1, 0) . f đạt cực tiểu tại M f đạt cực đại tại M f không đạt cực trị tại M
− − B 2 = 0
A > 0, det (H) = AC A < 0, det (H) = AC det (H) = AC
−
−
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
−
⇒ ⇒ ⇒
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
21 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
22 / 36
Cực trị tự do
Cực trị tự do
Phương pháp tìm cực trị địa phương của hàm số z = f (x, y ) Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Phân loại các điểm dừng Tập hợp lồi
fxx = 6x, fxy = 2y , fyy = 2y
0, -
√3
không là cực trị (cid:16) - (cid:17) không là cực trị
− 0, √3
(cid:17)
−
(cid:16) 1, 0) là điểm cực đại địa phương - ( - (1, 0) là điểm cực tiểu địa phương
Ví dụ: Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau
12xy Tập hợp lồi : S λA + (1 λ) B A, B λ
−
(cid:26) S ∈ [0, 1] ⇒
−
⊂
∈
y z = f (x, y ) = x 3 + y 3 w = g (x, y , z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + xz + yz
−
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
23 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
24 / 36
Cực trị tự do
Cực trị tự do
Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục Hàm số lồi, hàm số lõm: Cho z = f (x, y ) xác định trên tập lồi S Một điều kiện đủ cho cực trị toàn cục (ma trận Hessian) Ký hiệu: H (x, y ) = zxx (x, y ) zyx (x, y ) zxy (x, y ) zyy (x, y ) (cid:21) (cid:20)
Theorem Giả sử (a, b)
S là một điểm dừng của hàm z = f (x, y ). Khi đó
∈
Nếu f là hàm lồi trên S thi f đạt cực tiểu toàn cục tại (a, b). Nếu f là hàm lõm trên S thi f đạt cực đại toàn cục tại (a, b) .
Ví dụ: Tìm cực tiểu toàn cục của hàm số
z = f (x, y ) = x 2 + y 2 + xy + 3 Hàm lồi Hàm lõm zxx (x, y ) > 0 zxx (x, y ) < 0 , ,
(x, y )
(x, y )
∀
∀
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
25 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
26 / 36
det (H (x, y )) > 0 det (H (x, y )) > 0 Ts. Lê Xuân Trường ()
Cực trị tự do
Cực trị tự do
Một số áp dụng trong kinh tế Một số áp dụng trong kinh tế Ví dụ 1: Một công ty sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu lần lượt là Ví dụ 2: Một công ty sử dụng hai nguyên liệu đầu vào để sản xuất. Giả sử sản lượng Q tại các mức nguyên liệu x1, x2 được xác định bởi P1 + P2, Qd1 = 280 P2, Qd2 = 420 + 2 5 1 5 1 5 2 5
−
1
P1 − Q (x1, x2) = 12x 1/3 x 1/2 2 và hàm tổng chi phí được xác định bởi
1 + Q1Q2 + Q 2 2 .
C (Q1, Q2) = 40Q1 + 180Q2 + Q 2 giá của hai loại nguyên liệu là p1, p2 và giá bán sản phẩm là q.Tìm mức nguyên liệu x1, x2 để lợi nhuận thu được lớn nhất nếu sản phẩm được bán hết.
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
27 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
28 / 36
Tìm mức sản lượng để công ty thu được lợi nhuận tối đa với giả thiết sản phẩm làm ra được bán hết.
Cực trị có ràng buộc
Bài toán: Tìm cực trị địa phương (hoặc toàn cục) của hàm số
z = f (x, y )
với điều kiện
PHẦN 4
ϕ (x, y ) = M.
CỰC TRỊ CÓ RÀNG BUỘC
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập hàm Lagrange
M] . L (x, y , λ) = f (x, y ) + λ [ϕ (x, y )
−
Bước 2: Giải hệ phương trình
=
=
= 0
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
29 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
30 / 36
∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂λ
Cực trị có ràng buộc
Cực trị có ràng buộc
Phương pháp giải:
Lưu ý: Bước 3: (kiểm tra điều kiện đủ) Giả sử (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ trên.
Nếu (x0, y0, λ0) là một nghiệm của hệ phương trình Đặt H (x, y , λ) = 0 ϕx ϕy ϕx Lxx Lxy ϕy Lyx Lyy
=
=
= 0
∂L ∂x ∂L ∂y ∂L ∂λ
Theorem
thì ta nói (x0, y0) là một điểm dừng ứng với nhân tử Lagrange λ. det Ý nghĩa của nhân tử Lagrange:
⇒
! det
> 0 < 0
(x0, y0) là điểm cực đại địa phương (x0, y0) là điểm cực đại địa phương
độ thay đổi của giá trị tối ưu khi M tăng 1 đơn vị λ !
⇒ (x, y ) ,
λ
(λ
ε, λ + ε)
(x0, y0) là
≈
∀
∀
∈
−
⇒
! (cid:1)
(x, y ) ,
λ
(λ
ε, λ + ε)
(x0, y0) là
∀
∈
−
⇒
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
32 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
31 / 36
! (cid:1) H (x0, y0, λ0) (cid:1) H (x0, y0, λ0) > 0, (cid:1) H (x, y , λ) det điểm cực đại toàn cục < 0, H (x, y , λ) det ∀ điểm cực tiểu toàn cục
Cực trị có ràng buộc
Cực trị có ràng buộc
Một số ví dụ:
Một số ví dụ: Ví dụ 2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và phân bố trên hai thị trường tách biệt. Hàm cầu đối với sản phẩm đó trên mỗi thị trường được cho bởi
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị địa phương của hàm số với các điều kiện tương ứng P2 Qd1 = 310 P1, Qd2 = 235 1 2
−
−
z = x 2 3xy + 12x, 2x + 3y = 6
−
trong đó Pi là giá bán sản phẩm trên thị trường thứ i. Hàm tổng chi phí được xác định như sau x 2 + y 2 = 1 z = x + y C (Q) = Q 2 + 30Q + 20,
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
33 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
34 / 36
với Q là tổng sản lượng. Trong trường hợp xí nghiệp sản xuất 80 sản phẩm, hãy tính sản lượng sẽ phân phối cho từng trường để thu được lợi nhuận lớn nhất.
Cực trị có ràng buộc
Cực trị có ràng buộc
Một số ví dụ: Một số ví dụ:
Ví dụ 3: Một người dự kiến dùng 130 đơn vị tiền tệ để mua hai loại hàng có giá lần lượt là P1 = 4 và P2 = 6. Biết hàm hữu dụng của hai loại hàng trên là Ví dụ 4: Để sản xuất một loại sản phẩm người ta sử dụng hai loại nguyên liệu có thể thay thế cho nhau. Mức sản lượng được xác định bởi Q = 3x 2/3y 1/3, U (x1, x2) = (x1 + 2) (x2 + 1)
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
35 / 36
Ts. Lê Xuân Trường ()
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
36 / 36
trong đó x là lượng nguyên liệu thứ nhất, y là lượng nguyên liệu thứ hai. Giá của hai loại nguyên liệu này lần lượt là P1 = 2 và P2 = 1. Tính x, y để chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản lượng là thấp nhất. trong đó x1, x2 lần lượt là khối lượng hai loại hàng. Xác định x1, x2 để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất.
