Chương 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Đại Học Tôn Đức Thắng

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

1 / 10

Toán C2 - MS: C01010

Nội dung

1 Các khái niệm chung

2 Phương pháp Gauss

3 Hệ thuần nhất

4 Hệ Cramer

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

1 / 10

Hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ có dạng:

... ... ... ... ... ... ... ...

   a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Trong đó:

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

2 / 10

xi là các ẩn số, aij là các hệ số, bj là các hệ số tự do

Đặt:      

A = , X = , B =                  

a12 a11 a22 a21 · · · · · · am1 am2 · · · a1n · · · a2n · · · · · · · · · amn x1 x2 ... xn b1 b2 ... bm

Thì hệ được viết lại: AX = B. Ta gọi:

A là ma trận hệ số X là ma trận ẩn B là ma trận hệ số tự do A = (A|B) là ma trận hệ số mở rộng

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

3 / 10

Một nghiệm là 1 vector (c1, · · · , cn) ∈ Rn mà khi thay x1 = c1, . . . , xn = cn thì tất cả phương trình đều thỏa.

Phương pháp Gauss

Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A = (A|B) về dạng bậc thang. Suy ra nghiệm.

Ví dụ: Giải các hệ sau

x1 + x2

1)

−x1 + x2 + 4x3 − 2x3 −x1   −2x1 − x2 + 2x3 + x4 = 4 + x4 = 2 = −1 = −2 − x2 − 2x3 + x4 = 4

x1 + 2x2 − x3   2)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

4 / 10

 = −2 −2x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 2 −x1 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −1

  3)

 x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 = −1 2x1 + 7x2 − x3

Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn, với ma trận hệ số mở rộng A = (A|B). Ta có:

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

5 / 10

Nếu r(A) < r (cid:0)A(cid:1) thì hệ vô nghiệm Nếu r(A) = r (cid:0)A(cid:1) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) = r (cid:0)A(cid:1) < n thì hệ vô số nghiệm

4)

  3x1 + 4x2 − 6x3 − 7x4 = −18 2x1 + 6x2 − 14x3 − 5x4 = −13 −x1 − 2x2 + 4x3 + 4x4 = 11 2x1 + 4x2 − 8x3 − 5x4 = −13 8 −x1 − 2x3 + 3x4 =

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

6 / 10

Nếu A ∈ Mn thì: hệ có nghiệm duy nhất ⇔ r (A) = n ⇔ det(A) (cid:54)= 0.

Hệ thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất khi tất cả các hệ số tự do bằng 0

Hệ thuần nhất luôn có nghiệm X = 0. Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường. Nghiệm khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường. Hệ thuần nhất AX = 0 chỉ có 2 khả năng sau:

1. Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ hệ chỉ có nghiệm tầm

thường ⇔ r (A) = số ẩn

2. Hệ có vô số nghiệm ⇔ hệ có nghiệm không tầm

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

7 / 10

thường ⇔ r (A) < số ẩn

Suy ra: nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường.

Nếu A ∈ Mn thì hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi: r (A) < n ⇔ det(A) = 0.

Ví dụ: giải hệ thuần nhất sau

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

8 / 10

   x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0

Hệ Cramer

Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0

Cách giải hệ Cramer AX = B:

PP1: Dùng phương pháp Gauss PP2: X = A−1B PP3: Dùng công thức Cramer Thay B vào cột thứ i của A, gọi nó là ma trận Ai . Thì:

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

9 / 10

xi = det Ai det A

Ví dụ:

1) Giải hệ sau

 

 x1 + 3x2 + 7x3 = 1 2x1 + x2 + 2x3 = 0 −7x1 + x2 + 4x3 = 1

2) Giải và biện luận hệ sau theo tham số m

 

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 2: Hệ pt tuyến tính

Toán C2 - MS: C01010

10 / 10

 mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m x1 + x2 + mx3 = m2