PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
PHNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYT CHUI
BÀI 7
§2. Phng trình vi phân cp mt (TT)
3. Phng trình vi phân phân li bin s
a) nh ngha. f(y)
dy = g(x)
dx
b) Cách gii.
( )
( )
x
f y dy g x d
=
( )
( )
x
F y g x d
=
Ví d 1.
1
°
/
2
2 1
dy
x y
dx = −
+)
2
2
1
x
y=
−, |y| < 1, x > 0 +)
2
2
1
dy dx
x
y=
−
+) sin
−1
y =
x C
+
+)
(
)
sin
y x C
= +
+)
y
= ± 1 là nghi
m
2°/ y' = 1 + x + y + xy
+) y' = (1 + x)(1 + y) +)
( )
( )
1 1
dy
x y
dx
= + +
+)
( )
1
1
dy
x dx
y= +
+, y ≠ −1,
2
ln 1
2
x
y x C
+ = + +
+) y = −1 là nghi
m kì d
3°/
(
)
(
)
+ + − =
2 2
0
xy x dx y x y dy (
(
)
+ = −
2 2
1 1
y C x
)
4°/
+ =
2 2
tan sin cos cot 0
x y dx x y dy (
= +
2 2
cot tan
y x C
)
5
°
/
(
)
′
− − + =
2
1 0
y xy a x y
(
= +
+
1
Cx
y a
ax
)
6
°
/
(
)
′
+ + + =
0
x xy y y xy
(
(
)
+ = + +
ln ( 1) ( 1)
x y C x y
)
7
°
/
′= +
2
( )
y x y
(
(
)
+ = +
arctan
x y x C
)
8
°
/
− + − + =
(2 ) (4 2 3) 0
x y dx x y dy
(
(
)
+ + = − +
5 10 3 ln 10 5 6
x y C x y
)
9
°
/
′
= + −
4 2 1
y x y
(
(
)
+ − − − + + = +
4 2 1 2 ln 4 2 1 2
x y x y x C
)
c) Mt s ng dng
1
°
°°
°
/ Sinh trng t nhiên và thoái hoá
• S
t
ng dân s
:
( )
dP
x
dt
β δ
= − ,
β
là t
l
sinh,
δ
là t
l
ch
t
2
°
°°
°
/ Lãi lu tin
dA
rA
dt
=
A là l
ư
ng
ô la trong qu
ti
t ki
m t
i th
i
i
m t, tính theo n
m
r là t
l
lãi lu
ti
n tính theo n
m.
3
°
°°
°
/ S phân rã phóng x
dN
kN
dt
= −
, k ph
thu
c vào t
ng lo
i

ng v
phóng x
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
4
°
°°
°
/ Gii c
dA
A
dt
λ
= − ,
λ
là h
ng s
gi
i

c c
a thu
c
5
°
°°
°
/ Phng trình tng trng t nhiên
dx
kx
dt
=
6
°
°°
°
/ Quá trình ngui i và nóng lên
( )
dT
k A T
dt
= − ,
k là h
ng s
d
ươ
ng, A là nhi
t

c
a môi tr
ư
ng
Ví d 2.
M
t mi
ng th
t 4-lb có nhi
t

ban

u là 50
0
F,
ư
c cho vào m
t cái lò 375
0
F
vào lúc 5 gi
chi
u. Sau 75 phút ng
ư
i ta th
y nhi
t

mi
ng th
t là 125
0
F. H
i t
i khi
nào mi
ng th
t

t nhi
t

150
0
F (v
a chín t
i)?
•
(375 )
dT
k T
dt
= −
,
(0) 50
T
=
,
(75) 125
T
=
• =
−
375
dT
kdt
T
375
kt
T Be
−
− =
• Thay T(0) = 50, T(75) = 125
B = 325, k ≈ 0,0035
• t ≈ 105 phút t
c vào lúc kho
ng 6h45’.
7
°
°°
°
/ Quy lut Torricelli
( )
2
dy
A y a gy
dt
= − ,
ó v là th
tích n
ư
c trong thùng, A(y) là
di
n tích ti
t di
n th
ng n
m ngang c
a bình

cao y so v
i
áy,
2
gy
là t
c

n
ư
c thoát ra kh
i l
h
ng
Ví d 3.
M
t cái bát d
ng bán c
u có bán kính mi
ng bát là 4ft
ư
c ch
a

y n
ư
c vào
th
i
i
m t = 0. Vào th
i
i
m này, ng
ư
i ta m
m
t l
tròn
ư
ng kính 1 inch
áy bát.
H
i sau bao lâu s
!
không còn n
ư
c trong bát?
• A(y) = πr
2
= π(8y − y
2
),
• π(8y − y
2
)
2
1
2.32
24
dy
y
dt
= −π
;
•
••
•
3 5
2 2
16 2 1
.
3 5 72
y y t C
− = − +
• y(0) = 4
448
15
C=.
•
2150 ( );
t s
≈
t
c là kho
ng 35 phút 50 giây.
Ví d 4.
π π
+ −
′
+ = =
sin sin , ( )
2 2
x y x y
y y (= = −
9
2, ln tan 2 2 sin
4 2
x
C)
4. Phng trình thun nht (ng cp)
a) t vn 
• Nhi
u
ng d
ng d
"
n

n các ph
ươ
ng trình vi phân không phân li
• Ch
ng h
n, m
t máy bay xu
t phát t
i
m (a ; 0)
#
t
úng phía
$
ông c
a n
ơ
i nó

n, là m
t sân bay
#
t t
i g
c t
%
a

(0 ; 0). Máy bay di chuy
n v
i v
&
n t
c không
i v
0
liên quan

n gió, mà th
i theo
úng h
ư
ng Nam v
i v
&
n t
c không
i w. Nh
ư
ã th
hi
n trong Hình v
!
, ta gi
thi
t r
ng phi công luôn gi
'
h
ư
ng bay v
phía g
c t
%
a

.
Tháo n

c t
m
t bát bán c
u
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
Máy bay hng v gc
$ư
ng bay y = f(x) c
a máy bay th
a mãn ph
ươ
ng trình vi phân
(
)
2 2
0
0
1dy
v y w x y
dx v x
= − +
b) nh ngha.
dy y
F
dx x
=
(1)
c) Cách gii
•
$#
t
y
v
x
=
dy dv
v x
dx dx
= +
•
Bi
n
i (1) thành ph
ươ
ng trình phân ly:
( ) .
dv
x F v v
dx
= −
Ví d 1
1
°
/ Gi
i ph
ươ
ng trình:
2 2
4 3
2
dy x y
dx xy
+
=
•
3
22
dy x y
dx y x
= +
•
y
v
x
=
1
x
v y
=
,
y
=
vx
dy dv
v x
dx dx
= +
•
2 3
2
dv
v x v
dx v
+ = +
•
2
2 4
;
2 2
dv v v
x
dx v v
+
= + =
•
2
2 1
4
v
dv dx
x
v
=
+
2
ln( 4) ln ln .
v x C
+ = +
•
2
4
v C x
+ =
2
2
4
y
C x
x
+ =
2 2 3
4 .
y x kx
+ =
2°/ Gi
i: xy
2
y' = x
3
+ y
3
+) y = 0 không là nghi
m +) y ≠ 0;
2
2
x y
y
x
y
′
= +
+)
y
u
x
=
y
=
xu
y'
=
u
+
xu'
+)
2
1
u xu u
u
′
+ = +
+)
u
3
= 3
ln
|
x
| +
C
y
3
=
x
3
(3
ln
|
x
| +
C
)
3
°
/ (
x
+ 2
y
)
dx
−
x dy
= 0 (
x
+
y
= C
x
2
)
4
°
/ (
x
−
y
)
y dx
=
x
2
dy
(
=
x
y
x Ce
)
5
°
/
(
)
′= −
3 2 2
2 2
x y y x y
(
= ±
ln
x y Cx
)
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
6
°
/
+
′− = +
( ) ln
x y
xy y x y
x
(
= −
ln ln
y x Cx
)
7
°
/ (3
y
2
+ 3
xy
+
x
2
)
dx
= (
x
2
+ 2
xy
)
dy
(
−
+
+ =
2 3
( )
x
x y
x y Cx e )
8°/
− −
′=+ +
1 3 3
1
x y
y
x y
(
+ + + − =
(3 2 ln 1 0
x y x y )
9°/
− + + − + =
(2 4) ( 2 5) 0
x y dx x y dy (
+ − = − +
3
( 1) ( 3)
x y C x y )
10°/ ′= −
2
2
2
y y
x
(
− = + = −
3
1 (2 ), 2
xy Cx xy xy )
Ví d 2.
1°/
(ln ln )
xy y y y x
′
− = −
, y(1) = e (=
ln
y
x
x
)
2°/ − =
2 2
( ) 2
x y dy xydx
( ′
= = −0,
2 2
x y
y x
y x
,

ng c
p)
3°/ = −
2 2
( )
y dx xy x dy
(
= = =
/
, 0, 0
y x
e Cy y x )
4°/ − = 2
( )
x y ydx x dy
(
( )
−
= = =
1
ln , 0, 0
y x Cx y x )
5°/ ′
− = + =
2 2
, (1) 0
xy y x y y (
+ + = =
2 2 2
, 1
y x y Cx C )
5. Phng trình tuyn tính
a) t vn 
• Ph
ươ
ng trình

i s
tuy
n tính c
p m
t ax = b luôn gi
i
ư
c
• Li
u có th
xây d
ng
ư
c cách gi
i

i v
i ph
ươ
ng trình vi phân tuy
n tính c
p m
t
hay không?
b) nh ngha.
dy
dx
+ p(x) y = q(x) ho
#
c
′
+ =
( ) ( )
x p y x q y
(1)
c) Phng pháp gii
•
••
•
Tính th
a s
tích phân
( )
( ) ,
p x dx
x e
ρ
=
• Nhân hai v
c
a ph
ươ
ng trình vi phân v
i ρ(x),
•
$ư
a v
trái c
a ph
ươ
ng trình
ư
c xét v
d
ng

o hàm c
a m
t tích:
(
)
( ) ( ) ( ) ( ).
x
D x y x x q x
ρ ρ
=
• Tích phân ph
ươ
ng trình này
( ) ( ) ( ) ( ) ,
x y x x q x dx C
ρ ρ
= +
r
i gi
i theo y

nh
&
n
ư
c nghi
m t
ng quát c
a ph
ươ
ng trình vi phân.
Ví d 1.
1°/ Gi
i bài toán giá tr
ban

u
/ 3
11
, (0) 1.
8
x
dy y e y
dx
−
− = = −

• Có p(x) = –1 và q(x) =
/ 3
11
,
8
x
e
−
th
a s
tích phân là
( 1)
( ) .
dx
x
x e e
ρ
−
−
= =
• Nhân c
hai v
c
a ph
ươ
ng trình
ã cho v
i e
–x
ư
c
4 / 3
11
8
x x x
dy
e e y e
dx
− − −
− =
PGS. TS. Nguyn Xuân Tho thaonx-fami@mail.hut.edu.vn
•
4 / 3
11
( ) 8
x x
de y e
dx
− −
=
•
4 / 3 4 / 3
11 33
,
8 32
x x x
e y e dx e C
− − −
= = − +
•
/ 3
33
( ) .
32
x x
y x Ce e
−
= −
• Thay x = 0 và y = –1 vào ta có C = 1/32, nghi
m riêng c
n tìm là
/ 3 / 3
1 33 1
( ) ( 33 ).
32 32 32
x x x x
y x e e e e
− −
= − = −
2°/ Gi
i ph
ươ
ng trình y' + 3y = 2x.e
−3x
+) p = 3, q = 2x.e
−3x
+)
3
dx
e
ρ
=
= e
3x
+) e
3x
(y' + 3y) = 2x +)
(
)
3
. 2
x
d
y e x
dx =
+) y.e
3x
= x
2
+ C
y = (x
2
+ C)e
−3x
3°/ Gi
i:
(
)
. 1
y
dy
x y e dx
+ =
+)
.
y
dx
x y e
dy − = +) dy
y
e e
ρ
−
−
= =
+) e
−y
(x' − x) = y +)
( )
y
d
xe y
dx
−
=
+)
2
1
2
y
xe y C
−
= +
2
1
2
y
x y C e
= +
4°/
′
+ = +
(2 1) 4 2
y x x y
(
= + + + +
(2 1)( ln 2 1 1
y x C x )
5°/
′
= −
( cos )
y x y x x
(
= +
( sin )
y x C x
)
6°/ + =
2
( )
x y dy y dx
( = +
2
x y Cy
)
7°/
− + =
2
(2 3) 0
y dx xy dy (
= −
2
1
x Cy
y
)
8°/
(
)
+ = + −
2 2
(1 ) 1 sin
y dx y y xy dy
(
+ + =
2
1 cos
x y y C
)
9°/
+ = +
(2 ) 4 ln
x y dy y dx y dy
( = − + +
2
2 ln 1
x y y Cy
)
NH LÝ 1. Phng trình tuyn tính cp mt
N
u hàm p(x) và q(x) liên t
c trên m
t kho
ng m
I ch
a
i
m x
0
, thì bài toán giá tr
ban
u
dy
dx
+ p(x)y = q(x), y(x
0
) = y
0
(2)
có nghi
m duy nh
t y(x) trên I, cho b
i công th
c
( ) ( )
( ) ( ( ) )
p x dx p x dx
y x e q x e dx C
−
= +
(3)
v
i m
t giá tr
C thích h
p.