Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Bài giảng 3

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

BÀI GIẢNG 3 (cơ sở của phương pháp - phần 2/2)

Nguyễn Xuân Thành

Bộ môn Cơ học Kết cấu Trường Đại học Xây dựng

tkris1004@nuce.edu.vn

Ngày 22 tháng 8 năm 2013

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

2 Các nguyên lý "khả dĩ" Nguyên lý công khả dĩ Nguyên lý công bù khả dĩ Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp

Phương trình vi phân chi phối hệ

Trường đối số (không nhất thiết là trường chuyển vị)

Trường xấp xỉ

Điều kiện tương thích

Điều kiện biên chuyển vị (các tên gọi khác: ...)

Điều kiện biên lực (các tên gọi khác: ...)

Bậc tự do

Dạng thức mạnh; Dạng thức yếu

Trạng thái khả dĩ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

𝑢 ∫︁

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

Công thực 𝑊 = 𝑃 𝑑𝑢

Số gia của công thực Δ𝑊 :

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

𝑢 𝑢 + 𝛿𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

Định nghĩa

Công khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của công thực

Công thức tính

Nếu ngoại lực là các lực tập trung 𝑃𝑖, với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, thì

𝛿𝑊 = P𝑇 𝛿u

trong đó: ]︀𝑇 P = [︀𝑃1 𝑃2 · · · 𝑃𝑛

]︀𝑇 · · · 𝛿u = [︀𝛿𝑢1 𝛿𝑢2 𝛿𝑢𝑛

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

Công thức tính

]︀𝑇 𝑓𝑧

]︀𝑇 , thì Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 hoặc lực phân bố bề mặt t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑧

𝑆

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑊 = f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆

trong đó: ]︀𝑇 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦 𝛿𝑢𝑧

Trường hợp bài toán phẳng thì:

]︀𝑇 ]︀𝑇 ]︀𝑇 f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công khả dĩ

Công thức tính

]︀𝑇 𝑓𝑧

]︀𝑇 , thì Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 hoặc lực phân bố bề mặt t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑧

𝑆

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑊 = f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆

trong đó: ]︀𝑇 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦 𝛿𝑢𝑧

Trường hợp bài toán phẳng thì:

]︀𝑇 ]︀𝑇 ]︀𝑇 f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Quan hệ giữa lực và chuyển vị

𝑃 ∫︁

𝑃 𝑢 𝑑𝑃 Công bù thực 𝑊 * =

Số gia của công bù thực Δ𝑊 *:

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

𝑢

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Định nghĩa

Công bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của công bù thực

Công thức tính

Nếu ngoại lực là các lực tập trung 𝑃𝑖, với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛, thì

𝛿𝑊 * = u𝑇 𝛿P

trong đó: ]︀𝑇 u = [︀𝑢1 𝑢2 · · · 𝑢𝑛

]︀𝑇 · · · 𝛿P = [︀𝛿𝑃1 𝛿𝑃2 𝛿𝑃𝑛

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Công thức tính

]︀𝑇 𝑓𝑧

]︀𝑇 , thì Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 hoặc lực phân bố bề mặt t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑧

𝑆

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑊 * = u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆

trong đó: ]︀𝑇 𝛿t = [︀𝛿𝑡𝑥 𝛿𝑡𝑦 𝛿𝑡𝑧

Trường hợp bài toán phẳng thì:

]︀𝑇 ]︀𝑇 ]︀𝑇 𝛿f = [︀𝛿𝑓𝑥 𝛿𝑓𝑦 𝛿t = [︀𝛿𝑡𝑥 𝛿𝑡𝑦 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Công bù khả dĩ

Công thức tính

]︀𝑇 𝑓𝑧

]︀𝑇 , thì Nếu ngoại lực có dạng lực khối phân bố f = [︀𝑓𝑥 𝑓𝑦 hoặc lực phân bố bề mặt t = [︀𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑧

𝑆

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑊 * = u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆

trong đó: ]︀𝑇 𝛿t = [︀𝛿𝑡𝑥 𝛿𝑡𝑦 𝛿𝑡𝑧

Trường hợp bài toán phẳng thì:

]︀𝑇 ]︀𝑇 ]︀𝑇 𝛿f = [︀𝛿𝑓𝑥 𝛿𝑓𝑦 𝛿t = [︀𝛿𝑡𝑥 𝛿𝑡𝑦 𝛿u = [︀𝛿𝑢𝑥 𝛿𝑢𝑦

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng khả dĩ

ε ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε 𝑈0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng Δ𝑈0:

𝜀

𝛿𝜎𝑇 𝛿ε

1 2

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈0 = Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2ε)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng khả dĩ

Định nghĩa

Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng thực.

Năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ

∫︁ 𝛿𝑈 = 𝛿𝑈0 𝑑Ω

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng khả dĩ

Định nghĩa

Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng thực.

Năng lượng biến dạng khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ

∫︁ 𝛿𝑈 = 𝛿𝑈0 𝑑Ω

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng khả dĩ

Công thức tính

Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ:

𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε

]︀𝑇 và trong đó: 𝜎 = [︀𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑥

]︀𝑇 𝛿ε = [︀𝛿𝜀𝑥𝑥 𝛿𝜀𝑦𝑦 𝛿𝜀𝑧𝑧 𝛿𝛾𝑥𝑦 𝛿𝛾𝑦𝑧 𝛿𝛾𝑧𝑥

Năng lượng biến dạng khả dĩ:

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑈 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω 𝛿𝑈0 𝑑Ω =

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng khả dĩ

Công thức tính

Mật độ năng lượng biến dạng khả dĩ:

𝛿𝑈0 = 𝜎𝑇 𝛿ε

]︀𝑇 và trong đó: 𝜎 = [︀𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑧 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑥

]︀𝑇 𝛿ε = [︀𝛿𝜀𝑥𝑥 𝛿𝜀𝑦𝑦 𝛿𝜀𝑧𝑧 𝛿𝛾𝑥𝑦 𝛿𝛾𝑦𝑧 𝛿𝛾𝑧𝑥

Năng lượng biến dạng khả dĩ:

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑈 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω 𝛿𝑈0 𝑑Ω =

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Thế năng biến dạng bù khả dĩ

𝜎 ∫︁

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tại một phân tố 𝜎 Mật độ năng lượng biến dạng bù

0 =

𝑈 * ε𝑇 𝑑𝜎

𝜀 Số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù Δ𝑈 * 0 : Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑈 * 0 = ε𝑇 𝛿𝜎 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑈 *

𝛿ε𝑇 𝛿𝜎

0 =

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝜎)

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ

Định nghĩa

Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù thực.

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ

0 𝑑Ω

∫︁ 𝛿𝑈 * = 𝛿𝑈 *

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ

Định nghĩa

Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Thành phần biến phân bậc nhất của số gia của mật độ năng lượng biến dạng bù thực.

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ ≡ Năng lượng biến dạng tính được từ Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ

0 𝑑Ω

∫︁ 𝛿𝑈 * = 𝛿𝑈 *

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ

Công thức tính

Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ:

0 = ε𝑇 𝛿𝜎

𝛿𝑈 *

]︀𝑇 và trong đó: ε = [︀𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑧𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥

]︀𝑇 𝛿𝜎 = [︀𝛿𝜎𝑥𝑥 𝛿𝜎𝑦𝑦 𝛿𝜎𝑧𝑧 𝛿𝜎𝑥𝑦 𝛿𝜎𝑦𝑧 𝛿𝜎𝑧𝑥

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ:

0 𝑑Ω =

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑈 * = 𝛿𝑈 * ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ

Công thức tính

Mật độ năng lượng biến dạng bù khả dĩ:

0 = ε𝑇 𝛿𝜎

𝛿𝑈 *

]︀𝑇 và trong đó: ε = [︀𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑧𝑧 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑦𝑧 𝛾𝑧𝑥

]︀𝑇 𝛿𝜎 = [︀𝛿𝜎𝑥𝑥 𝛿𝜎𝑦𝑦 𝛿𝜎𝑧𝑧 𝛿𝜎𝑥𝑦 𝛿𝜎𝑦𝑧 𝛿𝜎𝑧𝑥

Năng lượng biến dạng bù khả dĩ:

0 𝑑Ω =

∫︁ ∫︁ 𝛿𝑈 * = 𝛿𝑈 * ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 𝛿u thỏa mãn các điều kiện tương thích.

Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng ở trạng thái cân bằng là công khả dĩ của các ngoại lực bằng công khả dĩ của các nội lực đối với một trường bất kỳ các biến dạng khả dĩ thỏa mãn điều kiện tương thích.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 𝛿u thỏa mãn các điều kiện tương thích.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 𝛿u thỏa mãn các điều kiện tương thích.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 𝛿u thỏa mãn các điều kiện tương thích.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Tạo cho vật thể một trường các chuyển vị khả dĩ 𝛿u thỏa mãn các điều kiện tương thích.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω P𝑇 𝛿u +

Chú ý: Trường ứng suất 𝜎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω P𝑇 𝛿u +

Chú ý: Trường ứng suất 𝜎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω P𝑇 𝛿u +

Chú ý: Trường ứng suất 𝜎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ f𝑇 𝛿u 𝑑Ω + t𝑇 𝛿u 𝑑𝑆 = 𝜎𝑇 𝛿ε 𝑑Ω P𝑇 𝛿u +

Chú ý: Trường ứng suất 𝜎 chỉ cần liên tục, cân bằng, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường ứng suất thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Chuyển vị.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 𝛿P, 𝛿f, 𝛿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng.

Điều kiện cần và đủ để một vật thể biến dạng có các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích là công bù khả dĩ của các ngoại lực bằng công bù khả dĩ của các nội lực đối với một hệ lực khả dĩ bất kỳ thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 𝛿P, 𝛿f, 𝛿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 𝛿P, 𝛿f, 𝛿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 𝛿P, 𝛿f, 𝛿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Phát biểu

Xét vật thể biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, trong vật thể sẽ xuất hiện nội lực và biến dạng sao cho:

Ngoại lực tác dụng và nội lực ở trạng thái cân bằng Các biến dạng thỏa mãn điều kiện tương thích, còn chuyển vị tương ứng u thỏa mãn các điều kiện liên kết gối tựa

Đặt vào vật thể một hệ lực phân bố khả dĩ 𝛿P, 𝛿f, 𝛿t thỏa mãn các điều kiện cân bằng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆 = ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω u𝑇 𝛿P +

Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆 = ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω u𝑇 𝛿P +

Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆 = ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω u𝑇 𝛿P +

Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý công bù khả dĩ

Công thức của nguyên lý

Công thức chung: 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *

Triển khai cụ thể:

𝑆

∫︁ ∫︁ ∫︁ u𝑇 𝛿f 𝑑Ω + u𝑇 𝛿t 𝑑𝑆 = ε𝑇 𝛿𝜎 𝑑Ω u𝑇 𝛿P +

Chú ý: Trường biến dạng ε chỉ cần liên tục, tương thích, bất kỳ mà không nhất thiết phải là trường biến dạng thực.

Là cơ sở lý luận của PP PTHH Mô hình Lực.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng

Gọi 𝑉 là thế năng của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 là thế năng tổng cộng của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có 𝑉 = −𝑃 𝑢, do đó:

𝛿𝑉 = −𝑃 𝛿𝑢 = −𝛿𝑊

Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈 , ta có:

𝛿𝑈 + 𝛿𝑉 = 𝛿(𝑈 + 𝑉 ) = 𝛿Π𝑝 = 0

Như vậy 𝛿Π𝑝 = 0 hay Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Phát biểu

Trong tất cả các trường chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện cân bằng tĩnh sẽ cho thế năng tổng cộng một giá trị dừng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng

𝛿𝑉 = −𝑃 𝛿𝑢 = −𝛿𝑊

Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈 , ta có:

𝛿𝑈 + 𝛿𝑉 = 𝛿(𝑈 + 𝑉 ) = 𝛿Π𝑝 = 0

Như vậy 𝛿Π𝑝 = 0 hay Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng

𝛿𝑉 = −𝑃 𝛿𝑢 = −𝛿𝑊

Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈 , ta có:

𝛿𝑈 + 𝛿𝑉 = 𝛿(𝑈 + 𝑉 ) = 𝛿Π𝑝 = 0

Như vậy 𝛿Π𝑝 = 0 hay Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng

𝛿𝑉 = −𝑃 𝛿𝑢 = −𝛿𝑊

Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈 , ta có:

𝛿𝑈 + 𝛿𝑉 = 𝛿(𝑈 + 𝑉 ) = 𝛿Π𝑝 = 0

Như vậy 𝛿Π𝑝 = 0 hay Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng tổng cộng

𝛿𝑉 = −𝑃 𝛿𝑢 = −𝛿𝑊

Từ biểu thức của Nguyên lý Công khả dĩ 𝛿𝑊 = 𝛿𝑈 , ta có:

𝛿𝑈 + 𝛿𝑉 = 𝛿(𝑈 + 𝑉 ) = 𝛿Π𝑝 = 0

Như vậy 𝛿Π𝑝 = 0 hay Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

𝑝 = 𝑈 * + 𝑉 * là thế năng bù tổng cộng

Gọi 𝑉 * là thế năng bù của ngoại lực ở trạng thái cuối so với trạng thái đầu; Π* của hệ So sánh hai trạng thái đầu và cuối, ta có 𝑉 * = −𝑢𝑃 , do đó:

𝛿𝑉 * = −𝑢𝛿𝑃 = −𝛿𝑊 *

𝑝 = 0

Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *, ta có:

𝑝 đạt giá trị dừng.

Như vậy 𝛿Π* 𝛿𝑈 * + 𝛿𝑉 * = 𝛿(𝑈 * + 𝑉 *) = 𝛿Π* 𝑝 = 0 hay Π*

Phát biểu

Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện cân bằng tĩnh, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích sẽ ứng với giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

𝑝 = 𝑈 * + 𝑉 * là thế năng bù tổng cộng

𝛿𝑉 * = −𝑢𝛿𝑃 = −𝛿𝑊 *

𝑝 = 0

Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *, ta có:

𝑝 đạt giá trị dừng.

Như vậy 𝛿Π* 𝛿𝑈 * + 𝛿𝑉 * = 𝛿(𝑈 * + 𝑉 *) = 𝛿Π* 𝑝 = 0 hay Π*

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

𝑝 = 𝑈 * + 𝑉 * là thế năng bù tổng cộng

𝛿𝑉 * = −𝑢𝛿𝑃 = −𝛿𝑊 *

𝑝 = 0

Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *, ta có:

𝑝 đạt giá trị dừng.

Như vậy 𝛿Π* 𝛿𝑈 * + 𝛿𝑉 * = 𝛿(𝑈 * + 𝑉 *) = 𝛿Π* 𝑝 = 0 hay Π*

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

𝑝 = 𝑈 * + 𝑉 * là thế năng bù tổng cộng

𝛿𝑉 * = −𝑢𝛿𝑃 = −𝛿𝑊 *

𝑝 = 0

Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *, ta có:

𝑝 đạt giá trị dừng.

Như vậy 𝛿Π* 𝛿𝑈 * + 𝛿𝑉 * = 𝛿(𝑈 * + 𝑉 *) = 𝛿Π* 𝑝 = 0 hay Π*

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nguyên lý giá trị dừng của thế năng bù tổng cộng

𝑝 = 𝑈 * + 𝑉 * là thế năng bù tổng cộng

𝛿𝑉 * = −𝑢𝛿𝑃 = −𝛿𝑊 *

𝑝 = 0

Từ biểu thức của Nguyên lý Công bù khả dĩ 𝛿𝑊 * = 𝛿𝑈 *, ta có:

𝑝 đạt giá trị dừng.

Như vậy 𝛿Π* 𝛿𝑈 * + 𝛿𝑉 * = 𝛿(𝑈 * + 𝑉 *) = 𝛿Π* 𝑝 = 0 hay Π*

Phát biểu

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

NỘI DUNG CHÍNH

1 Các khái niệm về "khả dĩ"

3 Phương pháp biến phân

Thuật ngữ thường gặp Công khả dĩ Công bù khả dĩ Thế năng biến dạng khả dĩ Thế năng biến dạng bù khả dĩ

Nội dung phương pháp Triển khai cụ thể Ví dụ

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Giới thiệu

Một vật thể liên tục có vô hạn bậc tự do (là các chuyển vị của vô hạn phân tố)

Ứng xử được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng (PDE) thỏa mãn tại MỌI điểm bên trong và trên biên vật thể

PDE khó giải ... nên ... Lược sử

Lord Rayleigh đề xuất năm 1870 trong các nghiên cứu bài toán dao động. Sử dụng trường xấp xỉ chỉ chứa một tham số (một bậc tự do). Năm 1909, được Ritz tổng quát hóa để áp dụng vào các bài toán cân bằng và các bài toán trị riêng. Trường xấp xỉ được xây dựng từ một số hàm cơ sở thỏa mãn điều kiện biên động học, mỗi hàm tương ứng với một bậc tự do riêng rẽ.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

𝑙 ∑︁

𝑚 ∑︁

𝑛 ∑︁

Phương pháp biến phân là phương pháp Rayleight-Ritz xác định các tham số của một trường xấp xỉ để một phiếm hàm của trường này đạt cực trị. Sử dụng thế năng tổng cộng Π𝑝 làm phiếm hàm Xét một vật thể đàn hồi có chuyển vị 𝑢, 𝑣 và 𝑤 tại một phân tố tại tọa độ (𝑥, 𝑦, 𝑧) được biểu diễn gần đúng như sau:

𝑖=1

𝑖=𝑚+1

𝑖=𝑙+1

𝑢 = 𝑣 = 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 = 𝑎𝑖𝑓𝑖

trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

𝑙 ∑︁

𝑚 ∑︁

𝑛 ∑︁

𝑖=1

𝑖=𝑚+1

𝑖=𝑙+1

𝑢 = 𝑣 = 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 = 𝑎𝑖𝑓𝑖

trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

𝑙 ∑︁

𝑚 ∑︁

𝑛 ∑︁

𝑖=1

𝑖=𝑚+1

𝑖=𝑙+1

𝑢 = 𝑣 = 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑎𝑖𝑓𝑖, 𝑤 = 𝑎𝑖𝑓𝑖

trong đó 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) là các hàm cơ sở, được chọn trước thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Như vậy, các chuyển vị thực của hệ 𝑢, 𝑣 và 𝑤 sẽ được xác định gần đúng theo công thức trên nếu biết các 𝑎𝑖. Các 𝑎𝑖 được gọi là các bậc tự do khái quát (tọa độ khái quát), cần được xác định để phiếm hàm Π𝑝 đạt giá trị dừng.

Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 𝑈 . Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)

Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương trình:

= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝜕Π𝑝 𝜕𝑎𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 𝑈 . Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)

Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương trình:

= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝜕Π𝑝 𝜕𝑎𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 𝑈 . Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)

Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương trình:

= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝜕Π𝑝 𝜕𝑎𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 𝑈 . Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)

Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương trình:

= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝜕Π𝑝 𝜕𝑎𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Nội dung phương pháp

Xác định ε từ các quan hệ chuyển vị - biến dạng, từ đó, xác định thế năng biến dạng 𝑈 . Cùng với thế năng của ngoại lực 𝑉 được xác định theo các hàm xấp xỉ chuyển vị ở trên, ta xác định: Π𝑝 = 𝑈 + 𝑉 = Π𝑝(𝑎𝑖)

Theo nguyên lý dừng của thế năng tổng cộng, trạng thái cân bằng được xác định với các 𝑎𝑖 tìm được từ phương trình:

= 0 với 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝜕Π𝑝 𝜕𝑎𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

Trong thực tế, việc thiết lập công thức phần tử hữu hạn cho cả hệ thường được xuất phát từ việc xây dựng công thức cho phần tử, với các bậc tự do khái quát là các chuyển vị tại các nút q𝑖 của phần tử. Chuyển vị u ở một điểm bên trong phần tử 𝑖 được biểu diễn từ các chuyển vị tại nút q𝑖

u = Nq𝑖

trong đó N là ma trận các hàm dạng.

Biến dạng của phân tố:

trong đó B = ∇N ε = ∇u = Bq𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

u = Nq𝑖

trong đó N là ma trận các hàm dạng.

Biến dạng của phân tố:

trong đó B = ∇N ε = ∇u = Bq𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

u = Nq𝑖

trong đó N là ma trận các hàm dạng.

Biến dạng của phân tố:

trong đó B = ∇N ε = ∇u = Bq𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

ε ∫︁

Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 𝑈0 =

phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*):

𝜎𝑇 ε = ε𝑇 Eε 𝑈0 = 1 2 1 2

Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:

𝜎 = E(ε − ε0) + 𝜎0

Dẫn đến: )︂ ∫︁ 𝑑Ω 𝑈 = 𝑈0 𝑑Ω = ε𝑇 Eε − ε𝑇 Eε0 + ε𝑇 𝜎0 ∫︁ (︂ 1 2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

ε ∫︁

Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 𝑈0 =

phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*):

𝜎𝑇 ε = ε𝑇 Eε 𝑈0 = 1 2 1 2

Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:

𝜎 = E(ε − ε0) + 𝜎0

Dẫn đến: )︂ ∫︁ 𝑑Ω 𝑈 = 𝑈0 𝑑Ω = ε𝑇 Eε − ε𝑇 Eε0 + ε𝑇 𝜎0 ∫︁ (︂ 1 2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

ε ∫︁

Ở phần đầu, chúng ta đã có mật độ thế năng biến dạng

𝜎𝑇 𝑑ε. Xét trường hợp đàn hồi tuyến tính, tích 𝑈0 =

phân trên cho kết quả (sau khi đã bỏ qua hằng số tích phân*):

𝜎𝑇 ε = ε𝑇 Eε 𝑈0 = 1 2 1 2

Nếu hệ đàn hồi tuyến tính có các biến dạng ban đầu ε0 và ứng suất ban đầu 𝜎0 thì:

𝜎 = E(ε − ε0) + 𝜎0

Dẫn đến: )︂ ∫︁ 𝑑Ω 𝑈 = 𝑈0 𝑑Ω = ε𝑇 Eε − ε𝑇 Eε0 + ε𝑇 𝜎0 ∫︁ (︂ 1 2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên, ta có:

)︂ 𝑑Ω ε𝑇 Eε − ε𝑇 Eε0 + ε𝑇 𝜎0 Π𝑝 = ∫︁ (︂ 1 2 ∫︁ ∫︁ u𝑇 f 𝑑Ω − u𝑇 t 𝑑𝑆 − q𝑇 P −

Thay thế các u = Nq𝑖 và ε = Bq𝑖 ở trên vào, ta có:

𝑖 K𝑖q𝑖 − q𝑇 q𝑇

𝑖 R𝑖

Π𝑝 = 1 2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

Cộng thế năng của ngoại lực vào thế năng biến dạng trên, ta có:

)︂ 𝑑Ω ε𝑇 Eε − ε𝑇 Eε0 + ε𝑇 𝜎0 Π𝑝 = ∫︁ (︂ 1 2 ∫︁ ∫︁ u𝑇 f 𝑑Ω − u𝑇 t 𝑑𝑆 − q𝑇 P −

Thay thế các u = Nq𝑖 và ε = Bq𝑖 ở trên vào, ta có:

𝑖 K𝑖q𝑖 − q𝑇 q𝑇

𝑖 R𝑖

Π𝑝 = 1 2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

Trong công thức trên, K𝑖 và R𝑖 tương ứng là ma trận độ cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 𝑖. Cụ thể:

∫︁ B𝑇 EB 𝑑Ω K𝑖 =

∫︁ ∫︁ R𝑖 = B𝑇 𝜎0 𝑑Ω

B𝑇 Eε0 𝑑Ω − ∫︁ ∫︁ N𝑇 f 𝑑Ω + N𝑇 t 𝑑𝑆 + P +

Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng của phần tử 𝑖 cho ta công thức để xác định các bậc tự do khái quát của phần tử (là các chuyển vị nút q𝑖 của phần tử*) sau:

= 0 hay K𝑖q𝑖 = R𝑖 𝜕Π𝑝 𝜕q𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Triển khai cụ thể

Trong công thức trên, K𝑖 và R𝑖 tương ứng là ma trận độ cứng và véc-tơ lực tại nút của phần tử thứ 𝑖. Cụ thể:

∫︁ B𝑇 EB 𝑑Ω K𝑖 =

∫︁ ∫︁ R𝑖 = B𝑇 𝜎0 𝑑Ω

B𝑇 Eε0 𝑑Ω − ∫︁ ∫︁ N𝑇 f 𝑑Ω + N𝑇 t 𝑑𝑆 + P +

= 0 hay K𝑖q𝑖 = R𝑖 𝜕Π𝑝 𝜕q𝑖

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Phát biểu

Xét 1 thanh chịu lực dọc trục 𝑞 = 𝑐𝑥 như hình vẽ sau

𝑦

𝑞 = 𝑐𝑥 𝐸, 𝐴

𝑥 𝐿

Hãy: (a) xác định chuyển vị dọc trục tại điểm có tọa độ 𝑥 và tại đầu tự do theo phương pháp biến phân; và (b) nếu coi hệ trên chỉ có một phần tử, xác định ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút tương đương của phần tử đó.

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

𝐿 ∫︁

Gọi 𝑢(𝑥) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ 𝑥. Thế năng tổng cộng của hệ là:

𝑥 𝐴 𝑑𝑥 −

𝐸𝑢,2 𝑢 𝑐𝑥 𝑑𝑥 Π𝑝 = 1 2

𝑛 ∑︁

Chọn các hàm cơ sở 𝑓𝑖 = 𝑥𝑖, khi đó:

𝑖=1

𝑢(𝑥) = 𝑎𝑖𝑓𝑖 = 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑛

Chú ý! Không có số hạng 𝑎0 (do điều kiện biên chuyển vị yêu cầu 𝑢 phải bằng 0 tại 𝑥 = 0).

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

𝐿 ∫︁

Gọi 𝑢(𝑥) là chuyển vị dọc trục tại phân tố có tọa độ 𝑥. Thế năng tổng cộng của hệ là:

𝑥 𝐴 𝑑𝑥 −

𝐸𝑢,2 𝑢 𝑐𝑥 𝑑𝑥 Π𝑝 = 1 2

𝑛 ∑︁

Chọn các hàm cơ sở 𝑓𝑖 = 𝑥𝑖, khi đó:

𝑖=1

𝑢(𝑥) = 𝑎𝑖𝑓𝑖 = 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑛

Chú ý! Không có số hạng 𝑎0 (do điều kiện biên chuyển vị yêu cầu 𝑢 phải bằng 0 tại 𝑥 = 0).

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:

Π𝑝 = 𝑎1 𝑎2 1 − 𝐴𝐸𝐿 2 𝑐𝐿3 3

Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:

= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑑Π𝑝 𝑑𝑎1

Do vậy:

𝑢 = 𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑐𝐿3 3𝐴𝐸

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:

Π𝑝 = 𝑎1 𝑎2 1 − 𝐴𝐸𝐿 2 𝑐𝐿3 3

Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:

= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑑Π𝑝 𝑑𝑎1

Do vậy:

𝑢 = 𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑐𝐿3 3𝐴𝐸

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

Nếu ta chỉ sử dụng số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức 𝑢 = 𝑎1𝑥, thì từ biểu thức của Π𝑝 ở trên, ta có:

Π𝑝 = 𝑎1 𝑎2 1 − 𝐴𝐸𝐿 2 𝑐𝐿3 3

Điều kiện dừng của thế năng tổng cộng cho ta:

= 0 =⇒ 𝑎1 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑑Π𝑝 𝑑𝑎1

Do vậy:

𝑢 = 𝑥 và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿2 3𝐴𝐸 𝑐𝐿3 3𝐴𝐸

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

Nếu ta chỉ sử dụng 2 số hạng đầu tiên làm nghiệm xấp xỉ, tức 𝑢 = 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2, thì sau khi thay vào biểu thức của Π𝑝 rồi lấy đạo hàm riêng phần theo 𝑎1 và 𝑎2, ta có:

]︂ ]︂ 𝐿 𝐴𝐸𝐿 = [︂ 4 3𝐿 [︂1 𝐿 4𝐿2/3 𝑐𝐿3 12 ]︂ [︂𝑎1 𝑎2

hay ]︂ ]︂ = [︂7𝐿 −3 𝑐𝐿 12𝐴𝐸 [︂𝑎1 𝑎2

Do vậy: 𝑢 = (7𝐿𝑥 − 3𝑥2) và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿 12𝐴𝐸 𝑐𝐿3 3𝐴𝐸

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (a)

]︂ ]︂ 𝐿 𝐴𝐸𝐿 = [︂ 4 3𝐿 [︂1 𝐿 4𝐿2/3 𝑐𝐿3 12 ]︂ [︂𝑎1 𝑎2

hay ]︂ ]︂ = [︂7𝐿 −3 𝑐𝐿 12𝐴𝐸 [︂𝑎1 𝑎2

Do vậy: 𝑢 = (7𝐿𝑥 − 3𝑥2) và 𝑢|𝑥=𝐿 = 𝑐𝐿 12𝐴𝐸 𝑐𝐿3 3𝐴𝐸

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (b)

Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục tại đầu trái là 𝑞1 và tại đầu phải là 𝑞2.

𝑢(𝑥) 𝐸, 𝐴 𝑞1 𝑞2 𝑥 𝑥

𝐿

Khi đó, có thể biểu diễn 𝑢 = Nq (hồi sau sẽ rõ) với:

]︂ ]︁ [︁ 1 − N = và q = 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 [︂𝑞1 𝑞2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (b)

Nếu coi cả thanh như một phần tử có chuyển vị dọc trục tại đầu trái là 𝑞1 và tại đầu phải là 𝑞2.

𝑢(𝑥) 𝐸, 𝐴 𝑞1 𝑞2 𝑥 𝑥

𝐿

Khi đó, có thể biểu diễn 𝑢 = Nq (hồi sau sẽ rõ) với:

]︂ ]︁ [︁ 1 − N = và q = 𝑥 𝐿 𝑥 𝐿 [︂𝑞1 𝑞2

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (b)

𝐿 ∫︁

Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/𝐿 1/𝐿]︀ 𝑑 𝑑𝑥 Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:

B𝑇 𝐸B 𝐴𝑑𝑥 = K = ]︂ [︂ 1 −1 1 −1 𝐴𝐸 𝐿

𝐿 ∫︁

]︂ R = N𝑇 f 𝑑𝑥 = [︂𝑐𝐿2/6 𝑐𝐿2/3

Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (b)

𝐿 ∫︁

Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/𝐿 1/𝐿]︀ 𝑑 𝑑𝑥 Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:

B𝑇 𝐸B 𝐴𝑑𝑥 = K = ]︂ [︂ 1 −1 1 −1 𝐴𝐸 𝐿

𝐿 ∫︁

]︂ R = N𝑇 f 𝑑𝑥 = [︂𝑐𝐿2/6 𝑐𝐿2/3

Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).

Các khái niệm về "khả dĩ"

Các nguyên lý "khả dĩ"

Phương pháp biến phân

Ví dụ

Lời giải câu (b)

𝐿 ∫︁

Dễ thấy rằng*: B = N = [︀−1/𝐿 1/𝐿]︀ 𝑑 𝑑𝑥 Bài toán kéo nén đơn: E = 𝐸, nên:

B𝑇 𝐸B 𝐴𝑑𝑥 = K = ]︂ [︂ 1 −1 1 −1 𝐴𝐸 𝐿

𝐿 ∫︁

]︂ R = N𝑇 f 𝑑𝑥 = [︂𝑐𝐿2/6 𝑐𝐿2/3

Lúc này, nếu đưa vào điều kiện biên tại đầu trái (bỏ hàng 1 cột 1 trong Kq = R), ta lại được 𝑞2 = 𝑐𝐿3/(3𝐴𝐸).

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Bài giảng 3 - GV. Lê Xuân Thành

BÀI GIẢNG 3 (cơ sở của phương pháp - phần 2/2)

NỘI DUNG CHÍNH

NỘI DUNG CHÍNH

NỘI DUNG CHÍNH

NỘI DUNG CHÍNH

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Thuật ngữ thường gặp

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 = 𝑃 𝛿𝑢 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 =

𝛿𝑃 𝛿𝑢

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑢)

Công khả dĩ

Công khả dĩ

Công khả dĩ

Công bù khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Công bù khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Công bù khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Công bù khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =

𝛿𝑢 𝛿𝑃

1 2

Thành phần biến phân bậc cao hơn hai 𝑂(𝛿2𝑃 )

Công bù khả dĩ

Thành phần biến phân bậc nhất 𝛿𝑊 * = 𝑢 𝛿𝑃 Thành phần biến phân bậc hai 𝛿2𝑊 * =