PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Nguyễn Văn Phong
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
1 / 24
Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nội dung
1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT
2 ĐỊNH LÝ CĂN BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH
3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
1 / 24
PHÂN
Bài toán tìm diện tích
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
2 / 24
Tích phân xác định
Phân hoạch Cho [a, b], các số thực x0, x1, . . . , xn, thỏa
x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b
i )∆xi
i=1 f (x ∗
Khi đó, P = {x0, x1, x2, . . . , xn}, được gọi là một phân hoạch của [a, b].
Tổng Riemann Cho hàm f xác định trên [a, b] và P là một phân hoạch của [a, b], với x ∗ i ∈ [xi−1, xi ] và ∆xi = |xi − xi−1|. Ta gọi R(f , P) = (cid:80)n là tổng Riemann của f ứng với phân hoạch P
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
3 / 24
Tích phân xác định
Định nghĩa Cho hàm f xác định trên [a, b]. Ta định nghĩa tích phân xác định của hàm f trên [a, b] là
i )∆xi
i=1
a
(cid:90) b (cid:88)n f (x ∗ f (x) dx = lim n→∞
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
4 / 24
nếu giới hạn bên phải tồn tại. Khi đó, ta còn nói f là khả tích Riemann trên [a, b].
Ví dụ
Tìm diện tích của miền giới hạn bởi
f (x) = x 2, x = 0, x = 1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
5 / 24
.
Ví dụ
Để tính diện tích của S, trước tiên ta phân hoạch đoạn
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
6 / 24
[0, 1] thành n đoạn có ∆x = lần lượt là và chọn x ∗ i 1 n 1/n, 2/n, . . . , n/n.
Ví dụ
Ta có tổng Riemain
(cid:19)2 (cid:19)2 (cid:17)2 + . . . + + Rn = 1 n (cid:16)n n 1 n
(cid:18) 2 n (cid:0)12 + 22 + . . . + n2(cid:1) . =
= (cid:18) 1 n 1 n2 n (n + 1) (2n + 1) 6 1 n 1 n 1 n3
n→∞
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
7 / 24
= Khi đó, (cid:82) 1 0 x 2dx = lim Rn = lim n→∞ 1 n3 n (n + 1) (2n + 1) 6 1 3
Các tính chất của tích phân Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó: (cid:90) b
a
a
b (cid:90) b
(cid:90) a (cid:90) a f (x)dx = − f (x)dx; f (x)dx = 0
a
a
a Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và [c, b]. Và khi đó:
(cid:90) b (cid:90) b [f (x) + kg (x)]dx = f (x)dx + k g (x)dx
c
a
a
(cid:90) b (cid:90) c (cid:90) b f (x)dx f (x)dx = f (x)dx +
a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
8 / 24
(cid:90) b Nếu f (x) = c(const) thì f (x)dx = c(b − a)
Các tính chất của tích phân
a Nếu f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [a, b] thì
(cid:90) b Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0.
a
a
(cid:90) b (cid:90) b f (x)dx ≥ g (x)dx
a
a
(cid:90) b (cid:90) b |f (x)|dx ≥ f (x)dx Hàm |f | khả tích và
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
9 / 24
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Định lý cơ bản của vi tích phân
Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] thì hàm F xác định bởi
a
(cid:90) x F (x) = f (t)dt, a (cid:54) x (cid:54) b,
là liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b), và F (cid:48)(x) = f (x).
1
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
10 / 24
(cid:90) x t sin tdt. Ví dụ: Tìm F (cid:48)(x) biết F (x) =
Công thức Newton-Leibnitz
Định lý Nếu f liên tục trên [a, b], thì
a = F (b) − F (a)
a
(cid:90) b f (x)dx = F (x)|b
trong đó F là một nguyên hàm của f , nghĩa là F (cid:48) = f
1
Ví dụ: (cid:90) 2 exdx 1. Tính
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2,
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
11 / 24
y = 0, x = 1
Nguyên hàm
Định nghĩa Hàm F (x) được gọi là một nguyên hàm của f (x) nếu F (cid:48)(x) = f (x)
Khi đó, G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) và được gọi là tích phân bất định của f , ký hiệu
(cid:90) f (x)dx
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
12 / 24
Từ định nghĩa trên ta thấy, nguyên hàm và đạo hàm là hai hàm ngược của nhau,i.e., (cid:19)(cid:48) (cid:18)(cid:90) (cid:90) f (x) dx = f (x) và (f (x))(cid:48)dx = f (x)
Công thức đổi biến
Định lý Giả sử hàm u = g (x) khả vi liên tục trên [a, b] và f là hàm liên tục trên miền ảnh của g . Khi đó:
a
g (a)
(cid:90) b (cid:90) g (b) f (g (x))g (cid:48)(x)dx = f (u)du
(f [g (x)])(cid:48) = f (cid:48) [g (x)] × g (cid:48) (x)
Nhận xét: từ lấy tích phân hai vế, ta có
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
13 / 24
(cid:90) (cid:90) f (cid:48) [g (x)] × g (cid:48) (x) dx = (f [g (x)])(cid:48)dx = f (g (x))
Tích phân từng phần
Công thức tích phân từng phần
a −
a
a
(cid:90) b (cid:90) b f (x)g (cid:48)(x)dx = f (x)g (x)|b g (x)f (cid:48)(x)dx
Hoặc viết gọn:
a −
a
a
(cid:90) b (cid:90) b v du udv = uv |b
Xuất phát từ
(f (x) g (x))(cid:48) = f (cid:48) (x) g (x) + f (x) g (cid:48) (x)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
14 / 24
Ta nhận được công thức tích phân từng phần
Tích phân hàm chẵn, lẻ
Giả sử f liên tục trên [−a, a]
0
−a
1. Nếu f chẵn (nghĩa là f (−x) = f (x)) thì (cid:90) a (cid:90) a f (x)dx = 2 f (x)dx
−a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
15 / 24
2. Nếu f lẻ (nghĩa là f (−x) = −f (x)) thì (cid:90) a f (x)dx = 0
Tích phân suy rộng
1. Loại I (miền không bị chặn)
Định nghĩa 1. Nếu (cid:82) t
a f (x) dx tồn tại với mọi t (cid:62) a, thì
a
a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
16 / 24
(cid:90) +∞ (cid:90) t f (x) dx f (x) dx = lim t→∞
Tích phân suy rộng
1. Loại I (miền không bị chặn)
Định nghĩa 2. Nếu (cid:82) b
t f (x) dx tồn tại với mọi t (cid:54) b, thì f (x) dx = lim f (x) dx t→−∞
−∞
t
(cid:90) b (cid:90) b
−∞ f (x) dx tồn tại thì
a
a
−∞
−∞
f (x) dx và (cid:82) a 3. Nếu cả hai (cid:82) +∞ (cid:90) +∞ (cid:90) +∞ (cid:90) a f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
17 / 24
Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ.
Ví dụ
Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại).
0 (cid:90) 0
1 (cid:90) 0
(cid:90) +∞ (cid:90) +∞ dx a) b) e−xdx 1 x
−∞ (cid:90) +∞
−∞ (cid:90) +∞
d) xe−xdx c)
1 (cid:90) +∞
1 (cid:90) +∞
f) e) dx 1 (1 − x)2 dx 1 x α dx
−∞
−∞
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
18 / 24
dx g) 1 x 2 + 2x + 5 1 √ x 1 1 + x 2 dx h)
Tích phân suy rộng
2. Loại II (hàm không bị chặn)
Định nghĩa
1. Nếu hàm f liên tục trên [a, b) và không liên tục tại
a
a
b, thì (cid:90) b (cid:90) t f (x) dx f (x) dx = lim t→b−
2. Nếu hàm f liên tục trên (a, b] và không liên tục tại
a
t
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
19 / 24
a, thì (cid:90) b (cid:90) b f (x) dx f (x) dx = lim t→a+
Tích phân suy rộng
2. Loại II (hàm không bị chặn)
Định nghĩa
c f (x)dx là hội tụ, thì
3. Nếu hàm f không liên tục tại c, với a < c < b, và
a f (x)dx và (cid:82) b (cid:90) c f (x)dx =
c
a
a
(cid:90) b cả hai (cid:82) c (cid:90) b f (x)dx f (x)dx +
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
20 / 24
Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ.
Ví dụ
Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại).
0 (cid:90) 2
0 (cid:90) 1
(cid:90) 1 (cid:90) 1 ln (1 − x)dx b) a) dx
−1 (cid:90) 5
0 (cid:90) 3
c) d)
0
2 (cid:90) 1
dx e) dx f) 1 x α dx 1 x − 1 1 √ x 1 x 2 dx 1 √ x − 2
0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
21 / 24
g) ln xdx
Các tiêu chuẩn hội tụ
a
a
g (x)dx hội tụ
Tiêu chuẩn so sánh Giả sử f và g là các hàm liên tục, và f (x) ≥ g (x) ≥ 0, với x ≥ a. 1) Nếu (cid:82) +∞ 2) Nếu (cid:82) +∞
a
a (cid:90) +∞
f (x)dx hội tụ, thì (cid:82) +∞ g (x)dx phân kỳ, thì (cid:82) +∞ f (x)dx phân kỳ
1
e−x 2 dx. Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
22 / 24
HD: Đặt f (x) = e−x và g (x) = e−x 2.
Các tiêu chuẩn hội tụ
Tiêu chuẩn tỷ số Cho f , g là các hàm số dương.
x→+∞
a
a
(cid:90) +∞ f (x)dx 1. Nếu lim = α ∈ (0, +∞), thì f (x) g (x) (cid:90) +∞ và g (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
a
a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
23 / 24
(cid:90) b f (x)dx và = α ∈ (0, +∞), thì 2. Nếu lim x→b f (x) g (x) (cid:90) b g (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Ví dụ
1 (cid:90) +∞
Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau: (cid:90) +∞ 1. dx x 2 + ln x + 1 x 5 + 3x 2 + 3
1 (cid:90) 1
x 3 + 2x − 1 √ 2. dx x 4 + x 3 + x 3 + 1 + 2
0 (cid:90) 1
dx 3.
0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
24 / 24
4. dx 1 3(cid:112)(x − 1)2(x + 2) sin x √ x x
