PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Nguyễn Văn Phong
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
1 / 23
Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nội dung
1 HÀM SỐ
2 HÀM SỐ SƠ CẤP
3 CÁC PHÉP TOÁN
4 GIỚI HẠN HÀM SỐ
5 HÀM LIÊN TỤC
6 ĐẠO HÀM
7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
1 / 23
Hàm số
Định nghĩa Hàm số f là một liên kết mỗi phần tử x ∈ X ⊂ R với một phần tử duy nhất y ∈ Y ⊂ R, ký hiệu f (x). Ta viết
f : X → Y
x (cid:55)→ y = f (x)
Khi đó
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
2 / 23
y được gọi là ảnh của x qua f (hay ta còn nói f biến x thành y ); X được gọi là miền xác định của f , ký hiệu Df ; Tập Y = {y = f (x) |x ∈ D } là tập ảnh của f hay còn gọi là tập xác định của f , ký hiệu Rf .
Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh
1. Hàm f : X → Y là đơn ánh nếu
∀x ∈ D, f (x) = f (x (cid:48)) ⇒ x = x (cid:48).
2. Hàm f : X → Y là toàn ánh nếu
f (X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f (x) = y .
3. Hàm f : X → Y là song ánh nếu
∀y ∈ Y , ∃!x ∈ X : f (x) = y .
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
3 / 23
Nghĩa là, f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Hàm sơ cấp
1. Hàm luỹ thừa và căn thức:
√ f (x) = x n và f (x) = n x với x ∈ N
2. Hàm mũ và Logarit:
f (x) = ax và f (x) = logax, với 0 < a (cid:54)= 1.
3. Hàm lượng giác:
f (x) = sin x; f (x) = cos x; f (x) = tan x.
4. Hàm lượng giác ngược:
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
4 / 23
f (x) = arcsin x; f (x) = arccos x; f (x) = arctan x.
Các phép toán
Với các hàm số f , g : X → Y , ta có
i) (f ± g ) (x) = f (x) ± g (x) ii) (f · g ) (x) = f (x) · g (x) iii) (f /g ) (x) = f (x)/g (x) iv) f : X → Y ; g : Y → Z . Hàm h : X → Z xác định
h(x) = g ◦ f(x) = g [f(x)].
Được gọi là hàm hợp của f và g .
v) Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó,
∀y ∈ Y , ∃!x = f −1(y ) ∈ X : f (x) = y . Bấy giờ hàm f −1 : Y → X được gọi là hàm ngược của f và ∀x ∈ X , y ∈ Y , ta có
x = f −1(y) ⇔ f(x) = y
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
5 / 23
Hơn nữa, ta có f (cid:2)f −1(x)(cid:3) = x và f −1 [f(x)] = x
Ví dụ
Xác định g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f , g ◦ g , với
a) f (x) = cos x và g (x) = x 2
b) f (x) = 2x + 1 và g (x) = x − 1 2
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
6 / 23
c) Phân tích hàm sau thành các hàm sơ cấp f (x) = (cid:112)ln (tan (cos (2x + 1)))
Giới hạn hàm số
Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn của f tại a, ký hiệu
f (x) = L lim x→a
Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
7 / 23
nếu |x − a| < δε thì |f (x) − L| < ε.
Giới hạn trái - Giới hạn phải
Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn trái của f tại a, ký hiệu
f (x) = L lim x→a−
Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
8 / 23
nếu −δε < x − a < 0 thì |f (x) − L| < ε.
Giới hạn trái - Giới hạn phải
Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói R là giới hạn phải của f tại a, ký hiệu
f (x) = R lim x→a+
Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df
nếu 0 < x − a < δε thì |f (x) − R| < ε.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
9 / 23
f (x) tồn tại nếu Ta nói lim x→a [f (x)] [f (x)] = lim x→a [f (x)] = lim x→a+ lim x→a−
Các tính chất của giới hạn
f (x) = C
i) Nếu f (x) = C (hằng số) thì lim x→a f (x) (cid:62) b ii) Nếu f (x) (cid:62) b thì lim x→a
f (x) = A và lim x→a ψ (x) = A thì lim x→a
a.
g (x) = A ± B
g (x) = B thì
f (x) ± lim x→a
b.
g (x) = AB
f (x) lim x→a (cid:46)
g (x) = A/B; B (cid:54)= 0
c.
f (x)
iii) Nếu ϕ (x) (cid:54) f (x) (cid:54) ψ (x) ϕ (x) = lim x→a f (x) = A và lim x→a [f (x) ± g (x)] = lim x→a
[f (x) g (x)] = lim x→a [f (x)/g (x)] = lim x→a
lim x→a g (x)
(cid:104)
(cid:105) lim x→a
d.
[f (x)]g (x) =
= AB
f (x)
lim x→a
lim x→a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
10 / 23
iv) Nếu lim x→a lim x→a lim x→a lim x→a
Các dạng vô định thường gặp
[f (x) ± g (x)] 1. Dạng ∞ − ∞ xảy ra khi ta tính lim x→a
2. Dạng hay [f (x) /g (x)] ∞ ∞
xảy ra khi ta tính lim x→a [f (x) · g (x)] 0 0 3. Dạng 0 × ∞ xảy ra khi ta tính lim x→a
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
11 / 23
[f (x)]g (x) 4. Dạng 1∞; 00; ∞0 xảy ra khi ta tính lim x→a
Một số giới hạn cơ bản
= = 1 2) lim x→0 1) lim x→0 1 2
= 1 3) lim x→0 4) lim x→0 sin x x tan x x
= 1 5) lim x→0 6) lim x→0 1 − cos x x 2 ex − 1 x arcsin x x
1
x = e
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
12 / 23
= α 7) lim x→0 8) lim x→0 = 1 ln(1 + x) x arctan x x = 1 (1 + x)α − 1 x (cid:18) = 1 (cid:19)x (1 + x) 1 + = e 9) lim x→∞ 10) lim x→0 1 x
Vô cùng bé
Định nghĩa Hàm α (x) được gọi là vô cùng bé (VCB), khi x → a nếu
α (x) = 0 lim x→a
Hơn nữa, nếu α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, khi đó
1. α(x) ± β(x), α(x) × β(x), C α(x) cũng là VCB, khi
x → a
2. α(x) × g (x) cũng là VCB, khi x → a, với hàm g (x)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
13 / 23
bị chặn
So sánh hai vô cùng bé
Cho α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, ta đặt
. k = lim x→a α(x) β(x)
Khi đó
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
14 / 23
1. Nếu k = 0 ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x), 2. Nếu k = ∞ ta nói α(x) là VCB cấp thấp hơn β(x), 3. Nếu k (cid:54)= 0 ∧ k (cid:54)= ∞ ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. Đặc biệt nếu k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x).
Vô cùng bé
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Giả sử f (x) và g (x) là tổng hữu hạn của các VCB khi x → a, khi đó
VCB cấp thấp nhất của tử
= lim x→a lim x→a f (x) g (x) VCB cấp thấp nhất của mẫu
Một số VCB tương đương khi x → 0 cần nhớ
n
arcsin x ∼ x ln(1 + x) ∼ x √
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
15 / 23
sin x ∼ x arctan x ∼ x 1 + x − 1 ∼ x n ax − 1 ∼ xlna tan x ∼ x ex − 1 ∼ x 1 − cos x ∼ x 2 2 (1 + x)r − 1 ∼ rx
Hàm liên tục
Định nghĩa Hàm f (x) xác định trên Df gọi là liên tục tại a, nếu
f (x) = f (a). i) f (x) xác định tại a ∈ Df , f (x) tồn tại, ii) lim x→a iii) lim x→a
tại x = 0, x |x|
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
16 / 23
tại x = 0. c) f (x) = Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm sau đây a) f (x) = 3x + 1 tại x = 1, b) f (x) = (cid:26) 2x + 1, x > 0 x (cid:54) 0 1,
Đạo hàm
Định nghĩa Hàm số f : (a, b) → R gọi là khả vi tại x0 ∈ (a, b) nếu
tồn tại giới hạn lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x
Giới hạn này gọi là đạo hàm của f tại x0, ký hiệu
f (cid:48)(x0) = lim ∆x→0 = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆x ∆f ∆x
Ý nghĩa:
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
17 / 23
Tính xấp xỉ bởi công thức y − y0 = f (cid:48) (x0) (x − x0) Tính vận tốc tức thời Tỷ lệ thay đổi của f (x) đối với x tại điểm x0
Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm cấp n, f n, tại x ∈ (a, b). Khi đó, đạo hàm cấp n + 1 của f được định nghĩa
f (n+1)(x) = (f (n))(cid:48)(x)
Tính chất.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
18 / 23
Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x
Các tính chất
Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x ∈ (a, b) thì:
1. (f + g )(cid:48)(x) = f (cid:48)(x) + g (cid:48)(x) 2. (αf )(cid:48)(x) = αf (cid:48)(x), với α ∈ R 3. (fg )(cid:48)(x) = f (cid:48)(x)g (x) + f (x)g (cid:48)(x)
(cid:19)(cid:48) 4. (x) = (cid:18) f g
f (cid:48)(x)g (x) − f (x)g (cid:48)(x) g 2(x) 5. (g ◦ f )(cid:48)(x) = g (cid:48)(f (x))f (cid:48)(x) 6. Nếu f −1 tồn tại, khả vi tại y = f (x) và f (cid:48)(x) (cid:54)= 0 thì
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
19 / 23
= (f −1)(cid:48)(y ) = 1 f (cid:48)(x) 1 f (cid:48)(f −1(y ))
Đạo hàm các hàm sơ cấp
n
f (x) f (cid:48)(x) f (x) √ x n nx n−1 x
ex ex ln x
f (cid:48)(x) 1 √ n n x n−1 1 x √ sin x cos x arcsin x
cos x − sin x arccos x − 1 1 + x 2 1 √ 1 + x 2
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
20 / 23
tan x = 1 + tan2 x arctan x 1 1 + x 2 1 cos2 x
Ứng dụng đạo hàm
1. Tính gần đúng Áp dụng, công thức sau:
(1) f (x) − f (x0) = f (cid:48) (x0) (x − x0)
2. Khai triển Taylor Giả sử f : (a, b) → R khả vi đến cấp n + 1. Khi đó, với x0, x ∈ (a, b), ta có công thức khai triển Taylor sau
f (x) = f (x0) + (x − x0) + (x − x0)2 + ... f (cid:48) (x0) 1! f (cid:48)(cid:48) (x0) 2!
+ (x − x0)n + Rn (x)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
21 / 23
f (n) (x0) n! Trong đó Rn là phần dư.
Ứng dụng đạo hàm
3. Khai triển Maclaurent Trong khai triển Taylor, khi x0 = 0, ta có công thức khai triển Maclaurent
f (x) = f (0) + (x) + (x)2 + ... f (cid:48) (0) 1! f (cid:48)(cid:48) (0) 2!
+ (x)n + Rn (x) f (n) (0) n!
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
22 / 23
Trong đó Rn là phần dư.
Ứng dụng đạo hàm
4. Quy tắc L’hospital
có dạng hay . Khi đó, Giả sử lim x→a f (x) g (x) 0 0 ∞ ∞
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)
GIẢI TÍCH
Toán cao cấp - MS: MAT1006
23 / 23
= A Nếu = A thì lim x→a lim x→a f (x) g (x) f (cid:48)(x) g (cid:48)(x)
