Bài giảng sức bền vật liệu
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 1
Chương 6
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG
I. KHÁI NIỆM
Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất
trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang A.Trong những trường
hợp khác, như thanh chịu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào
diện tích A mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa là còn những
yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung là đặc trưng
hình học của mặt cắt ngang.
Xét thanh chịu uốn trong hai trường hợp có cùng mặt cắt ngang A đặt lực khác nhau
như trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chịu lực tốt hơn
trường hợp b). Như vậy, khả năng chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng và vị
trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16
lần). Cho nên sự chịu lực không những phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu các đặc
trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết
kế mặt cắt của thanh cho hợp lý.
II. MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM
Xét một hình phẳng có mặt cắt ngang A như hình vẽ. Lập hệ tọa độ vuông góc Oxy
trong mặt phẳng của mặt cắt.Gọi M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh
M một diện tích vi phân dA.
Mômen tĩnh của mặt cắt A với trục x (hay trục y) là tích phân:
A
y
A
xxdASydAS ,
(6.1)
vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tĩnh có thể có trị số âm hoặc dương.
Thứ nguyên của mômen tĩnh là [(chiều dài)3],thí dụ: cm3, m3,
Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của mặt cắt A đối với trục đó bằng không.
Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm.
Mômen tĩnh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không.
H.6.1. Dầm chịu uốn
a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang
z
a)
P
x
y
P
y
b)
z
Bài giảng sức bền vật liệu
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 2
Cách xác định trọng tâm C của mặt cắt A:
Dựng hệ trục
song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có
oCoC yyyxxx ;
với C(xc,yc) Thay vào (6.1),
A
xoCo
A
Co
A
Cx SAydAydAydAyyS )(
Nếu
C là trọng tâm thì
o
x
là trục trung tâm nên
0
xo
S
,
tương tự
0
yo
S
ta được:
AyS Cx
, và :
AxS Cy
(6.2)
Từ (6.2)
A
S
y
A
S
xx
C
y
C ;
(6.3)
Kết luận: Tọa độ trọng tâm
),( CC yxC
được xác
định trong hệ trục xOy ban đầu theo mômen tĩnh Sx ,
Sy và diện tích A theo (6.3).
Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử
dụng (6.2), (6.3) để xác định các mômen tĩnh.
Nhận xét:
Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tĩnh đối với trục
đối xứng bằng không
Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng
Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều
hình đơn giản. Khi tính mômen tĩnh của hình phức tạp bằng cách tính tổng mômen tĩnh
của các hình đơn giản.
Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác (trọng tâm và diện tích đã
biết) hoặc mặt cắt các loại thép định hình I, U, V, L… có thể tra theo các bảng trong
phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tĩnh của
hình phức tạp gồm n hình đơn giản:
i
n
inny
i
n
innx
xAxAxAxAS
yAyAyAyAS
1
2211
1
2211
...
...
(6.4)
trong đó:
iii yxA ,,
: diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i,
Mặt cắt có trục đối xứng
x
y
C
x
y
C
x
y
C
x
M
y
0
C
x
y
x0
y0
x0
xc
yc
y0
A
dA
Bài giảng sức bền vật liệu
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 3
n : số hình đơn giản.
Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy.
n
i
i
n
i
ii
y
C
A
xA
A
S
x
1
1
n
i
i
n
i
ii
x
C
A
yA
A
S
y
1
1
(6.5)
Thí dụ 1:
Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên .
Tọa độ C là trọng tâm của hình (hình1 có diên tích A1,toạ độ trọng tâm C1(x1, y1,)
hình 2 có diện tích A2,và C2(x2,y2).
;
21
2211
AA
AxAx
A
S
xy
C
21
2211
AA
AyAy
A
S
yx
C
Thí dụ 2.
Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U
Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng,
trọng tâm 0 nằm trên trục y)
a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm)
và 20x2cm cộng lại:
cm
A
S
yx
C5,6
)120(2)220(
)12120(21220
b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngoài A1 = 20x22cm trừ
hình chữ nhật trong A2 = 18x20cm
cm
AA
SS
yxx
C5,6
)2018()2220(
)122018()122224(
21
21
Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T. Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt
(Tương tự cho hai hình còn lại)
H. 6.12
1cm
1cm
20cm
2cm
20cm
0
x
y
6,5cm
15,5cm
10 cm
y
12 cm
2 cm
2 cm
x
C
X
9,2cm
1,13cm
16cm
8cm
6cm
1
cm
6,87cm
X
y
x
6a
Y
4a
a
2a
X
0
1,5a
A
C
x
y
x2
xc
yc
y1
C1
C2
A2
x1
y2
Bài giảng sức bền vật liệu
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 4
cm
AA
SS
yxx
C2,9
)212()210(
)6212()13210(
21
21
III. MÔMEN QUÁN TÍNH - HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM
1- Mômen quán tính (MMQT)
Mômen quán tính độc cực (đối với 1điểm)
MMQT của mặt cắt A với điểm O được định nghĩa là biểu
thức tích phân:
dAI
A
2
(6.6)
với :
: khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O,
Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt A
được định nghĩa:
A
x
A
ydAyIdAxI 22 ;
(6.7)
Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) được định nghĩa:
A
xy xydAI
(6.8)
Từ định nghĩa các mômen quán tính, ta nhận thấy:
- MMQT có thứ nguyên là [chiều dài]4
- Ix , Iy , Ip 0 (luôn luôn dương)
- MMQT ly tâm Ixy có thể dương, âm hoặc bằng không.
- Vì
222 yx
nên
yx III
(6.9)
MMQT độc cực bằng tổng MMQT đối với hai trục vuông góc x, y có gốc tại điểm cực.
Theo định nghĩa của MMQT, ta cũng có:
Tính chất: Mômen quán tính của một hình phức tạp bằng tổng mômen quán tính của
từng hình đơn giản.
2- Hệ trục quán tính chính trung tâm (QTCTT)
Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm đối với hệ trục đó bằng không được gọi là
hệ trục quán tính chính.
Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt tại
trọng tâm) được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm (mọi
tính toán về sau đều dùng hệ trục nầy)
Đối với hệ trục này, ta có:
000 xyyx ISS ;;
Tính chất: Khi mặt cắt A có một trục đối xứng thì bất kỳ hệ
trục nào vuông góc với trục đối xứng đó đều là hệ trục quán tính
y
0
M
x
y
dA
A
x
Hình có một trục đối xứng
y
0
dA1
A1
x
A2
dA
Bài giảng sức bền vật liệu
_________________________________________________________________
Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 5
chính của mặt cắt.
Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng là y như trên H.6.7. Ta luôn tìm được
những cặp vi phân diện tích đối xứng để:
A AA A
xy dAyxxyyxdAyxdAI
21 1
0)( 1
Nhận xét:
MMQT đối với trục chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung
tâm của mặt cắt A.
3.Bán kính quán tính
A
I
rx
x
;
A
I
ry
y
thứ nguyên là
chieudai
Bán tính quán tính đối với trục chính gọi là bán kính quán tính chính
VI. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN
1- Hình chữ nhật
Tìm mômen quán tính chính trung tâm của hình chữ nhật b h (H.6.8).
Hệ có hai trục đối xứng x,y cũng là hệ trục QTCTT.
Để tính Ix, lấy diện tích vi phân dA là một dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách
đến trục là y.
Ta có
12
3
2
2
22 bh
bdyydAyI
h
h
A
x
(6.10)
Tương tự, đổi vai trò của x và y, b và h, ta được:
12
3
hb
Iy
(6.11)
2- Hình tam giác(tự đọc)
Tính MMQT hình tam giác đối với trục x đi qua đáy (H.6.9).
Diện tích dA là dải vi phân song song với đáy, có chiều dày là dy, khoảng cách đến
trục x là y và có bề rộng
y
b
được tính như sau:
h
yhb
by
)(
b
C
h/2
x
y
y
H.6.8
dy
h
0
y
x
y
dy
H.6.9
h/2